张量分析论文

1 知识总结

1.1 指标符号

例如, 三维空间任意一点p在笛卡儿坐标系（x1,x2,x3），若是再推广到比三维更高的空间时不好描述了。因此，发展了另一种记法指标记法。在三维空间力里， 矢量有三个分量，采用一般的指标将它们用一个简单的分量进行缩写。因此在指标记法里边用指标符号表示为（xi，i=1,2,3）。一个 n 维空间的矢量（x1,x2,x3,,xn）也可用分量表示为（xi,i1,2,,n）。

其中i—指标（取值范围为小于或等于n的所有正整数）

n—维数

1.1.1 求和约定和哑指标

求和约定是指标记法的补充。若在一项中，只要一个下标在同一式子中重复 出现，则表示要对这个指标从1,2,3......n 求和。

要表示求和Sa1x1a2x2anxn，可表示为Saixiajxj，

i1j1nn约定：Saixiajxj，（用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维）。其中求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次。

对于双重求和，Aijxiyj，

i1j133其中，

AijxiyjA11x1y1A12x1y2A13x1y3A21x2y1A22x2y2A23x2y3A31x3y1A32x3y2A33x3y3

可表示为Aijkxiyjzk，代表27项的和式。 1.1.2 自由指标

A11x1A12x2A13x3b1A21x1A22x2A23x3b2 A31x1A32x2A33x3b3可以简写为Aijxjbi，

其中 j ——哑指标

i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 1.1.3 Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号) （1）Kronecker-符号定义

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首先是标积，从物理学知道，一个力矢量 f 与一个位移矢量 s ,可以确定一个 标量，即功W，Wfsfscos 其中记作 f s  ．所以又称点积。用指标符号，则

当用基矢分别表示 f s , 时，它们的点积记为

由于e1，e2，e3是相互垂直的单位矢量，由点积的定义，知当i= j 时，ij 的分量是 1；当i j 时，ij 的分量为 0。即

当ij1jiij当ij0当i,j1,2,3时，有1122331

1221233231130克朗内克（Kronecker）符号ij 可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即

111213100ij212223010

313233001当将 1、2、3 赋值给 i 时，这一点很容易被验证，于是得到的分量分别为

v1vvvvi可见，最终的结果是由于在数值变换上用i 代替 j 。，2，3所以ijj，

所以，显而易见，将ij 应用于v j 只是将v j 中的 j 用i 置换；因此ij 符号通常称为置换算子。

（2）置换符号(Ricci符号)

1若i,j,k1,2,3,2,3,1,3,1,2eijk1若i,j,k3,2,1,2,1,3,1,3,2

0若有两个或三个指标相等交错张量 e ijk 还为缩写提供了另一种方法。例如，叉积可以写为eijkvjwkei。注意求和约定。

三个矢量U， V ，W的点积和叉积可以得到几种有意义的乘积形式：

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下面的关系式成立并且有用：

以U V W , 为边的平行六面体的体积或者该体积的负值， 这要根据U V W , 是不是构成右手坐标系而定。

1.2矢量的基本运算

在三维空间中, 任意矢量都可以表示为三个基矢量的线性组合 e1,e2,e3，

aa1e1a2e2a3e3aiei

其中ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数, 也称矢量的分量 （1）矢量点积可表示为

eiejij，

abaieibjejaibjijaibiajbj(2)矢量叉积可表示为

eiejeijkek

其中eiikek，ejjkek

i1i2i3eiejj1j2j3e1e2e3erstirjseteijteteijkek

abaieibjejaibjeiej故可得：

aibjeijkekeijkaibjekc ckeijkaibj(3)矢量的混合积

可表示为abceijkaibjekcrer=eijkaibjcrkr=eijkaibjck 其中有eiejekeijrerek=eijrrkeijk（eijk表示Ricci符号）

1.3坐标变换

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1.4梯度、散度

1.4.1 标量场的梯度

假定在空间某区域定义一个标量，那么可以得到 分别对三个坐标的导数，即grade1e2e3 xyz1.4.2 矢量的散度

divuxuyuz=uj,jeiiujeju xyzu是一个标量，在空间任一点，它只有一个值，不像矢量那样有三个分量。

1.5笛卡尔张量

1.5.1 张量的概念与表示方法

矢量是比标量更复杂的一种物理量或几何量。 自然界还有比矢量更复杂的量， 如弹性体中一点的应力状态，就有正应力x，y，z和剪应力xy，xz，

yz，

zx，

yx，

zy共九个分量值。这样一种量，叫做张量。 先从矢量 v的表

示方法考虑，从有向线段的图示法出发，应用平行四边形合

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1.5.2 张量的代数运算 （1）加(减)法

TAB(AijBij)eiejTijeiej

（2）矢量与张量的点积(点乘)

张量的乘法， 又叫张量的外积或直积。 任何阶的几个张量都可施行乘法运算。 其意义是第一个张量的每一个分量乘以第二个张量的每一个分量， 不难证明它们 组成的集合仍是一个张量，叫做原两个张量的积张量。积张量的阶数等于两相乘 张量的阶数之和。矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b比原张量 T的阶数降低一阶 左点乘

aT(aiei)(Tjkejek)aiTjkijekb

右点乘

Ta(Tijeiej)(akek)TijakeijkTijajeic

aTTa（只有对称张量两者才相等 ） （3）矢量与张量的叉积

矢量与张量叉乘的结果仍为张量, 新张量与原张量同阶 左叉乘

aT(aiei)(Tjkejek)aiTjkeijrerekeijraiTjkerekA

右叉乘

Ta(Tijeiej)(akek)TijakeiejkrerejkrTijakeierB

（4）两个张量的点积

两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减 2 AB(Aijkeiejek)(Brstereset)AijkBrsteiejkresetAijkBksteiejesetS

两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这相当于矩阵相乘 （5）张量的缩并

在张量的不变性记法中, 将某两个基矢量点乘, 其结果是一个较原张量低二阶的新张量, 这种运算称为缩并 ，张量的缩并是张量特有的又一个代数运算。对阶张量进行缩并，就是对其中 两相同的指标按求和约定求和。不难证明，缩

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并之后仍是张量，其阶数比原张量 低某个偶数，这要看它是对几对指标缩并而定。二阶张量的缩并，是一个标量。低于二阶的张量（如矢量）不能进行缩并运 算。

AAijeiej

AeeAAAAA Aijijijijii112233（6）指标置换

这是张量所特有的代数运算之一，也是最简单的张量代数运算， 如AAijkeiejek

若对该张量的分量中任意两个指标交换次序, 得到一个与原张量同阶的新张量

AjikeiejekBijkeiejek

AijkejeiekAjikeiejekBijkeiejek

如果一个张量只是对某一对特定指标对称（或者斜对称） ，则称之为对这对指 标对称的（或者斜对称）张量。如果在一个坐标系中，一个张量对某一对指标对 称（或者斜对称） ，那么在所有的坐标系中，它对该对指标都对称（或者斜对称） 。

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2 知识应用

————井筒岩体裂隙等效渗透系数张量数值法研究 2.1 井筒岩体淋水现状

受地质、水文、施工等多种复杂因素的影响，煤矿在井筒建设之初就有淋水现象。随时间推移，淋水点越来越多，淋水量不断增大。副井井筒主要出水层位是在进入到主要含水层后开始，明显出水点集中在井壁破裂处，局部裂隙、明显出水点和井壁破裂严重的位置基本对应，大多出现在井筒的东北和西南方向，裂隙井筒岩体渗透性及其随着应力、温度的影响受到广泛关注。

图2.1 副井井筒内罐道梁和支护体系在淋水后锈蚀

沿整个副井井深，在井壁的东北和西南出现明显的压剪破坏裂缝，东北方位裂缝多数右上到左下方向，而西北方位裂缝多数是左上到右下，呈现出与地层侏罗系地层X型压剪共轭裂缝相对应的特征。随着井筒深度增加，裂缝倾角（初始近70）有逐步变缓趋势。井壁裂缝沿井深的分布广，井深50m以下直到马头门上方均布。

图2.2 井深80~200m

副井井壁混凝土破坏段主要位于马头门向上100m左右范围，从地质柱状图可知，这一范围恰好处于1煤至5煤的含煤地层。从2012年4月检查情况看，局部区域的井壁厚度甚至不足15cm，井壁破坏严重，井壁后煤层清晰可见。由于煤层的自身承载力能力弱，且具有遇水膨胀的特性，井壁的淋水渗透到煤层引起向井筒内的膨胀变形进一步加剧了井壁破坏。

为研究岩体温度与裂隙渗透性变化关系，进行为期 3 个月的静水压力及温

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度对含单裂隙石英岩渗透性实验，并分析其变化机制开展了不同温度及应力作用下人工裂隙渗流试验，提出了岩样裂隙结构面温度-应力-水力耦合本构关系式。

2.2 井筒岩体裂隙渗透特性试验研究

（1）试验装置及试验方案

首先开展了大理岩人工裂隙渗透率随应力及温度变化的试验研究，获得加卸载过程中裂隙渗透率的演化规律；其次通过数值方法研究了某裂隙岩体特定张开度条件下其等效渗透系数的尺寸效应及各向异性，获得了该裂隙岩体的等效渗透系数 REV 及渗透张量。

试样取井筒中部大理岩，将试样加工成直径 49.07 mm，高 80 mm 圆柱体后，采用巴西劈裂法制作人工裂隙，制成后的裂隙试样见图 2.3，其中裂隙试样为一个整体，裂隙闭合，人力难以将裂隙两侧岩块分开。

图2.3 试样巴西劈裂试验形成的裂缝

（2）试验结果分析

表 2.1 不同静水压力试样 D-C10 的渗透试验结果

记整体坐标系下的渗透系数矩阵为 K ，局部坐标系下的渗透系数矩阵为

K， OXY 逆时针旋转角度为oxy，x轴与X，Y轴的方向余弦分别记为

＇

l1cos，m1sin，m2cos。 y轴与X，Y轴的方向余弦分别记为l2sin，

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K 和K的分量之间满足坐标转换关系：

（1）

l1其中ijl2m1为整体坐标系和局部坐标系的转换系数。如果以主渗透系m2数k1，k2的方向为整体坐标系的X 轴和 Y 轴的方向，则逆时针旋转度的局部坐标系

x '轴方向的渗透系数为

（2）

根据椭圆方程的极坐标形式，有

（3）

对比式（2），令

111k ，，kk12222lab

。

则可以看出渗透系数张量的分量的某种形式可以用椭圆来描述，该椭圆称为渗透椭圆（见图2.4），渗透椭圆的主轴分别为1。 k11，，沿着角度方位径长k1k2为

图2.4 渗透椭圆示意图

图2.5为根据渗透椭圆方程（3）拟合出来的椭圆，其中沿着角度方位径

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长为1，根据椭圆拟合结果得到渗透张量主值和主方向，最大渗最大渗透系k数为 6.1×10-10 m/s，方向沿着 x 轴逆时针旋转15.4o，最小渗透系数为了 3.22×10-10 m/s方向沿着y 轴逆时针旋转 15.4o。

利用式（1）求得当前坐标系下渗透张量的各个分量，等效渗透系数张量为

5.90.74K1010（m/s） 0.743.42最大渗最大渗透系数为 6.1×10-10 m/s，方向沿着 x 轴逆时针旋转15.4o，最小渗透系数为了 3.22×10-10 m/s方向沿着y 轴逆时针旋转 15.4o。

图2.6为渗透系数张量分量 kxx的数值计算结果和渗透系数张量计算结果对比。

图2.5 渗透椭圆拟合曲线

图2.6 分量kxx各个方向拟合值和数值计算值比较

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（3）结论

首先进行了大理岩人工裂隙渗透率随应力加卸载、温度变化规律的试验研究，结果表明闭合裂隙的渗透率随加载压力的增大而减小，卸载后压缩变形只有稍许恢复。

在各向异性连续介质的渗透张量理论基础上，通过数值方法研究了某特定张开度裂隙岩体的渗透系数尺寸效应和各向异性，得到了该裂隙岩体的等效渗透张量。

3 学习心得

我是力建学院硕士生李雅筠， 本科期间就读于中国矿业大学， 学习土木工程城市地下方向， 大四考研上本校的岩土工程专业，现在在土力所，跟随王建州老师研究西部井筒淋水的治理方案。在研究和试验过程中，张量分析的使用使许多公式更加简洁，在对井筒淋水的表达式上更加明朗，是我们研究过程中一个重要的工具。 在学习张量分析课程的过程中，逐渐明白，其实在本科学习时候，我们已经在过多过少的使用张量分析，在研究生课程学习期间，发现其中计算力学和弹塑性力学也或多或少的涉及到张量分析的知识。