一．选择题（共10小题） 1．﹣2020的倒数是（ ） A．﹣2020B．﹣
C．2020D．
2．下列运算正确的是（ ） A．（x+y）2＝x2+y2B．x3+x4＝x7 C．x3•x2＝x6D．（﹣3x）2＝9x2 3．实数2
介于（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间 4．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ） A．﹣7B．7C．3D．﹣3
5．如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠l＝25°，则∠2等于（ ）
A．25°B．30°C．50°D．60°
6．桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
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A．12个B．8个C．14个D．13个
7．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8B．12C．16D．2
8．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ） A．16B．24C．16或24D．48
9．如图，点A是反比例函数y═（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面
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积为（ ）
A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣3D．4﹣π 二．填空题（共10小题） 11．cos60°＝．
12．2020年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大威胁．截止6月份，全球确诊人数约3200000人，其中3200000用科学记数法表示为． 13．在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝． 14．不等式组
的解集为．
15．把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为．
16．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是．
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17．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为．
18．某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是． 19．如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝
，E为CD的中点，连
接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．
三．解答题（共6小题） 21．（1）计算：（）﹣2﹣|（2）先化简，再求值：（
﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0； ﹣a+1）÷
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，其中a从﹣1，2，
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3中取一个你认为合适的数代入求值．
22．某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
等级 A B C D
频数（人数）
a 16 b 4
频率 20% 40% m 10%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的a，b＝，m＝．
（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．
（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重
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合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC． （1）求证：直线PQ是⊙O的切线．
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝，求图中阴影部分的面积．
24．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 11 日销售量y（件） 18
19 2
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
25．如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现
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（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
26．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题） 1．﹣2020的倒数是（ ） A．﹣2020B．﹣
C．2020D．
【分析】根据倒数的概念解答． 【解答】解：﹣2020的倒数是﹣故选：B．
2．下列运算正确的是（ ） A．（x+y）2＝x2+y2B．x3+x4＝x7 C．x3•x2＝x6D．（﹣3x）2＝9x2
【分析】直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误； B、x3+x4，不是同类项，无法合并，故此选项错误； C、x3•x2＝x5，故此选项错误； D、（﹣3x）2＝9x2，正确． 故选：D．
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，
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3．实数2介于（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间 【分析】首先化简2【解答】解：∵2∴6＜2
＜7．
＝
＝
，再估算
，由此即可判定选项．
，且6＜＜7，
故选：C．
4．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ） A．﹣7B．7C．3D．﹣3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A．
5．如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠l＝25°，则∠2等于（ ）
A．25°B．30°C．50°D．60°
【分析】由折叠的性质可得出∠ACB′的度数，由矩形的性质可得出
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AD∥BC，再利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠2的度数． 【解答】解：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°． ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，
∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°． 故选：C．
6．桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
A．12个B．8个C．14个D．13个
【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．
【解答】解：底层正方体最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最多有13个． 故选：D．
7．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
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A．8B．12C．16D．2
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5， ∴OD＝10，OM＝6， ∵AB⊥CD， ∴AM＝
＝
＝8，
∴AB＝2AM＝16． 故选：C．
8．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ） A．16B．24C．16或24D．48
【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，
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∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0， 解得：x＝4或x＝6， 分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形； ②当AB＝AD＝6时，6+6＞8， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24． 故选：B．
9．如图，点A是反比例函数y═（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
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【解答】解：如图，连接OA、OB、PC． ∵AC⊥y轴，
∴S△APC＝S△AOC＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝×|2|＝1， ∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2． 故选：A．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣3D．4﹣π
【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去以1为半径的半圆的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得， 阴影部分的面积是：•π×22﹣
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﹣2（1×1﹣•π×12）＝
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π﹣2， 故选：B．
二．填空题（共10小题） 11．cos60°＝．
【分析】根据记忆的内容，cos60°＝即可得出答案． 【解答】解：cos60°＝． 故答案为：．
12．2020年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大威胁．截止6月份，全球确诊人数约3200000人，其中3200000用科学记数法表示为 3.2×106．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：3200000＝3.2×106． 故答案为：3.2×106．
13．在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2） ． 【分析】本题可先提公因式x，再运用平方差公式分解因式即可求解．
【解答】解：xy2﹣4x ＝x（y2﹣4）
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＝x（y+2）（y﹣2）． 故答案为：x（y+2）（y﹣2）． 14．不等式组
的解集为 2＜x≤6 ．
【分析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2， 解不等式x﹣1≤4﹣x，得：x≤6， 则不等式组的解集为2＜x≤6， 故答案为：2＜x≤6．
15．把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为y＝2x+3 ． 【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，
再向上平移2个单位长度，得到y＝2x+3． 故答案为：y＝2x+3．
16．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1 ．
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【分析】根据物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：∵物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1．
17．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 （2，﹣1） ．
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标． 【解答】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣
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2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）．
18．某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1种结果，
∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为， 故答案为：．
19．如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为
．
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【分析】在等腰△ACD中，顶角∠A＝30°，易求得∠ACD＝75°；根据等边对等角，可得：∠OCA＝∠A＝30°，由此可得，∠OCD＝45°；即△COE是等腰直角三角形，则OE＝【解答】解：∵AC＝AD，∠A＝30°， ∴∠ACD＝∠ADC＝75°， ∵AO＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠OCD＝45°，即△OCE是等腰直角三角形， 在等腰Rt△OCE中，OC＝2； 因此OE＝故答案为：
． ．
，E为CD的中点，连．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝
接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝CD＝AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
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∵E为CD的中点， ∴DE＝CD＝AB， ∴△ABP∽△EDP， ∴
＝
， ，
∴＝∴
＝，
∵PQ⊥BC， ∴PQ∥CD， ∴△BPQ∽△DBC， ∴
＝
＝，
∵CD＝2， ∴PQ＝， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 21．（1）计算：（）﹣2﹣|（2）先化简，再求值：（
﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0； ﹣a+1）÷
，其中a从﹣1，2，
3中取一个你认为合适的数代入求值．
【分析】（1）先算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再算加减法即可求解；
（2）先通分，把除法转化成乘法，再把分式的分子与分母因式分解，然后约分，最后代入一个合适的数即可．
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【解答】解：（1）（）﹣2﹣|＝4+＝4+＝2+（2）（＝＝
＝﹣a﹣1，
要使原式有意义，只能a＝3，
﹣3+2×1﹣1 ﹣3+2﹣1 ；
﹣a+1）÷
×
﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0
则当a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
22．某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
等级 A B C D
频数（人数）
a 16 b 4
20 / 31
频率 20% 40% m 10%
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请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的a 8 ，b＝ 12 ，m＝ 30% ． （2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．
（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）根据题意列式计算即可得到结论；
（2）用D等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%； 故答案为：8，12，30%；
（2）本次调查共抽取了4÷10%＝40名学生； 补全条形图如图所示；
（3）将男生分别标记为A，B，女生标记为a，b，
A
A
B
a
b
（A，（A，a） （A，B）
b）
（B，a） （B，b）
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B （B，
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A） a b
（a，A） （a，B）
（a，b）
（b，（b，B） （b，a） A）
∵共有12种等可能的结果，恰为一男一女的有8种， ∴抽得恰好为“一男一女”的概率为
＝．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC． （1）求证：直线PQ是⊙O的切线．
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性质及已知条件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论．
（2）由sin∠DAC＝，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD的 度
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数，进而判定△AEO为等边三角形，则∠AOE的度数可得；利用S阴影＝S扇形﹣S△AEO，可求得答案． 【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠ACO． ∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ， ∴直线PQ是⊙O的切线． （2）连接OE，
∵sin∠DAC＝，AD⊥PQ， ∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°． 又∵OA＝OE，
∴△AEO为等边三角形， ∴∠AOE＝60°．
∴S阴影＝S扇形﹣S△AEO ＝S扇形﹣OA•OE•sin60°
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＝＝
×22﹣×2×2×﹣
．
∴图中阴影部分的面积为﹣．
24．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 11 日销售量y（件） 18
19 2
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得关于a、b的二元一次方程组，求解即可．
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可．
（3）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/
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件，由题意得：
，
解得：
．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得：
，解得：
．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）． （3）由题意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10） ＝﹣2x2+60x﹣400
＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）． ∴当x＝15时，w取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
25．如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，
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CD＝2，求BD的长．
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长． 【解答】解：（1）全等，理由是： ∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中，
，
∴△ACE≌△BCD（ SAS）；
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（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE，
∵△DCE都是等边三角形， ∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2， ∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°， 在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2， ∴AE＝∴BD＝
；
＝
＝
，
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，
∵B、C、E三点在一条直线上， ∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°， ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝60°，
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在Rt△ACF中，sin∠ACF＝∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×∴S△ACD＝
＝
， ＝
， ＝
，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×＝， FD＝CD﹣CF＝2﹣
，
＝3，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝∴AD＝
．
26．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；
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（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；
（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3， ∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴x＝﹣1或x＝3， ∴B（3，0），A（﹣1，0）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴AC＝
，
，CE＝|m+3|，
设点E（0，m），则AE＝∵△ACE是等腰三角形， ∴①当AC＝AE时，
＝
，
∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），
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∴E（3，0）， ②当AC＝CE时，∴m＝﹣3±∴E（0，﹣3+
，
）或（0，﹣3﹣
＝|m+3|，
），
＝|m+3|，
③当AE＝CE时，∴m＝﹣， ∴E（0，﹣），
即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣）；
（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），
）、（0，﹣3﹣
∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P， ∴点Q的纵坐标为4， 设Q（t，4），
将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4， ∴t＝1+2∴Q（1+2
或t＝1﹣2
，
，4），
，4）或（1﹣2
分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），
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∴FB＝PG＝3﹣1＝2， ∴点P的横坐标为（1+2﹣1﹣2
，
，0）、Q（1+2
，4）或P（﹣1﹣2
，0）、Q
）﹣2＝﹣1+2
或（1﹣2
）﹣2＝
即P（﹣1+2（1﹣2
，4）．
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