摘 要
线性变换,尤其是傅里叶变换,是众所周知的解决线性系统问题的技术,人们常将变换作为一种数学和物理工具,把问题转到可以解决的域内.在许多科学分支的理论中,傅里叶变换都扮演着重要的角色.就像其它变换一样,它可以单纯的看作数学泛函.
在现代数学中,傅里叶变换是一种非常重要的变换,且在频谱信号、波动及热传导等方面有着广泛的应用.本文首先介绍了傅里叶级数以及傅里叶变换的基本概念、性质及发展;其次介绍了傅里叶变换的不同变种以及多种傅里叶变换的定义；最后介绍了傅里叶变换在周期信号、波动这两个方面的具体的应用,在周期信号方面主要介绍的是基于快速傅里叶变换的信号去噪的应用,而在波动方面主要介绍的是海水仿真系统的研究.最后对本文所讨论的内容进行了总结.
关键词:傅里叶变换,波动,频谱信号
II
傅里叶变换及其应用
Abstract
Linear transforms ,especially those named for Fourier are well know as provide techniques for solving problems in linear systems characteristically, one uses the transformation as a mathematical or physical tool to alter the problem into one that can be solved.Fourier transforms play an important part in the theory of many branches of science while they may be regarded as purely mathematical functional .
In modem mathematics, the Fourier transform is a very important transformation. It has a wide range of application in Spectrum Signal Processing, fluctuations and thermal conductivity, etc. This article introduced the Fourier series and Fourier transform of the basic concepts, the nature and development; followed introduced Fourier transform of the different variants and the definition of a variety of Fourier transform. Finally introduced the specific applications in the frequency spectrum, signal fluctuations and thermal conductivity. Fourier transform in different areas, have different forms ,such as modern studies, voice communications, sonar, seismic and even biomedical engineering study of the signal to play an important role in grams. Finally, the scope of our discussion in this article are summarized.
Key words: Fourier transform, volatility , the spectrum signal
III
傅里叶变换及应用
目 录
第一章 前 言....................................................1
1.1傅里叶变换的发展.................................................1 1.2 研究傅里叶变换的意义............................................1
第二章 傅里叶级数及变换的理论知识.............................3
2.1 傅里叶积分......................................................3 2.2 实数与复数形式的傅里叶积分......................................5 2.3 傅里叶变换式的物理意义..........................................8
第三章 傅里叶变换的性质及变形..................................11
3.1 基本性质......................................................11 3.2 傅里叶变换的不同形式..........................................12
第四章 傅里叶变换的应用.........................................15
4.1波动............................................................15 4.2周期信号中的傅里叶变换...........................................19
第五章 工作总结及展望...........................................25
5.1 总结...........................................................25 5.2 展望...........................................................25
参 考 文 献.......................................................26 致 谢..........................................................27
傅里叶变换及其应用
第一章 前 言
1.1傅里叶变换的发展
傅里叶分析是分析学中的一个重要分支,在数学发展史上,早在18世纪初期,有关三角级数的论述已在D.Bernoulli,D`Alembert,L.Euler等人的工作中出现,但真正重要的一步是由法国数学家J.Fourier迈出的,他在著作《热的解析理论》(1822年)中,系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题,此后各国科学家的完善和发展,极大的扩大了傅里叶分析的应用范围,使得这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具,特别是现代实用性很强的“小波分析”理论和方法也是从傅里叶分析的思想方法演变出来的,而Fourier变换变换作为Fourier分析中最为重要的内容正是由于其良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,本文将对傅里叶变换在其中某些领域的应用加以整理和总结.(由于傅里叶在不同的文献中有“傅里叶”和“傅立叶”两种不同的称谓,为了便于阅读,本片论文统一称为“傅里叶”)
1.2 研究傅里叶变换的意义
从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换.它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换. 根据傅里叶变换的一些特殊性质我们可以发现1. 傅里叶变换是线性算子;
2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 4.著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
5.离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).
[1]
1
傅里叶变换及其应用
在后面的整理中我们可以发现,这些特性的应用为信号周期和波动的研究提供了坚实的基础.
2
傅里叶变换及其应用
第二章 傅里叶级数及变换的理论知识
2.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习傅里叶级数的基本内容. 2.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义2.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数[4]
若函数f(x)以2l为周期,即为f(x+2l)=f(x)的光滑或分段光滑函数,且定义域为[−l,l] ,则可取三角函数族
2πxkπxπx
1,cos,cos,......,,cos,.....,
lll
(2-1)
2πxkπxπx
sin,sin,.....,sin,......
lll
作为基本函数族f(x)将展开为傅里叶级数(即下式右端级数)
∞
kπxkπx
+bksin) (2-2) f(x)=a0+∑(akcosllk=1式(2-2)称为周期函数f(x)的傅里叶级数展开式(简称傅氏级数展开),其中的展开系数称为傅里叶系数(简称傅氏系数)．
函数族(2-1)是正交的．即为:其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零,即
kπx⎧l
dx=01.cos⎪∫−l
l
⎪
⎪l1.sinkπxdx=0⎪∫−ll⎪l
kπxnπx⎪
dx=0 1.cos.cos⎨∫−l
ll⎪
kπxnπx⎪l
1.sin.sindx=0⎪∫−l
ll
⎪
⎪l1.coskπx.sinnπxdx=0∫⎪ll⎩−l
利用三角函数族的正交性,可以求得(2.1.3)的展开系数为
1lkπx⎧=af(x)cos()dxk∫⎪−lllδ⎪k
(2-3) ⎨
⎪b=1lf(x)sin(kπx)dxk⎪l∫−ll⎩
3
傅里叶变换及其应用
其中
⎧2 (k=0)
⎩1 (k≠0)
关于傅里叶级数的收敛性问题,有如下定理: 定理 2.1.1狄利克雷(Dirichlet)
δk=⎨
若函数f(x)满足条件:
(1)处处连续,或在每个周期内只有有限个第一类间断点;
(2)在每个周期内只有有限个极值点,则级数(2-3)收敛,且在收敛点有:
∞
kπxkπx
f(x)=a0+∑(akcos+bksin)
llk=1
在间断点有:
∞
kπx1kπx
[f(x+0)+f(x−0)]=a0+∑(akcos+bksin)
l2lk=1
2.1.2 奇函数及偶函数的傅里叶展开 定义 2.1.2 傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数[2]
若周期函数f(x)是奇函数,则由傅里叶系数的计算公式(2-3)可见,所有 a0,ak均等于零,展开式(2-2)成为
∞
kπx
(2-4) f(x)=∑bksinlk=1这叫作傅里叶正弦级数．容易检验(2-4)中的正弦级数在x=0,x=l处为零．由于对称性,其展开系数为
kπx2l
bk=∫f(x)sin()dx
l0l
若周期函数f(x)是偶函数,则由傅里叶系数计算公式可见,所有bk均等于零,展开式(2-2)成为
f(x)=a0+∑akcos
k=1∞
kπx
(2-5) l
这称为傅里叶余弦级数．同样由于对称性,其展开系数为
kπx2l
ak=fx()cos()dx (2-6)
lδkl∫0由于余弦级数的导数是正弦级数,所以余弦级数的导数在x=0,x=l处为零．而对于定义在有限区间上的非周期函数g(x)的傅里叶级数展开,需要采用类似于高等数学中的延拓法,使其延拓为周期函数.
4
傅里叶变换及其应用
2.1.3复数形式的傅里叶级数 定义2.1.3 复数形式的傅里叶级数[8]
取一系列复指数函数 ...,e
−ikπxl
2πxl
,...,e
−i
,e
−i
πx
l
,1,e
∞i
πx
l
,e
i
2πxl
,...,e
i
kπxl
,.... (2-7)
作为基本函数族,可以将周期函数f(x)展开为复数形式的傅里叶级数
f(x)= (2-8) 利用复指数函数族的正交性,可以求出复数形式的傅里叶系数
kπxkπx
−ii1l1l
l*
Ck=∫f(x)[e]dx=∫f(x)[el]*dx (2-9)
2l−l2l−l
式中“*”代表复数的共轭.上式(2- 9)的物理意义为一个周期为2L 的函数f(x) 可
nπnπ以分解为频率为,复振幅为cn 的复简谐波的叠加. 称为谱点,所有谱点
ll
的集合称为谱．对于周期函数f(x)而言,谱是离散的.尽管f(x)是实函数,但其傅里叶系数却可能是复数,且满足:
*
或C−k=Ck (2-10) C−k=Ck
k=−∞∑Cekikπxl2.2 实数与复数形式的傅里叶积分
上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开,下面讨论非周期函数的级数展开. 2.2.1 实数形式的傅里叶积分[6]
定义 2.2.1 实数形式的傅里叶变换式 傅里叶积分 傅里叶积分表示式
设非周期函数f(x)为一个周期函数g(x)当周期2l→∞时的极限情形.这样,g(x)的傅里叶级数展开式
g(x)=a0+∑(akcos
k=1∞
kπxkπx
+bksin) (2-11)
ll
在l→∞时的极限形式就是所要寻找的非周期函数f(x)的傅里叶展开.面我们研究这一极限过程:设不连续的参量
πkπωk=(k=0,1,2,...),Δωk=ωk−ωk−1=
ll
故(2-11)为
g(x)=a0+∑(akcosωkx+bksinωkx) (2-12)
k=1∞
傅里叶系数为
5
傅里叶变换及其应用
1l⎧a=f(x)cosωkxdxk∫⎪−lδkl⎪
(2-13) ⎨
⎪b=1lf(x)sinωxdxkk⎪l∫−l⎩
代入到 (2-12),然后取l→∞的极限.对于系数a0,lim∫f(x)dx有限,则
−ll
1lπ而余弦部分为当f(x)=0l→∞,Δω=→0,不连续参变量ωk变k
l→∞l→∞2l∫−ll
为连续参量,以符号ω代替．对k的求和变为对连续参量ω的积分,上式变为
∞1∞
∫[∫f(x)cosωxdx]cosωxdω lima0=lim
0
π−∞
同理可得正弦部分
∫
若令
∞
0
[
π∫−∞
1
∞
f(x)sinωxdx]sinωxdω
1∞⎧
A(ω)=∫f(x)cosωxdx⎪⎪π−∞
(2-14) ⎨∞1⎪B(ω)=f(x)sinωxdx
⎪π∫−∞⎩
式(2-14)称为f(x)的(实数形式)傅里叶变换式．故(2-12)在l→∞时的极限形式变为(注意到g(x)→f(x))
f(x)=∫A(ω)cosωxdω+∫B(ω)sinωxdω (2-15)
0
0
∞∞
上式(2-15)右边的积分称为(实数形式)傅里叶积分.(2-15)式称为非周期函数f(x)的(实数形式)傅里叶积分表示式．事实上,上式(2-15)还可以进一步改写为
f(x)=∫[A(ω)cosωx+∫B(ω)sinωx]dω0
0
∞
∞
f(x)=∫C(ω)cos[ωx−ϕ(x)]dω0
∞
(2-16)
f(x)=A2(ω)+B2(ω),ϕ(ω)=arctan[B(ω)/A(ω)]
ϕ上式(2-16)的物理意义为:c称为f(x)的振幅谱,ω称为f(x)的相位谱．可以对
ω应于物理现象中波动(或振动).我们把上述推导归纳为下述严格定理: 1．傅里叶积分定理[7]
定理2.1.1 傅里叶积分定理 ：
若函数f(x)在区间(−∞,∞)上满足条件
(1)f(x)在任一有限区间上满足狄利克雷条件;
(2)f(x)在(−∞,∞)上绝对可积,则f(x)可表为傅里叶积分形式(2-15),且在 f(x)
6
傅里叶变换及其应用
的不连续点处傅里叶积分值= 2．奇函数的傅里叶积分
[f(x+0]+f[x−0]
.
2
定义 2.1.2 实数形式的傅里叶正弦积分 傅里叶正弦变换
若f(x)为奇函数,我们可推得奇函数f(x)的傅里叶积分为傅里叶正弦变换:
f(x)=∫B(ω)sinωxdω (2-17)
0
∞
式(2-1)满足条件f(0)=0其中B(ω)是f(x)的傅里叶正弦变换:
B(ω)=∫f(x)sinωxdω (2-18)
0
∞
3. 偶函数的傅里叶积分
定义 2.1.3 实数形式的傅里叶余弦积分 傅里叶余弦变换[8]
若f(x)为偶函数,f(x)的傅里叶积分为傅里叶余弦积分:
2∞
f(x)=∫A(ω)cosωxdω (2-19)
π0
式(2-3)满足条件f′(0)=0．其中B(ω)是f(x)的傅里叶余弦变换:
2∞
A(ω)=∫f(x)cosωxdω (2-20)
π0
上述公式可以写成另一种对称的形式
⎧2∞
B(ω)sinωxdω⎪f(x)=
π∫0⎪
⎨ (2-21)
⎪B(ω)=2∞f(x)sinωxdx⎪π∫0⎩
⎧2∞
=fxA(ω)cosωxdω()⎪∫0π⎪
(2-22) ⎨
∞⎪A(ω)=2f(x)cosωxdx
⎪π∫0⎩4 复数形式的傅里叶积分
定义2.1.4 复数形式的傅里叶积分
下面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换,而且很多情形下,复数形式(也称为指数形式)的傅氏积分变换使用起来更加方便.利用欧拉公式则有 11
cosωx=(eiωx+e−iωx),sinωx=(eiωx−e−iωx)
22i
7
傅里叶变换及其应用
代入式(2-15)得到
∞1∞1
f(x)=∫[A(ω)−iB(ω)]eiωxdω+∫[A(ω)+iB(ω)]e−iωxdω
0202
将右端的第二个积分中的ω换为−ω,则上述积分能合并为
f(x)=∫F(ω)eiωxdω (2-23)
−∞
∞
其中
⎧[A(ω)−iB(ω)]/2, (ω≥0)
F(ω)=⎨
⎩[A(ω)+iB(ω)]/2, (ω<0)
将(2-14)代入上式可以证明无论对于ω≥0,还是ω<0均可以合并为
1∞iωx*
F(ω)=f(x)[e]dx (2-24)
2π∫−∞
证明:(1) ω≥0时
1∞1∞iωx*
F(ω)=f(x)[cos(x)−isin(x)]dx=f(x)[e]dx ωω∫∫−∞−∞2π2π(2) ω<0时 1∞1∞iωx*
F(ω)=f(x)[cos(x)+isin(x)]dx=f(x)[e]dx ωω2π∫−∞2π∫−∞1∞1∞−iωxiωx*
=f(x)edx=f(x)[e]dx ∫∫−∞−∞2π2π证毕．
(2-23)是f(x)的复数形式的傅里叶积分表示式,(2-24)则是f(x)的复数形式的傅里叶变换式.述变换可以写成另一种对称的傅氏变换(对)形式
⎧1∞
F(ω)eiωxdω⎪f(x)=∫2π−∞⎪
(2-25) ⎨
⎪F(ω)=1∞f(x)e−iωxdω⎪2π∫−∞⎩
2.3 傅里叶变换式的物理意义
傅里叶变换和频谱[2,8]有密切的联系.频谱这个术语来自于光学.通过对频谱的分析,可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质.若已知f(x)是以T为周期的周期函数,且满足狄利克雷条件,则可展成傅里叶级数
f(x)=a0+∑(ancosωnx+bnsinωnx) (2-26)
n=1
∞
其中ωn=nω=
2nπ,我们将ancosωnx+bnsinωnx称为f(x)的第n次谐波,ωn称为T
8
傅里叶变换及其应用
第n次谐波的频率．由于
ancosωnx+bnsinωnx=a2+b2cos(ωnx−ϕn)
b
其中ϕ=arctan称为初相,a2+b2称为第n次谐波的振幅,记为An,即
a
An=a2+b2 (n=1,2,...) A0=a0 (2-27)
若将傅里叶级数表示为复数形式,即
f(x)=
其中|Cn|=|C−n|=
n=−∞
∑Ceωin
∞
nx
(2-28)
An12
=an+bn2恰好是n次谐波的振幅的一半.我们称cn为复振22
幅.显然n次谐波的振幅与复振幅有下列关系:
An=2Cn (n=0,1,2,...) (2-29)
当取n=0,1,2,3.....这些数值时,相应有不同的频率和不同的振幅,所以式(2-14)描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.频谱图通常是指频率和振幅的关系图.An称为函数f(x)的振幅频谱(简称频谱).若用横坐标表示频率ωn,纵坐标表示振幅An,把点(ωn,An),n=0,1,2,3.....用图形表示出来,这样的图形就是频谱图.由于
n=0,1,2,3.....,所以频谱An的图形是不连续的,称之为离散频谱.
2.3.1 傅里叶变换的定义[7]
由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论,最后我们以简洁的复数形式(即指数形式)作为傅里叶变换的定义. 定义2.3.1 傅里叶变换
若f(x)满足傅氏积分定理条件,称表达式
F(ω)=∫f(x)e−iωxdx (2-30)
−∞∞
为f(x)的傅里叶变换式,记作f(x)=F−1[F(ω)].我们称函数F(ω)为f(x)的傅里叶
变换,简称傅氏变换(或称为像函数)． 定义2.3.2 傅里叶逆变换 如果
(2-31)
则上式为f(x)的傅里叶逆变换式,记为f(x)=F−1[F(ω)],我们称f(x)为F(ω)(或称为像原函数或原函数)的傅里叶逆变换,简称傅氏逆变换.由(2-30)和(2-31)知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换,即有
F−1[F(ω)]=F−1[F[f(x)]]=F−1F[f(x)]=f(x) (2-32)
f(x)=
12π∞
∫
−∞
F(ω)eiωxdx
9
傅里叶变换及其应用
或者简写为
F−1F[f(x)]=f(x) 2.3.2多维傅氏变换
在多维(n维)情况下,完全可以类似地定义函数f(x1,x2,L,xn)的傅氏变换如下:
F(ω1,ω2,...,ωn)=F[f(x1,x2,...,xn)]
=∫....∫
−∞+∞
∞−∞
f(x1,x2,...,xn)e−i(ω1x1+ω2x2+...+ωnxn)dx1dx2...dxn
它的逆变换公式为:
f(x1,x2,...,xn)=
(2π)n∫−∞
1
+∞
....∫F(ω1,ω2,...,ωn)e−i(ω1x1+ω2x2+...+ωnxn)dω1dω2...dωn
−∞
∞
2.3.3傅里叶变换的三种定义式
在实际应用中,傅里叶变换常常采用如下三种形式,由于它们采用不同的定义式,往往给出不同的结果,为了便于相互转换,特给出如下关系式: 1.第一种定义式
1∞1∞iωx−iωx
F1(ω)=f(x)edx,f(x)=F(ω)edω, ∫∫1
2π−∞2π−∞
2.第二种定义式
∞1∞−iωx
F2(ω)=∫f(x)edx,f(x)=F2(ω)eiωxdω ∫−∞2π−∞3.第三种定义式
F3(ω)=∫f(x)e−i2πωxdx,f(x)=∫F3(ω)ei2πωxdω
−∞
−∞
∞∞
三者之间的关系为
11ωF1=F2(ω)=F3()
2π2π2π三种定义可统一用下述变换对形式描述：
⎧F(ω)=F[f(x)]
⎨−1
⎩f(x)=F[F(ω)]
特别说明:不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义,所以在傅氏变换的运
11
算和推导中可能会相差一个常数倍数,比如.本文采用的傅氏变换(对)是,
2π2π大量书籍中常采用的统一定义,均使用的是第二种定义式．
10
傅里叶变换及其应用
第三章 傅里叶变换的重要特性
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)的积分的线性组合.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.
3.1 基本性质
1.线性性质
[1,8]
两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和.数学描述是:若函数f(x)和
g(x)的傅里叶变换F(f)和F(g)都存在,α和β为任意常系
数,F[αf+βg]=αF[f]+βF[g]. 2.平移性质
若函数f(x)存在傅里叶变换,则对任意实数ω0,函数f(x)eiω0x也存在傅里叶变换,且F[f(x)eiω0x]=F(ω−ωo). 3.微分关系
若函数f(x)当x→∞时的极限为0,而其导函数f(x)的傅里叶变换存在,则有F[f'(x)]=iωF[f(x)] ,即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子
iω.更一般地,若f(±∞)=f'(±∞)=....=f(k−1)(±∞)=0,且F[f(k)(x)]存在,则
F[f(k)(x)]=(iω)kF[f] ,即k阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子(iω)k.
4.卷积特性
若函数f(x)及g(x)都在(−∞,+∞)上绝对可积,则卷积函数
f*g=∫f(x−ξ)g(ξ)dξ
−∞
+∞
的傅里叶变换存在,且F[f*g]=F[f].F[g].卷积性质的逆形式为
F−1[F(ω)G(ω)]=F−1[F(ω)]*F−1[G(ω)]
11
傅里叶变换及其应用
即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积. 5．Parseval定理
若函数f(x)可积且平方可积,其中F(ω)是f(x)的傅里叶变换.（查正确性） 则∫f2(x)dx=
−∞+∞
1+∞2
F(ω)dω ∫−∞2π3．2傅里叶变换的不同变种
1.连续傅里叶变换[8]
一般情况下,若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”.“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数形式.
1
F(ω)=F[f(t)]=
2π∫
∞
−∞
f(t)e−iωtdt
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式. 连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform)为
1∞
f(t)=F[F(ω)]=F(ω)eiωtdω ∫2π−∞
即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分.一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair).除此之外,还有其它型式的变换对,以下两种型式亦常被使用.
ω来代换,而形成新的变换对 : 在通讯或是讯号处理方面,常以f=2π−1
∞
X(f)=F[x(t)]=
−1
−∞
−i2πft
x(t)edt ∫∞
i2πftX(f)edf ∫
x(t)=F[X(f)]=
−∞
或者是因系数重分配而得到新的变换对:
∞
F(ω)=F[f(t)]=
−∞
∫
f(t)e−iωtdt
12
傅里叶变换及其应用
1
f(t)=F[F(ω)]=
2π−1
∞
−∞
∫F(ω)e
iωt
dω
2.离散傅里叶变换
定义3.2.1[1]给定一组数据序列y={yn},n=0,1,2.....N−1,离散傅里叶变换为序列：
N−1n=0
yk=F[yn]=∑yne−i2πkn/N,0≤n≤N−1
1离散傅里叶逆变换为：yn=F[yk]=
N
∑ye
kk=0
N−1
i2πkn/N
,0≤k≤N−1
定理3.1 对于离散傅里叶变换,以下性质成立.
1.移位或平移.若y∈sn且zk=yk+1,那么F[z]j=ωjF[y]j,这里ω=e2πi/n 2.卷积.若y∈sn且z∈sn,那么下面的序列
n−1
[y*z]k=∑yjzk−j0
j=0
也在sn中.序列y*z称为y和z的卷积.
3.若y∈sn是一实数序列,那么F[y]n−k=F[y]k , 0≤k≤n 或 yn−k=yk. 3.快速傅里叶变换
快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）,即N点DFT变换大约就需要N^2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这
)) 13
傅里叶变换及其应用
样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）2=N+N2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。
4.傅里叶变换家族
下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.
变换
连续傅里叶变换傅里叶级数离散时间傅里叶变换离散傅里叶变换
时间 频率
连续, 非周期性 连续, 非周期性 连续, 周期性
离散, 非周期性
离散, 非周期性 连续, 周期性 离散, 周期性
离散, 周期性
14
傅里叶变换及其应用
第四章 傅里叶变换的应用
本章主要内容是介绍傅里叶变换在波动、周期信号两方面的应用.
4.1 波动
[2]
海水仿真在虚拟训练系统、3D游戏中有着广泛的应用,传统的算法如
Gestner-wave 海水仿真算法并不能真实的模拟出海水的效果,通过引入快速傅里叶变换,对波动情况进行优化.下面是逐步引用的过程.
1.我们首先来介绍正弦波动的基本概念,以下这些参数是确定正 弦波动的主要参数:
波动振幅(A):波峰到波谷的高度差的二分之一 波长(L):两个相邻波峰之间的距离
空间角频率向量(ω):空间角频率向量 w 的方向和波传播的方向相同, 空间角频率向量的大小|ω|和波长 L 的关系为:ω=2*PI/L . 波速(S):每秒钟波峰移动的距离.
时间角频率(ωt):时间角频率 ωt=S*2*PI/L. 波动传播方向(D):波峰移动的方向. 初始相位(FI):初始相位.
根据上述参数可以写出正弦波动的波动方程: Y(x,yt)=A*cos(ω*(x,y)+ωt*t+FI)
根据正弦波动的等相位面,可以将正弦波动分为方向波和圆形波,等相位面为平行的平面的正弦波动,为方向波.而等相位面为一系列圆柱面的波动为圆形波.一般来说在风驱动的广阔的水体适合采用方向波,而对于一些较小的池塘, 输入激励近似为点激励的情况下(例如扔一个小石子到河里面去,激起一圈一圈 的波纹)则适合采用圆形波.在本章里面,主要涉及的是方向波.
2.Gestner-wave 是最早的用于计算机图形学海水仿真的方法(1986 年 Fourier 和
[2]
Reeves).P 为海水表面上任意一点,没有经过波动时 P 点的位置为(x0,0,z0),下列表达式为 Gestner-wave 波动计算公式:
(x,z)=(x0,z0)+Q*A*sin(ω*(x0,y0)+ωt*t+FI) (4-1)
15
傅里叶变换及其应用
y=A*cos(ω*(x0,y0)+ωt*t+FI) (4-2)
这里波浪传播的时间角频率和空间角频率存在一个直接关系(在深海情况下,
Gestner-wave在水平方为重力加速度), 与前面的正弦波动稍有不同的是 ωt=(g*ω)2
向也有波动,而这种波动产生了波浪挤压的效果,而 Q 为控制波浪的陡峭程度,但是最好不要使 Q 超过 1,否则会在表面出现环的效果.有时,为了模拟出更为真实的海水效果,采用多个正弦波叠加的方法来模拟复杂的波动效果.
3.单纯的基于 Gestner-Wave 的海洋仿真算法无法模拟出真实的海水效果, 一个能够真实模拟出海水效果的经典算法是基于快速傅利叶变换的海水仿真算法(Jerry Tessendorf,SIGGRAPH Course Notes).下面我们来推导这个算法.首先分析一维的情况,考查一个长度为Ls的一维区域 AB 的海水波动情况,如下图所示.
这里有两个前提条件:
a:整个区域的波动情况具有周期为 L 的空间周期性.
b:由于整个区域的波动效果具有周期为Ls的空间周期性,因此空间周期Ls必须为每个叠加的Gestner-wave 的波长 L的整数倍,如下图所示.
ω Gestner-wave,在已知波长 L的情况下,空间角频率 ωt可对于 和时间角频率
以通过以下两个式子来确定.
ω=2*PI/L. (4-3)
16
傅里叶变换及其应用
ωt=(g*ω)2
(4-4)
其中L=Ls/k;k为正整数.在确定这两个参数之后,对于确定整个波动方程,还缺振幅和初始相位这两个参数.而对于振幅和初始相位这两个参数无法通过解析
n个正弦波进行叠加之后得到一个复合的波动效果,如下式: 的方法来求出.将这
y=∑Aicos(ωi.x−ωtit+FIi) (4-5)
i=1n
通过欧拉公式我们可以将上式改写为傅里叶变换的形式:
y=re(∑Aicos(ωi.x−ωtit+FIi)+i*sin(ωi.x−ωtit+FIi)) 4-6)
i=1n
即
y=re∑Aicos(ωi.x−ωtit+FIi) (4-7)
i=1n
也就是
y=re∑Aiexp(−iωtit.+iFIi)exp(iωix) (4-8)
i=1n
如果得到了初相位以及振幅的信息,我们就可以通过快速傅里叶变化的形式来
进行整个海水波动计算.
在考察完一维的情况后,来考察二维的情况.选择一个长为 Lx,宽为 Ly 的矩形区域,如下图所示.
前提条件和一维时候的情况基本相同:
x方向上具有周期为Lx的空a:整个区域的波动情况具有一定的空间周期性,在 间周期性,在 z 方向上具有周期为 Ly的空间周期性. b:使用多个 Gestner-Wave 的叠加来合成出整个波动效果.
x方向上具有Lx 考虑一个沿 AB 方向传播的正弦波,要使得这个波动在 的空间周 期性,则相当于点 A和点 C 的相位差是2PI 的整数倍.CE 垂直于波传播的
17
傅里叶变换及其应用
方向 AB,因此C,E处在同一波阵面上,具有相同的相位.于是要求A和E的相差为2PI 的整数倍,也就是 AE 的长度为正弦波的波长 L的整数倍.AC 的长度为Lx,
AE 的长度为Lx*cos(a).AE 的长度为波长L的整数倍,即 则
Lx*cos(a)=k1*L，k1为整数. (4-9)
同时波动在 y方向也具有周期为 的空间周期性.同样可以得到 Ly
Ly*sin(a)=k2*L，k2为整数
(4-10)
其中 k1 和 k2 都为整数(可以是负整数).反过来,而对于任意一个给定的整数
L的 Gestner-Wave 波对(k1,k2),可以得到一个沿方向(cos(a),sin(a))传播,波长为
满足我们空间周期性的要求.
在给定k1,k2的情况下,通过求解式(10)(11)方程组可以得到
Tan(a)=k2*Lx/(k1*Ly) (4-11)
a的值范围a=atan(k2*Lx/(k1*Ly))或者a=PI+atan(k2*Lx/(k1*Ly)),这里把
限定在−PI L=1/((k1/Lx)2+(k2/Lx)2)2 (4-12) 进一步我们可以求出一对空间角频率的向量. ω=(2*PI*k1/Lx,2*PI*k2/Ly)以及 −ω=(−2*PI*k1/Lx,−2*PI*k2/Ly) 而根据传播关系,我们可以计算出时间角频率:ωt=(g*ω)2. 根据上述参数就可以写出(k1,k2)确定的一对 Gestner-Wave Y1=A0*cos(ω*(x*y)+ωt*t+FI0) Y2=A1*cos(ω*(x,y)−ωt*t+FI1) (4-13) 最后我们选取多个这样的 Gestner-Wave 波进行叠加,选取整数对的范围是 −N/2 K1→N/2K2→M/2 ∑ N/2M/2 ∑(A 0K1,K2 *exp(i*wt*t+i*FI0K1,K2) (4-14) +A1K1,K2*exp(−i*wt*t+i*FI1K1,K2))exp(i*w*(x,y)) 再次用欧拉公式将这个式子转化为二维傅利叶变换的形式 18 傅里叶变换及其应用 y= K1→N/2K2→M/2 ∑ N/2M/2 ∑(A 0k1,k2 cos(w*(x,y)+wt*t+FI0K1,K2) (4-15) +A1K1.K2cos(w*(x,y)−wt*t+FI1K1,K2) 这也就是通过一个二维傅里叶变换来计算整个区域内的波动的计算公式.通过这个二维的傅里叶变换，消除了传统算法的片面性，形象地描述了海水的波动情况. 4.2 周期信号中的傅里叶变换及应用 4.2.1 周期信号的傅立叶变换 [4,9] 设周期信号为f(t),其傅里叶变换由下式给出 F(ω)=∫f(t)e−iωtdt (4-16) −∞ ∞ 相应的傅里叶逆变换为 1∞ f(t)=F(ω)eiωtdω (4-17) ∫2π−∞ 由此可见,经过傅里叶变换,就将时域信号f(t)变成频域信号F(ω),而经过傅里叶逆变换又将频域信号转变为原来的时域信号f(t)了. 要对连续信号进行数值计算,应先将连续信号进行离散化处理.信号离散化处理是以采样定理为根据的,即:对一个具有有限频谱的连续信号,若最高频率为fm,当采样频率fc满足fc≥2fm时,则此连续信号可以从此采样值中还原.在实际应用中,由于考虑分析精度,一般取fc≥2fm. 采样过程如图4-1所示,连续信号在每间隔时间T就采用一个样点值,采样后的脉冲序列为f(T),f(2T),.....,f(nT),T为脉冲周期.经采样后连续信号f(t)就变成了离散信号f*(t)了. 图4-1 连续信号经采样变为离散信号 ∞ ∞ 信号f(t)的采样过程可以看作是f(t)乘以δ函数δT(t),即 f(t)=f(t)δT(t)=f(t)∑δ(t−nT)= * n=−∞ n=−∞ ∑f(nT)δ(t−nT) (4-18) 将(4-18)式代入(4-16)式,并注意到∫δ(t−nT)e−iωtdt=e−iωnT,得到 −∞ ∞ 19 傅里叶变换及其应用 F(ω)= n=−∞ ∑f(nT)e ∞ −iωnT (4-19) 这就是离散傅里叶变换(DFT)的表达式.但是这个式子并不能直接用来进行计算[15],因为要对无穷多个采样的样本值进行DFT运算,实际上是不可能的.电子计算机只能对有限数列进行计算处理,因此,我们取N个有限数列进行研究.若采样时间间隔为T,整个数列为f(nT),则数列的带宽Δf=1/NT,那么频率为 f=Δf.K,(0≤K n=0N−1 因为f(nT)为离散值,将它记为Fn,并互换n,K,于是DFT为 N−1K=0 An=∑Fke−i2πnK/Nn=0,1,.....,N−1 (4-21) 离散傅里叶逆变换(IDFT)可以从(3-2)式获得,其表达式为 1N−1 Fn=∑Anei2πnK/N,K=0,1,.....,N−1 (4-22) NK=0从(4-21),(4-22)式可见,离散信号可以通过DFT和IDFT实现时域和频域的相互转换,这种转换就为近代数字化频谱分析和数字化波形的时间合成奠定了基础.数字化处理方式与模拟处理方式相比较具有许多优点,如稳定性、抗干扰性、通用性、高精度和小型化等.但是,要使DFT[11]符合实际应用,还必须解决“实时性”和“经济型”的问题.FFT的出现,有效地解决了信号实时分析的问题,经济性的问题也在不断改进,特别是由于数字电路和大规模集成电路的发展,低价格、高性能的FFT处理机已经大量涌现在各种科学技术和工程技术中. 4.2.2 信号去噪 其中一个比较典型的应用就是信号去躁 信号去噪[13]就是从含噪信号中滤除高频噪声.一般来说,在实际的工程应用中,有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号,而噪声信号通常表现为高频信号.所以应用傅里叶分析进行信号去噪的过程,其实就是经过离散傅里叶变换后在频域去除高频傅里叶系数的过程. 具体为：首先将含噪信号做傅里叶变换分解为不同频率的正弦波,然后使用阈 值处理将其中一些高频谐波的傅里叶系数化为零,最后再做傅里叶逆变换,就得到 了去除噪声的信号. 20 傅里叶变换及其应用 下面应用实例信号实现FFT的信号去噪： 例4.1：设原始信号由以下函数产生 y=e−cos(t)sin(3t)+4cos(5t)), 2 sin(t)sin(50t),现在目的是要其中0≤t≤2π,如图4-2.现在加入噪声s=0.3e 将这部分的高频噪声从该信号中滤除,信号在0≤t≤2π上首先离散化为28=256 ) 个等间隔的样值点,然后得到其离散傅里叶变换系数yk,k=0,1,...,255.由图4-3可 ) 知,噪声频率大于5（每2π为1个周期）.于是,可仅保留0≤k≤5时的yk,而 )) 6≤k≤128时yk为0.由定理3.1,当128≤k≤250时,yk=0.最后,对经过滤波后的 ) 系数yk,应用快速傅里叶逆变换,得到经过滤波后的复原信号.如图4-4所示 −cos(t2) 图4-2 原始信号 图4-3 未滤波的信号 21 傅里叶变换及其应用 图4-4 用FFT滤波后的信号 为了避免信号数据存储量过大,需要对信号进行压缩处理,也就是将信号的 主要信息保留,丢弃掉次要的信息.应用傅里叶分析进行信号压缩的过程,就是经 过离散傅里叶变换后去除较小傅里叶系数的过程.具体是：首先通过对信号做傅里 叶变换,然后使用阈值处理舍弃一定比例的最小的傅里叶系数,最后做傅里叶逆变 换,从而得到压缩后的信号. 压缩时修改的傅氏系数的个数 压缩比定义为,所以压缩比越大,那么保留的原信号 原信号的傅氏系数的个数 的信息就越少. 相对L误差的定义为： 原信号-压缩后的信号2 ,一般的,处理信号时,要求相对误差不大于相对L误差= 原信号1×10-2下面应用实例信号实现FFT的信号压缩： 2 例4.2：设原始信号由以下函数产生 y=e−t 2 /10 (sin(3t)+4cos(5t)+0.4sin(t)sin(50t)) 其中0≤t≤2π,如图4-5.先进行快速傅里叶变换,然后舍弃小的傅里叶系数,从而使得该信号得到压缩.信号在0≤t≤2π上首先离散化为28=255个等间隔的样值 )) 点,然后得到其离散傅里叶变换系数yk,k=0,1,...,255.令其中80%的系数yk为0（即 )y最小的80%个系数）,然后对新的k进行快速傅里叶逆变换,最后得到压缩后的信号,如图3-6所示.原信号与压缩信号之间的相对误差为： 22 傅里叶变换及其应用 相对误差= y−ycy =0.043861 同样可以得到压缩90%后的信号,如图4-7,相对误差为0.06255. (注意,由于傅里叶级数的部分和是周期性的,即在间断点处有小幅度的过冲和激荡,它是信号在间断点处不能均匀收敛的结果.) 图4-5 未压缩的信号 图4-6 FFT压缩80%后的信号 23 傅里叶变换及其应用 图4-7 用FFT压缩90%后的信号 由例子可以看出,对同一个信号用FFT进行压缩时,当压缩比越大,相对误差就越大,也即信号压缩后的效果越差. 24 傅里叶变换及其应用 第五章 工作总结及展望 5.1 总结 傅里叶变换是一种特殊的积分变换,它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.它通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究.在几乎所有利用傅里叶变换表示和分析物理过程的领域里都可以傅里叶变换的实部与虚部之间或者幅度和相位之间在某些情况下存在在一定的关系.限于本文的局限性,只列举了傅里叶变换在波动和热传导及频谱信号方面应用. 在传统的平稳信号分析及处理中,很多理论研究和应用研究都将傅里叶变换当作最基本的经典工具来使用.但是傅里叶变换存在严重的缺点:用傅里叶变换的方法提取信号频谱时,需要利用信号的全部时域信息,这是一种整体变换,缺少时域定位功能,小波变换的出现很好的解决了这一难题. 5.2 展望 目前傅里叶变换对于很多学科已经相当成熟,虽然对于傅里叶的研究不如刚诞生这种方法时那样的热切,但是傅里叶变换在各个科学中的作用和广泛的应用前景是不容置疑的,尤其是它在波动和信号周期处理了多方面具有坚实的基础性的地位.小波分析的发展弥补了傅里叶变换在信号处理方面的不足,两者之间相互支撑. 25 傅里叶变换及其应用 参考文献 [1](美)罗纳德.N.布雷斯韦尔(殷勤业,张建国,译),傅里叶变换及其应用[M],西安:西安交通大学 出版社 2005 203～383 [2](美)Elias M.Stein and Rami Shakarchi.,傅里叶分析导论[M] 兴界图书出版社 25～136 [3](美)Albert Boggess and Francis J.Narcowich.,小波分析与傅里叶分析基础[M] (芮国胜 康健 译),电子工业出版社 243～277 [4] 潘文杰,傅里叶分析及其应用[M],北京:北京大学出版社 2000 27～179 [5] 蒋长锦,蒋勇,快速傅里叶变换及其C程序[M],合肥:中国科学技术大学出版社 2004 54～178 [6] 冉启文,谭里英,小波分析与分数傅里叶变换及应用[M],北京:国防工业出版社 2002 150～209 [7] 冉其文,小波变换与分数傅里叶变换理论及应用[M],哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社 2002 18～25 [8] 冷建华,傅里叶变换[M],北京:清华大学出版社 2004 15～162 [9] 成礼智,郭汉伟,小波与离散变换理论及工程实践[M] ,清华大学出版社 35～100 [10] 刘翠,傅里叶分析与小波分析在信号处理中的应用[J],北京:北京石油化工学院 8～10 [11] 同向前,申炜,刘华伸,窗口傅里叶变换增量式算法及其在谐波检测中的应用[J],西安理工 大学工程系,陕西 西安 710048 1～4 [12] 徐小荣,傅里叶变换及其应用[J],长沙航空职业技术学院 138～140 [13] 祝向英,浅议傅里叶变换及其应用[J],烟台:烟台职业学院 264000 95～100 [14] 马耀庭,邵毅全,傅里叶变换在应用中的局限性及克服方法[J],内江:内江师范学院物理与 电子信息工程学院 641112 42～44 [15] 李凤砖,孙咸祥,凡勤,小波变换在电力系统间谐波分析中的应用[J], 乌鲁木齐:新脸大学 电气工程学院, 83000 1～4 26 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容