苏教版九年级上册数学[圆的对称性—知识点整理及重点题型梳理](基础版)

苏教版九年级上册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

圆的对称性—知识讲解（基础）

【学习目标】

1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；

2. 通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念 ，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；

3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用，通过实际操作、思考、交流等过程增强学生的实践意识和应用方法.

【要点梳理】

要点一、圆的对称性

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 要点诠释：

圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 要点二、弧、弦、圆心角的关系

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 要点诠释：

(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 要点三、垂径定理 1.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：

(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

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(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 要点四、垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

【典型例题】

类型一、应用垂径定理进行计算与证明

1．（2015•巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．

【答案与解析】

解：∵E为弧AC的中点， ∴OE⊥AC， ∴AD=AC=4cm，

∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，

222222

∴在Rt△OAD中，OA=OD+AD即OA=（OE﹣2）+4， 又知0A=OE，解得：OE=5， ∴OD=OE﹣DE=3cm．

【总结升华】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形. 举一反三：

【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。

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【答案】1cm．

2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）

A．MP与RN的大小关系不定 B．MP＝RN C．MP＜RN D．MP＞RN 【答案】B；

【解析】比较线段MP与RN的大小关系，首先可通过测量猜测MP与RN相等，

而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP≌△ONR， 如果联想到垂径定理，可过O作OE⊥MN于E，则ME＝NE，PE＝RE， ∴ ME－PE＝NE－RE，即MP＝RN．

【总结升华】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”. 举一反三：

【变式】已知：如图，割线AC与圆O交于点B、C，割线AD过圆心O. 若圆O的半径是5，且DAC30，

AD=13. 求弦BC的长.



【答案】6.

类型二、垂径定理的综合应用

3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ）

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A．5m B．8m C．7m D．53m

【思路点拨】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解. 【答案】B；

【解析】如图2，

AB表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为AB的中点，

CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为AB的圆心，根据垂径定理的推论可知，

C、D、O三点共线，且OC平分AB．

22222

在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD＝OA－AD＝13－12＝25． ∴ OD＝5，

∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．

【总结升华】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求

的问题转化为数学问题中的已知条件和问题． 4．（2015•蓬溪县校级模拟）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24 （1）求CD的长；

（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？

【答案与解析】

解：（1）∵直径AB=26m，

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∴OD=∵OE⊥CD， ∴

，

，

∵OE：CD=5：24， ∴OE：ED=5：12， ∴设OE=5x，ED=12x，

222

∴在Rt△ODE中（5x）+（12x）=13， 解得x=1，

∴CD=2DE=2×12×1=24m； （2）由（1）得OE=1×5=5m， 延长OE交圆O于点F， ∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m， ∴

，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．

【总结升华】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决． 举一反三：

【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．

【答案】不需要采取紧急措施

设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18， R=30+(R-18)， R=900+R-36R+324， 解得R=34(m).

连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16， 34=16+(34-x)， x-68x+256=0，

解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)， ∴DE=4m＞3m，

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2

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∴不需采取紧急措施．

类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用

5. 如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，求∠BCD的度数.

【思路点拨】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数． 【答案与解析】

解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆， ∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°， ∴∠BCD=120°．

【总结升华】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°． 举一反三： 【变式】如图所示，

中弦AB=CD，求证：AD=BC.

【答案】

证法1：∵AB=CD，∴ ∴

(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等)

∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)

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证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC， ∵AB=CD，∴ ∴

∴AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)

(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等)

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