MATLAB的PDE工具箱能解的方程类型

ij(,)

xyxyLaplace算子: 22(22)

xyMATLAB的PDE工具箱能解的方程类型:

椭圆型PDE:

(cu)auf in 

Ω为有界平面.c, a, f,和 未知量u 是标量,且是定义在Ω上的 复函数. c 可以是 Ω上的2×2的矩阵函数.

抛物型PDE

ud(cu)auf in  t

双曲型PDE

ud2(cu)auf in  t

特征值问题

1

2(cu)audu in 

d 是 Ω上的复函数, λ 是未知的特征值.

对于抛物和双曲型 PDE ,参数 c, a, f, 和d 可依赖时间t. 非线性求解器可解非线性椭圆 PDE

所谓非线性椭圆 PDE就是椭圆PDE中的参数 c, a和 f是(未知函数)u的函数.

对于如何使用非线性求解器,还需做特别的介绍.

还能求方程组等其他一些的问题.

下面是针对标量u而定义的边界条件: 狄利克雷边界条件: hu=r on  Dirichlet: hu = r

广义黎曼条件

(cu)qug on  . Generalized Neumann: nn是边界上单位向外法向量. g, q, h和r 是定义在上的复值函数.

(特征值问题是齐次条件问题,即 g = 0, r = 0.)

2

在非线性情形下,系数g, q, h和r可以依赖于u, 对于双曲和抛物型PDE,系数可以依赖于时间t. 对于2维方程组系统, Dirichlet 边界条件是:

h11u1h12u2r1h21u1h22u2r2

广义Neumann 条件是: n(c11u1)n(c12u2)q11u1q12u2g1n(c21u1)n(c22u2)q21u1q22u2g2

混合边界条件是:

h11u1h12u2r1

n(c11u1)n(c12u2)q11u1q12u2g1h11n(c21u1)n(c22u2)q21u1q22u2g2h12

此处 µ 的计算要满足 Dirichlet 边界条件.

典型方程的计算实例

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1. 单位圆上的Possion方程的边值问题:

u1 u0(1x2y2)(此问题有精确解u(x,y))

4

2. 散射问题

一块圆形金属片,中心挖去一正方形,外边界满足Neumann条件,内边界满足Dirichlet条件,考虑以-x方向的入射波.得到求解此入射波的反射问题:

rk2r0 on i60x 内边界上 rer60 外边界上n

3. 最小曲面问题

平面上一圆形区域{(x,y)x2y21},求此区域上具有最小面积的函数u(x,y),且在区域边界上满足ux2. 此问题可转化为如下的偏微分方程问题:

1u0, in 1u2 2x u

4. 设区域为单位圆,求解

4

(u)16u1, in  u=0. on  此问题的精确解为:u(x2y2)21

5. 热传导方程:带有矩形孔的矩形金属板的热传导问题

udtu0u100, 左边界上u1, 右边界上 nu0, 其它边界上n0u外边界顶点坐标(-0.5,-0.8),(0.5,-0.8),(0.5,0.8),(-0.5,0.8). 内边界顶点坐标(-0.05,-.4),(0.05,-0.4),(0.05,0.4),(-0.05,0.4).

6. 二维波动方程的定解问题:

(x,y){(x,y),1x1,1y1}

2ut2u0,ux10ux10 nt0,uarctan{cos(x)}2sin(y)u 3sin(x)e2.n

7 特征值问题的例

5

uu 0u (x,y){(x,y)0x,y1}

此问题的精确解为:

特征值m,n2(m2n2),m,n1,2,3,, 对应的特征函数为:um,nsinmxsinny 练习:

2u2ux2y20,0x4,0y3(1)ux0y(3y),ux40, uy0sin4x,uy30;2u2ux2y21,0x1,0y1(2)

uy01,uy11,uxux00,ux11;2u2(3) u22x2y20,xy4

u22xy;uu,1x,y1(4)

uu3x10,(u)x10, n4uny102u2x2uy20,(5)

ux20,u1u

275,un0,在其余边界 6

参考书

偏微分方程的MATLAB解法 武汉大学出版社

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