高中数学——变化的快慢与变化率

变化的快慢与变化率

【教学目标】理解平均变化率的概念，会求具体函数的平均变化率，理解平均变化率的实际意

义．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义.

【教学重点】理解平均变化率的概念与计算.

【教学难点】理解平均变化率的概念及实际意义. 【教学过程】 问题1：物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为ss(t).在运动过程中，测得如下数据： 0 2 5 10 13 0 6 9 20 32 物体在0~2s和10~13s这两段时间内，哪一段时间运动得快？ 【分析】比较运动的快慢，一般用平均速度来刻画. t/s s/m 15 44 … … 603(m/s) ， 203220在10~13s内，平均速度为：4(m/s)， 1310在0~2s内，平均速度为：显然，在这两段时间内，后一段时间比前一段时间运动得快些. 用一段时间内物体的平均速度来刻画物体运动的快慢 从时间t0到t1时，物体的路程从s(t0)变为s(t1)，这段时间内的平均速度为： s(t1)s(t0)s，函数变化量记作：s，自变量变化量记作：y， 则v. t1t0t问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温的变化情况，哪段 v时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 【答】从0min到20min，体温从39C下降到38.5C； 从20min到30min，体温从38.5C下降到38C. 从0min到20min，体温y相对时间x的平均变化率为0000 38.5390.025(0C/min)； 2003838.50.05(0C/min)； 从20min到30min，体温y相对时间x的平均变化率为3020 体温变化率为负数，说明体温在下降，绝对值越大，体温下降得越快，所以从20min到30min体温下降比从0min到20min体温下降要快. 二、抽象概括：平均变化率 1、定义：对于一般的函数f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，f(x2)f(x1)函数值的改变量. x2x1自变量的改变量2、自变量的改变量xx2x1；函数值的改变量yy2y1； f(x2)f(x1)y3、；为后面的瞬时变化率作结构铺垫； x2x1x它的平均变化率为：第 1 页 共 3 页

北师大版选修2—2 4、x、y可正也可负，y还可以为0. 【意义】用平均变化率来刻画函数值在区间[x1,x2]上的变化的快慢. 【练习】课本P27 练习1 三、瞬时变化率 1、引例： 例1、【从平均速度到瞬时速度】一个小球从高空自由下落，其走过的路程s（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为s这个时刻的瞬时速度. 122其中g为重力加速度(g9.8m/s).估计小球在t5gt；2ss(t1)s(t0)， tt1t0s(5.1)s(5)127.45122.5求从5s到6s这段时间内小球的平均速度：49.5(m/s)， 5.150.1有时它可以用来近视表示t5s时的瞬时速度，为了提高精确度，可以缩短时间间隔， s(6)s(5)176.4122.5如5到5.1s这段时间内的平均速度用它来近视表53.9(m/s)，651示t5s时的瞬时速度. 【解】当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式 当t15s时，平均速度趋于49m/s，因此，可以认为小球在t05时的瞬时速度为49m/s， 由上面的表可以看出，瞬时速度为49m/s的物理意义是：如果小球保持这一时刻的速度进行运动的话，每秒将要运动49m. 例2、【估计合金棒的线密度】一根质量分布不均匀的合金棒，长 为10m，x（单位：米）表示OX这段棒的长，y（单位：千克） 表示OX这段棒的质量，它们满足的关系为：y2x.估计该合金棒在x2m处的线密度. 【解】从x02m到x13m，这段合金棒的平均线密度为： f(3)f(2)3.42.8280.636(kg/m)，它可以近似表示x02m处合金棒的线密度， 321从x02m到x12.1m，这段合金棒的平均线密度为： f(3)f(2)2.82.8280.70(kg/m)，它可以近似表示x02m处合金棒的线密度. 2.120.1 第 2 页 共 3 页

北师大版选修2—2 如果合金棒的长度进一步缩短，合金棒的线密度就会更接近合金棒在x02m处的线密度. 当x1x02时，平均线密度趋于0.71kg/m，因此，可以认为合金棒在x02时的线密度为0.71kg/m，由上面的表可以看出，线密度为0.71kg/m的物理意义是：如果有1m长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg/m. 2、抽象概括 对于一般的函数f(x)来说，当自变量x从x0变为x1的过程中，若设xx1x0， yf(x1)f(x0)，则函数的平均变化率为：f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)y. x1x0xx当x0时，平均变化率趋于函数在x0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某点x0处的变化的快慢. 【备注】1、有时也会利用平均变化率去估计瞬时变化率；瞬时变化率为后面的导数的定义做了一个铺垫. 2、从平均变化率到瞬时变化率中含有极限的思想. 3、平均变化率与瞬时变化率刻画函数变化的快慢的不同点：在区间[x1,x2]上的变化的快慢；在某点x0处的变化的快慢. 【练习】课本P30 练习2 四、小结： 1、平均变化率与瞬时变化率的定义及计算； 2、平均变化率与瞬时变化率的区别与联系； 联系：都是刻画函数变化的快慢，瞬时变化率是由平均变化率演变而来的，有时也会利用平均变化率去估计瞬时变化率； 区别：平均变化率刻画函数在区间[x1,x2]上的变化的快慢；瞬时变化率刻画函数在某点x0处的变化的快慢. 3、极限思想. 4、对于不同实际问题，瞬时变化率富于不同的实际意义. 作业：课本P31 习题21 A 2、3， B 1 第 3 页 共 3 页