11.函数及一次函数(解答题)

11．函数及一次函数（解答题）

三、解答题：

1.（2009年重庆市江津区）如图，反比例函数y2的图像与一次函数ykxb的图像交x于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y轴的交点为C。

（1）求一次函数解析式； （2）求C点的坐标； （3）求△AOC的面积。

【关键词】一次函数与反比例函数

【答案】由题意：把A（m，2），B（-2，n）代入

y2中得 xm1 n1∴A（1，2） B（-2，-1） 将A.B代入ykxb中得

kb2 2kb1k1 b1∴一次函数解析式为：yx1 （2）C（0，1） （3）SAOC1111 222．（2009年济宁市）阅读下面的材料：

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在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数yk1xb1(k10)的图象为直线l1，一次函数

yk2xb2(k20)的图象为直线l2，若k1k2，

且b1b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行. 解答下面的问题：

（1）求过点P(1,4)且与已知直线y2x1平行的直线l的函数表达式,并画出直线l 的图象； （2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：ykxt(t0)与直线l平行且交x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数表达式. 【关键词】一次函数

【答案】解：（1）设直线l的函数表达式为y＝k x＋b. ∵ 直线l与直线y＝—2x—1平行，∴ k＝—2. ∵ 直线l过点（1，4），∴ —2＋b ＝4，∴ b ＝6. ∴ 直线l的函数表达式为y＝—2x＋6. 直线l的图象如图.

－2 －2 6 4 2 y O 2 4 6 x

(2) ∵直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，∴点A、B的坐标分别为（0，6）、（3，0）. ∵l∥m,∴直线m为y＝—2x+t. ∴C点的坐标为(,0). ∵ t＞0,∴

t2t0. 2∴C点在x轴的正半轴上.

1t3t(3)69; 2221t3t当C点在B点的右侧时， S(3)69.

222当C点在B点的左侧时，S3t9(0t6),2∴△ABC的面积S关于t的函数表达式为S

3t9(t6).2www.1230.org 初中数学资源网

3.（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在

y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次

落在直线yx上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数； （3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC 的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 【关键词】动态问题

【答案】（1）解：∵A点第一次落在直线yx上时停止旋转， ∴OA旋转了45.

0y yx A M B O C

N x4522∴OA在旋转过程中所扫过的面积为.

3602（2）解：∵MN∥AC，

∴BMNBAC45,BNMBCA45. ∴BMNBNM.∴BMBN. 又∵BABC，∴AMCN.

又∵OAOC,OAMOCN,∴OAMOCN. ∴AOMCON.∴AOM1(9045. 2∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为

45.

（3）答：p值无变化.

证明：延长BA交y轴于E点，则AOE45AOM，

0CON900450AOM450AOM，

∴AOECON.

又∵OAOC，OAE1809090OCN. ∴OAEOCN. ∴OEON,AECN.

000www.1230.org 初中数学资源网

又∵MOEMON45,OMOM,

∴OMEOMN.∴MNMEAMAE. ∴MNAMCN，

∴pMNBNBMAMCNBNBMABBC4. ∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.

y

A M B xN O

C

4．（2009年衡阳市）在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙

地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系．

（1）甲、乙两地之间的距离为 8 km，乙、丙两地之间的距离为 2 km； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． S(km) 8· 6· 4· 2· 0

A B 2 t(h)

0E yx 【关键词】一次函数折线图 【答案】解：（2）第二组由甲地出发首次到达乙地所用的时间为：

82(82)28100.8（小时）

第二组由乙地到达丙地所用的时间为：

22(82)22100.2（小时）

（3）根据题意得A.B的坐标分别为（0.8，0） 和（1，2），设线段AB的函数关系式为：

S2ktb，根据题意得：

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00.8kb 2kb k10解得：

b-8∴图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式为：S210t－8，自变量t的取值范围是：

0.8t1．

5．（2009年衡阳市）如图，直线yx4与两坐标轴分别相交于A.B点，点M是线段AB上任意一点（A.B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D． （1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0a4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

y B D M B y B y O C 图（1）

A x O 图（2）

A x O A 图（3）

x

【关键词】一次函数、正方形、动态 【答案】解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（00，－x+4>0）； 则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x； ∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8

∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4

∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0121aa24； 221122如图10（3），当2a4时，S(4a)(a4)；

22∴S与a的函数的图象如下图所示：

（3）如图10（2），当0a2时，S4www.1230.org 初中数学资源网

S 4· 2· S1Sa2（40a2)

20 · 2 12(a4)（2a4) 2· a4

6.（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。

（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。

（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。 【关键词】确定一次函数解析式 【答案】解：（1）y1100x

y21x 21x) 2（2）y(100x)(100即：y1(x50)211250 2因为提价前包房费总收入为100×100=10000。

当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000。又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元。

7.（2009年江苏省）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量） 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；

（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA.AB.BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

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【关键词】一次函数的实际问题

【答案】．解法一：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4(54)4（万升）． 答：销售量x为4万升时销售利润为4万元．

（2）点A的坐标为(4，， 4)，从13日到15日利润为5.541.5（万元）所以销售量为1.5(5.54)1（万升），所以点B的坐标为(5，5.5)．

设线段AB所对应的函数关系式为ykxb，则44kb，k1.5，解得

5.55kb.b2.线段AB所对应的函数关系式为y1.5x2(4≤x≤5)．

从15日到31日销售5万升，利润为11.54(5.54.5)5.5（万元）． ，所以点C的坐标为(1011)，． 本月销售该油品的利润为5.55.511（万元）

5.55mn，m1.1，设线段BC所对应的函数关系式为ymxn，则解得

1110mn.n0.所以线段BC所对应的函数关系式为y1.1x(5≤x≤10)． （3）线段AB．

解法二：（1）根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y(54)x，即yx(0≤x≤4)当y4时，x4．

答：销售量为4万升时，销售利润为4万元．

（2）根据题意，线段AB对应的函数关系式为y14(5.54)(x4)， 即y1.5x2(4≤x≤5)．

把y5.5代入y1.5x2，得x5，所以点B的坐标为(5，5.5)． 截止到15日进油时的库存量为651（万升）．

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．

当销售量大于5万升时，即线段BC所对应的销售关系中， 每升油的成本价1444.5． 4.4（元）

5所以，线段BC所对应的函数关系为

y(1.552)(5.54.4)(x5)1.1x(5≤x≤10)．

（3）线段AB．

8．(2009年陕西省)在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．

根据图像信息，解答下列问题：

（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由； （2）求返程中y与x之间的函数表达式；

（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．

【关键词】一次函数图表信息题 【答案】21．解：（1）不同，理由如下： ∵往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时， ∴往、返速度不同．

（2）设返程中y与x之间的表达式为y＝kx+b， 则1202.5kb,

05kb.k48,

b240.解之，得∴y＝－48x+240．（2.5≤x≤5）（评卷时，自变量的取值范围不作要求）

（3）当x＝4时，汽车在返程中， ∴y＝－48×4+240＝48．

∴这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离为48km．

9． (2009成都)已知一次函数yx2与反比例函数yk，其中一次函数yx2的图x象经过点P(k，5)．

(1)试确定反比例函数的表达式；

(2)若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标． 【关键词】 【答案】（1）∵一次函数y=x+2的图像经过点P ∴5=k+2 ∴k=3

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∴反比例函数解析式为y=

3 xyx2x3x3(2)由，解得或 3y1y1yx∵点Q在第三象限

∴Q(-3，-1)

10．(2009年安顺)已知一次函数ykxb(k0)和反比例函数yk的图象交于点2xA(1，1)

（1） 求两个函数的解析式；

（2） 若点B是x轴上一点，且△AOB是直角三角形，求B点的坐标。 【关键词】确定一次函数解析式，反比例函数 【答案】（1）∵点A（1，1）在反比例函数y∴k=2．∴反比例函数的解析式为：y一次函数的解析式为：y2xb．

∵点A（1，1）在一次函数y2xb的图象上 ∴b1． ∴一次函数的解析式为y2x1

（2）∵点A（1，1） ∴∠AOB=45o．

∵△AOB是直角三角形 ∴点B只能在x轴正半轴上． ① 当∠OB1A=90 o时，即B1A⊥OB1.

∵∠AOB1=45o ∴B1A= OB1 ． ∴B1（1，0）．

oo

② 当∠O A B2=90时，∠AOB2=∠AB2O=45, ∴B1 是OB2中点, ∴B2（2，0）． 综上可知，B点坐标为（1，0）或（2，0）．

11．（2009重庆綦江）如图，一次函数ykxb(k0)的图象与反比例函数y的图象相交于A.B两点．

（1）根据图象，分别写出点A.B的坐标； （2）求出这两个函数的解析式．

y B 1 A O 1 x

【关键词】一次函数，反比例函数

【答案】（1）解：由图象知，点A的坐标为(6，1)， 点B的坐标为（3，2）

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k的图象上, 2x1． xm(m0)x

（2）∵反比例函数y∴2m的图象经过点B， xm，即m6． 36． x∴所求的反比例函数解析式为y∵一次函数ykxb的图象经过A、B两点，

∴16kb

23kb1k解这个方程组，得3

b1∴所求的一次函数解析式为y1x1． 312．（2009威海）一次函数yaxb的图象分别与x轴、y轴交于点M,N，与反比例函数yk的图象相交于点A,B．过点A分别作ACx轴，AEy轴，垂足分别为C,E；x过点B分别作BFx轴，BDy轴，垂足分别为F，D，连接CD． AC与BD交于点K，（1）若点A，B在反比例函数y①S四边形AEDKS四边形CFBK； ②ANBM．

（2）若点A，B分别在反比例函数y相等吗？试证明你的结论．

y

k的图象的同一分支上，如图1，试证明： xk的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还xy N A(x，y)11E A(x1，y1) E B(x2，y2) N D K F M x x O C F M O C D K B(x3，y3) 【关键词】反比例函数图像的性质，平行四边形的判定，矩形的性质与判定 【答案】（1）①AC⊥x轴，AE⊥y轴，

四边形AEOC为矩形．

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BF⊥x轴，BD⊥y轴， 四边形BDOF为矩形． AC⊥x轴，BD⊥y轴，

四边形AEDK，DOCK，CFBK均为矩形． OCx1，ACy1，x1y1k， S矩形AEOCOCACx1y1k OFx2，FBy2，x2y2k， S矩形BDOFOFFBx2y2k． S矩形AEOCS矩形BDOF．

S矩形AEDKS矩形AEOCS矩形DOCK， S矩形CFBKS矩形BDOFS矩形D，O

S矩形AEDKS矩形CFBK．

②由（1）知S矩形AEDKS矩形CFBK．

AKDKBKCK． AKBKCKDK． AKBCKD90°， △AKB∽△CKD． CDKABK． AB∥CD．

AC∥y轴，

四边形ACDN是平行四边形． ANCD． 同理BMCD． ANBM．

（2）AN与BM仍然相等． S矩形AEDKS矩形AEOCS矩形ODKC， S矩形BKCFS矩形BDOFS矩形ODKC，

又S矩形AEOCS矩形BDOFk，

www.1230.org 初中数学资源网y E N A F M O C x B D K

S矩形AEDKS矩形BKCF． AKDKBKCK． CKDKAKBK． KK，

△CDK∽△ABK． CDKABK． AB∥CD．

AC∥y轴，

四边形ANDC是平行四边形． ANCD． 同理BMCD． ANBM．

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13.（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。

（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。

（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。 【关键词】确定一次函数解析式 【答案】解：（1）y1100x

y21x 21x) 2（2）y(100x)(100即：y1(x50)211250 2因为提价前包房费总收入为100×100=10000。

当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000。又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元。

14.（2009年江苏省）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量） 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；

（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA.AB.BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

【关键词】一次函数的实际问题

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【答案】．解法一：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4(54)4（万升）． 答：销售量x为4万升时销售利润为4万元．

（2）点A的坐标为(4，， 4)，从13日到15日利润为5.541.5（万元）所以销售量为1.5(5.54)1（万升），所以点B的坐标为(5，5.5)．

设线段AB所对应的函数关系式为ykxb，则44kb，k1.5，解得

5.55kb.b2.线段AB所对应的函数关系式为y1.5x2(4≤x≤5)．

从15日到31日销售5万升，利润为11.54(5.54.5)5.5（万元）． ，所以点C的坐标为(1011)，． 本月销售该油品的利润为5.55.511（万元）设线段BC所对应的函数关系式为ymxn，则5.55mn，m1.1，解得

1110mn.n0.所以线段BC所对应的函数关系式为y1.1x(5≤x≤10)． （3）线段AB．

解法二：（1）根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y(54)x，即yx(0≤x≤4)当y4时，x4．

答：销售量为4万升时，销售利润为4万元．

（2）根据题意，线段AB对应的函数关系式为y14(5.54)(x4)， 即y1.5x2(4≤x≤5)．

把y5.5代入y1.5x2，得x5，所以点B的坐标为(5，5.5)． 截止到15日进油时的库存量为651（万升）．

当销售量大于5万升时，即线段BC所对应的销售关系中， 每升油的成本价．

1444.5． 4.4（元）

5所以，线段BC所对应的函数关系为

y(1.552)(5.54.4)(x5)1.1x(5≤x≤10)．

（3）线段AB． 15．（2009 黑龙江大兴安岭）邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县

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城中学的学生李明从A村步行返校．小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s(千米)和小王从县城出发后所用的时间t(分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：

（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案． （2）小王从县城出发到返回县城所用的时间． （3）李明从A村到县城共用多长时间？ s/千米 6

1

t/分306002080

【关键词】一次函数的实际问题 【答案】(1) 4千米,

611

806046 6084

14 (2)解法一:

84+1=85 解法二: 求出解析式s s0,t84 84+1=85 (3) 写出解析式s1t21 41t5 20 s6,t20

20+85=105

16．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．

（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？

（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？

（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？

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【关键词】分式方程、一次函数与一元一次不等式（组） 【答案】解：(1)设今年三月份甲种电脑每台售价x元

10000080000 x1000x解得: x4000

经检验: x4000是原方程的根,

所以甲种电脑今年三月份每台售价4000元. (2)设购进甲种电脑x台,

480003500x3000(15x)50000 解得 6x10

因为x的正整数解为6,7,8,9,10, 所以共有5种进货方案 (3) 设总获利为W元,

W(40003500)x(38003000a)(15x)(a300)x1200015a

当a300时, (2)中所有方案获利相同.

此时, 购买甲种电脑6台,乙种电脑9台时对公司更有利. 17．（2009年新疆乌鲁木齐市）星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的

y(立方米) 储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小10 000 8 000 时）的函数关系如图2所示．

（1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？ （2）当x≥0.5时，求储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数解析式；

（3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．

【关键词】一次函数图象性质

2 000 0 0.5 10.5 x(小时)

图2 【答案】解：（1）由图可知，星期天当日注入了1000020008000立方米的天然气；2分 （2）当x≥0.5时，设储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数解析式为： ，∵它的图象过点(0.510ykxb（k，b为常数，且k0），000)，(10.5，8000)，

∴0.5kb10000k200 解得

10.5kb8000b10100故所求函数解析式为：y200x10100． （3）可以．

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∵给18辆车加气需1820360（立方米），储气量为100003609640（立方米）， 于是有：9640200x10100，解得：x2.3，

而从8：00到10：30相差2.5小时，显然有：2.32.5， 故第18辆车在当天10：30之前可以加完气． 18．（2009年湖北荆州）由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖．某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为0.1万元／台，并预付了5万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元，但不高于40万元．若一年内该产品的售价y（万元／台）与月次x（1x12且为整数）满足关系是式：

0.05x0.25(1x4)每月的销售量p（台）与月次x之间存y0.1(4x6)，一年后发现实际．．

0.015x0.01(6x12)在如图所示的变化趋势． ⑴ 直接写出实际每月的销售量p（台）与月次x之间 ．．．．．．的函数关系式；

⑵ 求前三个月中每月的实际销售利润w（万元）与月 次x之间的函数关系式；

⑶ 试判断全年哪一个月的的售价最高，并指出最高售价； ⑷ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量．

p（台）40 36 20 Ｏ 4月

12月

x

【关键词】一次函数综合题 【答案】 19．（2009年茂名市）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a、b，把a、b作为点A的横、纵坐标． （1）求点A(a，b)的个数； （2）求点A(a，b)在函数yx的图象上的概率．

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1 2 4 3

【关键词】一次函数与概率相关 【答案】

20．（2009年茂名市）已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A点B、C把OA，分为三等份，连接MC并延长交y轴于点D(0，．3)

（1）求证：△OMD≌△BAO； （6分） （2）若直线l：ykxb把⊙M的面积分为二等份，求证：3kb0．（4分） y D0，34 C B 2 1 O M 3 A x

【关键词】与圆有关的一次函数

【答案】

21．（09湖南邵阳）如图（十二），直线l的解析式为yx4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒（0t≤4）． （1）求A、B两点的坐标；

（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；

（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2，

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①当2t≤4时，试探究S2与t之

l y B l m P M A x 图十二 N O y B E P P F M A x 间的函数关系式； m ②在直线m的运动过程中，当t为何

5值时，S2为△OAB面积的？

16

【关键词】直角坐标系、一元二次方程解法及应用、一次函数的实际应用

N O 【答案】解 （1）当x0时，y4；当y0时，x4．A(4，，（； 0)B0，4）（2）MN∥AB，OMOA111，OMONt，S1OM·ONt2； ONOB22（3）①当2t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为(t，t),

xt，即F(t，4t)， F点的坐标满足yt4，同理E(4t，t)，则PFPEt(4-t)2t4， 所以S2S△MPNS△PEFS△OMNS△PEF

11113t2PE·PFt2(2t4)(2t4)t28t8； 222221212515②当0t≤2时，S2t，t44，

221622解得t150，t252，两个都不合题意，舍去；

57，解得t33，t4， 2375综上得，当t或t3时，S2为△OAB的面积的．

316当2t≤4时，S2t8t8232（第10题） 22．（09湖北宜昌） 【实际背景】 预警方案确定: 设W当月的５00克猪肉价格当月的５00克玉米价格　．如果当月W<6，则下个月要采取措施防止―猪贱伤农‖． ．．．

【数据收集】

今年2月～5月玉米、猪肉价格统计表

月 份 玉米价格(元/500克) 2 0.7 3 0.8 4 0.9 5 1 www.1230.org 初中数学资源网

猪肉价格(元/500克) 7.5 m 6.25 6 【问题解决】

(1)若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格m；

(2)若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7月时是否要采取措施防止―猪贱伤农‖；

(3)若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍，而每月的猪肉价格增长率都为a，则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米．请你预测8月时是否要采取措施防止―猪贱伤农‖．

【关键词】分式方程、一元二次方程解法及应用、阅读理解题、一次函数的实际问题 【答案】解：（1）由题意，

m7.57.566.256.25 ，

解得： m=7.2．

（2）从2月~5月玉米的价格变化知，后一个月总是比前一个月价格每500克增长0.1元． （或：设y＝kx+b，将（2，0.7），（3，0.8）代入，得到y=0.1x+0.5，把（4，0.9）， ∴6月玉米的价格是：1.1元/500克; ∵5月增长率：∴W=

5.761.166.256.25125 ，∴6月猪肉的价格：6(1－

125)=5.76元/500克.

=5.24<6， 要采取措施．

22（3）7月猪肉价格是：6(1a)元/500克； 7月玉米价格是：1(12a)元/500克； 由题意，6(1a)+1(12a)=5.5， 解得，a6(111022或a ． a不合题意，舍去．

222331∴W10， W(7.59)6，∴不(或：不一定)需要采取措施． 121(1)5)

23.(2009年河北)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）

A型板材块数 B型板材块数 裁法一 1 2 裁法二 2 m 裁法三 0 n A 60 单位：cm 30 设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z张，且所裁出的A.B两种型号的板材刚好够用．

150 www.1230.org 初中数学资源网

B B 40 40

（1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；

（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式， 并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？

【关键词】函数的运用 【答案】解：（1）0 ，3． （2）由题意，得

1x2y240， ∴y120x．

2 2x3z180，∴z602x． 312（3）由题意，得 Qxyzx120x60x．

231整理，得 Q180x．

61120x2 由题意，得602x3 解得 x≤90．

【注：事实上，0≤x≤90 且x是6的整数倍】 由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小． 此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．

24．(2009年潍坊)某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：

方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；

方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元． （1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式； （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由． 解：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：

y14x

蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：

y22.4x16000．

（2）y2y1(2.4x16000)4x

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160001.6x，

由y1y2，得：160001.6x0， 解得：x10000．

当x10000时，y1y2，

选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低．

当x10000时，y1y2，

选择方案二，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低．

当x10000时，y1y2，

两种方案都可以，两种方案所需的费用相同．

25.(2009年咸宁市)某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图①所示；每个售票窗口票数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图②所示．某天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图③所示，已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口．

（1）求a的值；

（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；

（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着―以人为本，方便旅客‖的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？ y/人 y/人 y/人 300

4 240 3

a 78 x/分 O O 1 x/分 O 1 x/分

（图①） （图②） （图③）

26. （2009年重庆市江津区）如图，反比例函数y2的图像与一次函数ykxb的图像x交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y轴的交点为C。 （1）求一次函数解析式； （2）求C点的坐标；

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（3）求△AOC的面积。

【关键词】一次函数与反比例函数

【答案】由题意：把A（m，2），B（-2，n）代入

y2中得 xm1 n1∴A（1，2） B（-2，-1） 将A.B代入ykxb中得

26题图

kb2 2kb1k1 b1∴一次函数解析式为：yx1 （2）C（0，1） （3）SAOC1111 22

27．（2009年牡丹江）甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．下图是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）请将图中的（ ）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度； （2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离． 【关键词】一次函数的实际问题 【答案】解：（1）（ ）内填60

甲车从A到B的行驶速度：100千米/时

（2）设ykxb，把（4，60）、（4.4，0）代入上式得：

604kb4kb04.

k150 解得：

b600www.1230.org 初中数学资源网

y150x660

自变量x的取值范围是：4≤x≤4.4

（3）设甲车返回行驶速度为v千米/时，有0.4(60v)60得v90(千米/时)， 所以，A、B两地的距离是：3100300 （千米） 28．（2009年牡丹江）某冰箱厂为响应国家―家电下乡‖号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：

型号 成本（元/台） 售价（元/台） A型 2200 2800 B型 2600 3000 （1）冰箱厂有哪几种生产方案？ （2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？―家电下乡‖后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？ （3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种． 【关键词】一次函数的实际问题

【答案】解：（1）设生产A型冰箱x台，则B型冰箱为100x台，由题意得： 4750≤0(2800x2200)(300026x0≤0) 0(10 解得：37.5≤x≤40 x是正整数

x取38，39或40． 有以下三种生产方案： A型/台 B型/台 方案一 38 62 方案二 39 61 方案三 40 60

（2）设投入成本为y元，由题意有：

y2200x2600(100x)400x260000 4000

y随x的增大而减小

当x40时，y有最小值．

即生产A型冰箱40台，B型冰箱50台，该厂投入成本最少 此时，政府需补贴给农民(280040300060)13%37960(元)

（3）实验设备的买法共有10种． 29．（2009年长春）某部队甲、乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为y甲（棵），乙班植树的总量为y乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x（时），

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y(棵) 120 y甲 y乙 30 O 3 6 8 x(时)

y甲、y乙分别与x之间的部分函数图象如图所示．

（1）当0≤x≤6时，分别求y甲、y乙与x之间的函数关系式．（3分）

（2）如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当x8时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵．（3分）

（3）如果6个小时后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当x8时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵．（4分）

30．（2009年长春）如图，直线y35直线yxx6分别与x轴、y轴交于A、B两点，

44与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）．点E的运动时间为t（秒）．

（1）求点C的坐标．（1分）

（2）当0t5时，求S与t之间的函数关系式．（4分） （3）求（2）中S的最大值．（2分）

（4）当t0时，直接写出点4，在正方形PQMN内部时t的取值范围．（3分）

292b4acb2，【参考公式：二次函数yaxbxc图象的顶点坐标为】 ．

4a2a

y D Q B C O P E A N x M 31. （2009年锦州）某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40%.其中销售量y(件)与所售单价x(元)的关系可以近似的看作如图12所表示的一次函数. www.1230.org 初中数学资源网

(1)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (2)设该公司获得的总利润(总利润=总销售额-总成本)为w元，求w与x之间的函数关系式.当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？ 解(1) 最高销售单价为50(1+40%)=70(元).……1分 根据题意，设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0). ∵函数图象经过点(60，400)和(70，300)， ∴ 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+1000， x的取值范围是50≤x≤70. (2)根据题意，w=(x-50)(-10x+1000)， W=-10x2+1500x-50000,w=-10(x-75)2+6250. ∵a=-10 ，∴抛物线开口向下. 又∵对称轴是x=75，自变量x的取值范围是50≤x≤70 ， ∴y随x的增大而增大. ……8分 ∴当x=70时，w最大值=-10(70-75)2+6250=6000(元). ∴当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元. 32．（2009年安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．

金额w（元） 【解】

批发单价（元）

① 5 4 ② 300 200 100 www.1230.org 初中数学资源网

O 20 60 批发量（kg）

O 20 40 60 批发量m（kg）

（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的 函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 使得当日获得的利润最大． 【答案】

（1）解：图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果， 可按5元/kg批发；……3分

图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发．

日最高销量（kg） 80 （6，80） 40 （7，40） O 2 4 6 8 零售价（元

5m （20≤m≤60）（2）解：由题意得：w，函数图象如图所示．

4m （m＞60）由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可

批发到较多数量的该种水果． （3）解法一：

设当日零售价为x元，由图可得日最高销量w32040m 当m＞60时，x＜6.5 由题意，销售利润为

y(x4)(32040m)40[(x6)24]

当x＝6时，y最大值160，此时m＝80

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg， 当日可获得最大利润160元． 解法二：

设日最高销售量为xkg（x＞60）

则由图②日零售价p满足：x32040p，于是p销售利润yx(320x 40320x14)(x80)2160 4040当x＝80时，y最大值160，此时p＝6

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元． 33．（2009年广州市）如图11，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点，且点M的坐标是（1，2）。

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（1）写出点A.B的坐标；

（2）求直线MN所对应的函数关系式；

（3）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）。

【关键词】一次函数 【答案】

34.（2009年济宁市）阅读下面的材料：

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数yk1xb1(k10)的图象为直线l1，一次函数

yk2xb2(k20)的图象为直线l2，若k1k2，

且b1b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行. 解答下面的问题：

（1）求过点P(1,4)且与已知直线y2x1平行的直线l的函数表达式,并画出直线l 的图象； （2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：ykxt(t0)与直线l平行且交x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数表达式. 【关键词】一次函数

【答案】解：（1）设直线l的函数表达式为y＝k x＋b. ∵ 直线l与直线y＝—2x—1平行，∴ k＝—2. ∵ 直线l过点（1，4），∴ —2＋b ＝4，∴ b ＝6. ∴ 直线l的函数表达式为y＝—2x＋6. 直线l的图象如图.

－2 －2 6 4 2 y O 2 4 6 x

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(2) ∵直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，∴点A、B的坐标分别为（0，6）、（3，0）. ∵l∥m,∴直线m为y＝—2x+t. ∴C点的坐标为(,0). ∵ t＞0,∴

t2t0. 2∴C点在x轴的正半轴上.

1t3t(3)69; 2221t3t当C点在B点的右侧时， S(3)69.

222当C点在B点的左侧时，S3t9(0t6),2∴△ABC的面积S关于t的函数表达式为S

3t9(t6).235.（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线yx上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数； （3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC 的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 【关键词】动态问题

【答案】（1）解：∵A点第一次落在直线yx上时停止旋转， ∴OA旋转了45.

0y yx A M B O C

N x4522∴OA在旋转过程中所扫过的面积为.

3602（2）解：∵MN∥AC，

∴BMNBAC45,BNMBCA45. ∴BMNBNM.∴BMBN. 又∵BABC，∴AMCN.

又∵OAOC,OAMOCN,∴OAMOCN.

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∴AOMCON.∴AOM1(9045. 2∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为

45.

（3）答：p值无变化.

证明：延长BA交y轴于E点，则AOE45AOM，

0CON900450AOM450AOM，

∴AOECON.

又∵OAOC，OAE1809090OCN. ∴OAEOCN. ∴OEON,AECN.

又∵MOEMON45,OMOM,

∴OMEOMN.∴MNMEAMAE. ∴MNAMCN，

∴pMNBNBMAMCNBNBMABBC4. ∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.

y

A M B xN O

C

36．2009年衡阳市）在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙

地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系．

（1）甲、乙两地之间的距离为 8 km，乙、丙两地之间的距离为 2 km； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

0000E yx www.1230.org 初中数学资源网

S(km) 8· 6· 4· 2· 0

A B 2 t(h)

【关键词】一次函数折线图 【答案】解：（2）第二组由甲地出发首次到达乙地所用的时间为：

82(82)28100.8（小时）

第二组由乙地到达丙地所用的时间为：

22(82)22100.2（小时）

（3）根据题意得A.B的坐标分别为（0.8，0） 和（1，2），设线段AB的函数关系式为：

S2ktb，根据题意得：

00.8kb 2kb k10解得：

b-8∴图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式为：S210t－8，自变量t的取值范围是：

0.8t1．

37．（2009年衡阳市）如图，直线yx4与两坐标轴分别相交于A.B点，点M是线段AB上任意一点（A.B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D． （1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0a4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

y B D M B y B y O C 图（1）

A x O 图（2）

A x O A 图（3）

x

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【关键词】一次函数、正方形、动态 【答案】解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（00，－x+4>0）； 则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x； ∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8

∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4

∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0121aa24； 2211如图10（3），当2a4时，S(4a)2(a4)2；

22∴S与a的函数的图象如下图所示：

（3）如图10（2），当0a2时，S4S 4· 2· S1Sa2（40a2)

20 · 2 12(a4)（2a4) 2· a4

38．（2009年清远）某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．

（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．

（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据； 每千克饮料 果汁含量 果汁 甲 乙 A B 0.5千克 0.3千克 0.2千克 0.4千克 请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？

【关键词】确定一次函数解析式、不等式（组）的简单应用 【答案】解：（1）依题意得：y4x3(50x)x150

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（2）依题意得：0.5x0.2(50x)≤19…………(1)

0.3x0.4(50x)≤17.2………(2)解不等式（1）得：x≤30 解不等式（2）得：x≥28

不等式组的解集为28≤x≤30

yx150，y是随x的增大而增大，且28≤x≤30

当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，

成本总额y最小，y最小28150178（元） （

39．（2009年衢州）（如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线yax2上．

(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

(2) 平移抛物线yax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

A y 8 6 4 D C -4 -2 O -2 -4 2 B 2 4 x

1． 2【关键词】二次函数的应用

【答案】解：(1) 将点A(-4，8)的坐标代入yax2，解得a将点B(2，n)的坐标代入y

12x，求得点B的坐标为(2，2)， 2则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)． 54直线AP的解析式是yx．

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令y=0，得xy 8 6 4 44．即所求点Q的坐标是(，0)．

55A D C -4 -2 O Q 2 4 x -2 P -4 2 B

414︱=， 55(2)① 解法1：CQ=︱-2-故将抛物线y1214x向左平移个单位时，A′C+CB′最短， 25114此时抛物线的函数解析式为y(x)2．

25解法2：设将抛物线y12x向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)2和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)． 554直线A′′B′的解析式为yxm．

333要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上， 将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得m故将抛物线y14． 51214个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为x向左平移

25114y(x)2．

25A′ y 8 6 4 B′ 2 D C -4 -2 O 2 4 x -2 -4 A′′

12x，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的2② 左右平移抛物线y周长最短，只要使A′D+CB′最短；

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第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短． 第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．

因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)， 要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． 点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)， 直线A′′B′′的解析式为y55xb2． 22要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得b16． 5故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数116解析式为y(x)2．

25A′ y 8 6 4 B′′ B′ 2 C D -4 -2 O 2 4 x -2 -4 A′′

40．（2009年舟山）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线yax2上．

(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

(2) 平移抛物线yax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

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A y 8 6 4 D C -4 -2 O Q 2 4 x -2 P -4 2 B

【关键词】二次函数的应用

【答案】解：(1) 将点A(-4，8)的坐标代入yax2，解得a将点B(2，n)的坐标代入y1． 2

12x，求得点B的坐标为(2，2)， 2则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)． 54直线AP的解析式是yx．

33令y=0，得xy 8 6 4 D C -4 -2 O -2 -4 2 B 44．即所求点Q的坐标是(，0)．

55A 2 4 x

414︱=， 55(2)① 解法1：CQ=︱-2-故将抛物线y1214x向左平移个单位时，A′C+CB′最短， 25114此时抛物线的函数解析式为y(x)2．

25解法2：设将抛物线y12x向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)2和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)． 554直线A′′B′的解析式为yxm．

333要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，

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将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得m故将抛物线y14． 51214个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为x向左平移

25114y(x)2．

25A′ y 8 6 4 B′ 2 D C -4 -2 O 2 4 x -2 -4 A′′

12x，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的2② 左右平移抛物线y周长最短，只要使A′D+CB′最短；

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短． 第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．

因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)， 要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． 点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)， 直线A′′B′′的解析式为y55xb2． 22要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得b16． 5故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数116解析式为y(x)2．

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A′ y 8 6 4 B′′ B′ 2 D C -4 -2 O 2 4 x -2 -4 A′′

41．（2009白银市）鞋子的―鞋码‖和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组―鞋码‖与鞋长换算的对应数值：［注：―鞋码‖是表示鞋子大小的一种号码］

鞋长（cm） 鞋码（号） 16 22 19 28 21 32 24 38 （1）设鞋长为x，―鞋码‖为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上？ （2）求x、y之间的函数关系式；

（3）如果某人穿44号―鞋码‖的鞋，那么他的鞋长是多少？ 【关键词】一次函数与实际生活的联系 【答案】23.解：（1）一次函数． （2）设ykxb．

k2，解得

b10．∴y2x10．（x是一些不连续的值．一般情况下，x取16、16.5、17、17.5、…、26、26.5、27等）（3）y44时，x27．

答：此人的鞋长为27cm 42．（2009年新疆）某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．

（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象．

（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案） （3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．

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y（千米） 150 100 50 1 0 1 2

3 4 5 6 7 8 x（小时）

【关键词】一次函数与二元一次方程 【答案】（1）如图

y（千米） 150 100 E 50 A -1 0 1 2 3 4 5 6 7 C 8 x（小时）

D B

（2）2次

（3）如图，设直线AB的解析式为yk1xb1，图象过A(4，，0)B(，615，04k1b10，k175，,y75x300．①设直线CD的解析式为yk2xb2，

6kb150.b300.1117k2b20，k275，,,y75x525．②解0)D(5150)，，图象过C(7，，5kb150.b525.222由①、②组成的方程组得x5.5，最后一次相遇时距离乌鲁木齐市的距离为112.5千

y112.5.米．

43．(2009年牡丹江市)甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车

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先到达B地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．下图是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）请将图中的（ ）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度；

（2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．

y（千米） 120 （ ） O

3 4.4 x（小时）

【关键词】一次函数的实际应用 【答案】（1）（ ）内填60,甲车从A到B的行驶速度：100千米/时. （2）设ykx，、（4.4，0）代入上式得： b把（4，60）

604kb解得：

04.4kbk150y150x660.自变量x的取值范围是：4≤x≤4.4. b600（3）设甲车返回行驶速度为v千米/时，有0.4(60v)60得v90(千米/时).A、B两地的距离是：3100300 （千米）44．（2009泰安）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线

y3 xm与x轴交于点E。3（1） 求点E的坐标； （2） 求过 A.O、E三点的抛物线解析式； （3） 若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A.E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值。

【关键词】等边三角形、一次函数的图像、抛物线解析式和最大值 【答案】解：（1）作AF⊥x轴与F ∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=3 ∴点A（1，3）

代入直线解析式，得343 1m3，∴m=

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∴y343 x33当y=0时，343x0 33得x=4， ∴点E（4，0）

（2）设过A.O、E三点抛物线的解析式为yaxbxc ∵抛物线过原点

∴c=0

∴ ∴

∴抛物线的解析式为y23243xx 33（3）作PG⊥x轴于G，设P(x0，y0)

SS△AOGS△FGPS△PGE 3(3y0)(x01)(4x0)y0 222112(3x03y0)(3x053x0) 2235253 (x0)2228 当x0525时，S最大3 2845．（2009江西）某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛

开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB、OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程t（分．．．．．．．S（米）与所用时间S（米） 钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）： A （1）求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式；

3 600 （2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？ S（米） 【关键词】一次函数的图像和性质 【答案】解：（1）解法一： 3 600 B 从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟 设小明步行的速度为x米/分，则小明父亲骑车的速度为3x

O 15 t（分）

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（第21题） O 15 t（分）

米/分

依题意得：15x+45x=3600．解得：x=60． 所以两人相遇处离体育馆的距离为 60×15=900米．

所以点B的坐标为（15，900）．

设直线AB的函数关系式为s=kt+b（k≠0）． 由题意，直线AB经过点A（0，3600）、B（15，900）得：

b3600，k180，解之，得 15kb900b3600．∴直线AB的函数关系式为：S180t3600． 解法二：

从图象可以看出：父子俩从出发到相遇花费了15分钟． 设父子俩相遇时，小明走过的路程为x米． 依题意得：3x3600x 1515解得x=900，所以点B的坐标为（15，900）

以下同解法一．

（2）解法一：小明取票后，赶往体育馆的时间为：

9005 603小明取票花费的时间为：15+5=20分钟． ∵20<25

∴小明能在比赛开始前到达体育馆．

解法二：在S180t3600中，令S=0，得0180t3600． 解得：t=20．

即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为20分钟，因而小明取票的时间也为20分钟． ∵20<25，∴小明能在比赛开始前到达体育馆．

46．（ 2009年嘉兴市）如图，已知一次函数ykxb的图象经过A(2,1)，B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D， （1）求该一次函数的解析式； （2）求tanOCD的值； （3）求证：AOB135．

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y B D 1 C O A 1 x

【关键词】一次函数的图像、三角函数的应用. k12kb【答案】（1）由，解得3kbb43，所以y4x5 5333（2）C(，0)，D(0，)． 在Rt△OCD中，OD∴tanOCD55，OC， 345453OD4． OC3（3）取点A关于原点的对称点E(21)，， 则问题转化为求证BOE45． 由勾股定理可得，

y B D 1 C O 1 A E x OE5，BE5，OB10，

∵OB2OE2BE2， ∴△EOB是等腰直角三角形． ∴BOE45． ∴AOB135°．

47．(2009年鄂州)某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售。按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，

土特产种类 甲 乙 丙

8 6 5 每辆汽车运载量（吨）

16 10 每吨土特产获利（百元） 12

解答以下问题

(1)设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式．

(2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案。

(3)若要使此次销售获利最大，应采用(2)中哪种安排方案?并求出最大利润的值。 【关键词】一次函数的应用（方案设计） 【答案】（1）8x+6y+5(20―x―y)=120

∴y=20―3x ∴y与x之间的函数关系式为y=20―3x

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（2）由x≥3，y=20－3x≥3， 20―x―(20―3x)≥3可得3x52 3又∵x为正整数 ∴ x=3，4，5 故车辆的安排有三种方案，即：

方案一：甲种3辆 乙种11辆 丙种6辆 方案二：甲种4辆 乙种8辆 丙种8辆 方案三：甲种5辆 乙种5辆 丙种10辆 （3）设此次销售利润为W元， W=8x·12+6(20－3x)·16+5[20－x－(20－3x)]·10=－92x+1920 ∵W随x的增大而减小 又x=3，4，5

∴ 当x=3时，W最大=1644（百元）=16.44万元

答：要使此次销售获利最大，应采用（2）中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元。

l9.（2009年河南）暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升.

(1)已知油箱内余油量y(升)是行驶路程x(千米)的一次函数，求y与x的函数关系式； (2)当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由. 【关键词】确定一次函数解析式

【答案】19．（1）设y=kx+b,当x=0时，y=45,当x=150时，y=30． b =45 ∴

150k+b=30

解得 ∴y=b=45 k=1 101x+45． 101（2）当x=400时，y=×400+45=5＞3．

10∴他们能在汽车报警前回到家． 48．（2009年甘肃白银）鞋子的―鞋码‖和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组―鞋码‖与鞋长换算的对应数值：［注：―鞋码‖是表示鞋子大小的一种号码］ 鞋长（cm） 鞋码（号） 16 22 19 28 21 32 24 38 www.1230.org 初中数学资源网

（1）设鞋长为x，―鞋码‖为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上？ （2）求x、y之间的函数关系式；

（3）如果某人穿44号―鞋码‖的鞋，那么他的鞋长是多少？ 【关键词】确定一次函数解析式；待定系数法 【答案】本小题满分10分 解：（1）一次函数． （2）设ykxb． 由题意，得2216kb，

2819kb．k2，解得

b10．∴y2x10．（x是一些不连续的值．一般情况下，x取16、16.5、17、17.5、…、26、26.5、

27等）

说明：只要求对k、b的值，不写最后一步不扣分． （3）y44时，x27． 答：此人的鞋长为27cm． 49．（2009年广西南宁）南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积xm2的函数关系如图12所示；乙工程队铺设广场砖的造价y乙（元）与铺设面积xm2满足函数关系式：y乙kx． （1）根据图12写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积xm2的函数关系式； （2）如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600m，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？

y元 48000 28000 0 500 1000 2图12

xm2

【关键词】一次函数的实际问题

28000代入上式得： 【答案】解：（1）当0≤x≤500时，设y甲k1x，把500，28000500k1，k12800056 500y甲56x

28000、1000，48000代入上式得： 当x≥500时，设y甲k2xb，把500，500k2b28000 1000kb480002www.1230.org 初中数学资源网

解得：k240

b8000y甲40x8000

56x0≤x500 y甲40x8000x≥500（2）当x1600时，y甲401600800072000

y乙1600k

①当y甲y乙时，即：720001600k

得：k45

②当y甲y乙时，即：720001600k

得：0k45

③当y甲y乙时，即720001600k，k45

答：当k45时，选择甲工程队更合算，当0k45时，选择乙工程队更合算，当k45时，选择两个工程队的花费一样． 50．（2009年娄底）娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y（m）与挖筑时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题： （1）请你求出：

①在0≤x＜2的时间段内，y与x的函数关系式； ②在x≥2时间段内，y与x的函数关系式.

（2）用所求的函数解析式预测完成1620 m的路基工程，需要挖筑多少天？

【关键词】一次函数的图像和解析式 【答案】 解：（1）①当0≤x＜2时，设y与x的函数关系式为y=kx ∴40=k

∴y与x的函数式为y=40x（0≤x＜2） ②当x≥2时，设y与x的函数式为y=kx+b 115=3k+b

255=7k+b k=35

解之得 b=10

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∴y与x的函数式为y=35x+10（x≥2） （2）当y=1620时，35x+10=1620 x=46

答：需要挖筑46天 51．（2009丽水市）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题： (1) 他们在进行 ▲ 米的长跑训练，在0＜x＜15的时 段内，速度较快的人是 ▲ ；

(2) 求甲距终点的路程y（米）和跑步时间 x（分）之间的函数关系式； (3) 当x=15时，两人相距多少米？在15＜x＜20的时段内，求两人速度之差．

y(米)50004000300020001000O51015(第20题) 20x(分)甲乙A

【关键词】一次函数图像和解析式 【答案】 解：（1）5000 甲

（2）设所求直线的解析式为： y =kx+b(0≤x≤20)，

由图象可知：b=5000，当x=20时，y=0， ∴0=20k+5000，解得k= -250. 即y = -250x+5000 (0≤x≤20)

（3）当x=15时，y = -250x+5000= -250×15+5000=5000-3750=1250. 两人相距：(5000 -1250)-(5000-2000)=750（米）. 两人速度之差:750÷(20-15)=150（米/分）

52．（2009丽水市）．绿谷商场―家电下乡‖指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：

类别 进价（元/台） 售价（元/台） 冰箱 2 320 2 420 彩电 1 900 1 980 (1) 按国家政策，农民购买―家电下乡‖产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买

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了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？

(2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数量的

5. 6①请你帮助该商场设计相应的进货方案；

②哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价进价），最大利润是多少？ 【关键词】不等式、一次函数的应用、设计方案 【答案】

解：(1) (2 420+1 980)×13%=572 答: 可以享受政府572元的补贴.

(2) ①设冰箱采购x台，则彩电采购（40-x）台，根据题意，得 2 320x+1 900(40-x)≤85 000， x≥

5(40-x). 623≤x≤21 117解不等式组，得18 ∵x为正整数． ∴x= 19,20，21．

∴该商场共有3种进货方案： 方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台 方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台；

方案三：冰箱购买21台，彩电购买19台. ②设商场获得总利润y元，根据题意，得 y=(2 420 2 320)x+(1 980 40-x)=20x+3 200 ∵20>0, ∴y随x的增大而增大 ∴当x=21时，y最大=20×21+3 200=3 620

答：方案三商场获得利润最大，最大利润是3 620元

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53．（2009恩施市）某超市经销A、B两种商品，A种商品每件进价20元，售价30元；B种商品每件进价35元，售价48元．

（1）该超市准备用800元去购进A、B两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大（其中B种商品不少于7件）？ （2）在―五·一‖期间，该商场对A、B两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 超过300元且不超过400元 超过400元 不优惠 售价打八折 售价打七折 促销活动期间小颖去该超市购买A种商品，小华去该超市购买B种商品，分别付款210元

与268.8元．促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？

【关键词】一次函数及其性质 【答案】

（1）解：设购进A.B两种商品分别为x件、y件 ，所获利润w元 则：w10x13y 解之得

20x35y8009y400 2 ∵w是y的一次函数，随y的增大而减少，又∵y是大于等于7的整数，且x也

w为整数，

∴当y8时，w最大，此时x26

所以购进A商品26件，购进B商品8件才能使超市经销这两种商品所获利润最大 （2）∵300×0.8=240 210﹤240

∴小颖去该超市购买A种商品:210÷30=7(件) 又268.8不是48的整数倍

∴小华去该超市购买B种商品:268.8÷0.8÷48=7(件) 小明一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品：7×30+7×48=546﹥400 小明付款为：546×0.7=382.2(元) 答：小明付款382.2元

54．（2009桂林百色）如图，已知直线l:y3x3，它与x轴、y轴的交点 4分别为A.B两点．

（1）求点A.点B的坐标；

（2）设F是x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经 过点B且与x轴相切于点F（不写作法和证明，保留作图痕迹）； （3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），

A www.1230.org 初中数学资源网

y BV O · F x

求y与x的函数关系式；

（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线l相切于点B， 若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．

【关键词】坐标、切线、作图、求函数关系式 【答案】解（1）A（4，0），B（0，3）

（2）满分3分．其中过F作出垂线1分，作出BF中垂线1分，找出圆心并画出⊙P给1分．

（3）过点P作PD⊥y轴于D，则PD=x，BD=3y， PB=PF=y，∵△BDP为直角三形， ∴ PB2PD2BD2 ∴BP2PD2BD2 即yx3y 即yx(3y) ∴y与x的函数关系为y（4）存在

∵⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B ∴ABAF

∵ABOAOB5 ∴AF5

22∵AF=x4 ， ∴(x4)5

222222y B D A O F P x 123x 62222222∴x1或x9 把x1或x9代入y∴点P的坐标为（1，

55．（2009年台州市）如图，直线l1：yx1与直线l2：ymxn相交于点P(1 ,b)． （1）求b的值；

1235x，得y或y15 6235）或（9，15） 3www.1230.org 初中数学资源网

（2）不解关于x,y的方程组yx1，请你直接写出它的解；

ymxn，y b O

P 1 l2 x l1 （3）直线l3：ynxm是否也经过点P？请说明理由． 【关键词】一次函数与二元一次方程 【答案】（1）∵(1,b)在直线yx1上， ∴当x1时，b112． （2）解是x1, y2.（3）直线ynxm也经过点P ∵点P(1,2)在直线ymxn上，

∴mn2，∴2n1m,这说明直线ynxm也经过点P

256．（2009年泸州）已知一次函数yaxb的图象经过点A（0，C（c,c4)． (1)求c；

(2)求abcabacbc的值．

【关键词】函数图像.

【答案】

57． （2009年滨州） 根据题意，解答下列问题：

22243），3），B（1，（1）如图①，已知直线y2x4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长； （2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M(3，4)，

N(2，1)之间的距离；

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（3）如图③，P2(x1，y2)是平面直角坐标系内的两点． 1(x1，y1)，P(x2x1)(y2y1)． 求证：PP12y y y P2(x2，y2) y2x1

M B

x x x O O B O PN 1(x1，y1)

（第4题图①） （第4题图②） （第4题图③）

【关键词】一次函数与坐标轴的交点，两点之间的距离.

【答案】（1）A(-2,0)，B（0，4），AB=OAOB222241625；（2）过M、N点

分别作y轴、x轴的平行线交x轴于点C，交y轴于点E，两平行线交于点D.过M、N点分别作y轴、x轴的垂线交点分别为A，B，则MD=AB=5，ND=CE=5,所以MN=MDND222525=52；（3）过p2、p1点分别作y轴、x轴的平行线交

x轴于点C，交y轴于点E，两平行线交于点D.过p2、p1点分别作y轴、x轴的垂线交点分别为A，B，则p2D=AB=y2y1，ND=CE=x2x1,所以PP12(x2x1)2(y2y1)2. 58. (2009年四川省内江市)我市部分地区近年出来持续干旱现象，为确保生产生活用水，某

村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维护和新建一批储水池。该村共有243户村民，准备维护和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：

储水池 新建 维护 费用（万元/个） 4 3 可供使用的户数（户/个） 5 18 占地面积（㎡/个） 4 6 已知可支配使用土地面积为106㎡，若新建储水池X个，新建和维护的总费用为y万元。 （1）求y与x 之间的函数关系； （2）满足要求的方案各有几种；

（3）若平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？ 【关键词】一次函数的实际应用. 【答案】解：（1）由题意得y=4x+3(20-x) 即y=x+60

（2）由题意得5x+18(20-x)≥243,4x+6(20-x)≤106 即x≤9 x≥7∴7≤x≤9

故满足要求的方案有三种：

新建7个维修13个；新建8个维修12个，新建9个维护11个 （3）由y=x+60知y随x的增大而增大

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∴当x=7时，y最小=67（万），当x=9时，y最大=69（万） 而居民捐款共243×0.2=48.6（万）

∴村里出资最多为20.4万，最少为18.4万

59. （2009仙桃）宏志中学九年级300名同学毕业前夕给灾区90名同学捐赠了一批学习用品(书包和文具盒)，由于零花钱有限，每6人合买一个书包，每2人合买一个文具盒(每个同学都只参加一件学习用品的购买)，书包和文具盒的单价分别是54元和12元．

(1)若有x名同学参加购买书包，试求出购买学习用品的总件数y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；

(2)若捐赠学习用品总金额超过了2300元，且灾区90名同学每人至少得到了一件学习用品，请问同学们如何安排购买书包和文具盒的人数？此时选择其中哪种方案，使购买学习用品的总件数最多？

【关键词】一次函数的实际应用..

【答案】（1）设有x名同学参加购买书包，则有300x名同学购买文具盒，所以可购买书包

x300x个，购买文具盒个. 62x300x1，即yx150. 623所以购买学习用品的总件数y与x的关系式为：y（2）设有x名同学参加购买书包，根据题意得

300xx54122300,62 1x150903解这个不等式组，得1662x180. 3又因为6人合买一个书包，故购书包的人数应为6的倍数， 所以购买书包的人数应为：168，或174，或180 相应购买文具盒的人数为：132，或126，或120. ∵总件数y与x的关系式为：y∴当x168时，总件数最多.

60．（2009年广州市）如图11，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点，且点M的坐标是（1，2）。 （1）写出点A.B的坐标；

（2）求直线MN所对应的函数关系式；

（3）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）。

1x150，y随x的增大而减小 3www.1230.org 初中数学资源网

【关键词】一次函数 【答案】

61.（2009年济宁市）阅读下面的材料：

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数yk1xb1(k10)的图象为直线l1，一次函数

yk2xb2(k20)的图象为直线l2，若k1k2，

且b1b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行. 解答下面的问题：

（1）求过点P(1,4)且与已知直线y2x1平行的直线l的函数表达式,并画出直线l 的图象； （2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：ykxt(t0)与直线l平行且交x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数表达式. 【关键词】一次函数

【答案】解：（1）设直线l的函数表达式为y＝k x＋b. ∵ 直线l与直线y＝—2x—1平行，∴ k＝—2. ∵ 直线l过点（1，4），∴ —2＋b ＝4，∴ b ＝6. ∴ 直线l的函数表达式为y＝—2x＋6. 直线l的图象如图.

－2 －2 6 4 2 y O 2 4 6 x

(2) ∵直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，∴点A、B的坐标分别为（0，6）、（3，0）. ∵l∥m,∴直线m为y＝—2x+t.

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∴C点的坐标为(,0). ∵ t＞0,∴

t2t0. 2∴C点在x轴的正半轴上.

1t3t(3)69; 2221t3t当C点在B点的右侧时， S(3)69.

222当C点在B点的左侧时，S3t9(0t6),2∴△ABC的面积S关于t的函数表达式为S

3t9(t6).262.（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线yx上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数； （3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC 的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 【关键词】动态问题

【答案】（1）解：∵A点第一次落在直线yx上时停止旋转， ∴OA旋转了45.

0y yx A M B O C

N x4522∴OA在旋转过程中所扫过的面积为.

3602（2）解：∵MN∥AC，

∴BMNBAC45,BNMBCA45. ∴BMNBNM.∴BMBN. 又∵BABC，∴AMCN.

又∵OAOC,OAMOCN,∴OAMOCN. ∴AOMCON.∴AOM1(9045. 2∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为

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45.

（3）答：p值无变化.

证明：延长BA交y轴于E点，则AOE45AOM，

0CON900450AOM450AOM，

∴AOECON.

又∵OAOC，OAE1809090OCN. ∴OAEOCN. ∴OEON,AECN.

又∵MOEMON45,OMOM,

∴OMEOMN.∴MNMEAMAE. ∴MNAMCN，

∴pMNBNBMAMCNBNBMABBC4. ∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.

y

A M B xN O

C

63．（2009年衡阳市）在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙

地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系．

（1）甲、乙两地之间的距离为 8 km，乙、丙两地之间的距离为 2 km； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

0000E yx www.1230.org 初中数学资源网

S(km) 8· 6· 4· 2· 0

A B 2 t(h)

【关键词】一次函数折线图 【答案】解：（2）第二组由甲地出发首次到达乙地所用的时间为：

82(82)28100.8（小时）

第二组由乙地到达丙地所用的时间为：

22(82)22100.2（小时）

（3）根据题意得A.B的坐标分别为（0.8，0） 和（1，2），设线段AB的函数关系式为：

S2ktb，根据题意得：

00.8kb 2kb k10解得：

b-8∴图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式为：S210t－8，自变量t的取值范围是：

0.8t1．

64．（2009年衡阳市）如图，直线yx4与两坐标轴分别相交于A.B点，点M是线段AB上任意一点（A.B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D． （1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0a4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

y B D M B y B y O C 图（1）

A x O 图（2）

A x O A 图（3）

x

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【关键词】一次函数、正方形、动态 【答案】解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（00，－x+4>0）； 则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x； ∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8

∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4

∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0121aa24； 2211如图10（3），当2a4时，S(4a)2(a4)2；

22∴S与a的函数的图象如下图所示：

（3）如图10（2），当0a2时，S4S 4· 2· S1Sa2（40a2)

20

· 2 12(a4)（2a4) 2· a4

65．（2009年广西梧州）某工厂要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元．

（1）设招聘甲种工种工人x人，工厂付给甲、乙两种工种的工人工资共y元，写出y（元）与x（人）的函数关系式；

（2）现要求招聘的乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种 各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？ 【关键词】一次函数的应用

【答案】 解：（1）y600x1000(150x) y400x150000 （2）依题意得，150x≥2x x≤50

因为－400＜0，由一次函数的性质知，当x=50时，y有最小值 所以150－50=100

答: 甲工种招聘50人，乙工种招聘100人时可使得每月所付的工资最少．

66．(2009年甘肃定西)鞋子的―鞋码‖和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组―鞋码‖与鞋长换算的对应数值：［注：―鞋码‖是表示鞋子大小的一种号码］

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鞋长（cm） 鞋码（号） 16 22 19 28 21 32 24 38 （1）设鞋长为x，―鞋码‖为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上？

（2）求x、y之间的函数关系式；

（3）如果某人穿44号―鞋码‖的鞋，那么他的鞋长是多少？ 【关键词】一次函数的应用 【答案】 解：（1）一次函数． （2）设ykxb．

2216kb，由题意，得

2819kb．k2，解得

b10．∴y2x10．（x是一些不连续的值．一般情况下，x取16、16.5、17、17.5、…、26、26.5、

27等）

说明：只要求对k、b的值，不写最后一步不扣分． （3）y44时，x27．

答：此人的鞋长为27cm． 67．（2009年包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45． （1）求一次函数ykxb的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围． 【关键词】一次函数、二次函数、最大值 解：（1）根据题意得65kb55，解得k1，b120．

75kb45.所求一次函数的表达式为yx120． （2）W(x60)(x120) x180x7200 (x90)900，

22抛物线的开口向下，当x90时，W随x的增大而增大， 而60≤x≤87，

当x87时，W(8790)2900891．

当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．

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（3）由W500，得500x180x7200，

2整理得，x180x77000，解得，x170，x2110．

2由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x≤87，所以，销售单价x的范围是70≤x≤87． 68．（2009年长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？

（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？

y （万件） 4 2 1 O 40 60 80 x （元）

【关键词】一次函数、

解： （1）当40x≤60时，令ykxb，

140kb4，k，1则解得10 yx8．

1060kb2b8.同理，当60x100时，y1······································································ 4分 x5． ·

201x8，(40x≤60)10y（直接写出这个函数式也记4分．）

1x5(60x100)2069． (2009年本溪)为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． （1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？

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（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买x(x0)支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱．

【关键词】一次函数

【答案】

4x2y86，x14，（1）解：设每个笔记本x元，每支钢笔y元． 解得

3xy57.y15.答：每个笔记本14元，每支钢笔15元． （2）y(0x≤10)15x

12x30(x10)

（3）当14x12x30时，x15； 当14x12x30时，x15；

当14x12x30时，x15．综上，当买超过10件但少于15件商品时，买笔记本省钱； 当买15件奖品时，买笔记本和钢笔一样； 当买奖品超过15件时，买钢笔省钱． (2009宁夏)19．

已知正比例函数yk1x(k10)与反比例函数yk2(k20)的图象交于A、B两点，点x1)． A的坐标为(2，（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；

（2）求点B的坐标． 【关键词】正比例函数 【答案】

解：（1）把点A(21)，分别代入yk1x与yk2得 xk11，k22． 212x，y． 2x正比例函数、反比例函数的表达式为：yy（2）由方程组y1xx12x222得，．

y1y1212xB点坐标是(2,1)．

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70．（2009肇庆）如图 7，已知一次函数y1xm（m为常数）的图象与反比例函数 y2（k为常数， k0）的图象相交于点 A（1，3）．

（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标； （2）观察图象，写出使函数值y1≥y2的自变量x的取值范围．

y 3 1 1 1O 1 B 图7 x A（1，3）

y 3 2 1 kxA（1，3）

1 1 2 3 1B x 图7

解：（1）由题意，得31m，解得m2，所以一次函数的解析式为y1x2．由题意，得3k， 133y ，解得．由题意，得x2xxA（1，3） 3 1 x 解得k3，所以反比例函数的解析式为y2x11，x23．当x23时，y1y21，所以交点B(3，1)． （2）由图象可知，当3≤x0或x≥1时， 函数值y1≥y2．

71．（2009年厦门市）已知：在ABC中，ABAC．

1 1O 1 B 图7 （1）设ABC的周长为7，BCy，ABx（2≤x≤3）．写出y关于x的函数关系式，并在直角坐标系中画出此函数的图象；

（2）如图，D是线段BC上一点，连接AD，若BBAD．求证：BACBDA．

【关键词】一次函数的图象，相似三角形 【答案】（1）解：y＝7－2x（2≤x≤3） 画直角坐标系 画线段

（2）证明：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C.

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∵ ∠B＝∠BAD，∴ ∠BAD＝∠C. 又∵ ∠B＝∠B， ∴BACBDA. 72．（2009辽宁朝阳）某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．

载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲种客车 45 280 乙种客车 30 200

（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；

（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？ 【关键词】一次函数与一元一次不等式

【答案】（1）y280x(6x)20080x1200(0≤x≤6)

（2）可以有结余，由题意知解不等式组得：4≤x≤580x1200≤1650

45x30(6x)≥2405 8预支的租车费用可以有结余． x取整数 x取4或5

k800 y随x的增大而增大．

当x4时，y的值最小．

其最小值y48012001520元

最多可结余16501520=130元

73．（2009眉山）―六一‖前夕，某玩具经销商用去2350元购进A.B.C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示，

⑴用含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数； ⑵求y与x之间的函数关系式；

型 号 Ａ Ｂ C 进价(元／套) 40 55 50 ⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具

售价(元／套) 50 80 65 的过程中需要另外支出各种费用200元。

①求出利润P(元)与x(套)之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套。

【关键词】一次函数与不等式

【答案】（1）购进C种玩具套数为：50－x－y（或47－

411x－y） 510（2）由题意得40x55y50(xy)2350 整理得y2x30

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（3）①利润＝销售收入－进价－其它费用

p(5040)x(8055)y(6550)(50xy)200

又∵y2x30

∴整理得p15x250

②购进C种电动玩具的套数为：50xy50x(2x30)803x

x107070据题意列不等式组2x3010，解得20x ∴x的范围为20x，且x为

33803x10整数 x的最大值是23

∵在p15x250中，k15＞0 ∴P随x的增大而增大

∴当x取最大值23时，P有最大值，最大值为595元．此时购进A.B.C种玩具分别为23套、16套、11套．

28x与直线l2:y2x16相交于点33C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合． （1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动

74．（2009年山西省）如图，已知直线l1:y时间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

yl2 E C D l1y A O B F （G） x

【关键词】一次函数的几何应用；一次函数与二元一次方程；矩形的性质；特殊平行四边形相关的面积问题；相似三角形有关的计算 【答案】（1）解：由

280．得x4． A点坐标为4，x0，330．由2x160，得x8． B点坐标为8，∴AB8412．

28x5，yx，6．由∴C点的坐标为5， 33解得y6．y2x16．www.1230.org 初中数学资源网

∴S△ABC11 AB·yC12636．2228 88．33 （2）解：∵点D在l1上且xDxB8，yD8． ∴D点坐标为8，

2xE168．xE4．又∵点E在l2上且yEyD8，

8．∴E点坐标为4，

∴OE844，EF8．

（3）解法一：①当0≤t3时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形

CHFGR（t0时，为四边形CHFG）．过C作CMAB于M，则

BR△tRGB∽R△tC．MyE l2C D R yl1l2D C R yE l1E D l2C l1R A F O G M （图2）

B x F A G O M B x

（图3）

A O F M G B x （图1）

∴

BGRGtRG即∴RG2t． ，，BMCM36 Rt△AFH∽Rt△AMC，112∴SS△ABCS△BRGS△AFH36t2t8t8t．

22341644即St2t ．33382t当3t8时，如图2，为梯形面积，∵G（8－t,0）∴GR=2(8t)8,

∴

1282t880

s4[(4t)8]t233333333当8t12时，如图3,为三角形面积，

s12tt2(8)(12t)8t48 233

75．（2009年邵阳市）如图（十二）直线l的解析式为y＝－x+4, 它与x轴、y轴分相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；

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（3）以MN为对角线作矩形OMPN,记 △MPN和△OAB重合部分的面积为S2 ； 当2在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2 为△OAB的面积的

y l m N B y l m N P A x O M B E P F A x 5？ 16O M

【关键词】一次函数的几何应用；矩形的性质；与二次函数有关的面积问题

【答案】（1）当x0时，y4；当y0时，x4．A(4，，（； ················ 2分 0)B0，4）（2）MN∥AB，OMOA11··· 4分 1，OMONt，S1OM·ONt2； ·

ONOB22（3）①当2t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为(t，t),

xt，即F(t，4t)， F点的坐标满足yt4，同理E(4t，t)，则PFPEt(4-t)2t4， 所以S2S△MPNS△PEFS△OMNS△PEF

11113t2PE·PFt2(2t4)(2t4)t28t8； 2222211515②当0t≤2时，S2t2，t244，

221622解得t150，t252，两个都不合题意，舍去；

57，解得t33，t4， 2375综上得，当t或t3时，S2为△OAB的面积的．

316当2t≤4时，S2t28t8注：解答题用其它方法解答，请参照评分．

76．（2009年黄石市）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随

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着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

y(台) 1200 800 200 x(元) 0 400 x(元) 图① 图②

（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？

（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益Z与政府0 补贴款额x之间的函数关系式；

（3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值．

【关键词】确定一次函数解析式；一次函数的实际问题；二次函数的应用；二次函数的极值问题

【答案】解：（1）该商场销售家电的总收益为800200160000（元） （2）依题意可设

z(元) 200 160 yk1x800，Zk2x200

有400k18001200，200k2200160，

解得k11，k2． 所以yx800，Z151x200． 51x200 5（3）WyZ(x800)1(x100)2162000

5政府应将每台补贴款额x定为100元，总收益有最大值． 其最大值为162000元．

77．（2009年铁岭市）为迎接国庆六十周年，某校团委组织了―歌唱祖国‖有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖．学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍．各种奖品的单价如下表所示．如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w元．

一等奖 二等奖 三等奖

（1）求w与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少？最少是多少元？ 【关键词】一次函数的实际问题；一次函数与一元一次不等式（组）

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【答案】解：（1）12x10(2x10)5[50x(2x10)]

17x200．

x02x100由

[50x(2x10)]05[50x(2x10)]≤1.510(2x10)得10≤x20

∴自变量的取值范围是10≤x20，且x为整数．

（2）∵k170，∴随x的增大而增大，当x10时，有最小值． 最小值为1710200370．

答：一等奖买10件，二等奖买10件，三等奖买30件时，所花的钱数最少， 最少钱数是370元

78．（2009呼和浩特）在直角坐标系中直接画出函数y|x|的图象；若一次函数ykxby|x|的图象分别过点A(11)的2)，请你依据这两个函数的图象写出方程组，，B(2，ykxb解．

y 2 1 -1 【关键词】一次函数的应用

【答案】讲解：画出图象,如图

y O 1 2 x

-2 1 -1 O 1 2 x

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由图象可知，方程

x2x1yx或的解为

y2y1ykxb79．（2009呼和浩特）如图，已知反比例函数y（x0）的图象与一次函数y的图象交于A、B两点，点C的坐标为1，，连接AC，AC平行于y轴．

mx15x2212（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标．

（2）现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A、B之间的部分滑动（不与A、B重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段AB交于M、N两点，试判断P点在滑动过程中△PMN是否与△CAB总相似，简要说明判断理由． y

A M N 1 C P B x O 1

【关键词】一次函数与反比例函数的综合应用 【答案】

80．（2009龙岩）永定土楼是世界文化遗产―福建土楼‖的组成部分，是闽西的旅游胜地．―永定土楼‖模型深受游客喜爱． 图中折线（AB∥CD∥x轴）反映了某种规格土楼模型的单价y（元）与购买数量x（个）之间的函数关系． （1）求当10≤x≤20时，y与x的函数关系式；

（2）已知某旅游团购买该种规格的土楼模型 总金额为2625元，问该旅游团共购买这种土楼模型多少个？（总金额=数量×单价）

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y （元/个） 200 A 150 B C 0 10 20 x （个）

（第24题图）

【关键词】一次函数的应用 【答案】解：（1）当10≤x ≤20时，设y = kx＋b（k≠0） 10kb200k5 依题意，得  解得

20kb150b250∴当10 ≤ x ≤ 20时，y =－5x＋250

（2）∵10 × 200 < 2625 < 20 × 150

∴10 < x < 20依题意，得xy = x（－5x＋250）= 2625 即x2－50x＋525 = 0 解得x1 = 15， x2 = 35（舍去） ∴只取x = 15．

答：该旅游团共购买这种土楼模型15个．

81．(2009年抚顺市)某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x块．

（1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？

（2）设加工两种巧克力的总成本为y元，求y与x的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？

2. （2009年湛江）某公司为了开发新产品，用A、B两种原料各360千克、290千克，试制甲、乙两种

新型产品共50件，下表是试验每件新产品所需原料的相关数据： ．． 产 品 甲 乙 9 4 3 10 原 含 量 料 A（单位：千克） B（单位：千克） （1）设生产甲种产品x件，根据题意列出不等式组，求出x的取值范围；

（2）若甲种产品每件成本为70元，乙种产品每件成本为90元，设两种产品的成本总额为y元，写出成本总额y（元）与甲种产品件数x（件）之间的函数关系式；当甲、乙两种产品各生产多少件时，产品的成本总额最少？并求出最少的成本总额． 【关键词】一次函数的实际问题 【答案】（1）依题意列不等式组得由不等式①得x≤32 由不等式②得x≥30

x的取值范围为30≤x≤32 （2）y70x90(50x)

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9x4(50x)≤360

3x10(50x)≤290

化简得y20x4500

200，y随x的增大而减小

而30≤x≤32

当x32，50x18时，y最小值203245003860（元）

答：当甲种产品生产32件，乙种18件时，甲、乙两种产品的成本总额最少，最少的成本总额为3860元．

6.（2009年广州）如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点，且点M的坐标是（1，2）。 （1）写出点A、B的坐标；

（2）求直线MN所对应的函数关系式；

（3）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）.

【关键词】确定一次函数解析式 【答案】（1）A(1,3)，B(4,2)； （2）解法1：∵直线MN经过坐标原点， ∴设所求函数的关系式是ykx， 又点M的坐标为（1，2）， ∴k2，

∴直线MN所对应的函数关系式是y2x． 解法2：设所求函数的关系式是ykxb， 则由题意得：

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b0, kb2.解这个方程组，得k2, b0.∴直线MN所对应的函数关系式是y2x．

（3）利用直尺和圆规，作线段AB关于直线MN的对称图形AB，如图所示．

A B 1 -1 O 1 -1 y M A x B N 8.（2009年资阳）已知Z市某种生活必需品的年需求量y1(万件)、供应量y2(万件)与价格x(元/件)在一定范围内分别近似满足下列函数关系式：y1= –4x＋190，y2=5x–170．当y1=y2时，称该商品的价格为稳定价格，需求量为稳定需求量；当y1y2时，称该商品的供求关系为供不应求． (1) 求该商品的稳定价格和稳定需求量；

(2) 当价格为45(元/件)时，该商品的供求关系如何？为什么？ 【关键词】一次函数的实际问题

【答案】(1) 由y1=y2，得：–4x＋190=5x–170 解得 x=40．

此时的需求量为 y1= –4×40+190=30．

因此，该商品的稳定价格为40元/件，稳定需求量为30万件． (2) 当x=45时，y1= – 4×45＋190=10 y2= 5×45–170=55 ∴ y1∴ 当价格为45(元/件)时，该商品供过于求．

23．(2009年营口市) “五一”假期小明骑自行车去郊游，早上8∶00从家出发，9∶30到

达目的地．在郊游地点玩了3个半小时后按原路以原速返回，同时爸爸骑电动车从家出发沿同一路线迎接他，爸爸骑电动车的速度是20千米/小时，小明骑自行车的速度是10千米/小时．设小明离开家的时间为x小时，下图是他们和家的距离y(千米)与x(时)的函数关系图象．

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D x(时) 5 O 1.5

23．方法一：解：（1）15 ······································································································· 1分 （2）y120(x5)

即y120x100 ··················································································································· 4分 （3）y21510(x5)

即y210x65． ·············································································································· 7分 （4）点C表示小明与爸爸相遇． ························································································· 8分 当小明与爸爸相遇时，y1y2． 即20x10010x65．

(1)目的地与家相距 千米；

(2)设爸爸与家的距离为y1(千米)，求爸爸从出发到与小明相遇的过程中，y1与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(3)设小明与家的距离为y2(千米)，求小明从返程到与爸爸相遇的过程中，y2与x的函

y(千米) 数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

A B (4)说明点C的实际意义，并求出此时小明与家的距离． C 1． ···················································································································· 9分 211当x5时，y21056510（千米）．

22解得，x5答：此时小明离家还有10千米． ························································································ 10分

方法二：解：（1）15 ··············································································································· 1分 （2）小明从郊游地点返回，到与爸爸相遇所用时间：

15(1020)1（小时） 2110（千米） 2相遇时，爸爸与家的距离为：20所以，点C的坐标为5，10． 又由题意，得D点坐标(5，0)．

12所以易求直线DC的表达式：y120x100． ·································································· 4分 （3）因为点C的坐标为5，，， 10，B点坐标(515)12www.1230.org 初中数学资源网

易求直线BC的表达式：y210x65． ········································································· 7分 （4）点C表示小明与爸爸相遇． ························································································· 8分 因为C点坐标为5，10，

所以此时小明离家还有10千米． ························································································ 10分 12

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