三角函数恒等变换知识点总结

三角函数 三角恒等变换知识点总结

一、角的概念和弧度制：

（1）在直角坐标系内讨论角：

角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与角终边相同的角的集合：{|3600k,kZ}或{|2k,kZ}

与角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与角终边关于x轴对称的角的集合： ； 与角终边关于y轴对称的角的集合： ； 与角终边关于yx轴对称的角的集合： ；

②一些特殊角集合的表示：

终边在坐标轴上角的集合： ；

终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：

①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；

第一、三象限角： ；

②写出图中所表示的区间角：

y y

x x O O

（4）正确理解角：

要正确理解“0~90间的角”= ；

“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于90的角”= ； （5）由的终边所在的象限，通过 来判断来判断

ooo所在的象限。 2所在的象限 3已知角的弧度数的绝对值||（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一

l，其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r

r为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；

扇形面积公式： ；

二、任意角的三角函数：

（1）任意角的三角函数定义：

以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个

异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r，则sin ；cos ；

tan ；cot ；sec ；csc ；

如：角的终边上一点(a,3a)，则cos2sin 。注意r>0 （2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；

y y a O y a O y x O

比较x(0,O a x x a 2)，sinx，tanx，x的大小关系： 。

（3）特殊角的三角函数值：  sin cos 0  6  4  3  2  3 2 tan cot 三、同角三角函数的关系与诱导公式：

（1）同角三角函数的关系 平方关系 sin2+ cos2=1， 1+tan2=1， 1+cot2=1 cos2sin2

倒数关系 tan·cot=1 商数关系 sincos=tan

作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 （2）诱导公式：

2k： ， ， ；

： ， ， ； ： ， ， ； ： ， ， ；

2： ， ， ；

2： ， ， ； ： ， ， ；

23： ， ， ； 23： ， ， ； 2诱导公式可用概括为：

2K±,-,

3±,±,

22±的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 的三角函数

作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.

（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：

①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以

讨论。

②求任意角的三角函数值。 步骤：

任意负角的 三角函数 公式三、一 任意正角的 公式一 三角函数 0o~360o角的 三角函数 公式二、 四、五、 六、七、 八、九

求值 0o~90o角的 三角函数 ③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．

步骤： ①确定角所在的象限；

②如函数值为正，先求出对应的锐角1；如函数值为负，先求出与其绝对值对 应的锐角1；

③根据角所在的象限，得出0~2间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是1；如果在第三或第四象限，则它是1或21；

④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。

 ，cos ；sin(如tanm，则sincot(15)_________。 23) ；2注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；

四、三角函数图像和性质

1．周期函数定义

定义 对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

请你判断下列函数的周期

ysinx ycosx y|cosx| ycos|x| y|sinx| y=tan x y=tan |x| y=|tan x| ysin|x|

例 求函数f(x)=3sin (于1

注意 理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数

kx)(k0)的周期。并求最小的正整数k,使他的周期不大53

f(x)＝c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．

结论：如函数f(xk)f(xk)对于任意的xR，那么函数f(x)的周期T=2k;

如函数f(xk)f(kx)对于任意的xR，那么函数f(x)的对称轴是

x 2．图像

(xk)(kx)k

2

3、图像的平移

对函数y＝Asin(ωx＋)＋k (A＞0, 0, ≠0, k≠0),其图象的基本变换有： ．．．．ω．＞．．．．．．．．．．．(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短． (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．＞0,左移；＜0，右移． (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移

四、三角函数公式：

两角和与差的三角函数关系 sin()=sin·coscos·sin cos()=cos·cossin·sin 积化和差公式tan() tantan1tantan sin·cos=12[sin(+)+sin(-)] cos·sin=12[sin(+)-sin(-)] cos·cos=12[cos(+)+cos(-)] sin·sin= -12[cos(+)-cos(-)] 和差化积公式 sin+sin= 2sin2cos2 sin-sin=2cos2sin2 cos+cos=2cos2cos2 cos-cos= -2sin2sin2 tan+ cot=12sincossin2 tan- cot= -2cot2 1+cos=2cos22 1-cos=2sin22 1±sin=(sin2cos2)2 倍角公式 sin2=2sin·cos cos2=cos2-sin2 =2cos2-1=1-2sin2 tan22tan1tan2 半角公式 sin21cos2，cos21cos2 tan1cos21cos=1cossinsin1cos 升幂公式 1+cos=2cos22 1-cos=2sin22 1±sin=(sin2 2cos2)1=sin2+ cos2 sin=2sin2cos2 降幂公式 sin21cos22 cos21cos22 sin2+ cos2=1 sin·cos=12sin2

三倍角公式：sin33sin4sin；cos34cos3cos；

33五、三角恒等变换：

三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①2是的二倍；4是2的二倍；是倍；

3的二倍；是的二倍；3是的二

2224是的二倍；2是的二倍。

2436oooo30o ；cos ；②1545306045；问：sin 12122o③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是

基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常

数“1”的代换变形有： 1sincossectantancotsin90tan45

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要

升幂，如对无理式

2222oo1cos常用升幂化为有理式，常用升幂公式

有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：

1tan1tan_____________________________； ；

1tan1tantantan____________；1tantan___________； tantan____________；1tantan___________； 2tan ；1tan2 ；

tan20otan40o3tan20otan40o ；

sincos = ； asinbcos = ；

 ； （其中tan）

1cos ；1cos ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有

理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：sin50o(13tan10o) ；tancot ； coscos24cos ；

99935coscoscos ；推广：

777246coscoscos ；推广：

777