高三数学第二轮专题讲座复习 分类讨论思想 试题

高考要求

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考察学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原那么、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的HY，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论〞

重难点归纳 分类讨论思想就是根据一定的HY，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原那么分类讨论常见的根据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类

2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等

3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论

在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论

典型题例示范讲解 例1{an}是首项为2，公比为〔1〕用Sn表示Sn+1;

1的等比数列，Sn为它的前n项和 2〔2〕是否存在自然数c和k，使得

Sk1c2成立 Skc此题主要考察等比数列、不等式知识以及探究和论证存在性问题的才能

知识依托解决此题根据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的根本性质

错解分析第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出

3Sk2cSk 2技巧与方法此题属于探究性题型，是高考试题的热点题型在讨论第2问的解法时，采取优化结论的策

略，并灵敏运用分类讨论的思想即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案

解〔1〕由Sn=4(1–

111〕，得Sn14(1n1)Sn2，(n∈N) 2n22*

3c(Sk2)Sk1c122，只要0因为Sk4(1k)4 〔2〕要使

SkccSk2所以Sk313〔k∈N〕 (Sk2)2Sk0，(k∈N)故只要Sk–2＜c＜Sk，

222*

*

*

因为Sk+1＞Sk，(k∈N)① 所以

33Sk–2≥S–2=1 221

又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或者3

当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立

当k≥2时，因为故当k≥2时，

35S22c，由Sk＜Sk22+1

(k∈N)得

*

33Sk–2＜Sk22+1

–2

3Sk–2＞c，从而①不成立 2当c=3时，因为S1=2，S2=3，

所以当k=1，k=2时，c＜Sk不成立，从而①不成立 因为

31333S32c又Sk–2＜Sk2422+1

–2所以当k≥3时，

3Sk–2＞c从而①成立 2综上所述，不存在自然数c,k,使

Sk1c2成立

Skc例2给出定点A〔a,0)〔a＞0〕和直线lx=–1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C求

点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系

此题考察动点的轨迹，直线与圆锥曲线的根本知识，分类讨论的思想方法综合性较强，解法较多，考察推理才能和综合运用解析几何知识解题的才能 知识依托求动点轨迹的根本方法步骤椭圆、双曲线、抛物线HY方程的根本特点

错解分析此题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型

技巧与方法精心考虑，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式巧妙

地利用角平分线的性质 解法一依题意，记B〔–1，b)，(b∈R〕，那么直线OA和OB的方程分别为y=0和y=–bx 设点C(x,y)，那么有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB间隔相等 根据点到直线的间隔公式得｜y｜=

|ybx|1b2①

依题设，点C在直线AB上，故有由x–a≠0，得byb(xa) 1a(1a)y②

xa2

2

2

2

2

将②式代入①式，得y［(1–a)x–2ax+(1+a)y］=0 假设y≠0，那么(1–a)x–2ax+(1+a)y=0(0＜x＜a) 假设y=0那么b=0,∠AOB=π，点C的坐标为〔0，0〕满足上式 综上，得点C的轨迹方程为〔1–a〕x–2ax+(1+a)y=0(0＜x＜a)

2

2

(i)当a=1时，轨迹方程化为y=x(0≤x＜1)③

2

此时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a≠1，轨迹方程化为

(xa2)21ay1(0xa)④

2a2a()1a1a2所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段 解法二如图,设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足 〔i〕当｜BD｜≠0时，设点C(x,y)，那么0＜x＜a，y≠0 由CE∥BD，得|BD||CE||DA||y|(1a) |EA|axByC∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD ∴2∠COA=π–∠BOD

2tanCOA∴tan(2COA) 21tanCOAtan(BOD)tanBOD∵tanCOAD|y| xoEAx|y||BD||y|x|y|(1a)整理，得 tanBOD(1a)∴

y|OD|axax12x2(1–a)x–2ax+(1+a)y=0(0＜x＜a)

2

2

(ii)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，那么点C的坐标为(0,0)，满足上式 综合(i)、(ii)，得点C的轨迹方程为(1–a)x–2ax+(1+a)y=0(0≤x＜a)以下同解法一 2

2

解法三设C(x,y)、B(–1,b)，

那么BO的方程为y=–bx，直线AB的方程为∵当b≠0时，OC平分∠AOB，设∠AOC=θ,

yb(xa) 1a2tan2k 221tan1k∴直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是tan2又tan2θ=–b∴–b=

2k① 1k2b∵C点在AB上∴kx(xa)②

1a2k由①、②消去b，得(1a)kx(xa)③ 21ky2yyx(xa)整理得(a–1)x–(1+a)y+2ax=0④ 又k代入③，有(1a)xxxy212x2

2

当b=0时，即B点在x轴上时，C(0,0)满足上式 (xa≠1时，④式变为

a2)21ay1

2a2a()1a1a2当0＜a＜1时，④表示椭圆弧段；当a＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a=1时，④表示抛物线弧段 1111f(x)(a1)x3ax2x在其定义域内有极值点，那么a的取值为

32451解析即f(x)=(a–1)x+ax–=0有解 4例3假设函数

2

当a–1=0时，满足当a–1≠0时，只需Δ=a–(a–1)＞0 2

答案

2525a222

或者a=1

例4设函数f(x)=x+｜x–a｜+1，x∈R (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求函数f(x)的最小值 解(1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)+｜–x｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数

2

当a≠0时，f(a)=a+1,f(–a)=a+2｜a｜+1f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)

2

2

此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 〔2〕①当x≤a时，函数f(x)=x–x+a+1=(x–

2

13)+a+ 242

假设a≤

1，那么函数f(x)在(–∞,a］上单调递减 2从而函数f(x)在〔–∞,a]上的最小值为f(a)=a+1

2

1131，那么函数f(x)在〔–∞,a]上的最小值为f()=+a，且f()≤f(a) 224213②当x≥a时，函数f(x)=x+x–a+1=(x+)–a+

241131假设a≤–，那么函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–)=–a，且f(–)≤f(a)；

22421假设a＞–，那么函数f(x)在［a,+∞)单调递增 2假设a＞

22

从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a+1

2

综上，当a≤–当–

13时，函数f(x)的最小值为–a； 242

11＜a≤时，函数f(x)的最小值是a+1； 2213当a＞时，函数f(x)的最小值是a+

24