运筹学之应用习题(胡运权版)

例1、某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：

班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00~10：00 10：00~14：00 14：00~18：00 18：00~22：00 22：00~2：00 2：00~6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员？

解：设xi为第i班次时开始上班的司机和乘务人员数。

minx1x2x3x4x5x6 x1x660 x1x270 x2x360 s.t. x3x450 xx2045 x5x630 xj0,xj1,

6.1

例2、某商场是个中型商场，它对售货人员的需求经过统计分析如下表：

时间 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 所需售货人员人数 28人 15人 24人 25人 19人 31人 28人

为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的休息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？

2

解：设xi为星期i开始休息的人数，i=1，…，7。

minx1x2x3x4x5x6x7 x1x2x3x4x528 xxxxx1523456 x3x4x5x6x724 x4x5x6x7x125 s.t.  x5x6x7x1x219 x6x7x1x2x331 x7x1x2x3x428 x0,x1,7.jj

练习：P43.4

二、配料问题

例3、某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，已知产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原材料数量及原料单价见下列表。该厂应该如何安排生产，使利润收入为最大？

产品名称 甲 乙 丙

规格要求 原材料1不少于50% 原材料2不超过25% 原材料1不少于25% 原材料2不超过50% 单价（元/千克） 50 35 25 3

不限

原材料名称 1 2 3 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/千克） 65 25 35 解：设xij表示第i种产品中原材料j的含量。

利润=总销售收入-总原材料成本

max50(x11x12x13)35(x21x22x23)25(x31x32x33)65(x11x21x31)25(x12x22x32)35(x13x23x33)15x1125x1215x1330x2110x2240x3110x33 x110.5(x11x12x13) x0.25(xxx)11121312 x210.25(x21x22x23) x220.5(x21x22x23) s.t.  x11x21x31100 x12x22x32100 x13x23x3360 x0,x1,3;x1,3.ijij将上式化简。

4

例、绿色饲料公司生产雏鸡、蛋鸡、肉鸡三种饲料。这三种饲料是有A、B、C三种原料混合而成。产品的规格要求、单价、日销售量、原料单价见下表。 产品名称 雏鸡饲料 原材料B不超过20% 原材料A不少于30% 蛋鸡饲料 原材料C不超过30% 肉鸡饲料 原材料C不少于50%

受资金和生产能力的限制，每天只能生产30吨，问如何安排生产计划才能获利最大？

练习： P42~1、2

5

规格要求 原材料A不少于50% 销售量（吨） 售价（百元） 5 9 18 10 7 8 原料名称 原料价格（元/吨） A B C 5.5 4 5 三、套裁下料问题

例5、某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m。问应如何下料，可使所用原料最省？

解：设计出以下5种下料方案以供套裁用：

下料数（根） 长度 方案 1 1 0 3 7.4 0 2 2 0 1 7.3 0.1 3 0 2 2 7.2 0.2 4 1 2 0 7.1 0.3 5 0 1 3 6.6 0.6 2.9 2.1 1.5 合计 料头 设xi为按照第i种方案下料的原材料的根数

minx1x2x3x4x5 x12x2x4100 2x2xx100345 s.t.  3x1x22x33x5100  xj0,xj1,5.

练习：

某锅炉制造厂，要制造一种新型锅炉10台，需要原材料为

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63.5*4mm的锅炉钢管，每台锅炉需要不同长度的锅炉钢管数量如下：

规格（mm） 需要数量（根） 2640 8 1651 35 1770 42 1440 1

库存的原材料的长度只有5500mm一种规格，问如何下料，才能使总的用料根数最少？需要多少根原材料？

四、生产计划问题

例1、某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有关数据如下表。公司可利用的总工时为：铸造8000小时，机加工12000小时和装配10000小时。公司为了获得最大利润，三种产品各应生产多少件？甲、乙两种产品的铸造应多少由本公司铸造、多少由外包协作？

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工时与成本 每件铸造工时（小时） 每件机加工工时（小时） 每件装配工时（小时） 自产铸件每件成本（元） 外协铸件每件成本（元） 机加工每件成本（元） 装配每件成本（元） 每件产品售价（元） 甲 5 6 3 3 5 2 3 23 乙 10 4 2 5 6 1 2 18 丙 7 8 2 4 — 3 2 16 解：设x1、x2、x3分别为三道工序都有本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，设x4、x5分别由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 计算每件产品的利润如下：

产品甲全部自制的利润=23-（3+2+3）=15元

产品甲铸造外协、其余自制的利润=23-（5+2+3）=13元 产品乙全部自制的利润=18-（5+1+2）=10元

产品乙铸造外协、其余自制的利润=18-（6+1+2）=9元 产品丙的利润=16-（4+3+2）=7元 建立数学模型如下：

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max13x110x27x313x49x5 5x110x27x38000(铸造）（机加工） 6x14x28x36x44x512000 s.t. （装配） 3x12x22x33x42x510000 xj0,xj1,5. 练习：

永久机械长生产1、2、3三种产品。每种产品均要经过A、B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1、A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1、B2、B3表示。产品1可在A、B的任何规格的设备上加工。产品2可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工。产品3只能在A2与B2设备上加工。已知在各种设备上加工的单件工时、原材料单价、产品销售单价、各种设备的有效台时以及满负荷操作时的设备费用如下表。要求制定最优的产品加工方案，使该厂的利润最大。

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产品单件工时 设备 1 A1 A2 B1 B2 B3 原料单价（元/件） 销售单价（元/件） 设备的有满负荷时的3 12 11 效台时 6000 10000 4000 7000 4000 设备费用 300 321 250 783 200 2 10 9 8 0.35 2.00 5 6 7 4 7 0.25 1.25 0.50 2.80

提示：设xijk为第i种产品在第j种工序上的第k种设备上加工的数量。

五、投资问题

例、某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资，已知

项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；

项目B：从第一年到第四年每年年初都可以投资，次年末回收本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元； 项目C：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但

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规定最大投资额不能超过80万元；

项目D：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。

据测定每万元每次投资的风险指数如下所示。

项目 A B C D 问：

A）应该如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年末拥有资金的本利金额最大？

B）应该如何确定这些项目的投资额，使得第五年末拥有资金的本利在330万的基础上使得其投资总的风险系数为最小？ 解：确定变量xij表示第i年投资于j项目的金额（万元），根据给定条件，将变量列于下表 A B C D （A）

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风险指数（每万元每次） 1 3 4 5.5 1 0 0 2 0 3 0 4 0 0 5 0 0 0 maxz1.1x5A1.25x4B1.40x3C1.55x2Dx1Ax1B200x2Ax2Bx2D1.1x1Ax3Ax3Bx3C1.1x2A1.25x1Bx4Ax4B1.1x3A1.25x2Bs..tx5A1.1x4A1.25x3BxiB30(i1,2,3,4)

x3C80x2D100xij0B）

maxzx1Ax2Ax3Ax4Ax5A3(x1Bx2Bx3Bx4B)4x3C5.5x2Dx1Ax1B200x2Ax2Bx2D1.1x1Ax3Ax3Bx3C1.1x2A1.25x1Bx4Ax4B1.1x3A1.25x2Bs..tx5A1.1x4A1.25x3BxiB30(i1,2,3,4)x3C80x2D1001.1x5A1.25x4B1.40x3C1.55x2D330xij0（

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练习P46-11

六、综合练习

1．某公司生产A、B两种产品，市场对A、B的需求量为：产品A在1~4月每月需10000件，5~9月每月30000件，10~12月每月100000件；产品B在3~9月每月15000件，其他每月50000件。该公司生产这两种产品成本为：产品A在1~5月内每件5元，6~12月内每件4.5元；产品B在1~5月内生产每件8元，6~12月生产每件7元。该公司每月生产这两种产品的能力总和不超过120000件。产品A容积每件0.2立方米，产品B每件0.4立方米，该公司仓库容量为15000立方米，占用公司仓库每月每立方米库容需1元；如该公司仓库不足，可从外面租借，租用外面仓库每月每立方米库容需1.5元。试问：在满足市场需求的情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用为最少？

2、某公司在今后四个月内需租用仓库堆放物资。已知各个月所需的仓库面积数字如下。

月份 所需仓库面积（百平方米） 1 15 2 10 3 20 4 12 仓库的租借费用，当租借合同期限越长时，享受的折扣优惠也越

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大，具体数字如下。 合同租借期限 合同期内每百平方米 仓库面积的租借费用 1个月 2800 2个月 4500 3个月 6000 4个月 7300 租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理，可签一份，也可同时签若干份租用面积和租借期不同的合同。请用线性规划去求出一个所付的租借费用为最小的租借方案。

3、有个电子工资制造四种不同型号的电子计数器：C1、C2、C3、C4。这四种计数器可以分别由五个不同的生产车间单独制造，但这五个车间（D1、D2、D3、D4、D5）单独制造一个计数器所需时间是不同的。如下表所示。

所需时间 型号 D1 C1 C2 C3 C4 5 7 6 5 D2 6 - 3 3 D3 4 3 - - D4 3 2 4 2 D5 2 4 5 - 该公司销售人员已经规定：

（1）型号C1的生产数不能多于1400个；

（2）型号C2的生产数至少为300个，但不能超过800个；

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（3）型号C3的生产数不能超过8000；

（4）型号C4的生产数至少为700个，而且C4在市场上畅销，根据该公司的生产能力，无论生产多少都能卖出去。 该公司财会人员报告称： （1）型号C1每个可得利润25元； （2）型号C2每个可得利润20元； （3）型号C3每个可得利润17元； （4）型号C4每个可得利润11元。 这五个车间可用于生产的总时间为： 部门 时间（分钟） D1 18000 D2 15000 D3 14000 D4 12000 D5 10000 请作一个生产方案，使得该公司总利润最大。

书上第二章的全部课后练习。

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