第２５卷第２期 高等函授学报（自然科学版） Ｖ０１．２５ Ｎｏ．２ ２０１２年３月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ２Ｏ１２ ・高职高专教学・ 矩阵的初等变换及其应用 陈祥云 （广西现代职业技术学院，广西河池５４７０００） 摘 要：本文主要探讨矩阵初等变换在把矩阵化为等价标准形、求逆矩阵、求解矩阵方程、解 线性方程组等方面的应用。 关键词：初等变换；矩阵标准形；逆矩阵；线性方程组 中图分类号：Ｇ４２３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６—７３５３（２０１２）０２—００７１－－０２ １矩阵的初等变换 在解线性方程组时，经常对方程实施下列三 定理１ 任意矩阵Ａ一（ｎ ） 都可通过初 种变换：①交换方程组中某两个方程的位置；② 用一个非零常数ｋ乘以某一个方程；③将某一个 方程的忌倍（忌≠Ｏ）加到另一个方程上。显然，这 三类变换并不会改变方程组的解，我们称这三种 Ａ兰。一（ ） 方程的运算为方程组的初等变换．把这三类初等 变换转移到矩阵上，就是矩阵的初等变换。 例１ 将矩阵Ａ一定义１ 对矩阵进行下列三种变换，称为矩 ［ ｉ ］化为等 阵的初等行变换：①对换矩阵两行的位置；②用 一个非零的数ｋ遍乘矩阵的某一行元素；③将矩 阵某一行的志倍数加到另一行上。并称①为对换 解Ａ一 变换，称②为倍乘变换，称③为倍加变换。 ２ ３ ｉ］堂 在定义中，若把对矩阵施行的三种“行”变 ｆ１Ｉ ２ ３ １ １ — ’— 。 换，改为“列”变换，我们就能得到对矩阵的三种 ｌ ０ ２ ４ 列变换，并将其称为矩阵的初等列变换．矩阵的初 【０—３—６ 等行变换和初等列变换统称为初等变换。 为了方便，引入记号： 行初等变换表示为：① —ｒ ；②ｋｒ （愚≠Ｏ）； Ｉｌ。０ —１—２—３２ ３ Ｊｌ ③ ＋ 列初等变换表示为：①ｃｉ—ｆ ；② （愚≠Ｏ）； ２３ ③ｋ ＋ ｆｌ１： ｏ一１ 。。１～。１］Ｊ ２利用初等行变换把矩阵化为等价标准形 ３利用初等行变换求逆矩阵 定义２ 如果矩阵Ａ经过若干次初等变换后 可以证明：由方阵Ａ作矩阵（Ａ；Ｅ），用矩阵 变为Ｂ，则称Ａ与Ｂ是等价的，记作：Ａ兰Ｂ 的初等行变换将（Ａ ｉ Ｅ）化为（Ｅ；Ｃ），Ｃ即为Ａ 显然，等价是同型矩阵间的一种关系，具有反 的逆阵Ａ～。 收稿日期：２０１１—１２—０５． 作者简介：陈祥云（１９６９一），男，广西河池人，讲师，研究方向：数学教学法 ７１ 第２５卷第２期 ２０１２年３月 高等函授学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖｏｌ－２５ Ｎｏ．２ ２０１２ １ １ １ ２ ～１ 的逆 １ 例２ 求方阵Ａ一 ２ １ —２ 一 …。 矩阵。 解 （Ａ Ｅ）一 １ ２ １ １ —２ １ １ １ ０ Ｏ １ ０ ０ —２ｒｌ＋ｒ２ 一ｎ＋ｒ３ １ —２ ２ ５ ］ １ １ ２ １ Ｏ Ｏ Ｏ 一１ —５ —２ １ ０ Ｏ 一３ —１ —１ ０ １ １ １ ２ １ ０ ３ｒ２－４－ｎ —ｒ２十ｒ１ Ｏ １ ５ ２ —１ ０ —３ —１ —１ Ｏ 一； ～３ １ １ Ｏ １ 了ｎ ０ ２ —１ ０ 。 。 １４ ５ —３ １ —３ —１ １ Ｏ —５ｒｓ＋吨 ２ —１ ０ ３ｎ＋ｒｌ ０ ０ １ ｉ ５ ３ １ Ｊ＿＿一 １４ １４ １４ １ ０ ０ １ ５ ３ １４ １４ １４ ０ １ ０ ｉ ３ １ ５ １４ １４ １４ 所以 ０ ０ １ ； ５ ３ １ １４ １４ １４ １ ５ ３ １４ １４ １４ ３ １ ５ １４ １４ １４ ５ ３ １ １４ １４ １４ ４用初等变换法求解矩阵方程 设矩阵Ａ可逆，则求解矩阵方程Ａｘ—Ｂ等 价于求矩阵Ｘ： Ｂ，这此可采用类似于初等行 变换求逆矩阵的方法，构造矩阵（Ａ；Ｂ），对其施 以初等行变换将矩阵Ａ化为单位矩阵Ｅ，则上述 初等行变换同时也将其中的矩阵Ｂ化为Ａ Ｂ，即 （Ａ；Ｂ） 初等行变换 （Ｅ ｉ Ａ Ｂ） ７２ ０ ２ ０一 一 １ ５一 一 １ 一 －二４；３９ ＇卜Ｉｆ — 一０ １２ 一０ 一 ４ 一ｌ１ ６ ３ ０１ｌ 一— ｌＩ０ １。０ ０。１ ２ １一 一ｌ ３３ １Ｉ ３ ２ 所以Ｘ＝ —２ —３ １ ３ ５利用矩阵的初等变换解线性方程组 对线性方程组 ａｌｌ 口ｌ２ 口ｌ＾ Ｚｌ ａ２１ ０．２２ 口２＾ Ｚ２ 若记Ａ— ．Ｘ— ： ： ： ● ● ● 口＾１ 口ｎ２ 口ｍ Ｚ＾ ｂ１ ｂ２ Ｂ＝＝ ，● 则利用矩阵的乘法，线性方程组（１）表 ： ｂ 示为矩阵形式：Ａｘ＝Ｂ 由逆矩阵的运算性质可知，此矩阵方程的解 为Ｘ＝Ａ～Ｂ。 因此可利用矩阵的初等变换解线性方程组。 例４解方程组 ｆ １一ｘ２一ｘ３ ２， ．｛２ｘｌ— ２—３ｘ３—１， 【３ｘ１＋２ｘ２—５ｘ３—０． 解 利用矩阵的初等变换求解过程如下： ｆＡ Ｂ ＝＝＝ １ —１ 一１ １ —１ —１ ２ ２ —１ —３ ０ １ —１ —３ ３ ２ —５ ０ ５ —２ —６ （下转第７４页） 第２５卷第２期 ２０１２年３月 ，’＋∞ 高等函授学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃ０ｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖｏ１．２５ Ｎｏ．２ ２０１２ （３）ｌ ｔｃｏｓ ４ｔｄｔ 根据性质３．￣Ｌｒｓｉｎ ｔ］一 一一号 （４）ｒ ０ ￡ ｔ ａｒｃｔａｎ Ｓ 所以 （５）ｒ ＝！Ｊ ｅ－Ｓｔｄ￡ 解： —ｃ号一ａｒｃｔａｎ ｓ）Ｉｊ一。＝号 （５）设，（￡）一１一ｃｏｓ （１）设，（￡）一ｓｉｎ ３ｔ，则Ｆ（ｓ）一Ｌ［厂（￡）］ ３ ．—— 则根据性质１，有Ｆ（５）一Ｌ［厂（￡）］＝＝＝÷一 ｓ。＋９ ｓ １ 可以看出Ｉ、，喜 ，广义积分Ｉ和 ｆ ＋ ２ 。ｓ：ｉ ｎ ３ ｔｄｔ 的值即是 信目ｎ且 ｓ。＋１十 ｓ（ｓ。＋１）十 Ｊ ０ ， Ｆ（２），也就是： 再根据性质３， 得Ｌ［ ］ 一 ｅ－２ｔｓｉｎ ３ｔｄ￡一两３ 。。 ｄｓ一丢・ｎ ｌ 一号－ｎ （２）设，（ｔ）一ｔ。 则Ｆ㈤一Ｌ［，（￡）］一 一 ６ 令ｓ＝３，得 Ｊ ０ 半‘ ｑ‘ｄ ＝丢ｌ厶 ｎ訾 从例题中可以看出，有很多广义积分可以借 令ｓ一得』一 得Ｉ２ ｔＪ 『ｔ０ ｓ ｅ－２ ｄｔ＝詈 ＝÷ ｏ 助于拉普拉斯变换来求出。用这个方法有一点是 值得注意的是广义积分的存在性。事实上，上述几 （３）设，（￡）一ＣＯＳ ４ｔ 个常见函数的拉普拉斯变换公式成立的范围都是 则Ｆ（ｓ）＝Ｌ［厂（￡）］一 ｓ＞０，只要ｓ满足这个条件，相应的广义积分就都 ，’＋∞ 是存在的。 再根据性质２，得Ｉ ｔＣＯＳ ４ｔｄｔ一一Ｆ （Ｏ）一 Ｊ ０ １６一ｓ ． １ 参考文献 丽ｈ 一 ［１］费定晖．高等数学（第一版）．北京：机械工业出版 （４）设厂（ｆ）一ｓｉｎ ｔ，则Ｆ（ｓ）一Ｌ［厂（￡）］ 社，２０００． 上 ［２］韩新社．高等数学．中国科学技术大学出版社，２００６． 一ｓ０＋】 当然，解线性方程组的方法很多，比如消元 ｆ１ ０Ｉ —２ 法、克莱姆法则等方法，但如果方程组中未知数较 一［ １ ３］一 １ ｌ０ １—１ 多时，选择矩阵的初等变换法来解则解法将会简 【０ ０ １ 洁。 一 ］ 参考文献 ［１３韩志刚．高等数学［Ｍ］．长沙：湖南教育出版社，２００８． ＝＝５ ［２］刘金旺。线形代数［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２００７． 所以方程组的解为 ＝＝０ ＝＝３ ７４
