第1章--单自由度系统的自由振动题解

习 题

1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mgk

其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知

mgh3 =24EJ 则 k=

题1-1图

24EJ 3h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 mxkx 所以固有频率pn

1-2 一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。



mg

\"24EJ 3mh

h

2Fsin



题1-2图

解：给杆一个微转角

a＝h 22Fcos＝mg

由动量矩定理：

IMI1ml212

aa2MFasincosmgmga228h。

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其中

sincos21

21a2mlmg0124h 23ga2pn2lh2πl2h2πlhT2π

pna3g3ga2

1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1和k3，悬臂梁的质量忽略不计。

解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3并联，设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。即为

k1k1k2k4k2k3k4k1k2k4k1k2kkk312，k，k2

k1k2k1k2k1k3k2k3k1k2k1k4k2k4p2

1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J1、J2和J3是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。

题1-3图

k1k2k4k2k3k4k1k2k4

m(k1k3k2k3k1k2k1k4k2k4)解：

k1GJ1/l1 （1） k2GJ2/l2 （2） k3GJ3/l3 （3） k23GJ2J3/(J2l3J3l2) （4）

题1-4图

Pn2(k1k23)/I由（1）(2)(3)(4)知Pn2G(J1J2l3J3J1l2J2J3l1)/Il1(J2l3J3l2)

。

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1-5如题1-5图所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。

解：此系统是一个保守系统，能量守恒.如图题中的广义坐标x，设系统的振动方程为：

题1-5图

xAsin(wta)

&则系统运动过程中速度表达式为：xAwcos(wta)

系统最大位移和速度分别为：

xmaxA

&xmaxAx系统在运动过程中，动能表达式为：

&&1111x1x22&&Tm1xm2xm2r2I 2222r2R2弹性势能为：

221x12Uk1R1k2x

2R22系统最大动能为：Tmax21111Aw1Awm1(Aw)2m2(Aw)2m2r2 I2222r2R2222最大弹性势能为：Umax1A1k1R1k2A2 2R22由于系统机械能守恒，因此：

TmaxUmax

11111A1Aw1Awm1(Aw)2m2(Aw)2m2r2Ik1R1k2A2 22222R22r2R2由上式可解得系统的固有频率为：

222。

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R1k2R2w 3Imm1222R2k11-6如题1-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I0，求系统的固有频率。 解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简

谐运动，其运动方程为sin(pnt)。很小，系统的动能为

T1112IOm1(a)2m2(l)2 222pncos(pnt) 题1-6图

所以， Tmax11122222IO2pnm12pna2pnl 222取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为1,2,3，由

mVO(F)0， k11am1gak33bk22l0 （A）

由题意可知，系统势能为

111k1[(a1)212]k3[(b3)232]k2[(l2)222]m1ga（B） 222111k12a2k32b2k22l2 222将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，

Vmax由， TmaxVmax 得

11111122222IO2pnm12pna2pnlk12a2k32b2k22l2 2222222nk1a2k3b2k2l2所以，有p 22IOm1am2l

1-7一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。 解：振动衰减曲线得包络方程为：XAent

振动20个循环后，振幅比为：

0.64e20nTd 0.16。

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Tdln4 20nTln4242代入Td,得：( )22220nPN15n又 Png10g dst42ln42( )＝2100gN20nc = 6.9 N s /m

2accl

mk3ka22p3，nml2

1-8一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和固有频率的表达式。

题1-8图

XO

YO

FK

O

FC



mg

解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：

I0cl2ka20

1I0ml23c3ka20 2mml3ka23cp,2nmml22n当n＝pn时，c＝cC

cC

2nm2pnm2a33lmk 3。

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1-9如题1-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。

解：

&&&Ikbbcaa&&&ml2kb2ca2kb2ca2&&&022mlmlkb22pn2mlbkpnlmca22n2ml当npn时ca2bk2ml2lm2blcc2mkaQpd

1-10如题1-10图所示，质量为2000 kg的重物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?

题1-9图

kb2c2a4pnml24m2l4

2n2122244kmblca22ml解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为

2x2nxpnx0

题1-10图

ck&+x =0 xmm4802021960其特征方程为：r+r+=0 r =-0.494.875i

20002000&所以有 &+x所以：x =c1e0.49tcos4.875t+c2e0.49tsin4.875t

由于n < pn，由已知条件，

。

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nc1960k4802020.49，pn24.01，x00，x00.03 m/s。故通解为

2m22000m2000xent(C1cospdtC2sinpdt)

其中，pd2pnn24.875。

代入初始条件，得

C1x00,C2nx0xx000.006，得 pdpdxC2entsinpdt =0.006e0.49tsin4.875t

0.49t&=0.006e(-0.49) sin4.875t+0.0064.875cos4.875 x物体达到最大振幅时，有

nC2entsinpdtC2entpdcospdt0 x既得t = 0.30 s时，物体最大振幅为

x0.006e0.490.3sin(4.8750.3)0.528 cm

1-11由实验测得一个系统的阻尼固有频率为pd，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为m，求系统的无阻尼固有频率pn、相对阻尼系数及对数衰减率。

解：mpn122， pdpnn2， 2n； pn三个方程联立，解得：

pdm 222pdm222pn2pd2m

nTdpn

22pdpdpdm22m21p

d2。

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