数学比赛试题1

（2）若关于x的一元二次方程c(1-x2)+2bx+a(1+x2)=0有两个相等实数根，求m的值，设AB=3，AF=5，求作以BF、CF为根的一元二次方程； （3）试比较AB、BC、DE的大小.

请将此题改编成一道满足下面条件的综合题。 （1）此题有三问；

（2）第一问是要求是探究三条线段之间关系的问题（相等关系），至少有一条线段的系数不为1和-1，解决此问的正常思路应该是用三角形全等的方法证明； （3）第二问通过点的移动，继续探究这三条线段之间满足的关系式； （4）第三问设计一个求线段长的问题，要求分两种情况； （5）三问之间要有一定的梯度及一定的内在联系；

（6）所编题目要求保留原来图形，不含有一元二次方程的知识，但要保留题目中的已知条件；

（7）题目在原有图形的基础上进行变化； （8）此题要求有动点； （9）要求体现更多的知识点；

ma=0有两个c（10）题目编织新颖、独特、具有一定的引领性；

1、已知，如图，△ABC中，AB=AC，在射线AB上取一点D，在直线AC上取一点E，使BD=CE，连结DE交线段BC于点F，且DF=EF，过点D作直线GH⊥BC，分别交直线BC、AC于点G、H．

（1）当点D在线段AB上（如图1，点D不与A、D重合）时，求证：EH=2AH+2BD； （2）当点D在线段AB的延长线上时，线段EH、AH和BD三者之间的数量关系是___________；

（3）若AB=3，AF=5，BD=1，将△ADF沿AD折叠得到△ADR，直线AR交DH于 点M，连接RH,求线段RH的长.

答案提示：

（1）过点D作DN∥BC，DP∥CE

由DF=FE，可证△DPE≌△ECF（ASA），可得DP=CE，∴DP=DB，从而得到AB=AC。

∴AD=AN，可得BD=NC=CE，从而AH=AN，∴EH=2AH+2NC=2AH+2BD （2）EH=2AH-2CE （3）

①当点D在线段AB上时，由BD=1，可得AD=AH=2，AE=AC+CE=4，延长AF到Q，使AF=FQ，得到EQ=2，AQ=25， 由勾股定理逆定理可得，∠AEQ=∠BAE=90°， 由折叠可知四边形ARDF为菱形，AR∥DE，可得△AHM∽△EHD，可得HM：HD=HA：HE=AM：DE=1：

CA图1

HADBCGFEB3，可得AM=25， 3由AR=AF=5，RM=可得，RH=1

5，可得RM：AM=HM：MD=1：2， 3备用图1

②当点D在线段AB的延长线上时，同理可得，∠AEQ=∠BAE=90°，四边形ARDF为菱形，作RT⊥AH,可得△RTA∽△DAE，可得AT=1，RT=2，可得RH=13.

BAC 2、在△ABC中，∠BAC=90°，点D为射线AB上一点，点E为直线AC上一点，BD=CE，连接DE交直线BC于点F，且DF=EF.

（1）如图①，当点D在线段AB上时，求证：AB－CE=2CF；

（2）当点D在线段AB的延长线上时，线段AB、CE、CF三者之间的数量关系为_________________；

（3）连接AF，∠B'AF'与∠BAF重合，将∠B'AF'绕点A逆时针旋转45°，旋转后边AB'分别与直线DE、BC交于点P、M，AF'分别与直线BC交于点N，当AB=3，AF=5，求线段PE的长.

答案：（3）此问分两种情况： 第一种情况：如图1

过点P作PK⊥AE，垂足为K，易知△AKP为等腰直角三角形. 易求BC=32，AM=BM=MC=

312，则MF=2，CF=2, 2212ADBFEC由（1）的结论可求CE=BD=1，则有AD=2，AE=4，∴tanE=

设AK=PK=x，则KE=2x，所以x+2x=4，解得x=，∴PE=第二种情况：如图2

4345 3AEBFC过点P作PK⊥AD，垂足为K，易知△AKP为等腰直角三角形 31易求BC=32，AM=BM=MC=2，则MF=2，CF=22,

2212D由（2）的结论可求CE=BD=1，则有AD=4，AE=2，∴tanD= 设AK=PK=x，则KD=2x，所以x+2x=4，解得x=，∴PD=25 342综上所述，PE的长为5或5

33434A5 3又∵DE=25，∴PE=

DBPMFCEAN

ENC

DBPFM3、如图，△ABC中，AB=AC,∠A=120°,DG∥AC,点F在BC上，连接DF交AC于点E.

3(1) 点F 是DE的中点，求证：AC-CE=3GC

(2)当

GF1时探究AC,CF,GC的关系 FC2(3)△DGF绕D旋转得到△D′G′F′使DG′∥BC,DF′ 交AC于N，G′F′交AC于M,在（1）的条件下

ADBQGPFAC=4,CE=2求DN的长

证明：（1）过点A作AP⊥BC于点P， 过点D作DQ⊥BC于点Q。 ∵∠A=120° AB=AC ∴∠B=∠ACB=30° 在Rt⊿APC中 ∠ACB=30° ∴PC=

32AC

∴BC=3AC ∵DG∥AC

∴∠DGC﹦∠ECF ∠GDF﹦∠FEC ∵DF﹦EF ∴△DGF≌△ECF ∴DG=CE ∵BD=CE ∴BD=DG

∴∠B=∠DGB=30° ∴BD=DG ∠BDG=120°

CE

在Rt⊿DPG中 ∠BGD=30° ∴QG=

32DG

∴BG=3DG ∵BC-BG=GC

3∴AC-CE=3GC

(2) 易证△DGF∽△ECF

DGGF1 CEFC21∴DG=CE

2∴

∵BD=DG ∴BD=CE ∵BG=3 BD

3∴BG=2 CE

12∵CG=BC-BG

3∴CG=3 AC-2 CE

ADBGFCE

4、已知：在△ABC中，动点D、E分别从点B、C同时出发，以相同速度分别沿

射线BA、AC方向运动.连接DE交直线BC于点F，且FD=FE，过D作DM⊥BC于M.

（1）如图1，当点D在线段AB上时，求证：BF=2BM+CF；

（2）如图2，当点D在BA延长线时，请直接写出BF、BM、CF三者之间的数量关系；

（3）在图1中，若AB=，FC=，tan∠ ACB=,将角BDM绕点D旋转，旋转后角的

两边DB、DM分别交直线BC于P、Q两点，在旋转过程中，当角的一边与DE垂直时， 求线段PQ的长.

522334ADBM图1ABFCDMC图2FE

EADCBMFE

5、如图a，在△ABC中，∠B=30°，在射线BA上取一点D，线段AC的延长线上取一点E，使BD=CE.连接DE交直线BC于F，且DF=EF.

（1）当点D在线段AB上运动时，请直接探究线段BC、CF、CE之间的数量关系并证明；

（2）如图b，当点D运动到线段BA的延长线上，请直接写出线段BC、CF、CE之间的数量关系： （3）若AD=2，且CF∶BC=1∶3时，求线段DE的长.

DAADB图aFCEB图bEFC

A

AB图CCB图dC

6、如图，ABC中，在AB上取一点D，在射线AC上取一点E，连接DE交射线BC于点F，且DF=EF，BD=CE，BC=2AB， （1） 求证：BC=2CF+2BD

（2） 当D点在AB延长线时（如图2）或D在BA延长线时（如图3）请直接写

出BC、BD、CF之间的数量关系。