复变函数教案1.1

教学课题：第一节 复数

教学目的：1、复习、了解中学所学复数的知识；

2、理解所补充的新理论；

3、熟练掌握复数的运算并能灵活运用。

教学重点：复数的辐角 教学难点：辐角的计算 教学方法：启发式教学

教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的，它是学好本们课程的基础。因此，复习、了解中学所学复数的知识，理解所补充的新理论，熟练掌握复数的运算并能灵活运用显得尤为重要。 教学过程：

1、复数域：

每个复数z具有xiy的形状，其中别称为

x和yR，i1是虚数单位；

x和y分

z的实部和虚部，分别记作xRez，yImz。

复数z1x1iy1和z2x2iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等。

z可以看成一个实数；如果Imz0，那么z称为一个虚

数；如果Imz0，而Rez0，则称z为一个纯虚数。

如果Imz0，则复数的四则运算定义为：

(a1ib1)(a2ib2)(a1a2)i(b1b2)(a1ib1)(a2ib2)(a1a2b1b2)i(a1b2a2b1)

(a1ib1)a1a2b1b2a2b1a1b2)i 2222(a2ib2)a2b2a2b2复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。

2、复平面：

C也可以看成平面R2，我们称为复平面。

作映射：CR2:zxiy(x,y)，则在复数集与平面R2之建立了一个1-1对应。

横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。

3、复数的模和辐角

复数可以等同于平面中的向量，z(x,y)xiy。

x2y2向量的长度称为复数的模，定义为：|z|；

向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：

yArgzarctan2i（kZx）。

tany,Argz我们知道人亦非零复数有无限多个辐角，今以xargz表示其中的一个特定值，并称合条件

argz的一个为主值，或称之为z的主辐角。于是，

Argzargz2k,(k0,1,2,)。注意，当z=0时辐角无异议。当

z0时argz表示z的主辐角,它与反正切Arctan的主值arctan（argz，arctan）

22yarctan,当x0,y0;x,当x0,y0;2yarctan,当x0,y0; argzx(z0)yarctan,当x0,y0;x-,当x0,y0;2yxy有如下关系xyx复数的三角表示定义为：z|z|(cosArgzisinArgz)； 复数加法的几何表示：

设z1、z2是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：

yz20z1z2z2z1xz1z2z2关于两个复数的和与差的模，有以下不等式： （1）、|z1z2||z1||z2|；（2）、|z1z2|||z1||z2||； （3）、|z1z2||z1||z2|；（4）、|z1z2|||z1||z2||； （5）、|Rez||z|,|Imz||z|；（6）、|z|2zz； 例1 试用复数表示圆的方程：

a(x2y2)bxcyd0 （a0）

其中，a,b,c,d是实常数。

解：方程为 azzzzd0，其中(bic)。

例2、设z1、z2是两个复数，证明

z1z2z1z2,z1z2z1z2

12z1z1

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设z1、z2是两个非零复数，则有

z1|z1|(cosArgz1isinArgz1)z2|z2|(cosArgz2isinArgz2)

则有

z1z2|z1||z2|[cos(Argz1Argz2) isin(Argz1Argz2)]

即|z1z2||z1||z2|，Arg(z1z2)Argz1Argz2，其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，有

z1/z2|z1|/|z2|[cos(Argz1Argz2) isin(Argz1Argz2)]

即|z1/z2||z1|/|z2|，Arg(z1/z2)Argz1Argz2，其后一个式子也应理解为集合相等。

例3、设z1、z2是两个复数，求证：

|z1z2|2|z1|2|z2|22Re(z1z2),

例4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。 解：直线：Imza0； bazaca圆：Im()0

zbcb4、复数的乘幂与方根

利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

ab

abc

zn|z|n(cosnArgzisinnArgz)rn(cosnisinn)从而有znz,当r1时,则得棣莫弗(DeMoivre)公式1，则 znn

令znzn|z|n[cos(nArgz)isin(nArgz)]

进一步，有

11zn|z|[cos(Argz)isin(Argz)]

nn1n共有n-个值。

例4、求4(1i)的所有值。

解：由于1i2(cosisin)，所以有

44411(1i)82[cos(2k)isin(2k)]

44444kk(1i)82[cos()isin()]

162162其中，k0,1,2,3。 5、共轭复数

复数的共轭定义为：zxiy；显然

zz,ArgzArgz,这表明在复平面上,z与z两点关于实轴是对称的

我们也容易验证下列公式：

(1),zz,z1z2z1z2,(2),z1z2z1z2,(2z1z)1(z20),z2z2zzzz ,Imz,22i(4),设R(a,b,c)表示对于复数a,b,c的任一有理运算,则(3),zzz,RezR(a,b,c)R(a,b,c)6、作业：