同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.

第1节 定积分的概念与性质

定积分问题举例 1.1.1 曲边梯形的面积 曲边梯形

设函数yf(x)在区间a,b上非负、连续

由直线xa,xb,y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧yf(x)称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形面积

每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的

具体方法是

在区间a,b 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值

中任意插入若干个分点（图5-1）

ax0x1x2xn1xnb,

把a,b分成n个小区间

x0,x1,x1,x2, x2,x3,,xn1,xn,

它们的长度依次为x1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1.

经过每一个分点作平行于y轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间xi1,xi上任取一点i, 以xi1,xi为底、f(i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形，i1,2,3,,n，把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

Af(1)x1f(2)x2f(n)xnf(i)xi.

i1n 求曲边梯形的面积的精确值 显然

分点越多、每个小曲边梯形越窄

所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接

近曲边梯形面积A的精确值分点

因此

要求曲边梯形面积A的精确值

只需无限地增加

上述增

使每个小曲边梯形的宽度趋于零

记maxx1,x2,,xn,于是

加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0.所以曲边梯形的面积为

Alimf(i)xi.

0i1n

图5-1

1.1.2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动

已知速度vv(t)是时间间隔T1,T2上t的连续函数

且

v(t)0,计算在这段时间内物体所经过的路程S

求近似路程

我们把时间间隔T1,T2分成n个小的时间间隔ti 在每个小的时间间隔ti内物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i)

物体

在时间间隔ti内 运动的路程近似为siv(i)ti.把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的路程加起来作为物体在时间间隔T1,T2内所经过的路程S的近似值 具体做法是 在时间间隔T1,T2内任意插入若干个分点

Tit0t1t2tn1tnT2,

T1,T2分成n个小段

t0,t1,t1,t2,tn1,tn,

各小段时间的长依次为

t1t1t0,t2t2t1,,tntntn1.

相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为

s1,s2,,sn.

在时间间隔ti1,ti上任取一个时刻i(ti1iti), 以i时刻的速度v(i)来代替

ti1,ti上各个时刻的速度

得到部分路程si的近似值 即

siv(i)ti(i1,2,,n).

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值 即

Sv(i)tii1n

求精确值

记maxt1,t2,,tn,当0时的路程

Slimv(i)ti0i1n 取上述和式的极限 即得变速直线运动

定积分的概念 抛开上述问题的具体意义抽象出下述定积分的定义

定义 设函数yf(x)在a,b上有界 在a,b中任意插入若干个分点

抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括

就

ax0x1x2xn1xnb,

把区间a,b分成n个小区间

x0,x1,x1,x2, x2,x3,,xn1,xn,

各小段区间的长依次为

x1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1.

在每个小区间xi1,xi上任取一个点i,作函数值f(i)与小区间长度xi的乘积

f(i)xi(i1,2,,n)并作出和

Sf(i)xii1n

记maxx1,x2,,xn,如果不论对a,b怎样分法 也不论在小区间xi1,xi上

这时我们称这个极限I点i,怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I为函数f(x)在区间a,b上的定积分

b 记作af(x)dxnb 即

limf(i)xiaf(x)dx0i1其中f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下限

b b 叫做积分上限 a,b叫做积分区间

根据定积分的定义 曲边梯形的面积为Aaf(x)dx 变速直线运动的路程为ST2v(t)dt1

T

说明

(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

af(x)dxaf(t)dtaf(u)du (2)和f(i)xi通常称为f (x)的积分和

i1nbbb

(3)如果函数f(x)在a,b上的定积分存在 我们就说f(x)在区间a,b上可积 函数f(x)在a,b上满足什么条件时 f(x)在a,b上可积呢 定理1 设f(x)在区间a,b上连续 则f (x) 在a,b上可积 定理2 设f(x)在区间a,b上有界 且只有有限个间断点积

定积分的几何意义

则f(x) 在a,b上可

设f(x)是a,b上的连续函数，由曲线yf(x)及直线xa,xb,y0所围成的曲边梯形的面积记为A.由定积分的定义易知道定积分有如下几何意义：

（1）当f(x)0时，（2）当f(x)0时，

babaf(x)dxA f(x)dxA

（3）如果f(x)在a,b上有时取正值，有时取负值时，那么以a,b为底边，以曲线 使得每一部分都位于x轴的上方或下方.这时yf(x)为曲边的曲边梯形可分成几个部分，

定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图所示，有

baf(x)dxA1A2A3

其中A1,A2,A3分别是图5-2中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.

图5-2

例1. 利用定义计算定积分0x2dx 解 把区间[0 1]分成n等份

xii(in1

分点和小区间长度分别为

1 2

n1) xi1(i1 2

n n)

取ini(i1,2,,n),作积分和 nni1f(i)xii1i2xini121()3i2131n(n1)(2n1)1(11)(21)6nnnni1n6i1nn

因为1n 当0时n 所以

n12xdxlim00i11(11)(21)1f(i)xinlim6nn3

图5-3

例2 用定积分的几何意义求0(1x)dx1

以区间0,1为底

解 函数y1x在区间0,1上的定积分是以y1x为曲边的曲边梯形的面积 因为以y1x为曲边角形 其底边长及高均为1 所以

以区间0,1为底的曲边梯形是一直角三

0(1x)dx2112111

图5-4

例3利用定积分的几何意义，证明

111x2dx2.

证明 令y1x2,x[1,1] ，显然y0，则由y1x2和直线x1,x1，

y0所围成的曲边梯形是单位圆位于x轴上方的半圆.如图5-5所示.

因为单位圆的面积A，所以半圆的面积为由定积分的几何意义知：

. 2111x2dx2 .

图5-5

两点规定

定积分的性质

af(x)dx0bab (1)当ab时 (2)当ab时

af(x)dxbf(x)dx 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即

a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx 证明:a[f(x)g(x)]dxlim[f(i)g(i)]xi

0i1nnbbbb

n limf(i)xilimg(i)xi

0i1b0i1 af(x)dxag(x)dxb

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即

akf(x)dxkaf(x)dxbnnbb

b 这是因为akf(x)dxlimkf(i)xiklimf(i)xikaf(x)dx0i10i1

性质

这两部分区间上定积分之和

如果将积分区间分成两部分即

则在整个区间上的定积分等于

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论a,b,c的相对位置如何总有等式

bcb

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx

成立 例如

当abc时

cbcb 由于

bcaf(x)dxaf(x)dxbf(x)dx

于是有

bcccbaf(x)dxaf(x)dxbf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx

性质4 如果在区间a,b上f (x)1 则 ba1dxbadxba

性质5 如果在区间a,b上 f (x)0

则

baf(x)dx0(ab)

推论1 如果在区间a,b上 f (x) g(x) 则

bbaf(x)dxag(x)dx(ab)

这是因为g (x)f (x)

0 从而

b(x)dxbbagaf(x)dxa[g(x)f(x)]dx0

所以

bbaf(x)dxag(x)dx

推论2 |bbaf(x)dx|a|f(x)|dx(ab) 这是因为|f (x)| f (x) |f (x)|

所以

b|f(x)|dxbbaaf(x)dxa|f(x)|dx

即|bbaf(x)dx|af(x)dx.

性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间a,b上的最大值及最小值m(ba)baf(x)dxM(ba)(ab)

证明 因为 m f (x) M 所以

bbamdxaf(x)dxbaMdx

则

从而

m(ba)af(x)dxM(ba)b

则在积分区间

性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续

a,b上至少存在一个点

使下式成立

af(x)dxf()(ba)这个公式叫做积分中值公式 证明 由性质6

b

m(ba)af(x)dxM(ba)b

各项除以ba 得

bm1af(x)dxMba 使

再由连续函数的介值定理 在a,b上至少存在一点

bf()1af(x)dxba于是两端乘以ba得中值公式

af(x)dxf()(ba)注意

不论ab还是abb

并且它的几何意义是:由曲线

积分中值公式都成立

yf(x),直线xa,xb和x轴所围成曲边梯形的面积等于区间[a,b]上某个矩形的面积,

这个矩形的底是区间[a,b],矩形的高为区间[a,b]内某一点处的函数值f()，如图5-6所示.

图5-6

习题 5-1

1.利用定积分的概念计算下列积分.

（1）110(axb)dx; （2）x0adx (a0). 2.说明下列定积分的几何意义，并指出它们的值. （1）10(2x1)dx； （2）r2rrx2dx； （3）

330xdx； （4）39x2dx.

3.不经计算比较下列定积分的大小 （1）12130xdx与0xdx; （2）40sinxdx与40cosxdx;

（3）

11110xdx与0ln(1x)dx; （4）0xdx与0x2dx.

4.设f(x)为区间a,b上单调增加的连续函数，证明：

f(a)(ba)baf(x)dxf(b)(ba)

5.用定积分定义计算极限lim(nnnn21n222nn2n2)

第2节 微积分基本公式

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动

在t时刻所经过的路程为S(t)速度为

vv(t)S(t)(v(t)0),则在时间间隔T1,T2内物体所经过的路程S可表示为

S(T2)S(T1)及T2v(t)dt1T

即T2v(t)dtS(T2)S(T1)1T

上式表明

速度函数v(t)在区间T1,T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间

T1,T2上的增量

这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢 积分上限函数及其导数

定义 设函数f(x)在区间a,b上连续

并且设x为a,b上的一点

我们把函数

f(x)在部分区间a,x上的定积分

af(x)dx

称为积分上限的函数

它是区间a,b上的函数

记为(x)xxaf(x)dx 或

(x)f(t)dtax

定理1 如果函数f(x)在区间a,b上连续 则函数(x)导数 并且它的导数为



xaf(t)dt在a,b上具有

(x) 证明 若x(a,b)

dxf(t)dtf(x)(axb)dxa 取x使xx(a,b).

xx (xx)(x)a f(t)dtaf(t)dt f(t)dtf()xxxxaf(t)dtf(t)dtxxaxx

应用积分中值定理 有f()x, 其中在x与xx之间 x0时 x 于是

limf()limf()f(x),即(x)f(x)

x0xx0xlim 若xa 取x0同理可证(x)f(b)

则同理可证(x)f(a) 若xb

取x0 则

(x)d(x)推论 如果(x)可导，则[f(t)dt][f(t)dt]xf[(x)](x)

aadx更一般的有例1 计算

(x)(x)f(t)dtf(x)(x)f(x)(x).

dxtesintdt. 0dxxdxt解 esintdt=[etsintdt]=exsinx. 0dx0例2 求极限limx04x0x20sintdtx4.

解 因为limx0，lim利用洛必达法则得

x0x2000sintdtsintdt0，所以这个极限是型的未定式，

00limx0x20sintdtx4sinx22xsinx2=lim=lim x0x02x24x31sinx21=lim =. 2x022x例3 设f(x)在0,内连续且f(x)0 证明函数F(x)0tf(t)dt在(0,)内为

x0f(t)dtx单调增加函数

x证明 d0 tf(t)dtxf(x)dxx d0f(t)dtf(x)dx 故

f(x)0(xt)f(t)dt(0f(t)dt)x2xF(x)xf(x)0f(t)dtf(x)0tf(t)dt(0f(t)dt)x2xx

按假设 当0tx时f(t)0,(xt)f(t)0,所以

0f(t)dt0x 0(xt)f(t)dt0x

从而F(x)0(x0),这就证明了F(x)在(0,)内为单调增加函数

定理2 如果函数f(x)在区间a,b上连续

则函数(x)xaf(t)dt就是f(x)在

a,b上的一个原函数

定理的重要意义

一方面肯定了连续函数的原函数是存在的

另一方面初步地揭示

了积分学中的定积分与原函数之间的联系

牛顿莱布尼茨公式

定理3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数 则

af(x)dxF(b)F(a)此公式称为牛顿

莱布尼茨公式

b

也称为微积分基本公式

证明 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数 又根据定理2 积分上限函

数(x)xaf(t)dt也是f(x)的一个原函数

于是有一常数C 使F(x)(x)C(axb).

当xa时

有F(a)(a)C，而(a)0，所以CF(a)F(b)(b)F(a) 所以(b)F(b)F(a) 即

baf(x)dxF(b)F(a) 为了方便起见 可把F(b)F(a)记成[F(x)]ba 于是

bbaf(x)dx[F(x)]aF(b)F(a)

该公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系 例4 计算120xdx

解 由于1x33是x2的一个原函数 所以

1dx[13131310x23x]0131303

例5 计算3dx11x2

解 由于arctanx是11x2的一个原函数 所以

3dx11x2[arctanx]13arctan3arctan(1) 3( 4)712 例6 计算112xdx

解 11dx[ln|x|]12x2ln 1ln 2

ln 2

例7 求

312xdx.

当xb时

解

312xdx=

21|2x|dx|2x|dx(2x)dx(x2)dx

21223323911212=(2xx)(x2x)==5.

222122 例8 计算正弦曲线ysin x在[0

]上与x轴所围成的平面图形的面积

解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积

A0sinxdx[cosx]0(1)(1)2

习题5-2

1.设f(x)sintdt，求f(0x24)；

2.设f(x)xcost3dt，求f(x)；

0x3.求下列函数的导数 （1）f(x)（3）f()x0etdt； （2）f(x)1xx21t2dt； 1t2dt.

cossintdt； （4）f(x)04.计算下列导数

dx21dx22t2dx（1）tedt； （2）dt； （3）(t2x2)sintdt.

dxx1t2dx0dx05.求下列极限（1）limx1sin(t)dtx11cos(t)； （2）lim(etdt)2x2x0210x0tedt2t2.

6.计算下列定积分 （1）

21(xx1)dx； （2）(2x)dx； （3）021x21xdx；

（4）

0cosxdx； （5）

20sinxdx； （6）0exdx；

1001（7）

(23cosx)dx; （8）x0110dx; （9）10x21dx; x211dx; 21x33（10）

01cos2xdx; （11）41x(1x)dx; （12）10（13）

1203x43x21dx; dx; （14）100dx; （15）2121x1x110x11（16）dx; （17）4tan2xdx; （18）0max{x,1x}dx

e11x02x1,x128．设fx12，求fxdx.

0x,x12

第3节 定积分的计算

定积分的换元积分法

定理 假设函数f(x)在区间a,b上连续 函数x(t)满足条件

(1) ()a,()b;

(2) (t)在, （或,）上具有连续导数 且其值域不越出a,b则有

af(x)dxf[(t)](t)dt 这个公式叫做定积分的换元公式

证明 由假设知

b

f(x)在区间a,b上是连续

因而是可积的

f(t)(t)在区

间, (或,)上也是连续的

因而是可积的

假设F(x)是f(x)的一个原函数 则

 另一方面

baf(x)dxF(b)F(a).

因为F(t)F(t)(t)f(t)(t) 所以F[(t)]是

f(t)(t)的一个原函数 从而

f(t)(t)dtF()F()F(b)F(a).

因此af(x)dxf[(t)](t)dt例1 求

b

30x1xdx.

2解 令1xt，则xt1，dx2tdt，当x0时，t1，当x3时，t2，

于是

30x1xdx=2212t212tdt=2(t21)dt

1t=2[tt]1=

1338 3例2 求

ln20ex1dx.

2解 令ex1t，则xln(1t)，dx时，t1，于是

2t当x0时，t0；当xln2dt，21tln20212t12t1dt==dt2(1)dt e1dx=t2220001t1t1tx1=2[tarctant]0=2

例3 计算0a2x2dx(a>0)

a12

.

解 令xasint，则a2x2a2a2sin2tacost，dxacostdt. 当x0时t0 当xa时t2 02acostacostdt



0aaxdx 22令xasint

2a2222(a0costdt1cos2t)dt02

221a2 a[t1sin2t]0224

例4 计算02cos5xsinxdx

当x令cosxt 解:令tcosx,则当x0时t1 cosxsinxdx02cos5xdcosx20时t02

5011 1t5dt0t5dt[1t6]0166121cos61cos601或 02cos5xsinxdx02cos5xdcosx[cos6x]066266 例5 计算0sin3xsin5xdx3

解 0sin3xsin5xdx0sin2x|cosx|dx 2sin2xcosxdxsin2xcosxdx

0233 32sin20xdsinx32sin2xdsinx

x|cosx|2sin52sin5222x]2(2)4[x][ 0555552提示 sinxsinxsinx(1sin35323x)sin2

 在[0, ]上cosxcosx,在[, ]上cosxcosx.

224 例6 计算x2dx02x1

当x4时t3

2解 令2x1t,则xt1， dxtdt,当x0时t1204x2dx 令2x1t21232x1t32 1tdt11(t23)dt

t23 1[1t33t]11[(279)(13)]22232333

例7设f(x)在区间[a,a]上连续，证明： （1）如果f(x)为奇函数，则（2）如果f(x)为偶函数，则证明 由定积分的可加性知

aaaaf(x)dx0； f(x)dx2f(x)dx.

0aaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx，

a00a0a对于定积分

f(x)dx，作代换xt，得

所以

0af(x)dx=a00af(t)dt=

a0a0f(t)dt=

a0f(x)dx，

aaf(x)dxf(x)dxf(x)dx

=

[f(x)f(x)]dx

0a（1）如果f(x)为奇函数，即f(x)f(x)，则f(x)f(x)0， 于是

aaf(x)dx0.

（2）如果f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)f(x)2f(x)， 于是

aaf(x)dx2f(x)dx.

0a 例8 若f(x)在0,1上连续 证明 (1)f(sinx)dx02f(cosx)dx20

(2)0xf(sinx)dx 20f(sinx)dx 证明 (1)令xt2 则

002f(sinx)dx2f[sin(t)]dt

2 f[sin(202t)]dtf(cost)dt2f(cosx)dx200

(2)令xt

则

0xf(sinx)dx(t)f[sin(t)]dt0(t)f[sin(t)]dt0(t)f(sint)dt

0 0f(sint)dt0tf(sint)dt0f(sinx)dx0xf(sinx)dx所以0xf(sinx)dx 2

0f(sinx)dx

4x2xe x0 例9 设函数f(x)1 1x01cosx 计算1f(x2)dx

解 设x2t 则dxdt;当x1时t10 当x4时t2

14f(x2)dx1f(t)dt121dt2tet2dt[tant]0[1et2]2tan11e41001cost212222 定积分的分部积分法

设函数u(x)、v(x)在区间a,b上具有连续导数u(x)、v(x)得uvuvuv

式两端在区间a,b上积分得

aauvdxauvdx[uv]bbb 由(uv)uvuv 或audv[uv]baavdubb

这就是定积分的分部积分公式 分部积分过程

baavdu[uv]aauvdx    auvdxaudv[uv]bbbbb

例10 计算 解 12arcsinxdx0

12x]012arcsinxdx0[xarcsin02xdarcsinx12xdx

2601x211111 021221d(1x2)231[1x2]0121221x2

例11 计算0exdx 解 令xt11

则

1111 0exdx20ettdt20tdet2[tet] 0 20etdt2e2[et] 0 2例12求

1

21xlnxdx.

解

2112121222xlnxdx=lnxd(x)=xlnxxd(lnx)

21221112312=2ln2xdx=2ln2x=2ln2.

2144122例13求解

0xsinxdx.

000xsinxdx=xdcosx=xcosx0cosxdx

=sinx0=.

 例14 设In02sinnxdx 证明

02cosxdsinn1x

 (1)当n为正偶数时 Inn1n331nn2422 (2)当n为大于1的正奇数时 Inn1n342nn253 证明 In2sinnxdx0 2sinn1xdcosx [cosxsinn1x]2 00 (n1) (n1)2cos2xsinn2xdx0(n1)02(sinn2xsinnx)dx

2sinn2xdx(n1)2sinnxdx00

(n1)I n由此得

2

(n1)I n

Inn1In2n

I2m2m12m32m531I02m2m22m442 I2m12m2m22m442I12m12m12m353而I002dx2因此

 I102sinxdx1

I2m2m12m32m531 I2m12m2m22m4422m12m12m3532m2m22m4422

定积分的近似计算

虽然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有一定局限 性的。

对于被积分中的不能用初等函数表达的情形或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情形，我们就有必要考虑近似计算的方法。

定积分的近似计算的基本思想是根据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方法。下面介绍三种常用的方法：矩形法、梯形法及抛物线法。

3.3.1 矩形法

用分点ax0,x1,,xnb将区间a,b等分成n份，每一份长度为x小区间左端点的函数yi(i0,1,2,n1)作为窄矩形的高（图5-7），则有

ba，取nbabanf(x)dxyi1xyi1 ni1i1n取小区间右端点的函数值yi(i0,1,2,n1)作为窄矩形的高， 则有

babanf(x)dxyixyi ni1i1n以上两公式称为矩形法公式。

图5-7

3.3.2 梯形法

将积分区间a，b作n等分，分点依次为

ax0x1xnb,xba. n相应的函数为

y0,y1,,yn(yif(xi),i0,1,,n)

曲线yfx上相应的点为

P0,P1,,Pn(Pi(xi,yi),i0,1,,n)

将曲线的每一段弧Pi1Pi用过点Pi1,Pi（线性函数）来代替，这使得每个xi1,xi上的曲边梯形形成了真正的梯形（图5-8），其面积为

yi1yix，i1，2，，n 2于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即 亦即

fxdxai1bnyi1yixnx(yi1yi) 22i1baf(x)dxybay0y1y2yn1n, （2） n22称此式为梯形法公式。

在实际应用中，我们还需要知道用这个近似值来代替所求积分时所产生的误差，从而有

baf(x)dxynbay0yyyRn, 12n1n22(ba)3其中Rnf，ab 212n

图5-8

3.3.3 抛物线法

由梯形法求近似值，当yfx为凹曲线时，它就偏小；当yfx为凸曲线时，它就偏大。如果每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似，就可减少上述缺点。下面介绍抛物线法。（图5-9）

将区间a，b作2n等分，分点依次为

ax0x1x2nb,x对应的函数值为

ba. 2ny0,y1,,y2n (yif(xi),i0,1,,2n)

曲线上相应的点为P0,P1,,P2n,Pi(xi,yi),(i0,1,2,,2n) 现把区间

x2i2,x2i上的曲线段

yfx用通过三点

P2i2(x2i2,y2i2),P2i1(x2i1,y2i1),P2i(x2i,y2i)的抛物线

yx2xpi(x)

来近似代替，然后求函数pi(x)从x2i1到x2i的定积分：



x2ix2i2p(x)xi2ix2i26y2i24y2i1y2ib6nay2i24y2i1y2i将这n个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值： 即

abxfxdx2ii1x2i2nbay2i24y2i1y2i xdxpini16nbafxdxba6nyy02n4yyy2yyy

132n1242n2这就是抛物线法公式，也就是辛卜生公式。 也有

bafxdxba6nyy02n4yyy2yyyR

132n1242n2n(ba)5(4)f() ab 其中Rn180n4可见n越大，近似计算越准确。一般说来，将积分区间a，b作同样数目等份的情况下，抛物线形公式比梯形公式更精确一些。



图5-9 习题5-3

1计算下列定积分

1（1）16xdx ； （2） ； （3）2sinxcos3xdx； dx20004x21ln2elnxxdx（4）； ex1dx； （6）dx； （5）101x54x421（7）41dxx10； （8）sinxdx； （9）203e21dxx1lnx；

（10）1dx1cos2xdx； （11） ；（12）x21x2dx. 2002x2x22.利用换元法计算下列积分

1dx； （3）2sincos3dx；（1）sin(x)dx； （2） 32(115x)0331（4）

2ax3ax220dx； （5） e11lnxdx； （6）2sinxecosxdx；

0x（7）

21xx122dx； （8）1x1x0dx.

3.计算下列定积分 （1）

11(1xtanx)dx； （2）2(xcosx)sin2xdx.

244.利用分部积分法计算下列积分 （1）（4）

10(1x)exdx； （2）xe2xdx； （3）x2lnxdx；

011e401xcos2xdx； （5）0(5x1)e5xdx； （6）0ln(x1)dx；

πx14e13x3x（7）ecosπxdx； （8）(x3e)xdx； （9）3004xdx； sin2x2x2（10）41lnxxdx； （11）xarctanxdx； （12） xedx；

010（13）1lnxdx； （14）2xsinxdx.

e0e5.利用奇偶性计算下列各式

（1）(x1x)dx; （2） 1122224cos4xdx；

ax3sin2x （3）4; （4）dxa(xcosx5sinx2)dx. 5x2x2156.若f(t)是连续的奇函数，证明

x0f(t)dt是偶函数：若f(t)是连续的偶函数，证明

x0f(t)dt是奇函数。

7.若f(x)在区间[0,1]上连续,证明

200(1)f(sinx)dx=2f(cosx)dx; (2)xf(sinx)dx=

020f(sinx)dx,由此计算 0xsinxdx.

1cos2x8. 设fx在0,2a上连续，证明 2a0fxdxa0fxf2axdx. 9.设f(x)在[a,b]上连续，证明：baxf(x)dx[bf(b)f(b)][af(a)f(a)]

第4节 反常积分

无穷限的反常积分

定义1 设函数f(x)在区间a,上连续 取ba

如果极限

blimbaf(x)dx 存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间a,上的反常积分 记作af(x)dx即

a这时也称反常积分af(x)dx收敛 如果上述极限不存在

f(x)dxlimf(x)dxbab



 函数f(x)在无穷区间a,上的反常积分af(x)dx就没有

意义 此时称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间,b上连续 如果极限

limaabf(x)dx(ab存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间,b上的反常积分 记作f(x)dx 即

f(x)dxalimf(x)dxa这时也称反常积分f(x)dx收敛

bbb

则称反常积分f(x)dx发散

b如果上述极限不存在

设函数f(x)在区间(,)上连续 如果反常积分

f(x)dx和0f(x)dx

都收敛

0 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间(,)上的反常积分

即

记作f(x)dxf(x)dxf(x)dx0f(x)dx

lim这时也称反常积分f(x)dx收敛

如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分f(x)dx发散 反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则

a0af(x)dxlim0b0bf(x)dx

af(x)dxlimbf(x)dxlim[F(x)]alimF(b)F(a)limF(x)F(a)babbxb

可采用如下简记形式

a类似地

f(x)dx[F(x)]alimF(x)F(a)x

F(b)limF(x)f(x)dx[F(x)]bxlimF(x)limF(x)f(x)dx[F(x)]xxb

例1 计算反常积分 解 1dx1x2

1dx[arctanx]

1x2x limarctanxlimarctanx

x  ( )22 例2 计算反常积分

0teptdt (p是常数 且p0)

1tdept] [1tept1eptdt]  解 teptdt[teptdt]0[000ppp [1tept12ept]0lim[1tept12ept]1212tpppppp

提示 limteptlimtptlim1pt0ttetpe 例3 讨论反常积分a 解 当p1时 当p1时 a a

1dx(a0)的敛散性

xp1dx1dx[lnx]  aaxxp1dx[1x1p]  a1pxp1dx[1x1p] a1p a1pp1xp

1p 当p1时 a因此散

 当p1时

此反常积分收敛

其值为ap1 当p1时

此反常积分发

无界函数的反常积分

定义2 设函数f(x)在区间a,b上连续如果极限

而在点a的右邻域内无界

取0

0limbaf(x)dx

b存在 则称此极限为函数f(x)在a,b上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

bbaf(x)dxlim0baf(x)dx

这时也称反常积分af(x)dx收敛

如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散 类似地

设函数f(x)在区间a,b上连续

而在点b 的左邻域内无界

取

b0 如果极限

0alimbf(x)dx

b存在 则称此极限为函数f(x)在[a b)上的反常积分 仍然记作af(x)dxb 即

bbaf(x)dxlim0af(x)dx

b这时也称反常积分af(x)dx收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散 设函数f(x)在区间a,b上除点c(acb)外连续果两个反常积分

而在点c的邻域内无界

如

af(x)dx与cf(x)dx

都收敛 则定义

cbaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dxlim0bcbcaf(x)dxlim0bcf(x)dx

否则 就称反常积分af(x)dx发散 瑕点点.

反常积分的计算

如果F(x)为f(x)的原函数 a为瑕点，则有

如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界

那么点a称为函数f(x)的瑕

bbaf(x)dxlim0baf(x)dxlim[F(x)]bF(a)a F(b)lim00

可采用如下简记形式

baf(x)dx[F(x)]baF(b)limF(a)0

类似地当b为瑕点时有

baf(x)dx[F(x)]balimF(b)F(a)0

当c(acb)为瑕点时

bf(x)dxf(x)dxf(x)dx[limF(c)F(a)][F(b)limF(c)]cb

aac00 例4 计算反常积分a10a2x2dx

解 因为1xlimaa2x2 所以点a为被积函数的瑕点

a10a2x2dxarcsinxa0lim0arcsinaa02

例5 讨论反常积分111x2dx的收敛性

解 函数1x2在区间1,1上除x0外连续 且lim1x2 由于

x0011x2dx[1x] 01lim0(1)1

即反常积分0111x2dx发散 所以反常积分11x2dx发散

例6 讨论反常积分bdxa(xa)q的敛散性

解 当q1时 bdxbdxa(xa)qaxa[ln(xa)] ba

当q1时 bdxa(xa)q[11q(xa)1q] ba

当q1时 bdxa(xa)q[11q(xa)1q] ba11q(ba)1q

因此

当q1时

此反常积分收敛

其值为11q(ba)1q 当q1时

积分发散

习题5-4

1.下列广义积分是否收敛若收敛，则求出其值. （1）1x2dx ； （2）x01e100dx ； （3）1x21x4dx ； （4）dx0100x2； （5）11(x1)3dx； （6）e2x0dx； （7）10xlnxdx； （8）dx01x21x0. 此反常

2.计算下列反常积分 （1）

00arctanxcosxdx； ； （2）dx21x（3）

1exdx； （4）231dxdx；

x(x1)arcsinxx1xdx（5）(x4)dx； （6） 010610dx；

（7）arcsinx1x2dx； （8）bbaxabxba.

3.证明广义积分 xadx当q1时收敛；当q1时发散.

(xa)qxa4x2e2xdx，求常数a. 4.已知limaxxa

第5节 定积分的应用

“微元法”

回忆曲边梯形的面积

设yf(x)0(xa,b).如果说积分

Aaf(x)dx

b是以a,b为底的曲边梯形的面积

则积分上限函数 A(x)af(t)dt

x就是以a,x为底的曲边梯形的面积

而微分dA(x)f(x)dx表示点x处以dx为宽的小

曲边梯形面积的近似值Af(x)dx,f(x)dx称为曲边梯形的面积元素 （图5-10） 以a,b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式 以

a,b为积分区间的定积分

Aaf(x)dx

b

分布在a,x 然后以

一般情况下

为求某一量U 先将此量分布在某一区间a,b上

上的量用函数U(x)表示 再求这一量的元素dU(x) 设dU(x)u(x)dxu(x)dx为被积表达式 以a,b为积分区间求定积分即得

Uaf(x)dxb

用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)

图5-10

、定积分在几何上应用 5.2.1、平面图形的面积 1． 直角坐标情形

设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成 则面积元素为f上(x)f下(x)dxb 于是平面图形的面积为



Sa[f上(x)f下(x)]dx 类似地

由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为

Sc[右(y)左(y)]dy22d

例1 计算抛物线yx、yx所围成的图形的面积 解 (1)画图

（图5-11）



(2)确定在x轴上的投影区间: 0,1 (3)确定上下曲线 (4)计算积分

f上(x)x, f下(x)x211S0(xx2)dx[2x21x3]103333





图



例2 计算抛物线y2x 与直线yx4所围成的图形的面积 解 (1)画图

（图5-12）

2

(2)确定在y轴上的投影区间: [2 4] (3)确定左右曲线 (4)计算积分

4S2(y41y2)dy[1y24y1y3]4182262左(y)1y2, 右(y)y42







图



2y2 例3 求椭圆x221所围成的图形的面积

ab 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍的投影区间为[0 a]

因为面积元素为ydx 所以

S40ydxa 椭圆在第一象限部分在x 轴上

椭圆的参数方程为:

xa cos t yb sin t

于是

S40ydx4bsintd(acost)4absintdt2ab02(1cos2t)dt2abab222a002

图5-13

2．极坐标情形

曲边扇形及曲边扇形的面积元素（图5-14） 由曲线积元素为

dS1[()]2d2()及射线 围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面

曲边扇形的面积为

S1[()]2d2





图

例4. 计算阿基米德螺线成的图形的面积

22 解: S01(a)2d1a2[13]04a232332

a (a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围

例5. 计算心形线a(1cos ) (a>0) 所围成的图形的面积

 解 S201[a(1cos]2da20(12cos1cos2)d

22232 a2[32sin1sin2]0a242

图5-15

例6. 求双纽线acos2所围成的图形的面积 解 由对称性可知总面积为第一象限面积的四倍（如图5-16），即

22122 S44acos2da

20

图5-16

5.2.2 体 积 1． 旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体转轴

常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体 旋转体都可以看作是由连续曲线y形绕x轴旋转一周而成的立体

设过区间[a b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x) 当平面左右平移dx后

体积的增量近似为V[f (x)]dx 于是体积元素为

2

这直线叫做旋

f (x)、直线xa 、ab 及x轴所围成的曲边梯

dV [f (x)]2dx

旋转体的体积为

Va[f(x)]2dxb



图



例7 连接坐标原点O及点P(h r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积

解 直角三角形斜边的直线方程为yrxh 所求圆锥体的体积为

22hrrV0(x)dx2[1x3]01hr2h3h3

h

图5-18

2y2x 例8 计算由椭圆221所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积ab

解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆

yba2x2

a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 体积元素为

dV y 2dx

于是所求旋转椭球体的体积为

22a24Vab2(a2x2)dxb2[a2x1x3]aaab33aa

例9 计算由星形线xy2323a(a0)绕x轴旋转而成的旋转体的体积

233xacost(a0),， 解 星形线的参数方程为3yasint根据对称性可知，旋转体体积为第一象限图像绕x轴旋转而成的旋转体的体积的2倍

Vy2dx2y2dx

a0aa22a2sin6t3acos2tsintdt

06a320(sin7tsin9t)dt32a3 105

图5-19

2． 平行截面面积为已知的立体的体积

设立体在x轴的投影区间为[a b] 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截 截面面积为A(x)

则体积元素为A(x)dx 立体的体积为

VaA(x)dxb

并与底面交成角

计算这平面

例10 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心截圆柱所得立体的体积

解取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴 那么底圆的方程为x y 2

2

R 2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角

因而截面积为

三角形 两个直角边分别为R2x2及R2x2tanA(x)1(R2x2)tan2于是所求的立体体积为

RR2R3tanVR1(R2x2)tandx1tan[R2x1x3]R2233

例11 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积

解 取底圆所在的平面为x O y 平面 圆心为原点圆的方程为x y 2

2

并使x轴与正劈锥的顶平行 底

R 2 过x轴上的点x (R得等腰三角形 这截面的面积为

A(x)hyhR2x2

于是所求正劈锥体的体积为

VRhRxdx2Rh2cos2d1R2h02R222

5.2.3 平面曲线的弧长

设A B 是曲线弧上的两个端点 在弧AB上任取分点AM0 M1 M2

Mi1

Mi Mn1

MnB 并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的

n数目无限增加且每个小段Mi1Mi都缩向一点时 如果此折线的长|Mi1Mi|的极限存在

i1则称此极限为曲线弧AB的弧长 并称此曲线弧AB是可求长的

定理 光滑曲线弧是可求长的 1．直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程

yf(x) (axb)

给出 其中f(x)在区间[a 取横坐标x为积分变量任一小区间[x x b]上具有一阶连续导数 它的变化区间为[a b]

现在来计算这曲线弧的长度 曲线yf(x)上相应于[a b]上

dx]的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f(x))处的切线上相应的

一小段的长度来近似代替 而切线上这相应的小段的长度为

(dx)2(dy)21y2dx从而得弧长元素(即弧微分)

ds1y2dx

便得所求的弧长为

以1y2dx为被积表达式 在闭区间[a b]上作定积分

sa1y2dxb

在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为

例12 计算曲线y2x2上相应于x从

33ds1ydx2这也就是弧长元素

a到b的一段弧的长度

解 y1x2 从而弧长元素

ds1y2dx1xdx

因此 所求弧长为

sab2221xdx[2(1x)2]ba[(1b)(1a)]33333

例13 计算悬链线ycchx上介于xc 解 yshxc 从而弧长元素为

b与xb之间一段弧的长度

ds1sh2xdxchxdxcc

因此 所求弧长为

bbbsbchxdx20chxdx2c[shxdx]b02cshcccc

2.参数方程情形 设曲线弧由参数方程x[

]上具有连续导数

(t)、y(t) (

t )给出 其中(t)、(t)在

因为

dy(t)dx(t) dx(t)d t 所以弧长元素为

2(t)ds12(t)dt2(t)2(t)dt(t)所求弧长为

s2(t)2(t)dt

2 )的长度

例14 计算摆线x 解 弧长元素为

a(sin) ya(1cos)的一拱(0

dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asin所求弧长为

2s02asind2a[2cos]02222d

8a

3． 极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程

() (

给出 其中r()在[

)

]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得

y(

)sin(

)

x()cos

于是得弧长元素为

dsx2()y2()d2()2()d从而所求弧长为

s

2()2()d

例15 求阿基米德螺线 解 弧长元素为

a (a>0)相应于 从0到2 一段的弧长

dsa22a2da12d

于是所求弧长为

2s0a12da[2142ln(2142)]2

定积分在经济上的应用

在经济分析中，我们可以对经济函数进行边际分析和弹性分析，这用到了导数或微分的知识。而在实际问题中往往还涉及到已知边际函数或弹性函数，来求经济函数（原函数）的问题，这就需要利用定积分或者不定积分来完成。

下面通过实例来说明定积分在经济分析方面的应用。 5.3.1 利用定积分求原经济函数问题

在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数ux的边际函数为u(x) ,则有

u(x)u(0)u(x)dx

0x例16 生产某产品的边际成本函数为c(x)3x14x100, 固定成本C (0) =10000, 求出生产x个产品的总成本函数。

解 总成本函数

2c(x)c(0)c(x)dx=10000(3x214x100)dx

00xxx=10000[x3_7x2100x]|0=10000x7x100x

325.3.2 利用定积分由变化率求总量问题

如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。

例17 已知某产品总产量的变化率为Q(t)4012t ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。

解 所求的总产量为

Q05Q(t)dt(2012t)dt(40t6t2)|105(400600)(200150)650(件)

5105.3.3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值

例18 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为c01000元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大 并求出最大利润。

解 总成本函数为

c(x)(1002t)dtc(0)=100xx21000

0x总收益函数为Rx500x.

总利润函数为LxRxCx400xx1000.

2其导数为

L4002x,

令L0, 得x200.因为L2000，所以, 生产量为200 单位时, 利润最大。最大利润为

L2004002002002100039000 ( 元) 。

5.3.4 􀀁利用定积分计算资本现值和投资

若有一笔收益流的收入率为f(t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值

y=

T0f(t)ertdt。

例19 现对某企业给予一笔投资A, 经测算,该企业在T 年中可以按每年a 元的均匀收入率获得收入, 若年利润为r, 试求: ( 1) 该投资的纯收入贴现值; ( 2) 收回该笔投资的时间为多少

解􀀁 ( 1) 求投资纯收入的贴现值: 因收入率为a, 年利润为r, 故投资后的T 年中获总

收入的现值为

Y=

T0aaertdt(1ert)

ra(1erT)A ra(1erT)Ar 从而投资所获得的纯收入的贴现值为

RyA( 2) 求收回投资的时间: 收回投资, 即为总收入的现值等于投资。由得

T =ln即收回投资的时间为

T=ln1ra

aAra

aAr1r例如, 若对某企业投资A = 800( 万元) , 年利率为5% , 设在20 年中的均匀收入率为a= 200( 万元/ 年),则有投资回收期为

T1200=20ln1.254.46( 年) ln0.052008000.05由此可知,该投资在20年内可得纯利润为万元, 投资回收期约为年.

定积分在物理上的应用 5.4.1 变力沿直线所作的功

例20 电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(a提示: 由物理学知道 在电量为+q的点电荷所产生的电场中 距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为Fk解 在r轴上kqdrr2q (k是常数) r2 当单位正电荷从r移动到r+dr时 电场力对它所作的功近似为

即功元素为

dWkqdrr2

于是所求的功为

Wabkq1]bkq(11)drkq[abrar2

例21 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体

的膨胀 把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处 计算在移动过程中 气体压力所作的功 解 取坐标系如图5-20

活塞的位置可以用坐标x来表示 由物理学知道 一定

即

量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常数k

pVk 或pk在点x处 因为VxS 所以作在活塞上的力为

V

FpSkSkxSx

即功元素为dWkdxx

当活塞从x移动到xdx时于是所求的功为

变力所作的功近似为kdxxbbWakdxk[lnx]baklnax

图5-20

例22 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功 解 作x轴如图5-21

取深度x 为积分变量 它的变化区间为[0

5]

3

相应于 因此如

[0 5]上任小区间[x xdx]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m

x的单位为m 这薄层水的重力为983dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为

2

dW882

此即功元素 于是所求的功为

xdx

2x25(kj)W088.2xdx88.2[]5088.2225

图5-21

5.4.2 水压力

从物理学知道 在水深为h处的压强为ph 这里 是水的比重 如果有一

面积为A 的平板水平地放置在水深为h处 那么 平板一侧所受的水压力为

PpA

如果这个平板铅直放置在水中 那么板所受水的压力就不能用上述方法计算

例23一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为

由于水深不同的点处压强p不相等 所以平

计算桶的一个端面上所受的压力

解桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆

取坐标系如图5-22

在水深x处于圆片上取一窄条 其宽为dx 得压力元素为

dP2xR2x2dx

所求压力为

P02  xRxdx0(RR22R2122x)d(R2x2)32222R2rR3[(Rx)]033

图5-22

5.4.3 引力

从物理学知道 质量分别为m 1、m 2 相距为r的两质点间的引力的大小为

FGm1m2r2

其中G为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力

那么

由于细棒上各点与该质点的距离是

变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算 例24 设有一长度为l 、线密度为的均匀细直棒质量为m的质点M 试计算该棒对质点M的引力 解 取坐标系如图5-23

在其中垂线上距棒a单位处有一

使棒位于y轴上 质点M位于x轴上 棒的中点为原点

O 由对称性知 引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量

ll取y为积分变量 它的变化区间为[, ]22ll 在[, ]上y点取长为dy 的一小段 其

22质量为dy 与M相距ra2y2dFxG 于是在水平方向上 引力元素为

mdyamdyaG223/222ay(ay)a2y2引力在水平方向的分量为

Fxlamdy2Gl(a2y2)3/222Gml1a4a2l2

图5-23

习题5-5

1、求由下列各曲线所围成的图形的面积

12； x与x2y28 （两部分都要计算）

21（2）y与直线yx及x2；

x（1）yx（3）ye，yex与直线x1；

（4）2acos；

3（5）xacost，yasint.

32、求二曲线rsin与r3cos所围公共部分的面积 3、求由曲线ysinx和它在x绕x轴旋转而成的旋转体的体积.

4、由yx，x2，y0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两旋转体的体积.

5、过点P(1,0)抛物线yx2的切线，该切线与上述抛物线及x围成一平面图形，求此图形绕x旋转所成旋转体的体积.

6、试求由曲线f(x)lnx(0x1),x0,y0所围成的图形分别绕ox轴和oy轴旋转所得的旋转体的体积.

32处的切线以及直线x所围成的图形的面积和它

7、设把一金属杆的长度由a拉长到ax时，所需的力等于求将该金属杆由长度a拉长到b所作的功.

kx，其中k为常数，试 a8、一矩形闸门垂直立于水中，宽为10m，高为6m，问闸门上边界在水面下多少米时 它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍.

9、设一电子设备出厂价值为10万元，并以常数比率贬值，求其价值随时间t（单位为年）的变化率。若出厂5年末该设备价值贬到8万元，则在出厂20年末它的价值是多少

第6节 MATLAB软件应用

积分的MATLAB命令

利用Matlab求解定积分主要分为两种，符号积分和数值积分 6.1.1.符号积分

MATLAB中主要用int进行符号积分R=int(s,v) %对符号表达式s中指定的符号变量v计算不定积分.表达式R只是表达式函数s的一个原函数,后面没有带任意常数C.

R=int(s) %对符号表达式s中确定的符号变量计算不定积分. R=int(s,a,b) %符号表达式s的定积分，a,b分别为积分的上、下限

R=int(s,x,a,b) %符号表达式s关于变量x的定积分，a,b分别为积分的上、下限 该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

6.1.2.数值积分

求解定积分的数值方法基本思想都是将积分区间分成n个子区间，使得定积分问题分

解成求和问题。

Matlab主要用trapz,dblquad,quad,quadl等进行数值积分。

基于变步长辛普生方法，利用quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)

变步长，牛顿-柯斯特方法，利用quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)

其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。

trapz(x,y) 梯形积分法，x时表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数，z返回积分值。

int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。

可以用help int, help trapz, help quad等查阅有关这些命令的详细信息 MATLAB计算定积分实例

例1 计算定积分

22x4dx.

2如果用符号积分法命令int计算积分输入MATLAB代码为：

clear; syms x; int(x^4,x,-2,2) 结果为 ans =/5

2x4dx，

x2)dx 例2（广义积分）计算广义积分Iexp(sinx50输入MATLAB代码为：

syms x;

y=int(exp(sin(x)-x^2/50),-inf,inf); vpa(y,10)

结果为15.。 例3 求定积分

10exdx'exp(-x*x)

2MATLAB代码为：

fun=inline('exp(-x.*x)','x'); %用内联函数定义被积函数fname Isim=quad(fun,0,1) %辛普生法 Isim =

IL=quadl(fun,0,1) %牛顿－柯特斯法 IL =

例4 用梯形积分法命令trapz计算积分MATLAB代码为：

clear; x=-2::2; y=x.^4; %积分步长为 trapz(x,y)

22x4dx

结果为

ans = 实际上，积分

22x4dx的精确值为

12.8。如果取积分步长为, MATLAB代码为： 5clear; x=-2::2; y=x.^4; %积分步长为 trapz(x,y)

结果为

ans =

可用不同的步长进行计算，考虑步长和精度之间的关系。一般说来,trapz是最基本的数值积分方法,精度低,适用于数值函数和光滑性不好的函数.

总习题5 （A）

一、选择题 1.设f(x) sinx 0sint2dt,g(x)x3x4，则当x0时，f(x)是g(x)的（.

）

(A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价的无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小

 sinx43422cosxdx， N(sinxcosx)dx P(x2sin3xcos4x)dx，则2.设M2 221x22有（ ）.

(A) N0costdtcosx (B)  xx 0costdtcosx

x(C) 0costdt0 (D) 2 0costdtcosx

4.下列广义积分收敛的是（ ）. (A) exdx （B）1xdx (C) 0cosxdx (D) 1011x2dx

5.设a3n1n2n1 0xn1xndx, 则极限limnnan等于 ( ).

3333(A)(1e)21. (B)(1e1)21. (C)(1e1)21. (D)(1e)21. 6. 设f(x)sgnx，F(x)x0f(t)dt，则（ ）.

（A）F(x)在x0点不连续. （B）F(x)在(,)内连续，在x0点不可导. （C）F(x)在(,)内可导，且满足F(x)f(x). （D）F(x)在(,)内可导，但不一定满足F(x)f(x).

7.利用定积分的有关性质可以得出定积分11(arctanx)11(cosx)21dx（ （A）210(arctanx)11(cosx)21dx. （B）0. （C）210cos21xdx.

（D）2.

8.已知函数yxdt0(1t)2，则y(1)（ ）． （A） 1.

（B）124.

（C）

14. （D）

12. ）． 9.设f(t)dt0x11． f(x)，且f(0)1，则f(x)（ ）

221（B）ex．

21（C）e2x． （D）e2x．

2（A）e．

x210.下列广义积分发散的是（ ）． （A）12111dx. （C）exdx. （D） dx. （B） dx. 20121sinx2xlnx1x111.设函数f(x)连续，则在下列变上限定积分定义的函数中，必为偶函数的是（ ）． （A）t[f(t)f(t)]dt. （B）t[f(t)f(t)]dt.

00xx（C）f(t2)dt. （D） f2(t)dt.

00xx12.设I14 0tanxx． dx,I24dx, 则（ ）

0tanxx（A） I1I21. （B） 1I1I2. （C） I2I11. （D） 1I2I1. 1213.limlnn(1)2(1)2nnn21n． (1)2等于（ ）

n222111（A）ln2xdx. （B）2lnxdx. （C）2ln(1x)dx. （D）ln2(1x)dx 14.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)0，则方程f(t)dtaxxb1dt0在f(t)区间(a,b)内的根有（ ）．

（A）0个. （B）1个. （C）2个. （D）无穷多个.

12(x1),0x1;2f(u)du，其中f(x) ，则g(x)在区间(0,2)内

1(x1),1x2,315.设g(x)x0（ ）．

（A）无界. （B）递减. （C）不连续. （D） 连续. 二、填空题

x1. (xx)edx .

112.(sin5x3x2)dx .

333.设y是方程etdtcostdt0所确定的x的函数，则

00yxdy . dx4.设f(x)是连续函数，F(x)2f(t)dt，则F(0) .

xex5.已知f(0)1,f(2)3,f(2)5,则xf(x)dx .

0a1xtetdt，则常数a . 6.设limxxax2[7.lim 0x0 x u2 0arctan(1t)dt]dux(1cosx) .

8. 1 02xx2 dx .

1112，则1xf(x)dx0f(x)dx . 01x29.设f(x)x2xe,10.设f(x)1,11x,222，则1f(x1)dx . 12x,2三、计算题

ex1. xdx；

2e124(x1)(x22) 2. dx； 3. |2x|dx；

0 13x24. e10ln(x1)dx； 5. x1 01xdx；

2

6. π01cos2xdx;

7. (xx)edx; 8. 1 1ln2ln(1x); 9. dx1e2x dx; 2 0(2x) 0 110. 1dx.

x2(1x2)四、综合题

201x211.证明： . 4dx4010xx120 12.设f(x)连续，(x)f(xt)dt,且lim 0x0f(x)A(A为常数). 求(x)，并讨论(x) x在x0处的连续性.

3.设D1是由抛物线y2x2和直线xa,x2及y0所围成的平面区域；D2是由抛物线y2x2和直线xa及y0所围成的平面区域，其中0a2.

（1）试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D1绕y轴旋转而成的旋转体体积V2； （2）问当a为何值时，V1V2取得最大值并求此最大值. 4.设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足

f(1)kxe1xf(x)dx(k1).

证明存在一点(0,1)，使得f()(11)f().

5. 设f(x)在区间[0,1]上可微，且满足条件f(1)2xf(x)dx.试证：存在(0,1)，使

f()f()0.

1201k06.设函数f(x)在(0,)内连续，f(1)5，且对所有x,t(0,)，满足条件2xt1f(u)dutf(u)duxf(u)du, 求f(x).

11xt7.设函数f(x)有导数，且f(0)0,F(x)tn1f(xntn)dt. 证明：lim0xF(x)1f(0).

x0x2n2n8. 设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且满足

xaf(t)dtg(t)dt,x[a,b),abbaaxbaf(t)dtg(t)dt.

ab试证： xf(x)dxxg(x)dx.

9. 设过坐标原点作曲线曲线yx1的切线，该切线与曲线yx1及x轴围成平面图形D，

（1） 求该平面图形D的面积,

（2）求该平面图形D分别绕x轴和y轴旋转一周所得旋转体的体积Vx和Vy.

(B)

一、选择题

k21.（2012、数学二） 设Ikexsinxdx,(k1,2,3),则有

0（A） I1I2I3 （B） I3I2I1 （C） I2I3I1 （D） I2I1I3

002.（2011、数学二）设I40lnsinxdx，J4lncotxdx，K4lncosxdx，则I，

J，K的大小关系为（ ）

（A）IJK （B）IKJ （C）JIK （D）KJI

3.（2004、数学二）limlnn(1)(1)n1n22n12n(1)2等于（ ）

n（A）

12ln2xdx. （B）2lnxdx.

22（C）21ln(1x)dx. （D）ln2(1x)dx

124.（2009、数学三）使不等式（A）(0,1).

（B）(1,x1sintdtlnx成立的x的范围是 t). （C）(,). 22 （D）(,).

间

5.（2008、数学二）曲线方程为yf(x)函数在区

[0,a]上有连续导数，则定积分aft(x)dx（ ）

0a（A）曲边梯形ABOD面积. （B）梯形ABOD面积.

（C）曲边三角形ACD面积. （D）三角形ACD面积.

6.（2006、数学二）设f(x)是奇函数，除x0外处处连续，x0是其第一类间断点，则

x0f(t)dt是

（A）连续的奇函数.

（B）连续的偶函数

（D）在x0间断的偶函数.

（C）在x0间断的奇函数

7.（2004、数学二）把x0时的无穷小量0costx2dt, x20tantdt,

x0sint3dt排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

（A）,,. （B）,,. （C）,,. （D）,,.

1m8.（2010、数学二）.设m,n为正整数,则反常积分

ln2(1x)n0xdx的收敛性

（A）仅与m取值有关 （B）仅与n取值有关 （C）与m,n取值都有关 （D）与m,n取值都无关 二、填空题

1.（2011、数学二）曲线yx0tantdt (0x4)的弧长s 。

ekx,x0,2.（2011、数学二）设函数f(x) 0，则xf(x)dx 。

x0,0,3.（2010、数学二）当0时，对数螺线re的弧长为___________

4.（2009、数学二）已知

+kxedx1,则k

5.（2009、数学二）lim1xesinnxdx n01x230sintdt,x06.（2006、数学二）设函数f(x)x在x0处连续，则a .

a,　　　　 x07.（2006、数学二）广义积分

20xdx .

(1x2)28.（2004、数学二）

1dxxx1_____..

21xx39.（2009、数学三）设f(x)，则2x1x42f(x)dx______.

10.（2005、数学二）

(2x01xdx2)1x2 .

11．（2013、数学二）设函数f(x)x11etdt，则yf(x)的反函数xf1(y)在

y0处的导数

dx|y0 ． dy12.（2010、数学三）设可导函数yy(x)由方程

xy0edtxsint2dt确定，则

0t2xdy______. dxx013．（2010、数学三）设位于曲线y1x(1lnx)2(ex)下方，x轴上方的无

界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是______.

14. （2013、数学二）设封闭曲线L的极坐标方程为rcos3数，则L所围成的平面图形的面积为 ．

15.（2012、数学三）曲线y转所成的旋转体的体积______.

t为参

66x21，直线x2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋

11x2xe,x,22 则2fx1dx_____.

16.（2004、数学三）设fx1121,x,2三、综合题

1.（2008、数学二）求积分

1xarcsinx1x20dx.

2.（2004、数学二）设f(x)数;(Ⅱ)求f(x)的值域

xx2sintdt,(Ⅰ)证明f(x)是以为周期的周期函

3.（2004、数学三）求函数f(x)(x2t)etdt的单调区间与极值。

1x224.（2010、数学二）(1)比较明理由.

(2)记un10lnt[ln(1t)]ndt与tnlntdt(n1,2,)的大小,说

0110lnt[ln(1t)]ndt(n1,2,),求极限limun.x

5.（2011、数学二）已知函数F(x)试求的取值范围。

x0ln(1t2)dtx，设limF(x)limF(x)0，

xx06.（2005、数学二）设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限limx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dt.

7.（2009、数学三）设fx是周期为2的连续函数， （Ⅰ）证明对任意的实数t，有

t2tfxdxfxdx；

02（Ⅱ）证明Gxx02ftt2fsdsdt是周期为2的周期函数．

t8.（2004、数学三）设f(x),g(x)在a,b上连续，且满足

ftdtgtdt，

aaxxxa,b，aftdtagtdt证明：abbbxfxdxxgxdxab.

9.（2013，数学二）设D是由曲线y3x，直线xa(a0)及x轴所转成的平面图

形，Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10VxVy，求a的值．

10.（2013，数学二）设曲线L的方程为（1）求L的弧长．

（2）设D是由曲线L，直线x1,xe及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标．

11.（2012、数学二）过(0,1)点作曲线L:ylnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

12.（2011、数学二）一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由xy2y(y22y121xlnx(1xe)． 4211)与x2y21(y)连接而成。 22（I）求容器的容积；

（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功 （长度单位：m，重力加速度为gms，水的密度为10kgm）

13.（2010、数学二）一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。

2333b现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为2时，计算油的质量。

（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为

kg/m3）

14.（2009、数学二）设非负函数yyxx0满足微分方程xyy20，当曲线yyx过原点时，其与直线x1及y0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

15.（2007、数学二）设D是位于曲线yxax2a(a1,0x)下方、x轴上方

的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；（Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小并求此最小值.

xt2116.（2006、数学二）已知曲线L的方程2y4tt,(t0)（I）讨论L的凹凸性；

（II）过点(1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于xx0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.

exex17.（2004、数学二）曲线y与直线x0,xt(t0)及y0围成一曲边

2梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体, 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在xt处的底面积为F(t).

(Ⅰ)求

S(t)S(t)的值; (Ⅱ)计算极限lim.

tV(t)F(t)21,)，其上任一点P(x,y)2218.（2004、数学二）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.

（1）求曲线 y=f(x)的方程；

（2）已知曲线y=sinx在[0,]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s. 19.（2009、数学三）设曲线yf(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)0.已知曲线yf(x)与直线y0,x1及xt(t1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t倍，求该曲线的方程.

20.（2008、数学二）设f(x)是区间0,上具有连续导数的单调增加函数，且

f(0)1.对任意的t0,，直线x0,xt，曲线yf(x)以及x轴所围成的曲边梯

形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数

f(x)的表达式.

21.（2006、数学三）在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M1,0，其上任意点。 Px,yx0处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）

（Ⅰ）求L的方程；

（Ⅱ）当L与直线yax所围成平面图形的面积为22.（2005、数学二）如图，C1和C2分别是y8时，确定a的值。 31(1ex)和2yex的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象. 过

C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记

C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与ly所围图形的面

积为S2(y).如果总有S1(x)S2(y)，求曲线C3的方程

x(y).

23.（2005、数学二）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

30(x2x)f(x)dx.

24.（2004、数学二）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x(y)(y0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.

(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与(y)之间的关系式； (2) 求曲线x(y)的方程.

(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)

23