一元二次方程
1．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2016年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000 C．3000（1+x%）2=5000
D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
2．方程（x﹣2）2=9的解是（ ） A．x1=5，x2=﹣1 B．x1=﹣5，x2=1
C．x1=11，x2=﹣7 D．x1=﹣11，x2=7
3．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A．8人
B．9人 C．10人
D．11人
4．如果x=4是一元二次方程x2﹣3x=a2的一个根，那么常数a的值是（ ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4 5．方程x2=4x的解是（ ） A．x=4 B．x=2 C．x=4或x=0 D．x=0
6．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．55（1+x）2=35 B．35（1+x）2=55 C．55（1﹣x）2=35 D．35（1﹣x）2=55 7．方程x（x+2）=0的根是（ ） A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣2 8．方程x2=4x的解是 ．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0．
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足10．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0…①
（1）若x=﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由． 11．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0（m为实数），
1
D．x1=0，x2=2
，求a的值．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解．
12．刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往30千米外的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再赶往A镇参加救灾．一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路．已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时．
（1）若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到A镇？
（2）若需要二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几个小时？ （3）下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理图象的代号，并说明它们的实际意义． 13．某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：p=100﹣2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 14．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．
15．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
2
16．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
17．（1）解方程求出两个解x1、x2，并计算两个解的和与积，填人下表
方程 9x2﹣2=0 2x2﹣3x=0 x2﹣3x+2=0 关于x的方程ax2+bx+c=0 （a、b、c为常数， 且a≠0，b2﹣4ac≥0） （2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论．
x1 x2 x1+x2 x1•x2 3
一元二次方程
参考答案与试题解析
1．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2014年投入3000万元，预计2016年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000 C．3000（1+x%）2=5000
D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】增长率问题；压轴题．
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2014年投入3000万元，预计2016年投入5000万元”，可以分别用x表示2014以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：依题意得2016年投入为3000（1+x）2， ∴3000（1+x）2=5000． 故选A．
【点评】找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
2．方程（x﹣2）2=9的解是（ ） A．x1=5，x2=﹣1 B．x1=﹣5，x2=1
C．x1=11，x2=﹣7 D．x1=﹣11，x2=7
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】根据平方根的定义首先开方，求得x﹣2的值，进而求得x的值． 【解答】解：开方得，x﹣2=±3 解得x1=5，x2=﹣1． 故选A．
【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：
4
要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
3．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A．8人
B．9人 C．10人
D．11人
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】其他问题；压轴题．
【分析】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，如果设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染， 那么由题意可知1+x+x（1+x）=100， 整理得，x2+2x﹣99=0， 解得x=9或﹣11，
x=﹣11不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人． 故选B．
【点评】主要考查增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
4．如果x=4是一元二次方程x2﹣3x=a2的一个根，那么常数a的值是（ ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4 【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【解答】解：把x=4代入方程x2﹣3x=a2可得16﹣12=a2， 解得a=±2，
5
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
5．方程x2=4x的解是（ ） A．x=4 B．x=2 C．x=4或x=0 D．x=0 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题．
【分析】本题可先进行移项得到：x2﹣4x=0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．
【解答】解：原方程可化为：x2﹣4x=0，提取公因式：x（x﹣4）=0， ∴x=0或x=4． 故选：C．
【点评】本题考查了运用提取公因式的方法解一元二次方程的方法．
6．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．55（1+x）2=35 B．35（1+x）2=55 C．55（1﹣x）2=35 D．35（1﹣x）2=55 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】增长率问题．
【分析】如果设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格是55（1﹣x），再在这个数的基础上降价x，即可得到35元，可列出方程． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x， 则根据题意可列方程为：55（1﹣x）2=35； 故选C．
【点评】掌握好增长率问题的一般规律，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
7．方程x（x+2）=0的根是（ ） A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣2
D．x1=0，x2=2
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
6
【专题】压轴题；因式分解．
【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【解答】解：x（x+2）=0， ⇒x=0或x+2=0， 解得x1=0，x2=﹣2． 故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
8．方程x2=4x的解是 0或4 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】压轴题；因式分解．
【分析】此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．
【解答】解：原方程可化为：x2﹣4x=0， ∴x（x﹣4）=0 解得x=0或4； 故方程的解为：0，4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程两边公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0．
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足△=b2﹣4ac＞0，从而求出a的取值范围．
7
，求a的值．
（2）利用根与系数的关系，根据的值．
+=即可得到关于a的方程，从而求得a
【解答】解：（1）△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）=4+4a． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0．即4+4a＞0 解得a＞﹣1．
（2）由题意得：x1+x2=2，x1•x2=﹣a． ∵
， ．
∴a=3．
【点评】本题综合考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0…①
（1）若x=﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法． 【分析】（1）直接把x=﹣1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；
（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． 【解答】解：（1）因为x=﹣1是方程①的一个根， 所以1+m﹣2=0， 解得m=1，
∴方程为x2﹣x﹣2=0， 解得x1=﹣1，x2=2． 所以方程的另一根为x=2；
，
8
（2）∵b2﹣4ac=m2+8， 因为对于任意实数m，m2≥0， 所以m2+8＞0，
所以对于任意的实数m， 方程①有两个不相等的实数根．
【点评】本题主要是根据方程的解的定义求得未知系数，把判断一元二次方程的根的情况转化为根据判别式判断式子的值与0的大小关系的问题．
11．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0（m为实数）， （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解． 【考点】根的判别式；根与系数的关系． 【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）只要证得△=b2﹣4ac＞0，就说明方程有两个不相等的实数根． （2）方程的两根互为相反数，说明m+2=0，从而求得m的值，再代入原方程求出此时方程的解．
【解答】（1）证明：∵a=1，b=m+2，c=2m﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4 ∵（m﹣2）2≥0， ∴（m﹣2）2+4＞0 即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程两根互为相反数， ∴两根之和=﹣（m+2）=0， 解得m=﹣2
即当m=﹣2时，方程两根互为相反数． 当m=﹣2时，原方程化为：x2﹣5=0， 解得：x1=
，x2=﹣．
9
【点评】（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系： ①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； ②△=0⇔方程有两个相等的实数根； ③△＜0⇔方程没有实数根．
（2）解题时注意方程两根互为相反数，说明b=0．
12．刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往30千米外的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再赶往A镇参加救灾．一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路．已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时．
（1）若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到A镇？
（2）若需要二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几个小时？ （3）下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理图象的代号，并说明它们的实际意义． 【考点】一次函数的应用． 【专题】压轴题；开放型．
【分析】（1）根据题意可直接求出二分队赶到A镇的时间为2.5+0.5+5=8小时； （2）先求出一分队需要的时间是7小时，分两种情况考虑：①若二分队在塌方处需停留；②若二分队在塌方处不停留，经过讨论后舍去第一种取第二种情况即二分队应在营地休息1小时或2小时；
（3）根据实际题意可知合理的图象为（b），（d）． 【解答】解：（1）若二分队在营地不休息， 则a=0，速度为4千米/时，行至塌方处需因为一分队到塌方处并打通道路需要
（小时）， （小时），
10
故二分队在塌方处需停留0.5小时，所以二分队在营地不休息赶到A镇需
（小时）；
（2）一分队赶到A镇共需（小时）．
①若二分队在塌方处需停留，则后20千米需与一分队同行， 故4+a=5，则a=1，
这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；
②若二分队在塌方处不停留，则（4+a）（7﹣a）=30， 即a2﹣3a+2=0， 解得a1=1，a2=2．
经检验a1=1，a2=2均符合题意．
答：二分队应在营地休息1小时或2小时；
（3）合理的图象为（b），（d）． 理由是：
图象（b）表明二分队在营地休息时间过长（2＜a≤3），后于一分队赶到A镇； 图象（d）表明二分队在营地休息时间恰当（1＜a≤2），先于一分队赶到A镇．
【点评】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．
13．某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：p=100﹣2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】销售问题．
【分析】本题的等量关系是每件商品的利润×每天的销售量=每天的总利润．依据这个等量关系可求出商品的售价，然后代入p与x的关系式中求出p的值． 【解答】解：设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件． 根据题意得：（x﹣30）（100﹣2x）=200， 整理得：x2﹣80x+1600=0， ∴（x﹣40）2=0， ∴x1=x2=40 ∴p=100﹣2x=20；
故，每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
14．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题．
【分析】本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为： （矩形图案的长+两个花边的宽）×（矩形图案的宽+两个花边的宽）=地毯的面积． 【解答】解：设花边的宽为x米， 根据题意得（2x+6）（2x+3）=40， 解得x1=1，x2=﹣x2=﹣
，
不合题意，舍去．
答：花边的宽为1米．
【点评】本题可根据关键语句和等量关系列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍
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去不合题意的解．
15．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】本题可设无盖长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米，根据刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案． 【解答】解：设长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米． 依题意，有x（x+2）×1=15． 整理，得x2+2x﹣15=0， 解得x1=﹣5（舍去），x2=3，
∴这种运动箱底部长为5米，宽为3米． 由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为 （5+2）×（3+2）=35
∴做一个这样的运动箱要花35×20=700（元）． 答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元
【点评】题目考查的知识点比较多，但难度不大，同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积，即表面展开图的面积，并非体积．
16．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
13
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题．
【分析】（1）边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．
（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可． 【解答】解：（1）ab﹣4x2；
（2）依题意有：ab﹣4x2=4x2， 将a=6，b=4，代入上式，得x2=3， 解得x1=
，x2=﹣
（舍去）．
即正方形的边长为
【点评】本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性． 依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解．
17．（1）解方程求出两个解x1、x2，并计算两个解的和与积，填人下表
方程 9x2﹣2=0 2x2﹣3x=0 x2﹣3x+2=0 关于x的方程ax2+bx+c=0 （a、b、c为常数， 且a≠0，b2﹣4ac≥0） （2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论．
【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】压轴题；阅读型．
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x1 x2 x1+x2 x1•x2
【分析】（1）能够熟练运用直接开平方法、因式分解法解方程，再进一步求两根之和与两根之积；
（2）根据（1）中的第四行的结论，推广到一般进行总结． 【解答】解：（1）如下表：
（2）已知：x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根， 那么，
方程 9x2﹣2=0 2x2﹣3x=0 x2﹣3x+2=0 关于x的方程ax2+bx+c=0 （a、b、c为常数， 且a≠0，b2﹣4ac≥0） 【点评】熟悉一元二次方程根与系数的关系的猜想过程与证明过程．
，
．
x1 x2 x1+x2 0 x1•x2 0 1 0 2 2 3 15
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