２０１５年 第５４卷 第６期 数学通报 ５９ 用数学归纳法证明数列不等式得到的启示 杨学枝 （福州第二十四中学３５００１５） 有一道常见的关于数列的不等式： ∑ ＜２． 显然，想直接用数学归纳法去证明这个不等 式有困难，但是，如果我们在其右边添上一项 寺，这样，用数学归纳法就可以很容易的证明其 加强后的如下不等式 １≤２音． 笔者曾考虑是否有较上式更强的不等式？于 是，尝试引入参数，然后应用数学归纳法证明，同 时，在满足数学归纳法的前提下，再求出参数值， 从而得到更好的不等式． 这种方法的成功，给我们开辟了发现与证明 此类不等式的新思路．为此，笔者将上述设参数一 应用数学归纳法一求参数一验证的这种解题方法 给一个名称，叫做“参数一数学归纳法”． 下面就通过例子说明笔者的这种解法，也许 读者会从中得到一些启示． 例１ （自创题）对于任意正整数 ，有 ｉ＝１ １≤＿耋＿一 ＜号． （１） 分析与证明 本例应用数学归纳法易证，但 如何得到式（１）右边式子，这是我们所要探讨的． 设正参数 ，ｚ，Ｙ，使其满足对于任意正整数 有 耋 ≤ 一而１． ① 根据数学归纳法第一步，当 一１时，式①应有 １即 — ＋１． ② 根据数学归纳法第二步，假设ｎ—ｋ时式①成 立，即 砉 ∑ ≤ｉ≤＝】 １ 一 — ，…‘ 当 一ｋ－９１时应有 ＋ ≤ 一 ）—ｇ－—ｙ’ 经整理即有 ｚ（忌－９ １） ≥（ｘｋ－９ ）（ｘｋ－９ ｚ－９ ）， 展开上式，并整理得到 （ｘ－－ｘ。）ｋ －９（２ｘ— 一２ｘｙ）ｋ－９（ｚ—ｘｙ— ｙ。）≥Ｏ， ③ 令不等式③中左边ｋ 项系数和ｋ项系数为零， 得到 ｛Ｉ ２ｚｘ Ｚ２ ９－ ２ｘｙ。。 一１， 解得｛ １将其代回式③， 得到其左边常数项为÷＞０． 今将ｚ一１， 一丢代人式②，得到 — ５． 将 一 ５， 一１， 一丢代人式①即为不等式（１）． 由以上分析推理过程说明取常数 ＝＝＝号， 一 １， ＝＝＝寺时，用数学归纳法易证明不等式 塞 １ ５一 ， 由此知式（１）成立． 另外，用同样方法，可证当 ≥２时，有 奎１ ３３ｉ＝ｌ 由此易知，对于任意正整数 ，总有 ６Ｏ 数学通报 ２０１５年 第５４卷第６期 妻１＜ ３３５＜ ｉ＝１ 当 ≥３时，有 奎１ ４１５ｉ＝１ 由此易知，对于任意正整数 ，总有 塞 １＜ ４１５＜嘉＜导． 般地，当 ≥ｍ（ｍ为正整数）时，有 １≤ ＋ ｃ※ ｉ＝１ 由此易知，对于任意正整数ｍ、 ， ＜ｎ，总有 塞吉＜妻 ＋ｉ ＝ １ ｉ ＝１ … ．欧拉（Ｅｕｌｅｒ）在１７３５年利用方程 坚一０，即无穷 多项方程 １一Ｘ玎２十Ｘ可４一Ｘ丌６＋…＝。 的根与系数关系，曾得到等式 ｔ：１ Ｚ 一 ，ｂ 由此我们可以得到 １ １ 兀２ ＜ 一 ，ｉ 一 １ ｉ 一 １ － Ｖ 因此，宝告＜ 的最小正常数Ａ一 ． １，’ ｎ 在上面我们所得到的 的值与 很接近． 由式（※）还可得到，对于任意正整数ｍ， ， ｍ＜ｎ，总有 ＋ ＋…＋ ／ 兰 二 （ ＋１）。。（ ＋２）２。 。。、（２ｍ＋１）（２ｎ＋１）‘ 下面用同样方法，可以给出较式（１）更为一般 的不等式．即下述 例２ （自创题）数列｛ｎ ｝是首项为ｎ ，公差 为ｄ的正项等差数列，数列（ｂ ）是首项为ｂ ，公 差为ｅ的正项等差数列，且１ ｄｇ １≥１ ｎ ｅ－－ｂ ｄ １．则 对于任意正整数ｎ，有 奎 １ ｉ １≤ ＋２瓣． （２） 分析与证明 我们来探讨式（２）右边式子是 如何得到的．为此，设正参数 ，－ｚ，Ｙ，使其满足对 于任意正整数ｎ，有 奎ｉ＝１去≤ ～而１． ④ 根据数学归纳法第一步， 当ｎ一１时，式④应有 口 １ ０１ＺＴ Ｖ 即 一 ＇ｒ Ｖ 十 ａ１ｏ１． ⑤ 根据数学归纳法第二步， 假设ｎ—ｋ时式④成立，即 ｋ １≤ 一 ， 当ｎ一是＋１时应有 １ ．１ ＾一—ｘｋ＋—ｙ十 干 ≤ 一 Ｆ１而， 经整理即有 ｘ（ａ１＋ｋｄ）（６１＋ｅｋ）≥（ｘｋ＋ ）（ｘｋ＋．７Ｃ＋ ）， 展开上式，并整理得到 （ｘｄｅ－－ｘ ）ｋ。一［（ｚ 一（口ｌＰ＋６ｌ 一２ｙ）ｚ］是＋ ［（ａ１ｂ】一ｙ）ｘ－－ｙ ］≥Ｏ， ⑥ 令不等式⑥中左边ｋ。项系数和ｋ项系数为零， 得到 ｆｘｄｅ－－ｚ。一０。 ＜ ｌ 一（ｎ１ｅ＋６１ 一２ｙ）ｘ＝＝＝０， ｒｚ—ｄＰ· 解得ｊ ：＝： （口 ＋６。 — ）， 注意ｚ≠∽ 将其代回式⑥，并注意到题中已知条件，得到其左 边常数项为 １４（ ） 一 １（ａ￣ｅ－－６ｌ ）。≥０． ｒｚ— 将１ 一 （口 ＋６ — ）代入式⑤， 得到 一 ａｌｂｌ＋ ２ 再将以上 ，ｚ，Ｙ的值代入式④即为不等式（２）． 若取口 ＝＝＝ｂ 一 一８—１时即得式（１）． 为进一步了解这种方法，下面再举二例． 例３（自创题）证明 ２０１５年 第５４卷第６期 数学通报 即 当 一 ６１ 耋 ≤ 一 ．㈤ ＋ 由于ｋ为正整数，于是在式⑩中，可令— 三＝＝＝一 ２√１— 不等式（３）正是应用“参数一数学归纳法”发 现的，因此，这种方法还有发现新不等式的功能． 分析与证明 设正参数 ，ｚ，Ｙ，ｚ，使其满足 对于任意正整数 ，有 １≤ １ ⑦ 根据数学归纳法第一步， 当 一１时式⑦应有 一 一 Ｆ ， 即 ’ 一— Ｊ５ １ Ｉ一＋１．ｚ ⑧ 根据数学归纳法第二步， 假设 一忌时式⑦成立， １ ２＋ ＋ｚ’ １ ． １ ＾一—ｘｋ ２＋—ｙｋ＋ｚ十 干 ≤ — ， 甘 ≤ 丽 ， 骨（志＋１）。（２ｘｋ＋ ＋ ）≥（ｘｋ ＋ｙｋ＋２）［ｘｋ。＋ （２ｚ＋ ）ｋ＋（ ＋ ＋ｚ）］， 将上式展开式整理得到 （２ｚ—ｚ ）忌 ＋（７ｘ＋Ｙ一２ｘ 一２ｘｙ）志。＋（９ ＋ ３ —ｚ。一３ｘｙ一２ｘｚ— ）ｋ ＋（５ｘ＋３ｙ—ｘｙ一 ２ 一２ ２一 ）忌＋（ ＋ — — ｚ—ｚ。）≥Ｏ， ⑨ 令不等式⑨中左边ｋ 项系数和ｋ。项系数为零， 得到ｚ一２，Ｙ一２，代人式⑨，并整理得到 （１一ｚ）ｋ。＋２（１一ｚ）ｋ＋（１一ｚ一 ）≥０ （注意，这时不拟再令ｋ。项系数为零，否则有１一 ｚ一譬＜Ｏ）＇ 让参数ｚ满足Ｏ≤ｚ＜１，则上式又可以写为 ｋ ＋２ｋ＋（１一 ）≥０， 即 （ ＋１－Ｆ～—— ２√１一 ）［ ～（—— ２，／１一ｚ 一１）］≥０．⑩ １＝＝＝１，取其中满足∑ 时 ０≤ｚ＜１的一个根，得到 ｚ一一８＋４ 今将 一２，一 一２， 一一８＋４￣／５代人式⑧， 可求得Ａ＝＝＝ 去 ，将上述各参数值代入⑦，即得 不等式（３）． 由上面分析推理过程可知，对于任意正整数 总有 奎１≤ ｉ＝１ ２ ＋２ｎ一８＋４ ’ 且ｐ式（３）成立．故原命越获证． 由此得到，对于任意正整数／－／，有 奎１＜ ｉ＝１ 若对式⑦在应用数学归纳法证明时， 取第一个值为２，即 ≥２，并取等号，得到 ４ ＋２ｙ＋ｚ一 尚， 以下解法过程同本例，则可以得到对于任意正整 数Ｉ＂／，当 ≥２时，有 奎１≤ ｉ＝１ 由此得到 １＜ ＜ ｉ＝１ 上式对于任意正整数 都成立． 用同 ≥１时的方法，一般地，当 ≥ｍ（ｍ为正整 数）时，有 奎１≤奎１＋ ｉ＝１ ｉ＝１ ：！：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．． ．．． ．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．一 ２ｎ（ ＋１）＋２（ ＋１）（￣／—ｍ２＋２—ｍ－＋－２一 一１）‘ （※※） 由此易知，对于任意正整数ｍ、 ， ＜ ，总有 骞 ＜耋 ＋ 而 ｉ。‘ 、 干 ＋１ 笔者认为，上式得到了 （３）一善 上界的 ６２ 较好的结果． 数学通报 ２０１５年 第５４卷 第６期 ≤ ９ 一 ． 如在上式中，取ｍ一９，得到 分析与证明 用数学归纳法证明本例中的不 ＋ ， ＜ ｉ＝１ 等式并不难，问题是如何发现这个不等式．下面， 我们还是用“参数一数学归纳法”给出同时并证明 本例中的不等式． 这个结果较文Ｅ ４］中得到的结果∑击＜ ９ ＋ 要好一点，因为有 奎１＜ ９ ＋ ＜ ｉ＝ｌ ９軎＋ ． 另外，文［４］还给出了比作者在本文引用的那个结 果更精细的估计． 对于任意正整数 ，如何求得最小的正常数 使得 （３）一∑ ＜ ． 在两百多年前，欧拉（Ｅｕｌｅｒ）就已对 （３）一∑吉的结果计算到了小数点后面十多 位；１９７８年，在芬兰赫尔辛基举行的世界数学家 大会上，法国数学家阿皮瑞（Ａｐｅｒｙ）宣布他证明 了 （３）一∑ １的无理性．现在，人们一般把这 个常数称为Ａｐｅｒｙ常数，对它已有很多研究，包 括一些速算法． 同样，由式（※※）还可得到，对于任意正整数 ｒｒｔ， ， ＜ ，总有 ＋ ＋．．．＋ ＜ 杀辛 ２ｎ（ｎｑ－１）＋２（７７２＋１）（ａ／—ｍ２＋２—ｍ＋２－－ｍ一１） ［ （ ＋１）一ｍ（ ＋１）］ ｛２（ｍ＋１） ： 一１） （ ＋１）＋（优＋１） 一ｍ～１） ｝ （ｎ－ｍ）（ｎ４－ｍｑ－１）（ 干 一１） ２（ ＋１）。Ｅｎ（ｎ＋１）＋（ｍ＋１）（￣／—ｍ２＋２—ｍ＋２一ｍ－－１）￣’ 例４ （自创题）记 一１一 １十 １一丢＋… ＋ １ １则有 丙 １ ２（ 西一１）４ｎ￣（２、／， 一６） 先证明原式右边不等式．即 ” ≤ ７一 一 。 （４）（４ 为此，设正参数 ， ， ，使其满足对于任意正整数 有 ｓ 一１～ １十 １１＋＋ １ １ ≤ 一 ｚｎｑ－ ． ⑩ 根据数学归纳法第一步， 当ｎ一１时，式⑩应有１一 １一 一 １ 即 一 十Ｖ ＋丢． ⑩ 根据数学归纳法第二步， 假设 ＝ｋ时式⑥成立，即 １一 １十 １１＋＋ １ ≤Ａ～ １ 当”一ｋ＋１时应有 １ ＾一 十丽１十 雨 一 ｉ 一 ≤ — ＾一 １而而’ 经整理即有 ４ｘｋ ＋６ｘｋ＋２ｘ≥ ｋ ＋（ ＋２ｘｙ）走＋（ ＋ ）， 取隹 ２取ｊ ６ｚ— ｚ＋２ 得到 ，得到｛ ：ｙ一１， 代入上式，得Ｎ８≥５， 这说明，取ｚ一４， 一１时上式成立． 将 一４， 一１代人式⑥，得到 一 · 再将 一南，ｚ一４， 一１代入式⑩， 即得原不等式右边的不等式，即式（４）． 以上推理过程同时也证明了式（４）． 下面证明原不等式左边不等式，即 ｓ 一１一 １１十 １＋＋丽１ 一 １ ≥— 一—— 一．（５） ２０１５年第５４卷第６期 数学通报 ６３ 为此，设正参数“， ，训，使其满足对于任恿正整数 ｎ，有 ｓ 一１一 １ｉ十 再将甜一 一４—２ 一６代入式 丢＋…＋ 一 １ ⑩ ⑩右边，即得式（５）． 以上推理过程同时也证明了式（５）． ≥“一｛． 另外，我们知道，由等式∑ ｌｎ２≈ Ｚ １－Ｗ 根据数学归纳法第一步， 当ｎ一１时，式⑩应有１一 一 一 干１ 即 一 １＿Ｆ １Ｚ一 Ｗ ． ⑩ 根据数学归纳法第二步， 假设ｎ－－ｋ时式⑩成立，即 １一 １１十 丢＋…＋ 一 １ ≥“一 干１ ， 当 一忌＋１时应有 ＋ 一 ≥“一 Ｆ１）干 ’ 经整理即有 ４ｚｋ ２＋６ ＋２ ≤Ｚ２ｋ。＋（ ＋２ｚｗ）ｋ＋（ ＋ｚｗ），⑩ 令４ｚ＝ 。，得到 ＝４． 在式⑥中，令尼一１，并将ｚ一４代入式⑩，得到 Ｗ ＋１２ｗ一１６≥０， 取上式中的等号，解得正根叫一２￣／１３—６． 再将所得到的 一４，叫一２ＪＧ一６，代入式⑩， 并整理得到 ８（２ 一７）（ 一１）≥０， 由于２＾／， 一７＞ｏ， ≥１，故上式成立， 即取 一４，叫＝２￣／，西一６时，式⑩成立． 于是，将ｚ一４，叫一２￣／， 一６代人式⑩，便得到 １ ．１ １ ．１ Ｍ一 十一２ ４＋２ ＪｉＴ－６十 ￣／１３ ２ ￣／ ２。 ２一 ２ 一２ ｉ＝１ ０．６９３１４７…，可得到 １～ １１十 丢＋…＋ 一 １＜ｌｎ２． 最后，顺便指出，在对上述命题证明的探索 中，我们发现以下事实：用数学归纳法可以证明 耋 ≤导一 ，而由妻ｉ＝１ １ ５一 ＜ ＿耋＿一 ｌ＿，得到奎１ ５ 一 玎１ ，但却不能用数ｉ ＝１ 学归纳法证明后面这个不等式． 另外，可以用数学归纳法证明 １≤Ｌ ５ｉ＝ｌ 丽２ 而 １ ５≤２一 １却也可以 ｉ＝１ 用数学归纳法证明较∑ ≤ ３一 弱些的 不等式∑ ≤２一音． 由此可知，在应用数学归纳法证明某个不等 式行不通时，则可以考虑去证明其加强后的不等 式，佃｛文个加强式 必须恰当． 参考文献 １汪晓勤．欧拉与自然数平方倒数和ＥＪ］．曲阜师范大学学报， ２００２，４ ２冯贝叶著．多项式和无理数［Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨工业大学出 版社，２００８，１ ３朱尧辰．无理数引论［Ｍ］．北京：：中国科学技术大学出版社， ２Ｏ１２：７８—９６ ４朱文辉，张亭．Ｐ级数的求和ＥＪ］．大学数学，２００５，３ ５华东师范大学数学系．数学分析（第三版下）ＥＭ］．北京：高等 教育出版社，２０１１，３ ６［德］Ｍａｒｔｉｎ Ａｉｇｎｅｒ，Ｇ／ｉｎｔｅｒ Ｍ．Ｚｉｅｇｌｅｒ．数学天书中的证明 （第四版）ＥＭ］．冯荣权，宋春伟，宗传明，译．北京：高等教育出 版社，２００９，５
