电磁场6.1-6.3汇总

第6章 电磁波的传播

本章叙述电磁波的基本传播规律，下一章叙述电磁波的辐射即电磁波的产生。所谓波是一种向外传播的扰动(或振动)，使能量从一点传播到另一点。在电磁波传播过程中物质没有位移。

从电磁波的发生次序上看，只有先辐射出来，然后才能传播，似乎应该先叙述电磁波的辐射。但从历史的发展顺序看恰恰相反，1873年麦克斯韦首先提出了光的电磁学说，研究了平面波及其在结晶介质中的传播，而15年后的1888年才由赫兹做出电磁波辐射实验。本书大体是按历史发展顺序叙述的。

本章由三部分组成：第一部分为电磁波在理想介质中的传播规律，包括理想介质中电磁波方程、均匀平面电磁波的基本特点与偏振、均匀平面电磁波在介质交界面上的反射和折射；第二部分为电磁波在导电介质中的基本传播规律；第三部分为电磁波的定向传播，主要讨论电磁波在矩形金属波导管中的传播规律。

6.1 理想介质中的时谐电磁波方程

理想介质（电导率0）是指没有能量损耗的介质。真空是一种理想介质。电导率很小的介质可以近似看作是理想介质。 6.1.1 时谐电磁波的约束方程

以下使用相量法导出复有效值矢量E和H分别满足的方程。 设电磁波的角频率为，场量随时间t的变化规律为

jt， Hr,tRe2Hrejt Er,tRe2Ere当电磁波离开波源后，它在电容率和磁导率都是常量的理想介质中的运动服从以下两个旋度方程

HjE (6-1-1)

EjH (6-1-2)

两个散度方程E0和H0不必再列出。

在方程(6-1-2)两端取旋度并利用式(6-1-1)，得

EjH2E

由E(E)2E2E，从而时谐电场E满足的约束方程组为

2Ek2E0 (6-1-3) E0 (6-1-4)

式中 k (6-1-5)

同理，可写出时谐磁场H满足的约束方程组为

2Hk2H0 (6-1-6)

H0 (6-1-7)

已知时谐电场E后，可由式(6-1-2)得到时谐磁场：

H1jE (6-1-8)

已知时谐磁场H后，可由式(6-1-1)得到时谐电场：

E1jH (6-1-9)

6.1.2 时谐电磁波的分类

时谐电磁波是正弦波。设标量形式的时谐波为

ur,t2Urcostr (6-1-10)

为了看清时谐波在空间的变化情况，可以观察任意固定时刻t的等幅面和等相面的形状。等幅面是指时谐波的振幅为常量的曲面，它的方程是

UrC1(常量) (6-1-11)

等相面是指时谐波的相角为常量的曲面，它的方程是

trC2(常量) (6-1-12)

等相面又称为波阵面。

我们把等相面是平面、柱面和球面的波分别称为平面波、柱面波和球面波。

当等幅面与等相面重合时，称为均匀波，反之称为非均匀波。也可以

这样说，在等相面上振幅处处相等的波是均匀波，反之是非均匀波。

6.2 均匀平面电磁波的基本概念

本节研究线性、各向同性、均匀、定常、无限大理想介质中的平面波解。平面波是电磁波的一种最重要的传播形式，例如图6-2-1 是频率为20MHz的电流元（电偶极子）天线所辐射电磁波的等相面，可以看出距离波源越远，等相面越接**面。因此研究平面波的传播规律具有重要意义。

图6-2-1 电磁波（频率20MHz）的等相面

6.2.1 基本波函数

在直角坐标系Oxyz中，时谐电磁场的复有效值矢量E和H可分别表示为

EExexEyeyEzez (6-2-1) HHxexHyeyHzez (6-2-2)

将以上两式分别代入方程2Ek2E0和2Hk2H0中，得以下分量方程：

2Exk2Ex0，2Eyk2Ey0，2Ezk2Ez0 2Hxk2Hx0，2Hyk2Hy0，2Hzk2Hz0

以上六个场量分量的方程可统一表示为

2uk2u0 (6-2-3)

下面用分离变量法求解方程(6-2-3)的非零解。 设函数ux,y,z是以下三个单变量函数的乘积：

ux,y,zXxYyZz (6-2-4)

代入方程(6-2-3)，整理后得到

1d2X1d2Y1d2Z2k0 (6-2-5) 222XdxYdyZdz要使以上三项共处于一个表达式中，只能是每项都分别等于某个常量，即

1d2X2kx (6-2-6) 2Xdx1d2Y2ky (6-2-7) 2Ydy1d2Z2k (6-2-8) z2Zdz其中

22kxkykz2k22 (6-2-9)

三个常量kx,ky,k所处的位置对称，根据式(6-2-9)可知，这三个常量都应z是实数。不失一般性，可设kx0,ky0,kz0，以上三个方程的通解可分别表示为

Xxc1ejkxxc2ejkxx (6-2-10)

Yyc3ejkyyc4ejkyy (6-2-11)

Zzc5ejkzzc6ejkzz (6-2-12)

观察以上Xx、Yy、Zz的表达式可知，它们都分别由两个复指数函数之和所组成，这两个复指数函数都有明确的物理意义。

我们以c1ejkxx为例来讨论。先把它写成瞬时式：

Re2c1ejkxxejt2c1costkxxargc1

它是距离x和时间t的二元函数。这种随着时间的增长而不断向ex方向移动的波，我们称它为入射波或正向行波。入射波的一般表达式是

ftkxxfkxxvxtFxvxt

同理，c2ejkxx的瞬时式

Re2c2ejkxxejt2c2costkxxargc2

表示以速度vxkx沿x轴的ex方向匀速直线运动的行波，我们称它为反射波或反向行波。反射波的一般表达式是

gtkxxgkxxvxtGxvxt

同样，c3ejkyy和c5ejkzz分别表示沿ey方向和ez方向传播的入射波，

c4ejkyy和c6ejkzz分别表示沿ey方向和ez方向传播的反射波。而无限大

均匀介质中不可能有反射波，所以应取c20，c40，c60。于是方程

2uk2u0的基本解函数为

jkxkykzux,y,zc1c3c5exyzc0ejkr (6-2-13)

式中c0c1c3c，rxexyeyzez，k是传播矢量： 5kkxexkyeykzez (6-2-14)

2kz2。 它的模kkkkx2ky利用式(6-2-13)，场矢量可写成

EE0xexE0yeyE0zezejkrE0ejkr (6-2-15) HH0xexH0yeyH0zezejkrH0ejkr (6-2-16)

式中E0和H0均为与空间坐标x,y,z无关的常矢量。

以上两个表达式分别是方程2Ek2E0和2Hk2H0的基本解。 6.2.2 均匀平面电磁波的性质

线性、各向同性、均匀、定常、无限大理想介质中的场量随时间按正弦规律变化时，电场强度在直角坐标系中可以表示成

jtRe(2E0ejkrejt) E(r,t)Re2ErejRe[2(E0xejxexE0yeyeyE0zejzez)ej(tkr)] (6-2-17)

于是场量E(r,t)沿x，y，z轴的三个瞬时值分量为

Ex(r,t)2E0xcos(tkrx) (6-2-18)

Ey(r,t)2E0ycos(tkry) (6-2-19) Ez(r,t)2E0zcos(tkrz) (6-2-20)

这三个分量都具有相同的变化规律，所不同的是振幅与初相角。在任意固定时刻t，以上三个分量的等相面方程都具有相同的数学表达式

tkrtkxxkyykzz常量 (6-2-21)

这是一个关于坐标变量x，y，z的一次方程，它所表示的图形是平面。利用解析几何知识可知，在直角坐标系中，平面方程的一次项系数是这个平面的一个法向矢量的坐标。因此，k和k都是等相面的法向矢量。这里取

nkk (6-2-22) k为直角坐标系中任意电场分量的等相面的单位法向矢量，如图6-2-2所示。

图6-2-2 平面电磁波的等相面

根据时谐电磁波的分类，Ex(r,t)2E0xcos(tkrx)是均匀平面波。同样，分量Ey(r,t)和Ez(r,t)也都是均匀平面波。

根据均匀平面波表达式EE0ejkr和HH0ejkr，可得出特点如下。 (1) 横波特性 利用矢量微分公式

fAfAfA 和 ejkrjejkrk

可得

E1jH1j(H0ejkr)kH (6-2-23) (6-2-24)

H1jE1j(E0ejkr)kEcpvkEE02*EHEk (6-2-25) 式中E0E0E0E0。可见E，H，k互相垂直，并构成右手螺旋关系。

矢量k的方向代表了波的传播方向，这就是把k叫做传播矢量的原因。

定义波的振动方向与波的传播方向相垂直的波为横波。

均匀平面电磁波是横波。例如，设电场E的振动方向是ex，磁场H的振动方向是ey，则波的传播方向就是ez方向，图6-2-3描绘了这种情况下某一时刻均匀平面波振动矢量E和H在空间的分布情况。

图6-2-3电场方向固定的均匀平面电磁波在某时刻的空间分布

例6.2.1 均匀平面电磁波的电场为EE0ejkr（E0是常矢量），证明电场E是横波。

解 因EE0ejkrE0ejkrjEk0，即E和k垂直，而k的方向是电磁波传播方向，所以E是横波。

(2) 相速 等相面向波的传播方向移动的速度称为相速。设r是起点位于坐标原点、终点位于等相面Sp上的位置矢量，则等相面Sp移动的速度为

vvkdrkdkr (6-2-26) dtkkdt利用等相面方程tkrC，由上式可得相速

vdtC kdtk即 v1 (6-2-27)

特别地，真空中均匀平面电磁波的相速为

vc100299 792 458m/s3108m/s

真空中，04π107H/m，08.81012F/m。

(3) 波长 均匀平面电磁波是正弦波。定义在同一时刻，相位差为2π的两个等相面之间的距离是波长。在kkez这个特定的直角坐标系中，

krkz，根据波长的定义，有

tkztkzk2π

于是 2π (6-2-28) k(4) 周期 定义在同一场点相位改变2π所需要的时间为周期T，则

tTkrtkrT2π

从而 T2π (6-2-29)

同一场点波的传播见两个动画，并判断电场方向和磁场方向。

(5) 波阻抗 波阻抗是指电磁波的横向电场分量与横向磁场分量的比值。设均匀平面电磁波的电场和传播矢量分别为

EExex 和 kez

可得磁场 HkEExey 这样，均匀平面电磁波的波阻抗为

ZExHy  (6-2-30) 真空中的波阻抗Z000120π377。

通过本节分析可以看到，在线性、各向同性、均匀、定常、无限大理想介质(k是正常量)中传播的电磁波是横波，波的振幅在传播过程中保持不变，电场和磁场同相、方向互相垂直。

以上通过在直角坐标系中求解波动方程得到了平面波解，如果在圆柱坐标系和球坐标系中分别求解波动方程，则会分别得到柱面波解和球面波解。

例6.2.2 无限大真空中电场有效值为E0、振动方向为ez的均匀平面电磁波，传播方向为ey，角频率为，初相角为，试分别写出电场强度和磁场强度的瞬时表达式。

解 因传播矢量kkey，从而

krkeyxexyeyzezky EE0ejkrE0ejezejkyE0ejkyez

H场量的瞬时表达式为

kE00jkyE0eex 0jt2E0costkyez E(y,t)Re2Eye H(y,t)Re2Hyejt式中k00。

200E0costkyex

6.3 均匀平面电磁波的偏振

波有纵波与横波之分，纵波的振动方向与传播方向相一致，横波的振动方向与传播方向相垂直。纵波的振动矢量相对于传播方向呈对称分布，横波的振动矢量相对于传播方向呈不对称分布。横波的振动矢量呈现的这种不对称分布称为波的偏振。纵波不存在偏振问题。

均匀平面电磁波是横波。

均匀平面电磁波中的振动矢量E和振动矢量H互相垂直，两者的偏振情况相同。这样，研究波的偏振只需要研究其中一个振动矢量的偏振

情况即可。在电磁场理论中，偏振波的振动矢量特指电场强度矢量。

本节讨论均匀平面电磁波的偏振及其应用。 6.3.1 偏振波的参数方程

在直角坐标系Oxyz中，时谐均匀平面电磁波的电场为

&E&eE&eE&eejkr E0xx0yy0zz&0，krkz。此时电假设kkez，根据均匀平面电磁波的性质，必有E0z场强度的瞬时表达式为

E(z,t)Re2E0xejxexE0yeyeyejjtkz 2E0xcostkzxex2E0ycostkzyey

EmxcosexEmycosey (6-3-1)

式中tkz2E0y0。 x，yx，Emx2E0x0，Emy为了形象地表示均匀平面电磁波的振动矢量(6-3-1)相对于传播方向

ez的分布情况，可用电场强度矢量端点随时间t的变化轨迹来表示。在直角坐标系Oxyz中，取x轴表示分量Exz,t，y轴表示分量Eyz,t，设平面波在t0时z0，则以时间t为变量的空间轨迹的参数方程为

ExEmxcostEyEmycostzvtpt

(6-3-2)

式中vp是均匀平面电磁波沿z轴正方向传播的相速。

这样，不同的偏振波对应不同的空间曲线。 6.3.2 两个垂直电场分量的合成

当电场的振动被在一个平面内时，电场的大小随时间和距离按正弦规律变化，如图6-2-3所示。这种电场方向固定不变的情况是一种特殊情况。一般情况下，电场具有两个相互垂直的振动分量，合成后的电场方向随时随地变化，那么此时的偏振情况如何描述呢？

设Emx0，Emy0，由参数方程(6-3-2)的第二式，得

EyEmycoscoscossinsin (6-3-3)

再由参数方程(6-3-2)的第一式，得

cosEx 和 sinEmx12cosEx1 Emx2把以上两式代入式(6-3-3)的右端，得

EyEmy移项后，成为

ExExcos1sin EEmxmx2EyEmyExExcos1sin EEmxmx2上式两端平方，整理后可得

2ExEyEyEx2cossin (6-3-4) EmxEmxEmyEmy22由解析几何理论[数学手册. 1979. pp.363-3]可知，当sin0时，这是一个以z轴为中心线的长直椭圆柱面方程，因此两个相互垂直的电场振动分量的合成运动轨迹一般为椭圆。

利用参数方程(6-3-2)，可知电场矢量E与x轴正方向ex的夹角

Emycosarctanarctan (6-3-5)

EcosExmxEy从而，电场矢量端点绕z轴旋转的角速度为

EmxEmysind (6-3-6) 2222dtEmxcosEmycos上式右端是时间t的函数，说明电场矢量端点绕z轴非匀速旋转。 6.3.3 偏振波的三种形式

将方程(6-3-4)与参数方程zvpt联立，就得到一条空间曲线。空间曲线的形状与相位差yx相对应，不同的有不同的形状。下面分别讨论。

1．线偏振波

当相位差yx0时，Ex和Ey同相，这两个正弦量同时达到最大值，同时过零点，式(6-3-4)变成线性方程

EmyEyEmxE (6-3-7) x此式与参数方程zvpt联立，表示位于振动方向和传播方向所决定的平面内的一条正弦曲线，如图6-3-1(a)所示。这条曲线被在一个平面内，称这种偏振波为线偏振波。图6-2-3所示平面波就是线偏振波。

在式(6-3-4)中，当yxπ时，Ex和Ey反相，这两个正弦量同时过零点，一个是最大值时另一个是最小值，式(6-3-4)变成线性方程

EmyEyEmxE (6-3-8) x此式与参数方程zvpt联立，也表示一条正弦曲线，曲线形状如图6-3-1(b)所示。此时的偏振波也是线偏振波。

zzEEOxyOyxa0图6-3-1 线偏振波

bπ

2． 圆偏振波

当yxπ2（相位正交）和EmxEmyC(常量)时，式(6-3-4)变成圆方程

22ExEyC2 (6-3-9)

此式与参数方程zvpt联立，表示位于长直圆柱面上的一条螺旋线，曲线形状如图6-3-2所示，平头螺丝钉的螺纹就是这样的空间曲线。这条曲线被在一个长直圆柱面内，称这种偏振波为圆偏振波。

在图6-3-2(a)和(b)中所描绘的都是圆偏振波，但这两个波中的电场矢量端点绕z轴的旋转方向不同：当π2时，ddt0，即随着时间t的增加夹角增加，见图6-3-2(a)；当π2时，ddt0，即随着时间t的增加夹角减少，见图6-3-2(b)。为区别这两种旋转方向，规定：当电场矢量端点旋转方向与波的传播方向构成右手螺旋关系时，称为右旋圆偏振波；反之，称为左旋圆偏振波。这个规定是国际电工委员会(IEC)和国际电信联盟(ITU)所制定的，成为电气和电信领域的国际标准。根据这个规定可知，图6-3-2(a)是右旋圆偏振波，图6-3-2(b)是左旋圆偏振波。

（a）右旋 （b）左旋

图6-3-2 圆偏振波

例6.3.1 无限大真空中的平面波为

EE0eyjezejkx

式中E00，k0。试判断该平面波的偏振形式。

解 因jej90，所以

Ex,tRe2Eejt2Ekx0Reeyej90ezejt 电场的两个分量为

Ey2E0costkx

Ez2E0costkx902E0sintkx

从而得 E2E2yz2E02E2m 这是一个半径为Em、中心轴线为x轴的圆柱面方程。

接下来确定偏振波的旋向。

如图6-3-3所示，在纸面上画出一个空间直角坐标系Oxyz，在任意

的xx0平面内，令时刻tt1时t1kx00，则Eyx，Ezx0,t10，0,t1Em电场矢量端点位于点A1x0,Em,0；再令后一个时刻tt2(t2t1)时

t2kx090，则Eyx0,t20，Ezx0,t2Em，电场矢量端点位于点

于是，电场矢量端点的绕向就是从点A1到点A2。由因子ejkx，A2x0,0,Em。

可知平面波的传播方向为kex。这样，伸出左手，将拇指指向ex方向，四指的指向就与电场矢量端点的绕向相同(从点A1到点A2)。这说明本题所讨论的平面波是一个向ex方向传播的左旋圆偏振波，如图6-3-3所示。

图6-3-3 向x轴正方向传播的左旋圆偏振波

3． 椭圆偏振波

一般情况下，0sin1，此时电场矢量端点的变化轨迹是长直椭圆柱面上的螺旋曲线。这条曲线被在一个长直椭圆柱面内，称这样的偏振波为椭圆偏振波。

从式(6-3-6)可见，当sin0时，ddt0，即随着时间t的增加夹角

增加，这是右旋椭圆偏振波；当sin0时，ddt0，即随着时间t的

增加夹角减少，这是左旋椭圆偏振波。图6-3-4(a)和(b)分别描绘出了这两种旋向的椭圆偏振波在平面xOy上的投影曲线。

yEyE.x.xa右旋sin0图6-3-4 椭圆偏振波的旋向

b左旋sin0

6.3.4 偏振波的应用

把均匀平面电磁波划分为线偏振波、圆偏振波和椭圆偏振波，主要是为了波的接收。接收电磁波要使用天线，天线是指能够辐射或接收电磁波的部件。

与三种偏振波对应，根据天线在远场区最大辐射方向上偏振波的不同，将天线分为线偏振天线、圆偏振天线和椭圆偏振天线。对称细直天线辐射线偏振波、圆螺旋细天线辐射圆偏振波，所以对称细直天线是线偏振天线，圆螺旋细天线是圆偏振天线。与地面平行的对称细直天线辐射水平线偏振波，与地面垂直的对称细直天线辐射垂直线偏振波；左旋的圆螺旋细天线辐射左旋圆偏振波，右旋的圆螺旋细天线辐射右旋圆偏振波。

这里以线偏振波为例，说明天线不能接收与其垂直的偏振波。如图6-3-5所示，T和R分别是一套微波装置的发射机和接收机。发射机发出的电磁波中的电场矢量沿与地面垂直的方向振动。在发射机T与接收机R之间放置了一个非金属支架，支架上放置了一个由平行的金属线制成的“线栅”(栅读音zhà)，线栅平面与来波方向垂直。我们把金属线栅看作是接收天线，当金属线栅中有交变电流时表示能够接收到信号，反之表示不能够接收到信号。当金属线与地面垂直时(见图6-3-5中的位置A)，接收机R接收到的信号最弱；而当金属线与地面平行时(见图6-3-5中的位置B)，接收机R接收到的信号最强。我们来分析一下这个实验结果。当金属线栅与地面垂直时，它与来波中的电场矢量平行，由电场切向分量边界条件E1tE2t可知，金属线栅中会产生交变电流，来波能量被吸收；

当金属线栅与地面平行时，它和来波中的电场矢量垂直，来波不能在金属线栅中产生交变电流，可以穿过线栅而到达接收机R。

图6-3-5 线偏振波的接收

由以上实验可知，为了有效地接收电磁波，接收天线（金属线栅）的偏振特性应与来波的偏振特性相同。例如，在无线电通信中，当通信一方的姿态或位置不断变化时，为提高通信可靠性，根据圆偏振波中的电场矢量可旋向与来波方向相垂直的任意方向，发射天线和接收天线都可采用圆偏振天线；同样，为了干扰天线的正常接收，也可采用圆偏振天线。再例如，当不希望接收水平偏振波时，可采用垂直偏振天线；当不希望接收右旋圆偏振波时，可采用左旋圆偏振天线。

思考题

什么是均匀平面电磁波？

无限大均匀介质中电磁波如何运动，如何描述？

习 题

6.1-6.4