2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高二上学期期末数学试题(含答案解析)

一、单选题1．已知A．5【答案】A

【解析】根据等比数列的下标和性质，对已知条件进行变形即可求得.【详解】

an是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等于（

B．10

C．15D．8）

a2a42a3a5a4a625根据等比数列的性质，则：

22a32a3a5a5a3a5252解得故

a3a55，又

an0a3a55故选：A.【点睛】

本题考查等比数列下标和性质，也可以用基本量求解.2．已知a0，1b0，那么下列不等式成立的是（ A．abaab【答案】D

【解析】根据不等式的性质，结合已知条件，对三个数的大小进行比较即可.【详解】

因为a0，1b0，故ab0，ab0,a02abab,aba故

22）

22D．ababaB．ababa2C．abaab又

ab2aab2102故aba2综上：ababa故选：D.【点睛】本题考查利用不等式性质比较大小，是基础题.x2y2212ab3．已知双曲线 (a0,b0) 的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为（ ）x2y21A．4【答案】Ay2x14B．2x23y215C．203x2y2120D．5【解析】根据题意，列方程，求得a,b,c即可.【详解】由题可知c5，2b1222a，由abc22a4,b1故解得故选：A.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.q4．条件p:|xm|2，条件q:1xn，若p是的充分条件，则n的最小值为（ A．1【答案】CB．2C．3D．4）q【解析】根据p是的充分条件，可得集合之间的关系，即可求得参数范围.【详解】xm2,m2因为p:|xm|2，故可解得q又因为p是的充分条件故：集合m2,m2是集合1,n的子集，故m21,m2n解得nm23故n的最小值为3.故选：C.【点睛】本题考查由充分条件，求参数的范围，属基础题.5．如图，在正方体角的大小是（ ABCDA1B1C1D1）中，E，F分别是上底棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的 A．30 B．45C．60D．90【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，用向量法进行求解.【详解】建立以D1为坐标原点，以D1A1、D1C1，D1D所在直线分别为x,y,z轴，设正方体棱长为1，1A1,0,1,B11,1,0,D10,0,0,E0, ,12则：nx,y,z设平面D1B1E的法向量为则rnD1B10，nD1E01yz0,xy0故：21n1,1,2解得又AB10,1,1设直线AB1与平面B1D1EF所成的角的大小为2sincosn,AB12故可得AB1与平面B1D1EF所成的角的大小为4故可得故选：B.【点睛】本题考查线面角的求解，可以用向量法进行处理.6．若正实数a，b满足ab1，则下列说法正确的是（ ）1A．ab有最小值4B．ab有最小值2C．ab有最小值2【答案】D2211b有最小值4D．a【解析】根据不等式的性质，对每一项进行逐项分析即可.【详解】ab对A：由均值不等式可得：不是最小值，故错误；112ab44，当且仅当ab时取得最大值，对B：ab212ab12ab12ab22时取得，，当且仅当此时ab取得最大值2，不是最小值，故错误；对C：a2b2ab2ab12ab1212时取得最小值，故错误.2112ab42ab当且仅当abab1111ab2224ababbaba对D：，ab当且仅当故选：D.【点睛】12取得最小值.故正确.本题考查不等式的性质，涉及均值不等式的使用，属综合基础题.7．已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf'(x)，当x0时，f'(x)f(x)0x，若a221f,b2f(2),cln333B．bca1fln3，则a,b,c的大小关系正确的是（ ）C．acbD．cabA．abc【答案】B【解析】利用条件构造函数g(x)xf(x)，然后利用导数研究函数g(x)的单调性，利用函数的单调性比较大小．【详解】解：根据题意，设g(x)xf(x)，若yf(x)为奇函数，则g(x)(x)f(x)xf(x)g(x)，则函数g(x)为偶函数，当x0时，g(x)(x)f(x)xf(x)f(x)xf(x)x[f(x)f(x)f(x)]x，又由当x0时，222111af()g()c(ln)f(ln)g(ln)g(ln3)333，b2f(2)g(2)g（2）333，，1ln323且，f(x)0x，则g(x)0，则函数g(x)在(0,)上为减函数，则有bca；故选：B．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数奇偶性的性质以及应用，关键是构造新函数g(x)xf(x)，属于综合题．8．以下说法正确的有（ ）11A．实数xy0是xy成立的充要条件B．ab2ab对a,bR恒成立C．命题“xR，使得xx10”的否定是“xR，使得xx10”2222211D．若xy，则x+2y的最小值是8【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合题意，逐项分析即可.【详解】11xy0xy成立的充分不必要条件，故错误；对A：实数是对B：ab2ab对a,bR恒成立，故正确；2对C：命题“xR，使得xx10”的否定是“xR，使得xx10”222故错误；211xy对D：若，且当x0,y0时，才能满足最小值为8，当不满足两个数均为正数，则最小值为8不成立，故错误.故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质，涉及均值不等式，重要不等式，属不等式基础题.9．如图，在边长为2的正方体且满足ABCDA1B1C1D1）中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，B1PD1E，下列结论正确的是（ A．B1P的长度的最大值为2B．B1P的长度的最小值为6C．B1P的长度的最大值为2265BPD．1的长度的最小值为5【答案】D【解析】找出点P的运动轨迹，再根据题意，计算其最大值与最小值即可.【详解】根据题意，若满足则点P的轨迹为过B1PD1E，B1且与直线D1E垂直的一个平面与底面ABCD的交线.中点为N，连接根据题意，取DC中点为M，取如下图所示：CC1AB1,B1N,NM,MA因为同理B1N垂直于D1E在平面BCC1B1中的投影，故B1ND1ED1EAB1故直线故平面在D1E平面AB1NMAB1NM与底面ABCD的交线AM即为P点的运动轨迹B1AM中，AM5,AB122,B1M365B由等面积法可知，过1作底边AM的高线，则高线长为5即为B1P的最小值；又当P点与M点重合时，取得最大值，最大值为BM365B1P,35综上所述：故选：D.【点睛】本题考查线面垂直问题，涉及轨迹求解，属综合基础题.x2y221(a0,b0)2FFab10．已知双曲线的左、右焦点分别为1，2，点M在双曲线的左支上，若2|MF2|5|MF1|，则双曲线的离心率不可以是（ ）A．3【答案】A7B．3C．25D．3【解析】根据双曲线的定义，结合题中已知条件，利用两边之和大于第三边，找到不等关系，确定离心率的范围即可.【详解】设MF1n,MF2m故可得：mn2a,2m5nm解得：104aa,n3314a2c因为mn2c，故可得3c7a3.解得故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，其中寻求不等关系是重中之重.11．已知函数为（ ），若方程F(x)f(x)ax有4个零点，则 a的可能的值1A．4【答案】AB．11C．21D．e1,e上的过坐标原点的切线的斜率，只需a小于该斜率，且为正数即可.【解析】求出yInx在区间【详解】根据函数fx的解析式，可知，函数的图像如下：要使得方程F(x)f(x)ax有4个零点，1,e上的过坐标原点的切线的斜率即可.只需a小于yInx在区间y1x，设切点为x0,y0，故可得切线方程为：yInx01xx00,0x0，又其过代入解得x0e11xe故此时切线的斜率为01a0, e故故选：A.【点睛】本题考查函数的零点问题，涉及数形结合，利用导数求切点，属函数综合题.二、填空题12．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a11，S334，则S4=___________．5【答案】8.【解析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到S4．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：设等比数列的公比为q，由已知S3a1a1qa1q21qq2q解得31q2q04，即412，14)a1(1q)52S411q81()2所以．41(【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算免繁分式计算．13．正方体是 【答案】S4S3a4S3a1q3315()3428，避ABCDA1B1C1D1．的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动, 则DC·AP的取值范围0,1所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直【解析】【详解】试题分析：以线为轴，建立空间直角坐标系．则在线段、、、、．∴，且、．∵点上运动，∴，∴．∴APABBPDCBP,1,，故答案为0,1．【考点】空间向量数量积的运算.214．已知F为抛物线yx的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， OAOB6（其中O为坐标原点），则△ABO 与△AFO面积之和的最小值是___________，当△ABO 与△AFO面积之和最小值时直线AB与x轴交点坐标为__________ .313【答案】2 (3,0) 【解析】设出直线方程，利用OAOB6求出直线AB与x轴交点的横坐标，将面积转化为函数，利用均值不等式求解.【详解】设直线AB方程：xtym，2y联立x得：ytym0Ax1,y1,Bx2,y22y1y2t,y1y2mxxy1y26根据OAOB6可得：12又x1x2y1y2m22，代入上式得：m3或m2，因为A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧故y1y23,m3|y2|，可得3y1SABOSAFO 1113y1y2y1224133y1y282 139y182y19313162y161313y213，2时取得最小值.213 当且仅当139y182y1，即3133,0故：面积和的最小值为2，交点的坐标为3133,0.故答案为：2，【点睛】本题考查抛物线中面积的最小值，涉及均值不等式的使用，属综合中档题；本题中面积的转换是重点.三、解答题15．设Sn为数列an的前n项和，已知a12，对任意nN*，都有2Snn1an．(Ⅰ)求数列an的通项公式；41Tn1(Ⅱ)若数列anan2的前n项和为Tn，求证：2．【答案】(1) an2n；(2）证明见解析.【解析】（1）运用数列的递推式，化简整理即可得到所求通项公式；（2）bn【详解】44111anan22n2n2nn1nn1，由裂项相消求和即可得到所求和．（1）因为2Snn1an，当n2时，2Sn1nan1两式相减得：2ann1annan1 即n1annan1，anan1n2n1.所以当时，nana12a2nn1所以，即n.（2）因为an2nbn，4anan2，nN，*bn所以41112n2n2nn1nn1.11n1111Tnb1b2bn11223nn1n1n1，所以 11011n1n1因为，所以. fn1n1在N*上是单调递减函数，又因为1所以1n1在N*上是单调递增函数. 1T所以当n1时，n取最小值2， 1Tn1所以2.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：1111nnkknnk(1)；（2） 1112n12n122n12n1111nkn knkn； （3）11nn1n1n2；此 ；（4）11nn1n22外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.16．在如图所示的几何体中，平面PAD平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，APD90，四边形ABCD为直角梯形，AB//DC，ABAD，ABAD2，PQ//DC，PQDC1（1）求证：PD//平面QBC；（2）求二面角QBCA的余弦值.6【答案】（1）证明见详解；（2）6【解析】（1）找到平面QBC中与直线PD平行的直线，利用线线平行证明线面平行即可；（2）根据题意建立空间直角坐标系，用向量法处理二面角的求解.【详解】（1） 因为PQ//CD，PQCD，所以四边形PQCD是平行四边形．所以PD//QC．因为PD 平面QBC，QC平面QBC，所以PD// 平面QBC．即证.（2）取AD的中点O，连接OP，因为PAPD，所以OPAD．因为平面PAD平面ABCD，OP平面PAD，平面PAD平面ABCDAD，所以OP平面ABCD．以点O为坐标原点，分别以直线OD，OP为y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如下图所示： 则x轴在平面ABCD内．因为APD90，ABAD2 PQCD1，所以A(0,1,0)，B(2,1,0)，C(1,1,0)，Q(1,0,1)，uuuruuur则 BQ(1,1,1)，CQ(0,1,1)．r设平面QBC的法向量为n(x,y,z)，nBQ0xyz0,nCQ0yz0由 得 r令z1，解得x2，y1，得n(2,1,1)．ur由题意得平面ABCD的法向量为m(0,0,1)，rurcosn,m所以16616．又因为二面角QBCA的平面角为锐角，6所以二面角QBCA的余弦值是 6．【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解二面角，属综合基础题；注意本题中建系的方式是一种比较好的方式.17．已知函数fxax1lnx1，f1处的切线方程是ybx5．x在点（1）求实数a,b 的值；1,efxe 上的最大值和最小值（其中e是自然对数的底数）.（2）求函数在【答案】（1）a2，b1；（2）最大值为2e1，最小值为3ln2.【解析】（1）求出函数的导数，通过切线方程列出方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，1，e上的最大值和最小值．判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在e【详解】（1）因为则fxax1a1xalnxfx22xxxx， ，， f11afx，f12a函数在点1,f1处的切线方程为：y2a1ax1， 1ab,3a15，即a2，b1. 由题意得fx2x1lnxfx0,， x，函数的定义域为（2）由（1）得∵fx21x222xxx，∴fx00x2，fx0x2，∴fx2x1lnx0,22,上单调递增． x在上单调递减，在1,2fx2,e上单调递增， 故在e上单调递减，在1,efxf23ln2∴在e上的最小值为． 11f2e1fe32ffee，且e又e，．11,ef2e1fx∴在e上的最大值为e. 1,efxe上的最大值为2e1，最小值为3ln2综上，在【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,准确计算是关键，是中档题.18．国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入m万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（xN*且x[45,60]），调整后研发人员的年人均投入增加2x%，技术人员的年人均投入调整为m(a3x)50万元.（1）要使这100x名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数；（2）是否存在这样的实数a，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a的范围，若不存在，说明理由.23,5]505a【答案】（1）人；（2）存在，的范围为，详见解析[【解析】（1）根据题意列式,并求解即可；（2）需满足两个不等关系：①技术人员的年人均投入不减少②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入,列出不等式求解即可【详解】（1）由题,可列方程为：100xm12x100m,则x50,故调整后的技术人员的人数为5023,5]5a（2）存在, 的范围为[由题,100xm12xmxa3x100x1a50,则x25在xN*且x[45,60]上恒成立,100x100x100x112145x25x2525即x50时取等,a5 ,当且仅当x3x3xmama13xhx15050,设50,则hx在xN*且x[45,60]上为增函数,但又即23x60时,hx取得最大值为5a235 [23,5]5a综上, 的范围为【点睛】本题考查不等关系的应用,考查最值问题,分析题意,列出（不）等式是解题关键x2y2M:221ab0F、F2ab19．设椭圆的左、右焦点分别为1，左顶点为A，左焦点到左顶点的1距离为1，离心率为2.（1）求椭圆M的方程；（2）过点A作斜率为k的直线与椭圆M交于另一点B，连接BF2并延长交椭圆M于点C.若F1CAB，求k的值.6x2y2k1123【答案】（1）4；（2）e【解析】（1）由题可得c1,ac1a2,解得a2,c1,进而求得椭圆方程即可；8k2612kB,2234k34k,进而得到直线BF2,联立直线BF2与直线（2）联立直线AB与椭圆,可得点CF1可得C8k21,8k,将点C坐标代入椭圆方程中,即可解得k的值【详解】（1）设椭圆左焦点F1c,022e,依题意,2c1,ac1a2,解得a2,c1,bac3,x2y2143则椭圆方程为：；（2）由（1）得,A2,0ykx2,由题k0 ，则直线AB的方程为,ykx22xy22222134kx16kx16k1203联立4,消去y,得,216k212B8k6,12k2xB22234k34kB(x,y),34k,即BB,设kBF2由（1）得,F11,0,F21,0,12k24k34k18k2614k2k1CF1k,34k2,直线BF2:y4k1x1CF:yx1114k2k,直线,4kyx114k2y1x12C8k1,8kk联立，解得,6x2y212k1k4212324,即代入4,得192k208k90，解得【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆与直线的位置关系的应用,考查运算能力xf(x)e2kx1，g(x)2kln(x1)x(kR)20．已知函数（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若不等式f(x)g(x)0对任意x0 恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）当k0 时，递增区间为R；当k0时，递减区间是(,ln(2k))，递增区间是(ln(2k),)；（2）(,1]2【解析】（1）求导，对参数进行分类讨论，求得函数的单调区间；（2）构造函数，利用ex1进行适度放缩，从而判断函数单调性，找到对应的参数范围即可.【详解】xf(x)e2k．（1）由题意，得x①当k0 时，f(x)0，f(x)在R上为增函数；②当k0 时，当x(,ln(2k)) 时，f(x)0，f(x) 在(,ln(2k))上为减函数，当x(ln(2k),) 时，f(x)0，f(x) 在 (ln(2k),)上为增函数．综上所述，当k0 时，f(x)的单调递增区间为R；当k0时，f(x) 的单调递减区间是(,ln(2k))，单调递增区间是(ln(2k),)． （2）由不等式 f(x)g(x)0，对x0恒成立，x即e2k[ln(x1)x](x1)0，对 x0 恒成立．x(x)=e2k[ln(x1)x](x1)， 构造函数则(x)=ex2k(2k1)x1．x下面证明：ex1，令当当故gxexx1，则gxex1，x,0,gx0gx单调递减；单调递增；x0，,gx0，gxgxg00x，即证ex1，所以(x)=ex2k2k(2k1)x1(2k1)x1x1x22x12k(2k1)(2k1)xx2x2kxx(x12k)==x1x1x1，k①当12时，(x)0 在[0,)上恒成立，(x)在[0,)上单调递增，(x)(0)0，即f(x)g(x)0，对x0恒成立．k②当所以ex12 时，因为exx1，1x，即 ex11x，在x[0,1]成立．故当x(0,1) 时，(2k1)x2(2k1)x12k2k(2k1)(x)=e(2k1)1x21x1xx1，x因为x(0,2k1)(0,1)2k1时，(x)0，2k1)2k1上为减函数，(x)(0)0，知 (x)在2k1(0,)2k1上，不存在k使得不等式f(x)g(x)0对任意 x0 恒成立．即在 综上，实数k的取值范围是【点睛】本题考查对含参函数单调性的讨论，以及利用导数处理由恒成立求参数范围的问题；本题中的难点在于应用ex1对函数进行放缩. x(0,(,1]2．