ａ叶技２０１７年第３０卷第７期 Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｓｃｉ．＆Ｔｅｃｈ．／Ｊｕ１．１５．２０１７ 协议・算法及仿真 ｄｏｉ：１０．１６１８０／ｊ．ｃｎｋｉ．ｉｓｓｎｌ００７—７８２０．２０１７．０７．０１７ 求解旅行商路径规划问题的改进模拟退火算法 周 君 ，贾昆霖 （１．惠州工程技术学校教务工作部，广东惠州５１６００１； ２．广东省惠州商贸旅游高级职业技术学校培训中心，广东惠州５１６０００） 摘要旅行商路径规划问题（ＧＴＳＰ）是一个典型的ＮＰ完全问题。文中针对这一困难问题，改进了能够求解ＧＴＳＰ 问题的传统模拟退火算法，这样的做法回避了传统算法的一些缺点。具体而言，ＧＴＳＰ问题可以转化为多段映射问题，而 动态规划算法可解决这一问题，同时还大幅缩短了整个算法的运行时间。大量实验结果证明，改进的模拟退火算法能够 在更短的时间内收敛，并可得到比传统模拟退火算法质量更好的最优解。 关键词模拟退火算法；动态规划算法；旅行商路径规划问题；目标函数 ＴＰ３０１．６ 文献标识码Ａ 文章编号１００７—７８２０（２０１７）０７—０６２—０４ 中图分类号Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｓｉｍｕｌａｔｅｄ Ａｎｎｅａｌｉｎｇ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｔｒａｖｅｌｉｎｇ Ｓａｌｅｓｍａｎ Ｐａｔｈ Ｐｌａｎｎｉｎｇ Ｐｒｏｂｌｅｍ ＺＨＯＵ Ｊｕｎ ，ＪＩＡ Ｋｕｎｌｉｎ （１．Ａｃａｄｅｍｉｃ Ａｆｆａｉｒｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｈｕｉｚｈｏｕ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｓｃｈｏｏｌ，Ｈｕｉｚｈｏｕ ５ １６００１，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｔｒａｉｎｉｎｇ Ｃｅｎｔｅｒ，Ｂｕｓｉｎｅｓｓ ａｎｄ Ｔｏｕｒｉｓｍ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｓｃｈｏｏｌ，Ｈｕｉｚｈｏｕ ５１６０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｓａｌｅｓｍａｎ ｐａｔｈ ｐｌａｎｎｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ（ＧＴＳＰ）ｉｓ ａ ｔｙｐｉｃａｌ ＮＰ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａ— ｐｅｒ，ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｓｏ］ｖｅ ｔｈｅ ＧＴＳＰ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｖｅｒ— ｃｏｍｅｓ ｓｏｍｅ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｓｐｅｃｉｆｉｃａｌｌｙ，ｔｈｅ ＧＴＳＰ ｐｒｏｂｌｅｍ ｃａｎ ｂｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｉｎｔｏ ａ ｍｕｌｔｉ—ｓｅｇｍｅｎｔ ｍａｐ ｐｒｏｂｌｅｍ，ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｔ ａ ｇｒｅａｔｌｙ ｓｈｏｒｔｅｎｅｄ ｒｕｎｎｉｎｇ ｔｉｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ａ ｌａｒｇｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅ ｉｎ ａ ｓｈｏｒｔｅｒ ｔｉｍｅ ａｎｄ ｇｅｔ ｂｅｔｔｅｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎ— ｎｅａｌｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｓａｌｅｓｍａｎ ｐａｔｈ ｐｌａｎｎｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ 旅行商路径规划问题（ＧＴＳＰ）通常被称为旅行商 问题、旅行推销商问题或者货郎担问题，其是最基本的 路径规划问题。求解ＧＴＳＰ问题等价于在完全图中找 到具有最短路径的哈密顿回路，这是一个典型的组合 优化ＮＰ困难问题。研究人员已提出了诸多算法来解 决这一问题¨ Ｊ，尽管这些方法可得到近似的最优解， 但算法只能用于点较少的图，且计算时间较长。所以， 本文改进了传统模拟退火算法，该种改进的算法可以 在有限的时间内得到全局最优解。 不足，并提出了一种改进的模拟退火算法。文中ＧＴＳＰ 问题被转化为能够使用动态规划算法来解决的多段映 射问题。此外，为了防止在跳出局部最优解时丢掉全 局最优解，本文在该算法运行过程中增加了记忆功能， 将当前最优解记录下来。实验结果表明，与传统模拟 退火算法相比，改进后的算法具有更快的收敛速度，其 框架和全局最优解的性质也大幅提高。 １ 问题描述 用图论的表示方法，ＧＴＳＰ问题可以被定义为： 模拟退火算法是上世纪８Ｏ年代初学界提出的求 解ＮＰ完全问题的智能算法 Ｊ，该算法可以从局部最 优解中概率性地跳出，最终得到全局最优解 Ｊ。本文 在这一传统模拟退火算法的基础上，分析了其原理与 Ｇ＝（Ｖ，Ａ）是一个加权有向图，其中Ｖ＝｛Ｖ ， ，…， ｝ 是顶点的集合，Ａ＝｛（ ， ），ｉ≠ ， ， 间有方向的线的集合 。 ＴＳＰ问题是在一个加权图中找到经过所有点的哈 密顿回路的最短路径，这一最短路径的起点与终点必 须相连接。ＴＳＰ问题可以被认为是ＧＴＳＰ问题的特例。 Ｖ｝是顶点之 收稿日期：２０１６—１２—２０ 作者简介：周君（１９７９一），男，讲师。研究方向：计算机编程。 ——ｗｗｗ．ｄ￣ｎｚｉｉｔｅｊｉ．ｏｒｏ 周 君，等：求解旅行商路径规划问题的改进模拟退火算法 协议・算法及仿真 在ＧＴＳＰ问题中，顶点集合 被分为ｍ个子集合 ， 且 ｕ…Ｖｍ＝Ｖ，求解也同样需要找到经过所 有的点的哈密顿回路的最短路径。若将问题求解的区 域简化为一个城市，则ＧＴＳＰ问题就简化成为一个ＴＳＰ 问题，所以ＧＴＳＰ问题显然是一个ＮＰ完全问题 。 …２．２基于动态规划算法的目标函数 根据研究问题的性质，本文提出了一个两步混 合智能算法来优化被任意选择的解决方案。其基本 思想是：在第一步，使用模拟退火算法求出待处理的 ， 序列。在建立最优轮廓序列时，将问题转化为动态 规划算法求解的多段图问题。最终通过多次迭代得 到最优解。 因此，图２中在计算起点ｓ到终点ｔ的目标函数 时，算法可分为两步。第一步是确定从第ｋ一１级所有 的点到终点ｔ的目标函数值。第二步是确定从第ｋ一２ 级所有的点到终点ｔ的目标函数值。第二步需要使用 （ａ） （ｂ） 图１ ＧＴＳＰ问题举例 ＧＴＳＰ问题有两种类型：第一种要求每个集合中仅 有一个点可以被访问，如图１（ａ）所示；第二种要求每 个集合内至少有一个点可被访问，如图１（ｂ）所示。本 文研究的就是第一种情况。 第一步中获得的信息。算法重复迭代多次，直到得到 从起点ｓ到终点ｔ的最小目标函数值。 在执行过程中，该算法使用结构体ＰＩｎｆｏ来储存多 级图中某个节点的数据。其数据结构在程序中的定 义是： ｓｔｒｕｃｔ ＰＩｎｆｏ ｛ ｄｏｕｂｌｅ Ｘ，Ｙ； ｄｏｕｂｌｅ ｍ—２改进的模拟退火算法 ２．１ 具体解决方案的编码设计 —ｃｏｓｔ； ｉｎｔ ｍｉｎｄｅｘ； 对于ＮＰ困难优化路径问题，求解时间将以指数 级的速度增长，最终时间过长而不能被解决。所以，人 ｝ ｖｅｃｔｏｒ＜ＰＩｎｆｏ＞ｍｖｐ； —们开始通过启发式搜索算法来寻求令人满意的结果。 为了将ＧＴＳＰ问题转化成为多段映射问题，每个点均 用整数来编码。 个点分别使用整数１，２，…，ｒｔ来表 示，且分别加上起点和终点。这两个点分别用整数０ 每一次迭代过程中，节点的数据就会变化。而在 每轮开始迭代时，结构体Ｐｌｎｆｏ的数据中，ｍ＿ｃｏｓｔ和 ｎ＿ ｉｎｄｅｘ这两个变量会初始化为最大和０。因此，文中的 动态规划函数被定义为 ｍ—和ｎ＋１表示，其到相邻的点的距离定为１。一个完整 的方案可表示为（０， １， ２，…， ，ｍ＋１），１≤ ≤ｎ， ｖｐ［ｉ］．ｍ—ｃｏｓｔ＝ｍｉｎ｛ｃｚ ＋ｍ＿ｖｐ［ｊ］．ｍ—ｃｏｓｔ｝（１） ｍ—ｖｐ［ｉ］．ｍ—ｉｎｄｅｘ＝ ， ＜ ≤ｎ （２） ≠ ，其中， 是第 个点的号码 Ｊ。 其中， 是点群中的节点数字；ｃ 表示节点ｉ√的距离。 这个函数的目的就是令Ｃ ＋ｍ—ｖｐ［ ］．ｍ—ＣＯＳ变得 最小。 将方案编码后，求解ＧＴＳＰ问题可被转化为多级 图的最短路径问题。图２展示了一个完整的解决方案 （０， １， ２， ３，４），该方案有３个点群， １＝［ １０， ］、 ：［ ２０， ２１， ２２］、 ３＝［ ３ｏ， ３１］。在图中，数字０ 表示起点，数字４表示终点ｔ，多级图最短路径问题就 １２从图２中可看出，排列顺序不同的点就表示了不 同的方案，而这些方案从起点 到终点ｔ的最小距离 又均是不同的。所以，衡量这些方案的目标函数的定 义为 ）＝１／（ｍ＿ｖｐ［０］．ｍ—ｃｏｓｔ＋１） （３） 是找到终点ｔ到起点ｓ的最短路径。在图２中，使用粗 实线画出了最短路径，在这一多级图中的每个阶段中 有且仅有一个点。 其中，ｍ＿ｖｐ［０］是被评估的方案的起点。 ２．３ 改进算法具体步骤 模拟退火算法中包含３个函数和两个指标：生成 新的解决方案的函数、衡量每个解决方案的函数、每轮 温度变化的函数，以及终止算法内部循环和算法外部 循环的两个指标。算法的精心设计使得模拟退火算法 表现良好。模拟退火算法可以脱离局部极大值或者极 图２ 多级图举例 小值，最终找到全局最优解，主要是因该算法根据不同 ＷＷＷ．ｄｉａｎｚｉｋｅｊ ｏｒｇ—— ６３ 协议・算法及仿真 周 君，等：求解旅行商路径规划问题的改进模拟退火算法 表１ 改进算法和其他算法的运行时间比较 的概率来接受新方案。然而，算法一开始运行就达到 全局收敛条件是极少的。依照某一概率来接收新产生 的解决方案 ，这种做法令原来的方案可以比在搜 索时的中间方案差。实际中，由此运行的算法通常可 接近最优解，但搜索效率比较差。因此，为了提高搜索 效率，保留最佳方案，本文改进了传统的模拟退火算 法，其具体步骤如下： 步骤１给定初始温度 ，随机生成初始方案 ，令 ｂｅｓｔ＝ ，确定没有更好方案产生之后的最大循环次数 ＤＩＭＩＮＩＳＨＴＮＵＭ，早期终止条件ＡＩＭ，马尔可夫链长 ， ａｉｍ＝０，Ｂｕｍ：０，ｉ＝０； 动态规划算法是一种没有局部优化的确定性算 法，该算法所获得的路径就是最优路径，切无需要考虑 参数这一因素。其中，该算法的时间复杂度为 （ｎ＋ ｍ），其空间复杂度为Ｏ（ｎ），而ｎ是算法处理的封闭轮 廓的数目。该算法的时间与空间复杂度均能完全满足 总体的性能要求。 步骤２ ｉ＝ｉ＋１，若ｉ≥ ，转到步骤１０； 步骤３调用邻域搜索算法来生成一个新的方 案 ； 步骤４计算目标函数差ＡＥ，若△Ｅ＜０，则 ＝ ， ｎｕｎ＝０，ａｉｍ＝０，转到步骤７； 步骤５若ｅｘｐ（一ＡＥ／ ）＞ＲａｎｄＦｌｏａｔ（），则 ＝ ， ４ 结束语 １ｊ 本文提出了一种改进的模拟退火算法来求解 ＧＴＳＰ问题。首先，根据ＧＴＳＰ问题的性质，其可转化 Ｂｕｍ＝Ｂｕｍ＋１，转到步骤７； 步骤６ Ｂｕｍ＝ｎｕｎ＋１，转到步骤７； 为多段映射问题，而多段映射问题可以通过动态规划 算法来解决。通过测试标准的ＧＴＳＰ问题的数据，测 试结果表明：与传统的模拟退火算法相比，改进后的算 法可大幅缩短运行时间，并更容易得到最优解。尤其 是在处理规模较小的问题时，算法的效率得到了显著 改善。此外，算法的参数也会影响算法的执行效率，合 适的参数使得算法能够发挥出更好的性能。但对于大 规模问题，改进算法的效率仍有待进一步提高。 参考文献 ［１］ 鲜敏，郑翔．模拟退火算法优化聚类头节点的ＭＡＮＥＴ服 务质量改进［Ｊ］．计算机应用与软件，２０１５（４）：３２６—３２９． 步骤７若ａｉｍ＝ＡＩＭ，则结束算法运行，转到步 骤１０； 步骤８若Ｂｕｍ＞ＤＩＭＩＮＩＳＨＴＮＵＭ，则ａｉｍ＝ａｉｍ＋ １，Ｂｕｍ＝０； 步骤９若 ｂｅｓｔ）≤ ），则ｂｅｓｔ＝ ，转到步骤２ 是目标函数； 步骤ｌＯ输出最终方案，结束整个算法。 其中， 是第ｋ轮的温度，其满足这一温度下降公式 【Ｉｎ（ “）］ 止算法。 （４） 当迭代的次数为ｋ，等于温度下降的总次数时，终 宋燕子．基于模拟退火算法的启发式算法在ＶＲＰ中的应 用［Ｄ］．武汉：华中师范大学，２０１３． 熊慧，胡小伟，刘近贞．基于混合粒子群和模拟退火算法 的聚焦性优化［Ｊ］．航天医学与医学工程，２０１６，２９（１）： ３４—３８． ３实验仿真和分析 为进一步对提出算法进行性能分析和比较研究， 文中用Ｃ＋＋语言来编程求解ＧＴＳＰ。为比较改进模 裴小兵，贾定芳．基于模拟退火算法的城市物流多目标配 送车辆路径优化研究［Ｊ］．数学的实践与认知，２０１６（２）： １０５—１１３． 拟退火算法与其他３种算法求解ＧＴＳＰ问题的有效 性，本文做了大量改进算法和其他算法的实验。这里 所有的实验测试数据选取于标准ＧＴＳＰ问题库 ，共 屈国强．改进模拟退火算法求解煤场配煤优化问题［Ｊ］． 物流技术，２０１６（６）：９０—９３． 选取了７组测试的数据，针对这７个问题，算法运行了 ２０次（ＩＳＡ表示本文改进后的算法）。表１详细地列 出了上面所说的实验的结果，从结果中可以看出，对于 每个图来说，图中点的个数较小时，各种算法之间的运 行时间差别很小，但当图中点的个数增加，改进模拟退 火算法的表现就优于其他算法，且该算法具有更好的 全局性能。 ——任乃飞，于璐．基于混合遗传算法的协同制造系统调度研 究［Ｊ］．电子科技，２０１６，２９（６）：２９—３３． 潘绍林，张显云，范旭亮，等．模拟退火算法的灰色模型钟 差预报［Ｊ］．测绘科学，２０１６，４１（３）：２３—２７． 吴再新，高尚策，齐洁．求解动态车间调度问题的改进微 粒群算法［Ｊ］．电子设计工程，２０１６，２２（１）：２６—３０． （下转第６８页） ＷＷＷ．ｄｉａｎｚｉｋｅｊｉ．０ｒｑ 协议・算法及仿真 表２无功优化后的结果 张 华，等：ＤＥＰＳＯ算法在计及ＵＰＦＣ设备无功优化中的应用 ［３］ 周玲．计及ＵＰＦＣ的电力系统无功优化［Ｊ］．中国电机工 程学报，２００８，２８（４）：３７—４１． ［４］ 王佳．计及ＵＰＦＣ电力系统无功优化研究［Ｊ］．电子科技， ２０１５，２８（９）：５０—５３． 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