武陟县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 如图，已知平面

，，，体积的最大值是（ ）

=，

．．是平面

是直线上的两点，上的一动点，且有

是平面

内的两点，且，则四棱锥

A． B． C． D．

2． 已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4的值为（ ） A．

或﹣

B．

或3

C．

或5

y+7=0相交于A，B两点，且

或5

•=4，则实数a

D．3

3． 对于区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f（x）﹣g

2

（x）|≤1，则称函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若m（x）=x﹣3x+4

与n（x）=2x﹣3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是（ ） A．[3，4]

B．[2，4]

C．[1，4]

D．[2，3]

4． 函数f（x）=ax2+bx与f（x）=log

x（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B． C．

D．

5． 在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形

B．等边三角形

D．等腰三角形

C．等腰直角三角形

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6． 现要完成下列3项抽样调查：

①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．

②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．

③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（ ）

A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

0.21.5,b20.1,c0.21.3，则a,b,c的大小关系是（ ）

A．abc B．acb C．cab D．bca

7． 已知a8． 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是，则mn的值是（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力．

9． 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）

D1 C1 A1 B1 P D C A B

A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.

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10．设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I（I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f（x），

22

则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a|﹣a，且

函数f（x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（ ） A．0＜a＜1 B．﹣≤a≤ C．﹣1≤a≤1 D．﹣2≤a≤2

11．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ） A．36种 B．38种 C．108种

12．已知函数f（x）=1+x﹣

D．114种 +

﹣

+…+

，则下列结论正确的是（ ） B．f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点 D．f（x）在（﹣1，0）上恰有两个零点

A．f（x）在（0，1）上恰有一个零点 C．f（x）在（0，1）上恰有两个零点

二、填空题

13．若点p（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为 14．设所有方程可以写成（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1（α∈[0，2π]）的直线l组成的集合记为L，则下列说法正确的是 ； ①直线l的倾斜角为α；

②存在定点A，使得对任意l∈L都有点A到直线l的距离为定值； ③存在定圆C，使得对任意l∈L都有直线l与圆C相交； ④任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2； ⑤任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1⊥l2．

x2y215．F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF 1PF20，

ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为______________.

2【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

16．已知数列{an}中，2an，an+1是方程x2﹣3x+bn=0的两根，a1=2，则b5= ．

17．设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），则z的模为 ．

18．长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与棱CB、CD、CC1所成角分别为、、，

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则sinsinsin ．

222三、解答题

19．（本小题满分12分）

如图ABC中，已知点D在BC边上，且ADAC0，sinBAC（Ⅰ）求AD的长； （Ⅱ）求cosC．

22，AB32，BD3． 3

20．已知集合A={x|x2+2x＜0}，B={x|y=（1）求（∁RA）∩B；

}

（2）若集合C={x|a＜x＜2a+1}且C⊆A，求a的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知数列an的各项均为正数，a12，an1an（Ⅰ）求数列an的通项公式；

4.

an1an第 4 页，共 16 页

（Ⅱ）求数列

1的前n项和Sn．

aan1n22．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为

234，，，且各轮考核通过与否相互。 345（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；

（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和数学期望。

23．已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

，且a=2b．

（1）求椭圆的方程；

22

（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x+y=5上，若存

在，求出m的值；若不存在，说明理由．

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24．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c． （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若△ABC的面积为

，b=2求a，c的值．

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武陟县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积 【试题解析】由题知：是直角三角形，又因为，所以PB=2PA。 作于M，则。 令AM=t，则所以

又底面为直角梯形，所以

故答案为：A 2． 【答案】C

22

【解析】解：圆x+y+2

，所以。

即为四棱锥的高，

x﹣4y+7=0，可化为（x+

2

）+（y﹣22

）=8．

∵•=4，∴2•2cos∠ACB=4

∴cos∠ACB=， ∴∠ACB=60°

∴圆心到直线的距离为∴∴a=

或5

．

=

， ，

故选：C．

3． 【答案】D

2

【解析】解：∵m（x）=x﹣3x+4与n（x）=2x﹣3，

22

∴m（x）﹣n（x）=（x﹣3x+4）﹣（2x﹣3）=x﹣5x+7． 2

令﹣1≤x﹣5x+7≤1，

，

则有∴2≤x≤3． 故答案为D．

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【点评】本题考查了新定义函数和解一元二次不等式组，本题的计算量不大，新定义也比较容易理解，属于基础题．

4． 【答案】 D

＞0，则

，不符合对数的底数范围，B不正确； ，则

，所以f（x）=log ，则

，所以f（x）=log

x在定义

，不符合对数的底数范围，A不正确；

2

【解析】解：A、由图得f（x）=ax+bx的对称轴x=﹣

＞0，则，由图得

，由图得

B、由图得f（x）=ax2+bx的对称轴x=﹣C、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或x=函数，C不正确；

x在定义域上是增

D、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或x=域上是减函数，D正确．

【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力．

5． 【答案】D

【解析】解：∵A+B+C=180°，

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA， ∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0， ∴A=C 即为等腰三角形． 故选：D．

【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．

6． 【答案】A

【解析】解；观察所给的四组数据，

①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样， ②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段， 在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，

在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样， ③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样， 故选A．

7． 【答案】B 【解析】

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试题分析：函数y0.2在R上单调递减，所以0.2x1.50.21.3，且00.21.50.21.31，而20.11，所以

acb。故选B。

考点：指数式比较大小。 8． 【答案】C

788884869290m9588，解得m3．乙组中8892，

7所以n9，所以mn12，故选C．

【解析】由题意，得甲组中9． 【答案】D.

第Ⅱ卷（共110分）

10．【答案】 B

【解析】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数， 当x≥0时， f（x）=|x﹣a2|﹣a2=

图象如图，

2

∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a，要满足f（x+l）≥f（x），

1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），

22

∴1≥3a﹣（﹣a），

∴﹣≤a≤ 故选B

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【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．

11．【答案】A

【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法． 根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．

②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案． 由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种， 故选A．

【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．

12．【答案】B

232014

【解析】解：∵f′（x）=1﹣x+x﹣x+…+x

=（1﹣x）（1+x2+…+x2012）+x2014； ∴f′（x）＞0在（﹣1，0）上恒成立； 故f（x）在（﹣1，0）上是增函数； 又∵f（0）=1，

＜0；

f（﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣

故f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点；

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故选B．

【点评】本题考查了导数的综合应用及函数零点的个数的判断，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】：2x﹣y﹣1=0

解：∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点， ∴圆心与点P确定的直线斜率为∴弦MN所在直线的斜率为2，

则弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0． 故答案为：2x﹣y﹣1=0 14．【答案】 ②③④

【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误； 对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），

22

可以认为是圆（x﹣1）+（y﹣2）=1的切线系，故②正确；

=﹣，

对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，

22

如圆C：（x﹣1）+（y﹣2）=100，故③正确；

对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确； 对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误． 故答案为：②③④．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．

15．【答案】31 【

解

析

】

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16．【答案】 ﹣10 ．

2

【解析】解：∵2an，an+1是方程x﹣3x+bn=0的两根， ∴2an+an+1=3，2anan+1=bn， 则b5=2×17×（﹣31）=10． 故答案为：﹣10．

∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．【答案】 2 ．

【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位）， ∴z=

，∴|z|=

=

=2，

故答案为：2． 模，属于基础题．

18．【答案】 【解析】

【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的

试题分析：以AC1为斜边构成直角三角形：AC1D,AC1B,AC1A1，由长方体的对角线定理可得：

2BC12DC12AC2(AB2AD2AA12)11sinsinsin2.

AC12AC12AC12AC12222第 12 页，共 16 页

考点：直线与直线所成的角．

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（Ⅰ）因为ADAC，所以sinBACsin所以cosBADBADcosBAD, 222．…… 3分 3222在ABD中，由余弦定理可知，BDABAD2ABADcosBAD 即AD28AD150,解之得AD5或AD3,

由于ABAD,所以AD3．…… 6分

221可知sinBAD …… 7分 33BDAB 由正弦定理可知，, sinBADsinADBABsinBAD6所以sinADB…… 9分

BD36因为ADBDACCC，即cosC…… 12分

32（Ⅱ）在ABD中，由cosBAD20．【答案】

2

【解析】解：（1）A={x|x+2x＜0}={x|﹣2＜x＜0}，

B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1}，

∴∁RA={x|x≤﹣2或x≥0}， ∴（∁RA）∩B={x|x≥0}；…

（2）当a≥2a+1时，C=∅，此时a≤﹣1满足题意； 当a＜2a+1时，C≠∅，

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应满足，

解得﹣1＜a≤﹣； 综上，a的取值范围是

．…

21．【答案】（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由an1an4222得an1an4，∴an是等差数列，公差为4，首项为4， （3分）

an1an2∴an44(n1)4n，由an0得an2n． （6分）

（Ⅱ）∵

111(n1n)， （9分）

an1an2n12n2 ∴数列1的前n项和为

aan1n1111(21)(32)(n1n)(n11)． （12分） 222222．【答案】（1）（2）X的分布列为数学期望为E(X)0100025

131124700-- 20003000610532342 3455解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P（A）＝所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为

2-------------4分 5（2）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分

212312341，P(X1000)(1)，P(X2000)(1) 33346345102342P(X3000)------------------9分

3455P(X0)1第 14 页，共 16 页

所以，X的分布列为

数学期望为E(X)0100023．【答案】

【解析】解：（1）由题意得e=解得a=

，b=c=1

=1；

=

2222，a=2b，a﹣b=c，

131124700---------------------12分 20003000610532

故椭圆的方程为x+

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 线段AB的中点为M（x0，y0）． 联立直线y=x+m与椭圆的方程得，

22

即3x+2mx+m﹣2=0，

222

△=（2m）﹣4×3×（m﹣2）＞0，即m＜3，

x1+x2=﹣所以x0=即M（﹣可得（﹣

，

=﹣

，

）2+（

2

，y0=x0+m=，

22

）．又因为M点在圆x+y=5上， 2

）=5，

解得m=±3与m＜3矛盾． 故实数m不存在．

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a﹣c，利用正弦定理化简得： 2sinBcosC=2sinA﹣sinC=2sin（B+C）﹣sinC=2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinC， 整理得：2cosBsinC﹣sinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosB=，

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则B=60°；

（Ⅱ）∵△ABC的面积为

=acsinB=

ac，解得：ac=4，①

22222

又∵b=2，由余弦定理可得：2=a+c﹣ac=（a+c）﹣3ac=（a+c）﹣12，

∴解得：a+c=4，② ∴联立①②解得：a=c=2．

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