２０１２年９月 函数的导数，作为一种Ｔ具，被引入到我们的新教材中．它 的一个重要的作用就是求函数的极值（最值），但是在利用它求 极值（最值）时，往往有很多的误区，现总结如下． 特例１设 。是函数ｒ－－ｆ（ ）的极值点，则下列说法正确的是 （ ）． Ａ．必有厂 （ 。）＝０ Ｂ．ｆ （ 。）不存在 ｃ．ｆ （ 。）＝０或厂 （ 。）不存在Ｄ．ｆ （ 。）存在但可能不为０ 答案：Ｃ 解析：函数厂（ ）＝Ｘ３，ｆ （ ）＝３ｘ２，ｆ （Ｏ）＝３ｘＯ ＝０，但 ∈（－－００， Ｏ）时，ｆ （ ）＞０； （０，＋。。）时，ｆ （ ）＞Ｏ，故尽管有ｌ厂 （０）＝０，但０ 不是函数的极值点． 又女口函 ㈩ 处，左 ｌｉａｒ Ａ ｙ＝ 【 －Ｘ ． ＜ ．Ｕ ｄ 一１，右取 时，１ｉｍ ＝１，故在０点处的导数不存在．所以０点尽管 血— Ａｘ 为极值点，但在该点处的导数不存在． 评注：Ｘｏ是函数的极值点是厂 （ＸＯ）＝０的既不充分也不必要的 条件，即 。是函数的极值点时，有ｆ （ 。）＝０文厂 （粕）不存在；当 ｆ （ＸＯ）＝０时，Ｘｏ也不一定是函数的极值点． 特例２设函数厂（ ）＝（ 一１）ｚ＋１，下列结论正确的是（ ）． Ａ．ｘ＝ｌ是函数的极小值点，ｘ＝０是极大值点 Ｂ． ＝１及 ＝０均是函数的极大值点 Ｃ．ｘ＝ｌ及ｘ＝０均是函数的极小值点 Ｄ． ＝１是函数的极小值点，函数无极大值点 答案：Ｄ 解析：令厂 （ ）＝６（ｘ３－１）Ｘ２＝０，解得 ．＝０，ｘ２＝１．列出表格如下 （一 ．０） Ｏ （０．１） １ （１，＋。。） ， （ ） ０ ０ ＋ ｆ（ｘ） ０ １ ， Ｅ 当 ∈（一 ，０）时，ｆ （ ）＜０， ∈（０，１）时，ｆ （ ）＜０； ∈（１， ＋ ）时，ｆ （ ）＞Ｏ，所以函数在ｘ＝ｌ处取得极小值，无最大值． 评注：我们在利用函数的导数求函数的最值时．一定要认真 观察函数在各段上导数的符号．从而准确判断各段上函数的单 调性．确定函数的极值和最值． 特例３函数厂（ ） （ 一１）（ 一２）（ 一３）…（ 一５０）在ｘ＝０点处 课程解读 材 法 的导数为（ ）． Ａ．０ Ｂ．５ｏ２ Ｃ．１ｏ０ Ｄ．５０１ 答案：Ｄ 解析：（法一：定义法） ：一ｆ（Ｏ＋Ａｘ）－ｆ（Ｏ）： ，（ ）－ｆ（ 一 Ａｘ △ 垒 二 一二 ｏ）：（一、 一１）（一 ，、 △ 一２）…（厶， 、‘Ｊ 一５０）一一ｕ，・． ｌｉｍ ：（Ｏ一１）（０—２）（０—３）…（０—５０）：５０ １． ｄ ０Ａｘ （法二：导数的积运算）厂（ ） ・［（ 一１）（ 一２）…（ 一５０）］． ｆ （ ） ・［（ —１）（ 一２）…（ 一５０）］＋ ・［（ 一１）（ 一２）…（ 一 ５０）］ ＝（ 一１）（ 一２）…（ 一５０）＋ｘ・［（ 一１）（ 一２）…（ 一５０）］ ． ．厂 （０）＝（０－１）（０—２）…（０—５０）＋Ｏｘ［（ 一１）（ 一２）…（ 一５０）］ ＝ ５０ １—０＝５０ １． 评注：利用导数的定义求导数的基本步骤为：（１）求出在粕 点处的平均变化率 ；（２）求出在ＸＯ，最处的瞬时变化率１ｉｍ ，即 Ａｘ△ — ０Ａｘ 为函数在 处的导数．利用积导数的公式求解时，要注意因式的 相对性，可把（ —１）（ 一２）…（ｘ一５０）当成一个因式，然后利用积函 数的公式求解即可． 特例４函数ｙ＝ （ ）． Ａ．有最大值２，无最小值 Ｂ．无最大值，有最小值一２ ｃ．最大值２，最小值一２ Ｄ．无最值 答案：Ｃ 解菥：（法一：复合函数，ｌ生质法）函数可变为 ： ， ＋ ｌ Ｘ ＋—— ≥２（ ＞０）或者 ＋≥≤一２（ ＜０），则０＜— ≤＋—— １ 或者 ２＜０，即０＜４≤２ｇｊ￣＂一２≤一—１＜０ ＋一一 １ ＋—— １ 十—— ｌ 当 ＝０时，ｙ＝Ｏ，即一２≤），≤２，函数有最大值２，最小值一２． （法二： 导数法）ｙ＇＝４ｘ ＝４× ｘ％ ｌ－２ｘ２： 高中版中。？毒幺・７ 教 教 课程解读 ２０１２年９月 解：因为函数的定义域为： ≥一≥｝．设ｔ＝Ｖ￣２Ｔ（ ≥ 。），则 ＝ ，于是）， （ ）＝ ｔ２－１—一一／Ｔｘ— 一了孚 ２ ｌＪ， ３＋￡，当 ＝。，１１１ｘ＝－ 时，２ｙ一 ÷．当￡一＋∞时， ＋ 函数ｙ：３ｘ２＿、／ 可＋ｌ的值域是｛ｙｌ÷≤ｙ１． 二、形如“ｙ＝，础＋ｎ±Ｖ （ａ＜Ｏ，△＝６２ ４∞＞ 一≥ 一 寸， ． 所以，原函数的值域为｛ｙＩｙ≥一 ）． 例２求函数ｙ＝３ 一ＶＧＴ￣２－１＋１的值域． ０１”的函数 解：函数的定义域为｛ ｌ ≤一 ２ 令ｆ＝Ｖ２￣２（ｆ≥ｏ）ｊ 或 ≥ ２ ｝Ｊ． ． 点拨：函数根号内外自变量 的次数不同， ａ＜Ｏ￣－Ａ＞０，函 数的定义域为闭区间［ ， ２］，一般采用三角换元法求函数的值 ： （ｆ２＋１）， ＝＋＿Ｖ２ Ｖ－ｔ￣一２域．可 孕ｓｉｎ叶警且ａ十 ， ４ｓｉｎ（ ＋ ） 型函数．可得出函数的值域．至于０＞０且△＞０及其他 寻ｃ 一 ＋ ＝ （ｃ＿÷） ＋ ． 类型．可自己分析一下． 等．由ｙ ＝０可知， 一１， ：：１，故一ｌ，１是函数的两个极值点． 又函数的定义域为Ｒ，＿厂（一１）一２，ｆ（１）：２，ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ｏ，ｌｉｍｆ（ｘ）＝ 因为函数的定义域为Ｒ，则函数的图像大致如图１ ０，故函数的最大值为２，最小值为一２． 误解：列表如下： （一 ，一１） ｙ ， 一１ Ｏ （一１，１） ＋ １ ０ （１，＋。。） 图ｌ 故函数无最值． 评注：要注意当 一＋∞，一＊时，函数的极限值，否则很容易 ｙ －２ ２ 认为函数无最值．实际上函数在 一＋ｏ。．一 时的函数值是介于一２ 到２之间的．所以函数有最大值２，最小值一２．■ ◆◆。０ 中。 毒ｊ《：・？高中版