考研数学一(一元函数微分学)模拟试卷16(题后含答案及解析)

考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷16 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 函数f(x)=( )

A．只有极大值，没有极小值 B．只有极小值，没有极大值

C．在x=-1处取极大值，x=0处取极小值 D．在x=-1处取极小值，x=0处取极大值

正确答案：C 解析：．令f’(x)=0，得x=-1，且当x=0时，f’(x)不存在，f(x)在x=-1左侧导数为正，右侧导数为负，因此在x=-1处取极大值；在x=0左侧导数为负，右侧导数为正，因此在x=0处取极小值． 知识模块：一元函数微分学

2． 若f(x)在x0点至少二阶可导，且，则函数f(x)在x=x0处( ) A．取得极大值 B．取得极小值 C．无极值

D．不一定有极值

正确答案：A

解析：由于，当0＜｜x-x0｜＜δ时，，由于(x-x0)2＞0，于是f(x)-f(x0)＜0，所以f(x0)＞f(x)．x0为极大值点．故选(A)． 知识模块：一元函数微分学

3． 设函数f(x)=，则 ( )

A．在其有定义的任何区间(x1，x2)内，f(x)必是单调减少的 B．在点x1及x2处有定义，且x1＜x2时，必有f(x1)＞f(x2) C．在其有定义的任何区间(x1，x2)内，f(x)必是单调增加的 D．在点x1及x2处有定义，且x1＜x2时，必有f(x1)＜f(x1)

正确答案：A

解析：f(x)的定义域是(-∞，3)∪(3，+∞)，f(x)在区间(-∞，3)及(3，+∞)上分别是单调减少的． 知识模块：一元函数微分学

4． 设函数f(x)在x=0处连续，且，则 ( ) A．f(0)=0且f’-(0)存在 B．f(0)=1且f’-(0)存在 C．f(0)=0且f’+(0)存在 D．f(0)=1且f’+(0)存在

正确答案：C

解析：因为f(x)在x=0处连续，且，所以f(0)=0．从而有 知识模块：一元函数微分学

5． 设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且对任意x1，x1，当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则 ( )

A．对任意x，f’(x)＞0 B．对任意x，f’(-x)≤0 C．函数f(-x)单调增加 D．函数-f(-x)单调增加

正确答案：D

解析：根据单调性的定义直接可以得出(D)选项正确． 知识模块：一元函数微分学

6． 设a为常数，f(x)=aex-1-x-，则厂(z)在区间(-∞，+∞)内的零点个数情况为( )

A．当a＞0时f(x)无零点，当a≤0时f(x)恰有一个零点 B．当a＞0时f(x)恰有两个零点，当a≤0时f(x)无零点

C．当a＞0时f(x)恰有两个零点，当a≤0时f(x)恰有一个零点 D．当a＞0时f(x)恰有一个零点，当a≤0时f(x)无零点

正确答案：D

解析：本题考查一元函数微分学的应用，讨论函数的零点问题．令g(x)=f(x)e-x=，由于e-x＞0，g(x)与f(x)的零点完全一样，又，且仅在一点x=0等号成立，故g(x)严格单调增，所以g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点． 当a＞0时，f(-∞)＜0，f(+∞)＞0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以f(x)正好有一个零点．当a≤0，f(x)e-x=a-．f(x)无零点． 知识模块：一元函数微分学

7． 设函数f(x)在区间[a，+∞)内连续，且当x＞a时，f’(x)＞l＞0，其中l为常数．若f(a)＜0，则在区间内方程f(x)=0的实根个数为 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

正确答案：B 解析：对于f(x)在上使用拉格朗日中值定理，得由于f’(x)＞0(x＞a)，所以f(x)在是单调递增函数，故零点ξ只有一个，答案选择(B)． 知识模块：一元函数微分学

填空题

8． 设曲线y=ax3+bx2+cx+d经过(-2，44)，x=-2为驻点，(1，-10)为拐点，则a，b，c，d分别为_____

正确答案：1，-3，-24，16

解析：由条件解方程可得a=1，b=-3，c=-24，d=16． 知识模块：一元函数微分学

9． 若函数f(x)=处取得极值，则a=______

正确答案：2

解析：f’(x)=acosx+cos3x，因x=，a=2．这时f’’(x)=-2sinx-3sin3x，为极大值点． 知识模块：一元函数微分学

10． 曲线的曲率及曲率的最大值分别为_______

正确答案：

解析：曲率，故k≤1，当x=0时，kmax=k(0)=1． 知识模块：一元函数微分学

11． 曲线的全部渐近线为________

正确答案：x=0，x=和y=1

解析：因为=+∞，x=0为铅直渐近线．，y=1为水平渐近线． 知识模块：一元函数微分学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

设fn(x)=1-(1-cosx)n，求证：

12． 对于任意Ⅱ：整数n，fn(x)=中仅有一根；

正确答案：因为fn(x)连续，又有fn(0)=1，，所以由介值定理知，使得fn(ξ)=又因为f’n(x)=-n(1-cosx)n-1sinx＜0，x∈内严格单调减少．因此，满足方程fn(x)=的根ξ是唯一的，即fn(x)=中仅有一根． 涉及知识点：一元函数微分学

13． 设有

正确答案：因为由保号性知，由fn(x)的单调减少性质知 涉及知识点：一元函数微分学

14． 在数中求出最大值．

正确答案：先考查连续函数由得x=e，且当z＜e时，f’(x)＞0，f(x)单调增加；

当x＞e时，f’(x)＜0，f(x)单调减少． 所以，f(e)为f(x)当x＞0时的最大值，而2＜e＜3，于是所求的最大值必在中取到，又因为 涉及知识点：一元函数微分学

15． 证明：方程xa=lnx(a＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．

正确答案：令f(x)=lnx-xa，则f(x)在(0，+∞)上连续，且f(1)=-1＜0，故，当x＞X时，有f(x)＞M＞0，任取x0＞X，则f(1).f(x0)＜0，根据零点定理，至少，使得f(ξ)=0，即方程xa=Inx在(0，+∞)上至少有一实根．又Inx在(0，+∞)上单调增加，因a＜0，-x2也单调增加，从而f(x)在(0，+∞)上单调增加，因此方程f(x)=0在(0，+∞)上只有一个实根，即方程x2=Inx在(0，+∞)上只有一个实根． 涉及知识点：一元函数微分学

16． f(x)在(-∞，+∞)上连续，，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，证明：f[f(x)]至少在两点处取得最小值．

正确答案：令F(x)=f(x)-x0，则F(x)在(-∞，+∞)上连续，且由，使得F(b)＞0，于是由零点定理，知，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，从而得f[f(x1)]-f(x0)=f[(x2)]． 涉及知识点：一元函数微分学

17． 设T=cosnθ，θ=arccosx，求

正确答案：=nsinnθ／(-sinθ)=nsinnθ／sinθ，因为θ=arccosx，当x→1-时，θ→0，所以 涉及知识点：一元函数微分学

18． 已知y=x2sin 2x，求y(50)．

正确答案： 涉及知识点：一元函数微分学

19． 计算

正确答案：此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式． 涉及知识点：一元函数微分学

20． 已知f(x)=

正确答案： 涉及知识点：一元函数微分学

21． 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中a(x)是当x→时比z高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

正确答案：求切线方程的关键是求斜率，因f(x)的周期为5，故在(6，f(6))处和点(1，f(1))处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出f’(1)．则4f’(1)=8，

f’(1)=2，由f(6)=f(1)=0，f’(6)=f’(1)=2，故所求切线方程为y=2(x-6)． 涉及知识点：一元函数微分学

22． 设f(x)=其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)=1，g’(0)=-1，求f’(x)，并讨论f’(x)在(-∞，+∞)内的连续性．

正确答案：当x≠0时，f(x)可导，且显然，当x≠0时，f’(x)连续．故f’(x)在x=0处连续，从而f’(x)在(-∞，+∞)内连续． 涉及知识点：一元函数微分学

23． 求下列函数的导数 正确答案：(1)y’=其中，(xx)’-(exlnx)’=exlnx.(Inx+1)=xx(lnx+1)．(2)y’=ef(x).f’(x)f(ex)+ef(x).f’(ex)exf’(x)=8x，由函数概念得 f[f’(x)]=f(8x)=4×(8x)2=256x2，{f[f(x)]}’=f’[f(x)].f’(x)=8f(x).8x=32x2.8x=256x3． 涉及知识点：一元函数微分学

24． 设(a＞0，b＞0)，求y’．

正确答案：两边取对数 涉及知识点：一元函数微分学

25． 设函数y=f(x)由参数方程(t＞-1)所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且已知，证明：函数φ(t)满足方程φ’’(t)-

正确答案：因为 涉及知识点：一元函数微分学

26． 设f(x)=试问当a取何值时，f(x)在点x=0处，①连续，②可导，③一阶导数连续，④二阶导数存在．

正确答案：①因当a≤0时，极限，故a＞0时，f(x)在x=0处连续．当a≤3时，f’’(0)不存在；当a＞3时，f’’(0)=0，即f(x)在点x=0处二阶可导. 涉及知识点：一元函数微分学

27． 设求y(n)(n＞1)．

正确答案： 涉及知识点：一元函数微分学

28． 设求y(n)(0)．

正确答案：当x≠0时， 涉及知识点：一元函数微分学