3 正方形的性质与判定
基础闯关全练
拓展训练
1.已知四边形ABCD,则下列说法正确的是( ) A.若AB∥CD,AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形 B.若AC⊥BD,AC=BD,则四边形ABCD是矩形 C.若AC⊥BD,AB=AD,CB=CD,则四边形ABCD是菱形 D.若AB=BC=CD=AD,则四边形ABCD是正方形
答案 A A.若AB∥CD,AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形,故此选项正确; B.若AC⊥BD,AC=BD,无法得到四边形ABCD是矩形,故此选项错误; C.若AC⊥BD,AB=AD,CB=CD,无法得到四边形ABCD是菱形,故此选项错误; D.若AB=BC=CD=AD,无法得到四边形ABCD是正方形,故此选项错误.故选A.
2.如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是边BM、CM的中点,当AB∶AD= 时,四边形MENF是正方形.
答案 1∶2
解析 当AB∶AD=1∶2时,四边形MENF是正方形. ∵AB∶AD=1∶2,AM=DM,AB=CD, ∴AB=AM=DM=DC, ∵∠A=∠D=90°,
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°, ∴∠BMC=90°.
∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠DCB=90°, ∴∠MBC=∠MCB=45°,∴BM=CM. ∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点, ∴BE=CF=ME=MF,NF∥BM,NE∥CM, ∴四边形MENF是平行四边形, ∵ME=MF,∠BMC=90°, ∴四边形MENF是正方形.
能力提升全练
拓展训练
1.(2014广东广州中考)将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变.当∠B=90°时,如图①,测得AC=2.当∠B=60°时,如图②,AC=( )
A. B.2 C. D.2
答案 A 易知题图①为正方形,AC为其对角线,由2BC=AC得BC=.
易知题图②为菱形,∠B=60°,连接AC,∴△ABC为等边三角形,∴AC=BC=.故选A.
2.(2016江苏徐州中考)如图,正方形ABCD的边长为2,点E、F分别在边AD、CD上,若∠EBF=45°,则△EDF的周长等于 .
2
2
答案 4
解析 将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAC'的位置, ∵∠BAC'+∠BAD=180°,
∴C'、A、D三点共线. ∵∠ABC=90°,∠EBF=45°, ∴∠FBC+∠EBA=45°. ∵∠FBC=∠C'BA, ∴∠C'BA+∠EBA=45°, ∴∠EBF=∠EBC'=45°. 在△EBF和△EBC'中, ∴△EBF≌△EBC',∴EF=EC', 又CF=AC',
∴EF=EA+AC'=EA+FC,
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=DA+DC=4.
3.如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且EA=EC. (1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠DAC=∠EAD+∠AED,求证:四边形ABCD是正方形.
证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO=AC,
∵EA=EC,∴EO⊥AC,即BD⊥AC, ∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)∵∠1=∠EAD+∠AED,∠DAC=∠EAD+∠AED,
∴∠1=∠DAC,∴AO=DO. 由(1)知四边形ABCD是菱形, ∴AC=2AO,DB=2DO,∴AC=BD, ∴菱形ABCD是正方形.
三年模拟全练
拓展训练
1.(2016上海虹口二模,6,★☆☆)下列命题中,正确的是( ) A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.对角线相等的菱形是正方形
答案 D A错误,四边相等的四边形是菱形; B错误,四角相等的四边形是矩形,不一定是正方形; C错误,对角线垂直的平行四边形是菱形; D正确,符合正方形的判定定理.故选D.
2.(2017江苏徐州三模,25,★★☆)如图,D是线段AB的中点,C是线段AB的垂直平分线上的一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求证:DE=DF;
(2)当CD与AB满足怎样的数量关系时,四边形CEDF为正方形?请说明理由.
解析 (1)证明:∵CD垂直平分AB,∴AC=CB, ∴△ABC是等腰三角形, ∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠BCD.
∵DE⊥AC,DF⊥BC, ∴∠DEC=∠DFC=90°, ∴∠EDC=∠FDC, 在△DEC与△DFC中, ∴△DEC≌△DFC(ASA), ∴DE=DF.
(2)当AB=2CD时,四边形CEDF为正方形.理由如下: ∵AD=BD,AB=2CD, ∴AD=BD=CD.
∴∠ACD=45°,∠DCB=45°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°, ∴四边形DECF是矩形.
又∵DE=DF,∴四边形CEDF是正方形.
3.(2017山东青岛实验中学二模,21,★★☆)如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.
(1)证明:△EFD≌△GFB;
(2)试判断四边形EBGD的形状,并说明理由;
(3)当△ABC是 时,四边形EBGD是正方形(不用说明理由).
解析 (1)证明:∵EG垂直平分BD, ∴EB=ED,GB=GD,∴∠EBD=∠EDB, ∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC, ∴∠EDF=∠GBF, 在△EFD和△GFB中,
∴△EFD≌△GFB. (2)四边形EBGD是菱形.
理由:∵EG垂直平分BD,∴EB=ED,GB=GD, 由(1)知△EFD≌△GFB,∴ED=BG, ∴BE=ED=DG=GB, ∴四边形EBGD是菱形.
(3)当△ABC是直角三角形,即∠ABC=90°时,四边形EBGD是正方形,根据有一个角是直角的菱形是正方形可以得出. 4.(2018河南平顶山实验中学第一次月考,23,★★★)
(1)如图①,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,说明理由;
(2)如图②,在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=∠BAD时,EF=BE+DF成立吗?请直接写出结论.
解析 (1)证明:如图,在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ADC=∠B=90°.
把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE', ∵∠ADF=∠ADE'=90°,∴F、D、E'三点共线, ∴∠E'AF=90°-45°=45°=∠EAF, 在△AFE和△AFE'中, ∴△AFE≌△AFE'(SAS), ∴EF=FE'=DE'+DF=BE+DF.
(2)EF=BE+DF成立.理由如下:
如图,因为AB=AD,所以可以将△ABE绕点A逆时针旋转到△ADE'的位置,连接E'F.
∵∠B+∠ADF=180°,∠B=∠E'DA, ∴∠E'DF=∠E'DA+∠ADF=180°, ∴E'、D、F三点共线,
∵∠BAE+∠DAF=∠EAF,∠E'AD=∠BAE, ∴∠E'AF=∠EAF, 在△FAE和△FAE'中, ∴△FAE≌△FAE'(SAS), ∴EF=FE'=DE'+DF=BE+DF.
五年中考全练
拓展训练
1.(2016
湖南郴州中考,8,★☆☆)
如图,在正方形ABCD形,∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,则EF的长是( )
A.7 B.8 C.7 D.7 答案 C 如图,∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=AD. 在△ABE和△CDF中,
,△ABE
和△CDF为直角三角
中
∴△ABE≌△CDF(SSS), ∴∠ABE=∠CDF.
∵∠BAE+∠DAG=90°,∠ABE+∠BAE=90°, ∴∠ABE=∠DAG=∠CDF,
同理,∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH, ∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°, ∴∠DGA=90°,同理,∠CHB=90°. 在△ABE和△DAG中, ∴△ABE≌△DAG(AAS), ∴AE=DG,BE=AG,
同理AE=DG=CF=BH=5,BE=AG=DF=CH=12, ∴EG=GF=FH=EH=12-5=7,∴EF=7.
2.(2015广西南宁中考,16,★★☆)如图,在正方形ABCD的外侧作等边△ADE,则∠BED的度数为 °.
答案 45
解析 在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°, 在等边△ADE中,AD=AE,∠DAE=60°, ∴AB=AE,∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°, ∴∠BEA=×(180°-∠BAE)=15°, ∴∠BED=60°-15°=45°.
3.(2017湖南邵阳中考,20,★★☆)如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB. (1)求证:平行四边形ABCD是矩形; (2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD, ∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC, ∴AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形. (2)AB=AD或AC⊥BD,答案不唯一. 理由:∵四边形ABCD是矩形,AB=AD, ∴四边形ABCD是正方形. 或∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形.
核心素养全练
拓展训练
1.在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1,D1E1E2B2,A2B2C2D2,D2E3E4B3,A3B3C3D3,…按如图所示的方式放置,其中点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3、…在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3∥……,则正方形A2 015B2 015C2 015D2 015的边长是( )
A. B.
C. D.
答案 D 由已知得D1E1=B2E2,D2E3=B3E4,∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°, ∴D1E1=C1D1×=,则B2C2=, 同理可得,B3C3==,……, 故正方形AnBnCnDn的边长是. 则正方形A2 015B2 015C2 015D2 015的边长是.
2.如图①所示,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起,现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.
(1)如图②所示,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
解析 (1)BM=FN.
证明:因为△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形, 所以∠ABD=∠F=45°,OB=OF. 又因为∠BOM=∠FON,
所以△OBM≌△OFN,所以BM=FN. (2)BM=FN仍然成立.
证明:因为△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,所以∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF. 所以∠MBO=∠NFO=135°.
又因为∠MOB=∠NOF,所以△OBM≌△OFN, 所以BM=FN.
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