课后知识题目解析

第十三章 热力学基础

13 －1 如图所示，bca 为理想气体绝热过程，b1a 和b2a 是任意过程，则上述两过程中气体作功与吸收热量的情况是( ) (A) b1a 过程放热，作负功；b2a 过程放热，作负功 (B) b1a 过程吸热，作负功；b2a 过程放热，作负功 (C) b1a 过程吸热，作正功；b2a 过程吸热，作负功 (D) b1a 过程放热，作正功；b2a 过程吸热，作正功

分析与解 bca，b1a 和b2a 均是外界压缩系统，由WpdV知系统经

这三个过程均作负功，因而(C)、(D)不对.理想气体的内能是温度的单值函数，因此三个过程初末态内能变化相等，设为ΔE.对绝热过程bca，由热力学第一定律知ΔE ＝－Wbca.另外，由图可知：｜Wb2a｜＞｜Wbca｜＞｜Wb1a ｜，则Wb2a ＜Wbca＜Wb1a.对b1a 过程：Q ＝ΔE ＋Wb1a ＞ΔE ＋Wbca ＝0 是吸热过程.而对b2a 过程：Q ＝ΔE ＋Wb2a＜ΔE ＋Wbca ＝0 是放热过程.可见(A)不对，正确的是(B).

13 －2 如图，一定量的理想气体，由平衡态A 变到平衡态B，且它们的

_

压强相等，即pA ＝pB,请问在状态A和状态B之间，气体无论经过的是什么过程，气体必然( )

(A) 对外作正功 (B) 内能增加 (C) 从外界吸热 (D) 向外界放热

分析与解 由p－V 图可知，pAVA＜pBVB ，即知TA＜TB ，则对一定量理想气体必有EB＞EA .即气体由状态A 变化到状态B,内能必增加.而作功、热传递是过程量，将与具体过程有关.所以(A)、(C)、(D)不是必然结果，只有(B)正确.

13 －3 两个相同的刚性容器，一个盛有氢气，一个盛氦气(均视为刚性分子理想气体).开始时它们的压强和温度都相同，现将3J热量传给氦气，使之升高到一定的温度.若使氢气也升高同样的温度，则应向氢气传递热量为( )

(A) 6J (B) 3 J (C) 5 J (D) 10 J

分析与解 当容器体积不变，即为等体过程时系统不作功，根据热力学第一定律Q ＝ΔE ＋W，有Q ＝ΔE.而由理想气体内能公式ΔE可知欲使氢气和氦气升高相同温度，须传递的热量

miRΔT，M2 _

mH2mHeQH2:QHeiH2/iHe.再由理想气体物态方程pV ＝mM MHMH2eRT，初始时，氢气和氦气是具有相同的温度、压强和体积，因而物质的量

相同，则QH2:QHeiH2/iHe5/3.因此正确答案为(C).

13 －4 有人想像了四个理想气体的循环过程，则在理论上可以实现的为( )

分析与解 由绝热过程方程pVγ ＝常量，以及等温过程方程pV ＝常量，可知绝热线比等温线要陡，所以(A)过程不对，(B)、(C)过程中都有两条绝热线相交于一点，这是不可能的.而且(B)过程的循环表明系统从单一热源吸热且不引起外界变化，使之全部变成有用功，违反了热力学第二定律.因此只

_

有(D)正确.

13 －5 一台工作于温度分别为327 ℃和27 ℃的高温热源与低温源之间的卡诺热机，每经历一个循环吸热2 000 J，则对外作功( ) (A) 2 000J (B) 1 000J (C) 4 000J (D) 500J

分析与解 热机循环效率η＝W /Q吸，对卡诺机，其循环效率又可表为：η＝1－T2 /T1 ，则由W /Q吸＝1 －T2 /T1 可求答案.正确答案为(B). 13 －6 根据热力学第二定律( ) (A) 自然界中的一切自发过程都是不可逆的 (B) 不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程

(C) 热量可以从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体 (D) 任何过程总是沿着熵增加的方向进行

分析与解 对选项(B)：不可逆过程应是指在不引起其他变化的条件下，不能使逆过程重复正过程的每一状态，或者虽然重复但必然会引起其他变化的过程.对选项(C)：应是热量不可能从低温物体自动传到高温物体而不引起外界的变化.对选项(D)：缺少了在孤立系统中这一前提条件.只有选项(A)正确. 13 －7 位于委内瑞拉的安赫尔瀑布是世界上落差最大的瀑布，它高979m.如果在水下落的过程中，重力对它所作的功中有50％转换为热量使水温升高，求水由瀑布顶部落到底部而产生的温差.( 水的比热容c为4.18×103 J·kg

－1·K－1 )

分析 取质量为m 的水作为研究对象，水从瀑布顶部下落到底部过程中重力作功W ＝mgh，按题意，被水吸收的热量Q ＝0.5W，则水吸收热量后升高的温度可由Q ＝mcΔT 求得.

_

解 由上述分析得

mcΔT＝0.5mgh 水下落后升高的温度

ΔT ＝0.5gh/c ＝1.15K

13 －8 如图所示，一定量的空气，开始在状态A，其压强为2.0×105Pa，体积为2.0 ×10－3m3 ，沿直线AB 变化到状态B后，压强变为1.0 ×105Pa，体积变为3.0 ×10－3m3 ，求此过程中气体所作的功.

分析 理想气体作功的表达式为W中过程曲线下所对应的面积. 解 SABCD ＝1/2(BC ＋AD)×CD 故 W ＝150 J

13 －9 汽缸内储有2.0mol 的空气，温度为27 ℃，若维持压强不变，而使空气的体积膨胀到原体积的3s倍，求空气膨胀时所作的功. 分析 本题是等压膨胀过程，气体作功W强p 可通过物态方程求得.

pVdV.功的数值就等于p－V 图

V2V1pdVpV2V1，其中压

_

解 根据物态方程pV1vRT1,汽缸内气体的压强pvRT1/V1 ，则作功为

WpV2V1vRT1V2V1/V12vRT19.97103J

13 －10 一定量的空气，吸收了1.71×103J的热量，并保持在1.0 ×105Pa下膨胀，体积从1.0×10－2m3 增加到1.5×10－2m3 ，问空气对外作了多少功？ 它的内能改变了多少？

分析 由于气体作等压膨胀，气体作功可直接由W ＝p(V2 －V1 )求得.取该空气为系统，根据热力学第一定律Q ＝ΔE ＋W 可确定它的内能变化.在计算过程中要注意热量、功、内能的正负取值. 解 该空气等压膨胀，对外作功为

W ＝p(V2－V1 )＝5.0 ×102J

其内能的改变为

Q ＝ΔE ＋W＝1.21 ×103J

13 －11 0.1kg 的水蒸气自120 ℃加热升温到140℃，问(1) 在等体过程中；(2) 在等压过程中，各吸收了多少热量？ 根据实验测定，已知水蒸气的摩尔定压热容Cp,m ＝36.21J·mol-1·K-1，摩尔定容热容CV,m ＝27.82J·mol-1·K-1.

分析 由量热学知热量的计算公式为QvCmΔT.按热力学第一定律，在等体过程中，QVΔEvCV,mΔT；在等压过程中，

QppdVΔEvCp,mΔT.

解 (1) 在等体过程中吸收的热量为

QVΔEmCV,mΔT3.1103J M _

(2) 在等压过程中吸收的热量为

QppdVΔEmCp,mT2T14.0103J M13 －12 如图所示，在绝热壁的汽缸内盛有1mol 的氮气，活塞外为大气，氮气的压强为1.51 ×105 Pa，活塞面积为0.02m2 .从汽缸底部加热，使活塞缓慢上升了0.5m.问(1) 气体经历了什么过程？ (2) 汽缸中的气体吸收了多少热量？ (根据实验测定，已知氮气的摩尔定压热容Cp，m ＝29.12J·mol－1·K－1，摩尔定容热容CV,m ＝20.80J·mol-1·K-1 )

分析 因活塞可以自由移动，活塞对气体的作用力始终为大气压力和活塞重力之和.容器内气体压强将保持不变.对等压过程，吸热QpvCp,mΔT.ΔT 可由理想气体物态方程求出.

解 (1) 由分析可知气体经历了等压膨胀过程.

(2) 吸热QpvCp,mΔT.其中ν ＝1 mol，Cp,m ＝29.12Ｊ·mol－1·Ｋ－1.由理想气体物态方程pV ＝νRT，得

ΔT ＝(p2V2 －p1 V1 )/R ＝p(V2 －V1 )/R ＝p· S· Δl/R 则 QpCp,mpSΔSΔl5.2910J

313 －13 一压强为1.0 ×105Pa,体积为1.0×10－3m3的氧气自0℃加热到

_

100 ℃.问：(1) 当压强不变时，需要多少热量?当体积不变时，需要多少热量?(2) 在等压或等体过程中各作了多少功?

分析 (1) 求Qp 和QV 的方法与题13-11相同.(2) 求过程的作功通常有两个途径.① 利用公式WpVdV；② 利用热力学第一定律去求解.在本

题中，热量Q 已求出，而内能变化可由QVΔEvCV,mT2T1得到.从而可求得功W.

解 根据题给初态条件得氧气的物质的量为

vmp1V1/RT14.41102mol M氧气的摩尔定压热容Cp,m(1) 求Qp 、QV

等压过程氧气(系统)吸热

75R，摩尔定容热容CV,mR. 22QppdVΔEvCp,mT2T1128.1J

等体过程氧气(系统)吸热

QVΔEvCV,mT2T191.5J

(2) 按分析中的两种方法求作功值 解1

① 利用公式WpVdV求解.在等压过程中，

dWpdVmRdT，则得 MWpdWT2T1mRdT36.6J M而在等体过程中，因气体的体积不变，故作功为

_

WVpVdV0

② 利用热力学第一定律Q ＝ΔE ＋W 求解.氧气的内能变化为

QVΔEmCV,mT2T191.5J M 由于在(1) 中已求出Qp 与QV ，则由热力学第一定律可得在等压过程、等体过程中所作的功分别为

WpQpΔE36.6J

WVQVΔE0

13 －14 如图所示，系统从状态A沿ABC 变化到状态C的过程中，外界有326J的热量传递给系统，同时系统对外作功126J.当系统从状态C沿另一曲线CA返回到状态A时，外界对系统作功为52J，则此过程中系统是吸热还是放热？传递热量是多少？

分析 已知系统从状态C 到状态A，外界对系统作功为WCA ，如果再能知道此过程中内能的变化ΔEAC ，则由热力学第一定律即可求得该过程中系统传递的热量QCA .由于理想气体的内能是状态(温度)的函数，利用题中给出的ABC 过程吸热、作功的情况，由热力学第一定律即可求得由A至C过程中系

_

统内能的变化ΔEAC，而ΔEAC＝－ΔEAC ，故可求得QCA . 解 系统经ABC 过程所吸收的热量及对外所作的功分别为

QABC ＝326J， WABC ＝126J

则由热力学第一定律可得由A 到C 过程中系统内能的增量

ΔEAC＝QABC－WABC＝200J

由此可得从C 到A，系统内能的增量为

ΔECA＝－200J

从C 到A，系统所吸收的热量为

QCA ＝ΔECA ＋WCA ＝－252J

式中负号表示系统向外界放热252 J.这里要说明的是由于CA是一未知过程，上述求出的放热是过程的总效果，而对其中每一微小过程来讲并不一定都是放热.

13 －15 如图所示，一定量的理想气体经历ACB过程时吸热700J，则经历ACBDA 过程时吸热又为多少？

分析 从图中可见ACBDA过程是一个循环过程.由于理想气体系统经历一

_

个循环的内能变化为零，故根据热力学第一定律，循环系统净吸热即为外界对系统所作的净功.为了求得该循环过程中所作的功，可将ACBDA循环过程分成ACB、BD及DA三个过程讨论.其中BD 及DA分别为等体和等压过程，过程中所作的功按定义很容易求得；而ACB过程中所作的功可根据上题同样的方法利用热力学第一定律去求.

解 由图中数据有pAVA ＝pBVB,则A、B两状态温度相同，故ACB过程内能的变化ΔECAB ＝0，由热力学第一定律可得系统对外界作功

WCAB ＝QCAB－ΔECAB＝QCAB ＝700J

在等体过程BD 及等压过程DA 中气体作功分别为

WBDpVdV0

WDApdVPAV2V11200J

则在循环过程ACBDA 中系统所作的总功为

WWACBWBDWDA500J

负号表示外界对系统作功.由热力学第一定律可得，系统在循环中吸收的总热量为

QW500J

负号表示在此过程中，热量传递的总效果为放热.

13 －16 在温度不是很低的情况下，许多物质的摩尔定压热容都可以用下式表示

Cp,ma2bTcT2

式中a、b 和c 是常量，T 是热力学温度.求：(1) 在恒定压强下，1 mol 物

_

质的温度从T1升高到T2时需要的热量；(2) 在温度T1 和T2 之间的平均摩尔热容；(3) 对镁这种物质来说，若Cp，m的单位为J·mol－1·K－1，则a＝25.7J·mol-1·Ｋ-1 ，b＝3.13 ×10-3J·mol-1·Ｋ-2，c＝3.27 ×105J·mol－1·K.计算镁在300Ｋ时的摩尔定压热容Cp,m，以及在200Ｋ和400Ｋ之间Cp,m的平均值.

分析 由题目知摩尔定压热容Cp,m 随温度变化的函数关系，则根据积分式

QpCp,mdT即可求得在恒定压强下，1mol 物质从T1 升高到T2所吸收

T1T2的热量Qp .故温度在T1 至T2之间的平均摩尔热容Cp,mQp/T2T1. 解 (1) 11 mol 物质从T1 升高到T2时吸热为

QpCp,mdT21a2bTcTdT

aTTbTTcTTT22T122211211 (2) 在T1 和T2 间的平均摩尔热容为

Cp,mQp/T2T1aT2Tc/T1T2

(3) 镁在T ＝300 K 时的摩尔定压热容为

Cp,ma2bTcT223.9Jmol-1K-1

镁在200 K 和400 K 之间Cp，m 的平均值为

Cp,maT2T1c/T1T223.5Jmol-1K-1

13 －17 空气由压强为1.52×105 Pa，体积为5.0×10－3m3 ，等温膨胀到压强为1.01×105 Pa，然后再经等压压缩到原来的体积.试计算空气所作的功.

解 空气在等温膨胀过程中所作的功为

_

WTmRT1lnV2/V1p1V1lnp1/p2 M空气在等压压缩过程中所作的功为

WpdVpV2V1

利用等温过程关系p1 V1 ＝p2 V2 ，则空气在整个过程中所作的功为

WWpWTp1V1lnp1/p2p2V1p1V155.7J

13 －18 如图所示，使1mol 氧气(1) 由A 等温地变到B；(2) 由A 等体地变到C，再由C 等压地变到B.试分别计算氧气所作的功和吸收的热量.

分析 从p －V 图(也称示功图)上可以看出，氧气在AB 与ACB 两个过程中所作的功是不同的，其大小可通过WpVdV求出.考虑到内能是状态

的函数，其变化值与过程无关，所以这两个不同过程的内能变化是相同的，而且因初、末状态温度相同TA ＝TB ，故ΔE ＝0，利用热力学第一定律Q ＝

W ＋ΔE，可求出每一过程所吸收的热量.

解 (1) 沿AB 作等温膨胀的过程中，系统作功

WABmRT1lnVB/VApAVBlnVB/VA2.77103J M _

由分析可知在等温过程中，氧气吸收的热量为

QAB＝WAB＝2.77 ×103Ｊ

(2) 沿A 到C 再到B 的过程中系统作功和吸热分别为

WACB＝WAC＋WCB＝WCB＝pC (VB －VC )＝2.0×103Ｊ

QACB＝WACB＝2.0×103 Ｊ

13 －19 将体积为1.0 ×10-4m3 、压强为1.01×105Pa 的氢气绝热压缩，使其体积变为2.0 ×10-5 m3 ，求压缩过程中气体所作的功.(氢气的摩尔定压热容与摩尔定容热容比值γ＝1.41)

分析 可采用题13－13 中气体作功的两种计算方法.(1) 气体作功可由积分WpVC 得出.(2)求解，其中函数p(V)可通过绝热过程方程pdV因为过程是绝热的，故Q＝0，因此，有W＝－ΔE；而系统内能的变化可由系统的始末状态求出.

解 根据上述分析，这里采用方法(1)求解,方法(2)留给读者试解.设p、V分别为绝热过程中任一状态的压强和体积，则由p1V1pV得

γγpp1V1γVγ

氢气绝热压缩作功为

WpdVV2V1p1V1pVVdVV2V123.0J

1γV2γ11γ13 －20 试验用的火炮炮筒长为3.66 m，内膛直径为0.152 m，炮弹质量为45.4kg，击发后火药爆燃完全时炮弹已被推行0.98 m，速度为311 m·s-1 ，这时膛内气体压强为2.43×108Pa.设此后膛内气体做绝热膨胀，直到炮弹出口.求(1) 在这一绝热膨胀过程中气体对炮弹作功多少？设摩尔定

_

压热容与摩尔定容热容比值为1.2.(2) 炮弹的出口速度(忽略摩擦). 分析 (1) 气体绝热膨胀作功可由公式WpdVp1V1p2V2计算.由

γ1题中条件可知绝热膨胀前后气体的体积V1和V2，因此只要通过绝热过程方程p1V1p2V2求出绝热膨胀后气体的压强就可求出作功值.(2) 在忽略摩擦的情况下，可认为气体所作的功全部用来增加炮弹的动能.由此可得到炮弹速度.

解 由题设l＝3.66 m,D＝0.152 m，m＝45.4 kg，l1＝0.98 m，v1＝311 m·s-1 ，p1 ＝2.43×108Pa，γ＝1.2. (1) 炮弹出口时气体压强为

γγp2p1V1/V2p1l1/l5.00107Pa

γγ气体作功

p1V1p2V2p1l1p2l2πD2WpdV5.00106J

γ1γ14(2) 根据分析W1212mvmv1，则 222v2W/mv1563ms-1

13 －21 1mol 氢气在温度为300Ｋ，体积为0.025m3 的状态下，经过(1)等压膨胀，(2)等温膨胀，(3)绝热膨胀.气体的体积都变为原来的两倍.试分别计算这三种过程中氢气对外作的功以及吸收的热量.

_

分析 这三个过程是教材中重点讨论的过程.在p －V 图上，它们的过程曲线如图所示.由图可知过程(1 ) 作功最多， 过程( 3 ) 作功最少.温度TB ＞TC ＞TD ，而过程(3) 是绝热过程，因此过程(1)和(2)均吸热，且过程(1)吸热多.具体计算时只需直接代有关公式即可. 解 (1) 等压膨胀

WppAVBVAvRTAVBVARTA2.49103J VAQpWpΔEvCp,mTBTAvCp,mTA(2) 等温膨胀

7RTA8.73103J 2WTvRTlnVC/VARTAln21.73103J

对等温过程ΔE＝0，所以QTWT1.7310J

3(3) 绝热膨胀

TD＝TA (VA ／VD )γ－1＝300 ×(0.5)0.4＝227.4Ｋ

对绝热过程Qa0，则有

_

WaΔEvCV,mTATD5RTATD1.51103J 213 －22 绝热汽缸被一不导热的隔板均分成体积相等的A、B 两室，隔板可无摩擦地平移，如图所示.A、B 中各有1mol 氮气，它们的温度都是T0 ，体积都是V0 .现用A 室中的电热丝对气体加热，平衡后A 室体积为B 室的两倍，试求(1) 此时A、B 两室气体的温度；(2) A 中气体吸收的热量.

分析 (1) B 室中气体经历的是一个绝热压缩过程，遵循绝热方程TVγ－1 ＝常数，由此可求出B 中气体的末态温度TB .又由于A、B 两室中隔板可无摩擦平移，故A、B 两室等压.则由物态方程pVA ＝νRTA 和pVB ＝νRTB 可知TA ＝2TB .

(2) 欲求A 室中气体吸收的热量，我们可以有两种方法.方法一：视A、B为整体，那么系统(汽缸)对外不作功，吸收的热量等于系统内能的增量.即QA ＝ΔEA＋ΔEB.方法二：A室吸热一方面提高其内能ΔEA，另外对“外界”B室作功WA.而对B室而言，由于是绝热的，“外界” 对它作的功就全部用于提高系统的内能ΔEB.因而在数值上WA＝ΔEB.同样得到QA ＝ΔEA ＋ΔEB. 解 设平衡后A、B 中气体的温度、体积分别为TA ，TB和VA ，VB .而由分析知压强pA＝pB＝p.由题已知VA4V0/3VA2VB，得

VV2VV2V/3B00AB _

γ1γ1(1) 根据分析，对B 室有V0T0VBTB

得 TBV0/VBγ1T01.176T0；TATB2.353T0

5RTAT05RTBT031.7T0 22(2) QAΔEAΔEA13－23 0.32 kg的氧气作如图所示的ABCDA循环，V2 ＝2V1 ,T1＝300Ｋ，T2＝200Ｋ,求循环效率.

分析 该循环是正循环.循环效率可根据定义式η＝W/Q 来求出，其中W表示一个循环过程系统作的净功，Q 为循环过程系统吸收的总热量. 解 根据分析，因AB、CD 为等温过程，循环过程中系统作的净功为

WWABWCDmRT1lnV1/V2MmRT1T2lnV1/V25.76103JM

由于吸热过程仅在等温膨胀(对应于AB段)和等体升压(对应于DA段)中

_

发生,而等温过程中ΔE＝0,则QABWAB.等体升压过程中W＝0，则

QDAΔEDA,所以，循环过程中系统吸热的总量为

QQABQDAWABΔEDAmRT1lnV2/V1MmRT1lnV2/V1M3.81104J由此得到该循环的效率为

mCV,mT1T2M

m5RT1T2M2ηW/Q15%

13 －24 图(ａ)是某单原子理想气体循环过程的V－T 图，图中VC ＝2VA .试问：(1) 图中所示循环是代表制冷机还是热机？ (2) 如是正循环(热机循环)，求出其循环效率.

分析 以正、逆循环来区分热机和制冷机是针对p－V 图中循环曲线行进方向而言的.因此，对图(ａ)中的循环进行分析时，一般要先将其转换为p－V图.转换方法主要是通过找每一过程的特殊点，并利用理想气体物态方程来完成.由图(ａ)可以看出，BC 为等体降温过程，CA 为等温压缩过程；而对

_

AB 过程的分析，可以依据图中直线过原点来判别.其直线方程为V ＝CT，

C 为常数.将其与理想气体物态方程pV ＝m/MRT 比较可知该过程为等压

膨胀过程(注意：如果直线不过原点，就不是等压过程).这样，就可得出p－V 图中的过程曲线，并可判别是正循环(热机循环)还是逆循环(制冷机循环)，

再参考题13－23的方法求出循环效率.

解 (1) 根据分析，将V－T 图转换为相应的p－V图，如图(ｂ)所示.图中曲线行进方向是正循环，即为热机循环.

(2) 根据得到的p－V 图可知，AB 为等压膨胀过程，为吸热过程.BC 为等体降压过程，CA 为等温压缩过程，均为放热过程.故系统在循环过程中吸收和放出的热量分别为

Q1Q2mCp,mTBTA MmmCV,mTBTARTAlnVC/VA MMCA 为等温线，有TA＝TC ；AB 为等压线，且因VC＝2VA ，则有TA ＝TB /2.对单原子理想气体，其摩尔定压热容Cp，m ＝5R/2，摩尔定容热容CV，m ＝3R/2.故循环效率为

2η1Q2/Q11TATAln2/5TA/2132ln2/512/3

313 －25 一卡诺热机的低温热源温度为7℃，效率为40％，若要将其效率提高到50％，问高温热源的温度需提高多少？ 解 设高温热源的温度分别为T1、T1,则有

η1T2/T1， η1T2/T1

_

其中T2 为低温热源温度.由上述两式可得高温热源需提高的温度为

11ΔTT1T11η1ηT293.3K

13 －26 一定量的理想气体，经历如图所示的循环过程.其中AB 和CD 是等压过程，BC和DA是绝热过程.已知B点温度TB＝T1,C点温度TC＝T2.(1) 证明该热机的效率η＝1－T2/T1 ，(2) 这个循环是卡诺循环吗？

分析 首先分析判断循环中各过程的吸热、放热情况.BC 和DA 是绝热过程，故QBC、QDA均为零；而AB为等压膨胀过程(吸热)、CD为等压压缩过程(放热)，这两个过程所吸收和放出的热量均可由相关的温度表示.再利用绝热和等压的过程方程，建立四点温度之间的联系，最终可得到求证的形式. 证 (1) 根据分析可知

mCp,mTDTCQCDTTDMη111CmQABTBTACp,mTBTA (1) MTTDTA1C11T/TBTCB _

与求证的结果比较，只需证得列出过程方程如下

TDTA .为此，对AB、CD、BC、DA 分别TCTBVA /TA ＝VB /TB (2) VC /TC ＝VD /TD (3)

VBγ1TBVCγ1TC (4)

γ1VDTDVAγ1TA (5)

联立求解上述各式，可证得

η＝1－TC/TB＝1－T2/T1

(2) 虽然该循环效率的表达式与卡诺循环相似，但并不是卡诺循环.其原因是：① 卡诺循环是由两条绝热线和两条等温线构成,而这个循环则与卡诺循环不同；② 式中T1、T2的含意不同，本题中T1、T2只是温度变化中两特定点的温度，不是两等温热源的恒定温度.

13 －27 一小型热电厂内，一台利用地热发电的热机工作于温度为227℃的地下热源和温度为27℃的地表之间.假定该热机每小时能从地下热源获取1.8 ×1011Ｊ的热量.试从理论上计算其最大功率为多少？

分析 热机必须工作在最高的循环效率时，才能获取最大的功率.由卡诺定理可知，在高温热源T1和低温热源T2之间工作的可逆卡诺热机的效率最高，其效率为η＝1－T2/T1 .由于已知热机在确定的时间内吸取的热量，故由效率与功率的关系式ηW/Qpt/Q，可得此条件下的最大功率. 解 根据分析，热机获得的最大功率为

pηQ/t1T2/T1Q/t2.0107Js-1

_

13 －28 有一以理想气体为工作物质的热机，其循环如图所示，试证明热

η1γV1/V21

p1/p21分析 该热机由三个过程组成，图中AB是绝热过程，BC是等压压缩过程，CA是等体升压过程.其中CA过程系统吸热，BC过程系统放热.本题可从效率定义η1Q2/Q11QBC/QCA出发,利用热力学第一定律和等体、等压方程以及γ＝Cp,m 桙CV,m的关系来证明.

证 该热机循环的效率为

η1Q2/Q11QBC/QCA

其中QBC ＝m/MCp,m (TC－TB )，QCA ＝m/MCV,m (TA－TC )，则上式可写为

TCTBT/T1 η1γ1γBCTATCTA/TC1在等压过程BC 和等体过程CA 中分别有TB/V1 ＝TC/V2,TA/P1 ＝TC /P2,代入上式得

_

η1γV1/V21 p1/p2113 －29 如图所示为理想的狄赛尔(Diesel)内燃机循环过程,它由两绝热线AB、CD和等压线BC及等体线DA组成.试证此内燃机的效率为

γV3/V21 η1γ1γV1/V2V3/V21

证 求证方法与题13－28相似.由于该循环仅在DA过程中放热、BC过程中吸热，则热机效率为

η1QDA/QBC1TDTAγTCTBγ1mCV,mTDTAM1mCp,mTCTB (1) M1在绝热过程AB中，有TAV1TBV2γ1，即 TB/TAV1/V2γ1 (2)

在等压过程BC中，有TC/V3TB/V2，即

_

TC/TBV3/V2 (3)

再利用绝热过程CD,得

TDV1γ1TCV3γ1 (4)

解上述各式，可证得

γV3/V21 η1γ1γV1/V2V3/V2113 －30 如图所示，将两部卡诺热机连接起来，使从一个热机输出的热量，输入到另一个热机中去.设第一个热机工作在温度为T1和T2的两热源之间，其效率为η1 ，而第二个热机工作在温度为T2 和T3 的两热源之间，其效率为η2.如组合热机的总效率以η＝(W1 ＋W2 )/Q1 表示.试证总效率表达式为

η＝(1 －η1 )η2 ＋η1 或 η＝1 －T3/T1

分析 按效率定义，两热机单独的效率分别为η1＝W1 /Q1和η2＝W2 /Q2，其中W1 ＝Q1－Q2 ，W2 ＝Q2－Q3 .第一个等式的证明可采用两种方法：(1) 从等式右侧出发，将η1 、η2 的上述表达式代入，即可得证.读者可以一试.(2) 从等式左侧的组合热机效率η＝(W1 ＋W2 )/Q1出发，利用η1、η2的表达式，即可证明.由于卡诺热机的效率只取决于两热源的温度，故只需分

_

别将两个卡诺热机的效率表达式η1＝1－T2 /T1 和η2＝1－T3 /T2 代入第一个等式，即可得到第二个等式.

证 按分析中所述方法(2) 求证.因η1＝W1 /Q1 、η2＝W2 /Q2 ，则组合热机效率

ηW1W2W1W2Qη1η22 (1) Q1Q1Q1Q1以Q2 ＝Q1－W1 代入式(1) ，可证得

η＝η1 ＋η2 (1－η1 ) (2)

将η1＝1－T2 /T1 和η2＝1－T3 /T2代入式(2)，亦可证得

η＝1－T2 /T1 ＋(1－T3 /T2 )T2 /T1 ＝1－T3 /T1

13 －31 在夏季，假定室外温度恒定为37℃，启动空调使室内温度始终保持在17 ℃.如果每天有2.51 ×108 J 的热量通过热传导等方式自室外流入室内，则空调一天耗电多少？ (设该空调制冷机的制冷系数为同条件下的卡诺制冷机制冷系数的60％)

_

分析 耗电量的单位为kW·h，1kW·h＝3.6 ×106J.图示是空调的工作过程示意图.因为卡诺制冷机的制冷系数为ekT2，其中T1为高温热源温度

T1T2(室外环境温度)，T2为低温热源温度(室内温度).所以，空调的制冷系数为

e ＝ek· 60％ ＝0.6 T2/( T1 －T2 )

另一方面，由制冷系数的定义，有

e＝Q2 /(Q1 －Q2 )

其中Q1为空调传递给高温热源的热量，即空调向室外排放的总热量；Q2是空调从房间内吸取的总热量.若Q′为室外传进室内的热量，则在热平衡时Q2＝Q′.由此，就可以求出空调的耗电作功总值W＝Q1－Q2 . 解 根据上述分析，空调的制冷系数为

_

eT260%8.7

T1T2 在室内温度恒定时，有Q2＝Q′.由e＝Q2 /(Q1－Q2 )可得空调运行一天所耗电功

W＝Q1－Q2＝Q2/e＝Q′/e＝2.89×107＝8.0 kW·h

13 －32 一定量的理想气体进行如图所示的逆向斯特林循环(回热式制冷机中的工作循环)，其中1→2为等温(T1 )压缩过程，3→4为等温(T2 )膨胀过程，其他两过程为等体过程.求证此循环的制冷系数和逆向卡诺循环制冷系数相等.(这一循环是回热式制冷机中的工作循环，具有较好的制冷效果.4→1过程从热库吸收的热量在2→3过程中又放回给了热库，故均不计入循环系数计算.)

证明 1→2 过程气体放热

Q1vRT1ln 3→4 过程气体吸热

V1 V2 _

Q2vRT2lnV1 V2则制冷系数 e＝Q2 /(Q1－Q2 )= T2/( T1－T2 ). 与逆向卡诺循环的制冷系数相同.

13 －33 物质的量为ν的理想气体，其摩尔定容热容CV,m＝3R/2，从状态A(pA，VA，TA )分别经如图所示的ADB过程和ACB过程，到达状态B(pB，

VB，TB).试问在这两个过程中气体的熵变各为多少？ 图中AD为等温线.

分析 熵是热力学的状态函数，状态A与B之间的熵变ΔSAB不会因路径的不同而改变.此外，ADB与ACB过程均由两个子过程组成.总的熵变应等于各子过程熵变之和，即ΔSABΔSADΔSDB或ΔSABΔSACΔSCB. 解 (1) ADB过程的熵变为

ΔSABΔSADΔSDBdQT/TdQP/TADDBdWT/TvCp,mdT/TADDB (1)

vRlnVD/VAvCp,mlnTB/TD _

在等温过程AD中，有TD＝TA；等压过程DB中，有VB /TB＝VD /TD ；而Cp，m＝CV，m＋R， 故式(1)可改写为

ΔSADBvRlnTDVB/TBVAvCp,mlnTB/VA3vRlnVB/VAvRlnTB/VA2 (2) ACB 过程的熵变为

ΔSACBdQ/TΔSACΔSCBABvCp,mlnTC/VAvCV,mlnTB/TC (2)

利用VC＝VB、pC ＝pA、TC /VC＝TA /VA 及TB /pB＝TC/pC，则式(2)可写为

ΔSACBvCV,mRlnVB/VAvlnpB/pAvRlnVB/VAvCV,mlnpBVB/pAVA3vRlnVB/VAvRlnTB/VA2 通过上述计算可看出，虽然ADB及ACB两过程不同，但熵变相同.因此，在计算熵变时，可选取比较容易计算的途径进行.

13 －34 有一体积为2.0 ×10-2m3的绝热容器，用一隔板将其分为两部分，如图所示.开始时在左边(体积V1 ＝5.0 ×10-3m3)一侧充有1mol理想气体，右边一侧为真空.现打开隔板让气体自由膨胀而充满整个容器，求熵变.

_

分析 在求解本题时，要注意ΔSdQAT 的适用条件.在绝热自由膨胀过

B程中，dQ ＝0，若仍运用上式计算熵变，必然有ΔS ＝0.显然，这是错误的结果.由于熵是状态的单值函数，当初态与末态不同时，熵变不应为零.出现上述错误的原因就是忽视了公式的适用条件. ΔSdQAT 只适用于可

B逆过程，而自由膨胀过程是不可逆的.因此，在求解不可逆过程的熵变时，通常需要在初态与末态之间设计一个可逆过程，然后再按可逆过程熵变的积分式进行计算.在选取可逆过程时，尽量使其积分便于计算.

解 根据上述分析，在本题中因初末态时气体的体积V1 、V2 均已知，且温度相同，故可选一可逆等温过程.在等温过程中，dQ ＝dW ＝pdV，而

pmRT，则熵变为

MVΔSdQpdVmV11RdVTTMV2VmRlnV2/V111.52JK-1M