高中数学复习专题讲座 数形结合思想

高考要求

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 重难点归纳

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线

以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法

以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合

典型题例示范讲解

例1设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若CB，求实数a的取值范围

命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目

知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将CB用不等式这一数学语言加以转化

错解分析 考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察图象将是上策 不能漏掉a＜–2这一种特殊情形

技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决

解 ∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数 ∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3} 作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况

y如下 422

①当–2≤a≤0时，a≤z≤4即C={z｜a≤z≤4}

1要使CB,必须且只须2a+3≥4得a≥与–2≤a＜0

2②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使可知

a2-2aox矛盾

CB，由图

必须且只需解得

2a34

0a2y41≤a≤2 22

2

③当a＞2时，0≤z≤a，即C={z｜0≤z≤a}，

-2oa2x要使CB必须且只需

a22a3解得2＜a≤3 a2④当a＜–2时，A=此时B=C=，则CB成立 -2y4综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［

1,3］ 2o2ax例2已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证

cos22c22 ab2命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力

知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上

错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二

技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题

证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ, sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图

从而 ｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2 =2–2cos(α–β)

y|c|又∵单位圆的圆心到直线l的距离d B22abDA1xo由平面几何知识知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即

222cos()c221d2

4ab∴cos22c22 2ab例3曲线y=1+4x2 (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围

解析 方程y=1+4x2的曲线为半圆，

yM1-2o2xy=r(x–2)+4为过（2，4）的直线

答案 （

53,］ 124例4设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围 解法一 由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立

x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立

考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方 如图两种情况

不等式的成立条件是

(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)

y(2)0a1a∈(–3,–2]， g(1)0-1oax综上所述a∈(–3,1)

解法二 由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)

令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象 如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的（即直线的斜率）分别为1，–3， 故直线l对应的a∈(–3,1)

ya-1oxy-11ox-2a值