答案与评分标准
一、解答题（共18小题，满分150分）
1、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ （1）|a+b|=|a|+|b|； （2）|ab|=|a||b|； （3）|a﹣b|=|b﹣a|； （4）若|a|=b，则a=b； （5）若|a|＜|b|，则a＜b； （6）若a＞b，则|a|＞|b|． 考点：绝对值；不等式的性质。
分析：根据绝对值和不等式的性质对每一小题进行分析． 解答：解：（1）错误．当a，b同号或其中一个为0时成立． （2）正确． （3）正确．
（4）错误．当a≥0时成立． （5）错误．当b＞0时成立． （6）错误．当a+b＞0时成立．
点评：本题主要考查了绝对值和不等式的有关内容．需熟练掌握和运用绝对值和不等式的性质． 2、已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|．
考点：整式的加减；数轴；绝对值。
分析：解决此题关键要对a，b，c与0进行比较，进而确定b﹣a，a+c，c﹣b与0的关系，从而很好的去掉绝对值符号．
解答：解：由数轴可知：a＞b＞0＞c，|a|＞|c|， 则b﹣a＜0，a+c＞0，c﹣b＜0． ∴|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|
=﹣（b﹣a）+（a+c）﹣2[﹣（c﹣b）] =﹣b+a+a+c+2c﹣2b =2a﹣3b+3c．
点评：在去绝对值符号时要注意：大于0的数值绝对值是它本身，小于零的数值绝对值是它的相反数． 3、已知x＜﹣3，化简：|3+|2﹣|1+x|||． 考点：绝对值。 专题：计算题。
分析：这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号． 解答：解：∵x＜﹣3， ∵1+x＜0，3+x＜0，
∴原式=|3+|2+（1+x）||， =|3+|3+x||， =|3﹣（3+x）|， =|﹣x|， =﹣x．
点评：本题考查了绝对值的知识，注意对于含有多层绝对值符号的问题，要从里往外一层一层地去绝对值符号． 4、若abc≠0，则
+
+
的所有可能值是什么？
考点：绝对值。
专题：计算题；分类讨论。
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分析：由已知可得，a，b，c均不为零，因为题中没有指明a，b，c的正负，故应该分四种情况：（1）当a，b，c均大于零时；（2）当a，b，c均小于零时；（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时；（4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，从而确定答案． 解答：解：∵abc≠0， ∴a≠0，b≠0，c≠0．
∵（1）当a，b，c均大于零时，原式=3； （2）当a，b，c均小于零时，原式=﹣3；
（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1； （4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=﹣1． ∴
+
+
的所有可能值是：±3，±1．
点评：此题主要考查了绝对值的性质，采用分类讨论思想是解答此题的关键． 5、若|x|=3，|y|=2，且|x﹣y|=y﹣x，求x+y的值． 考点：非负数的性质：绝对值；绝对值。 专题：分类讨论。
分析：根据|x﹣y|=y﹣x，即可得到y≥x，再根据|x|=3，|y|=2即可确定x，y的值，从而求解． 解答：解：因为|x﹣y|≥0，所以y﹣x≥0，y≥x． 由|x|=3，|y|=2可知，x＜0，即x=﹣3． （1）当y=2时，x+y=﹣1； （2）当y=﹣2时，x+y=﹣5． 所以x+y的值为﹣1或﹣5．
点评：本题主要考查了绝对值的性质，若x≠0，且|x|=a，则x=±a，根据任何数的绝对值一定是非负数，正确确定x，y的大小关系，确定x，y的值，是解决本题的关键．
6、若a，b，c为整数，且|a﹣b|+|c﹣a|=1，试计算|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|的值． 考点：绝对值。 专题：探究型。
分析：根据绝对值的定义和已知条件a，b，c为整数，且|a﹣b|+|c﹣a|=1确定出a、b、c的取值及相互关系，进而在分情况讨论的过程中确定|c﹣a|、|a﹣b|、|b﹣c|，从而问题解决．
解答：解：a，b，c均为整数，则a﹣b，c﹣a也应为整数，且|a﹣b|，|c﹣a|为两个非负整数，和为1，
1999
所以只能是|a﹣b|=0且|c﹣a|=1，①
1999
或|a﹣b|=1且|c﹣a|=0．②
由①知a﹣b=0且|c﹣a|=1，所以a=b，于是|b﹣c|=|a﹣c|=|c﹣a|=1； 由②知|a﹣b|=1且c﹣a=0，所以c=a，于是|b﹣c|=|b﹣a|=|a﹣b|=1． 无论①或②都有|b﹣c|=1且|a﹣b|+|c﹣a|=1， 所以|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|=2．
点评：根据绝对值的定义和已知条件确定出a、b、c的取值及关系是解决本题的关键，同时注意讨论过程的全面性．
7、若|x﹣y+3|与|x+y﹣1999|互为相反数，求
的值
19
99
19
99
19
99
考点：解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；代数式求值。 专题：计算题。
分析：先根据相反数的定义得到|x﹣y+3|与|x+y﹣1999|的关系，再根据绝对值的性质列出关于x、y的方程组，求出x、y的值，再把x、y的值代入所求代数式进行计算即可． 解答：解：依相反数的意义有|x﹣y+3|=﹣|x+y﹣1999|．
因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有|x﹣y+3|=0且|x+y﹣1999|=0．即
，
由①有x﹣y=﹣3，由②有x+y=1999．
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②﹣①得2y=2002，y=1001， 所以
=
=
=﹣1000．
点评：本题考查的是相反数的定义、非负数的性质及解二元一次方程组，能根据非负数的性质得到关于x、y的二元一次方程组是解答此题的关键． 8、化简：|3x+1|+|2x﹣1|． 考点：绝对值。
分析：本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．分x＜﹣，﹣≤x＜，x≥三种情况讨论
解答：解：分三种情况讨论如下： （1）当x＜﹣时，
原式=﹣（3x+1）﹣（2x﹣1）=﹣5x； （2）当﹣≤x＜时，
原式=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2； （3）当x≥时，
原式=（3x+1）+（2x﹣1）=5x．
综合起来有：|3x+1|+|2x﹣1|=．
点评：本题考查了绝对值的知识，属于基础题，解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．
9、已知y=|2x+6|+|x﹣1|﹣4|x+1|，求y的最大值． 考点：绝对值。 专题：分类讨论。
分析：首先使用“零点分段法”将y化简，有三个分界点：﹣3，1，﹣1．则x的范围即可分为x≤﹣3，﹣3≤x≤﹣1，﹣1≤x≤1，x≥1四部分，即可确定绝对值内式子的符号，从而确定y的值．
解答：解：分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．
有三个分界点：﹣3，1，﹣1． （1）当x≤﹣3时，
y=﹣（2x+6）﹣（x﹣1）+4（x+1）=x﹣1，
由于x≤﹣3，所以y=x﹣1≤﹣4，y的最大值是﹣4． （2）当﹣3≤x≤﹣1时，
y=（2x+6）﹣（x﹣1）+4（x+1）=5x+11，
由于﹣3≤x≤﹣1，所以﹣4≤5x+11≤6，y的最大值是6． （3）当﹣1≤x≤1时，
y=（2x+6）﹣（x﹣1）﹣4（x+1）=﹣3x+3，
由于﹣1≤x≤1，所以0≤﹣3x+3≤6，y的最大值是6． （4）当x≥1时，
y=（2x+6）+（x﹣1）﹣4（x+1）=﹣x+1， 由于x≥1，所以1﹣x≤0，y的最大值是0．
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综上可知，当x=﹣1时，y取得最大值为6．
点评：本题主要考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．对x的分为正确进行分类是解决本题的关键．
10、设a＜b＜c＜d，求|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|+|x﹣d|的最小值． 考点：绝对值；数轴。 专题：数形结合。
分析：分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用|x﹣a|，|x﹣b|，|x﹣c|，|x﹣d|的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．
解答：解：设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则|x﹣a|表示线段AX之长，同理，|x﹣b|，|x﹣c|，|x﹣d|分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求|x﹣a|，|x﹣b|，|x﹣c|，|x﹣d|之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小． 因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图所示：
所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC， 即（d﹣a）+（c﹣b）．
点评：以上分别用两种不同的方法即几何方法和代数方法进行求解．通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．
11、若2x+|4﹣5x|+|1﹣3x|+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值． 考点：一元一次不等式组的应用。 专题：计算题。
分析：要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x﹣5x+3x=0一种情况．因此必须有|4﹣5x|=4﹣5x且|1﹣3x|=3x﹣1．让4﹣5x≥0，3x﹣1≥0列式计算即可求得x该满足的条件，进而化简代数式即可． 解答：解：x应满足的条件是：
，
解得≤x≤，
∴原式=2x+（4﹣5x）+（3x﹣1）+4 =7．
点评：考查代数式的化简及一元一次不等式组的应用；判断出绝对值内的代数式的符号是解决本题的关键；用到的知识点为：一个数的绝对值是非负数． 12、x是什么实数时，下列等式成立：
（1）|（x﹣2）+（x﹣4）|=|x﹣2|+|x﹣4|； （2）|（7x+6）（3x﹣5）|=（7x+6）（3x﹣5）． 考点：含绝对值符号的一元一次方程。 专题：计算题。 分析：（1）根据等式的形式可判断出（x﹣2）及（x﹣4）同号，由此可得出答案； （2）等式的形式可判断出（x﹣2）及（x﹣4）同号，由此可得出答案； 解答：解：由题意得：①（x﹣2）≥0，（x﹣4）≥0， 解得：x≥4； ②（x﹣2）≤0，（x﹣4）≤0， 解得：x≤2，
故x≥4或x≤2时成立；
（2）由题意得：（7x+6）（3x﹣5）≥0， 解得：x≤﹣或x≥．
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点评：本题考查含绝对值的一元一次方程，难度不大，解决此题的关键是掌握绝对值的性质． 13、化简下列各式： （1）
（2）|x+5|+|x﹣7|+|x+10|． 考点：绝对值。
专题：计算题；分类讨论。
分析：此题要分类讨论，在x取不同值的情况下，去掉绝对值后结果不同．特别注意（1）中dex不能取0，题（2）要讨论全面．
解答：解：（1）当x＞0时，当x＜0时，
=﹣2；
=0；
（2）当 x≥7时，|x+5|+|x﹣7|+|x+10|=3x+8；
当﹣5≤x≤7 时，|x+5|+|x﹣7|+|x+10|=x+5﹣（x﹣7）+x+10=x+22；
当﹣10≤x≤﹣5时，|x+5|+|x﹣7|+|x+10|=﹣（x+5）﹣（x﹣7）+x+10=12﹣x； 当 x≤﹣10 时，|x+5|+|x﹣7|+|x+10|=﹣3x﹣8．
点评：本题主要考查了绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；绝对值是非负数≥0；0的绝对值还是零．
14、若a+b＜0，化简|a+b﹣1|﹣|3﹣a﹣b|． 考点：绝对值。 专题：计算题。
分析：根据a+b＜0，即可确定a+b﹣1与3﹣a﹣b的符号，根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即可去掉式子中的绝对值符号，即可化简求值． 解答：解：∵a+b＜0
∴a+b﹣1＜0，3﹣a﹣b=3﹣（a+b）＞3
∴原式=1﹣a﹣b﹣（3﹣a﹣b）=1﹣a﹣b﹣3+a+b=﹣2 故答案是﹣2．
点评：本题主要考查了绝对值的化简，正确确定绝对值里边的式子的符号是解题的关键． 15、已知y=|x+2|+|x﹣1|﹣|3x﹣6|，求y的最大值 5 ． 考点：一元一次不等式的应用。 专题：分类讨论。
分析：先分点，然后根据情况分类讨论，从而得出最大值． 解答：解：分点，﹣2，1，2
当x≤﹣2，y=﹣x﹣2﹣x+1+3x﹣6=x﹣7，y最大时，x=﹣2，y=﹣9 ﹣2＜x≤1，y=x+2﹣x+1+3x﹣6=3x﹣3，y最大时，x=1，y=0 1＜x＜2，y=x+2+x﹣1+3x﹣6=5x﹣5，y无最大值 x≥2，y=x+2+x﹣1﹣3x+6=﹣x+7，y最大时，x=2，y=5 所以，y最大值为5 故答案为5．
点评：本题考查了分点和分类讨论的思想和绝对值符号的除符号．找出x的分点，分类讨论x的取值范围是解题的关键．
16、设T=|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|，其中0＜p＜15，试求当p≤x≤15时，T的最小值是多少？ 考点：绝对值；数轴。 专题：计算题。
分析：由题意得：从p≤x≤15得知，x﹣p≥0 x﹣15≤0 x﹣p﹣15≤0，然后去绝对值即可得出答案． 解答：解：由题意得：从p≤x≤15得知，x﹣p≥0 x﹣15≤0 x﹣p﹣15≤0，
T=|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|=（x﹣p）+（15﹣x）+（15+p﹣x）=30﹣x， 又x最大是15，
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则上式最小是30﹣15=15．
点评：本题考查了绝对值和数轴的知识，属于基础题，根据题给条件去掉式中的绝对值是关键． 17、已知a＜b，求|x﹣a|+|x﹣b|的最小值． 考点：绝对值。
分析：根据：|x﹣a|表示数轴上一点到a的距离，|x﹣a|+|x﹣b|即数轴上一点到a与b的两点的距离的和，据此即可求解．
解答：解：∵|x﹣a|+|x﹣b|即数轴上一点到a与b的两点的距离的和， ∴当点在a与b之间时，式子的值最小，最小值是b﹣a．
点评：本题主要考查了绝对值的意义，正确理解：|x﹣a|表示数轴上一点到a的距离是解决本题的关键． 18、不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果|a﹣b|+|b﹣c|=|a﹣c|，那么B点应为（ ） （1）在A，C点的右边； （2）在A，C点的左边； （3）在A，C点之间；
（4）以上三种情况都有可能． 考点：绝对值。
分析：根据|a﹣b|表示数轴上表示a与表示b的两点之间的距离，根据三个点之间距离的关系即可求解．
解答：解：|a﹣b|+|b﹣c|=|a﹣c|表示：数轴上表示a，b，c三个数的点距离之间的关系，a到b的距离，即b到a的距离与到c的距离的和等于a与c之间的距离，因而点B在A，C之间． ∴选（3）．
点评：本题主要考查了绝对值的意义，|a﹣b|表示数轴上表示a与表示b的两点之间的距离，是解决本题的关键．
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答案与评分标准
一、解答题（共16小题，满分150分） 1、解方程
﹣[x﹣（x﹣）]﹣=x+．
考点：解一元一次方程。 专题：计算题。
分析：先去小括号，再去中括号，然后移项合并、化系数为1可得出答案． 解答：解：去小括号得：去中括号得：移项合并得：系数化为1得：x=﹣
﹣x+
﹣[x﹣x+]﹣=x+， x+， ．
﹣=x+，
点评：本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号． 2、已知下面两个方程 3（x+2）=5x，①
4x﹣3（a﹣x）=6x﹣7（a﹣x） ② 有相同的解，试求a的值． 考点：同解方程。
分析：本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值． 解答：解：由方程①可求得3x﹣5x=﹣6，所以x=3． 由已知，x=3也是方程②的解，
根据方程解的定义，把x=3代入方程②时， 应有：4×3﹣3（a﹣3）=6×3﹣7（a﹣3）， 解得：a=4．
点评：本题考查同解方程的知识，难度不大，关键是根据①求出方程②的解．
3、已知方程2（x+1）=3（x﹣1）的解为a+2，求方程2[2（x+3）﹣3（x﹣a）]=3a的解． 考点：一元一次方程的解。 专题：方程思想。
分析：解一元一次方程2（x+1）=3（x﹣1）求得方程的解，即可求得a的值，代入方程2[2（x+3）﹣3（x﹣a）]=3a，然后解方程即可求得方程的解．
解答：解：由方程2（x+1）=3（x﹣1）解得x=5． 由题设知a+2=5， 所以a=3．于是有
2[2（x+3）﹣3（x﹣3）]=3×3， 即﹣2x=﹣21， ∴x=10．
点评：本题主要考查了方程的解的定义，根据方程的解的定义可以把求未知系数的问题转化为解方程的问题． 4、解关于x的方程（mx﹣n）（m+n）=0． 考点：解一元一次方程。 专题：计算题；分类讨论。
分析：先将方程整理为m（m+n）x=n（m+n），然后分情况讨论，①m+n=0且m≠0，②m+n=0且m=0，③m+n≠0，然后可分别解得x的值．
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解答：解：分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．
把原方程化为：mx+mnx﹣mn﹣n=0， 整理得：m（m+n）x=n（m+n）． ①m+n≠0且m≠0时，方程的唯一解为x=；
②当m+n≠0，且m=0时，方程无解； ③当m+n=0时，方程的解为一切实数．
点评：本题考查解一元一次方程的知识，有一定难度，解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．
5、解方程，（a+x﹣b）（a﹣b﹣x）=（a﹣x）（b+x）﹣ab． 考点：解一元一次方程。
分析：本题将方程中的括号去掉后产生x项，但整理化简后，可以消去x，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．
解答：解：将原方程整理化简得
（a﹣b）﹣x=ab+ax﹣bx﹣x﹣ab，
222
即（a﹣b）x=（a﹣b）．
22
（1）当a﹣b≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解； x=
，
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
x=；
2
2
（2）当a﹣b=0时，即a=b或a=﹣b时． 若a﹣b≠0，即a≠b，即a=﹣b时，方程无解； 若a﹣b=0，即a=b，方程有无数多个解．
点评：本题虽表面上有x项，但实际考查解一元一次方程的解法，有一定的难度，注意分类讨论思想的应用．
22
6、已知（m﹣1）x﹣（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199（m+x）（x﹣2m）+m的值． 考点：一元一次方程的定义；代数式求值。 专题：计算题。
分析：根据一元一次方程的定义： 只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．列出等式，求出m的值，代入即可． 解答：解：∵（m﹣1）x﹣（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程， 2
∴m﹣1=0，即m=±1．
（1）当m=1时，方程变为﹣2x+8=0，因此x=4，∴原式=199（1+4）（4﹣2×1）+1=1991； （2）当m=﹣1时，原方程无解． 所以所求代数式的值为1991．
点评：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是一次项系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点． 7、已知关于x的方程a（2x﹣1）=3x﹣2无解，试求a的值． 考点：一元一次方程的解。 专题：计算题。
分析：先将方程变形为ax=b的形式，再根据一元一次方程无解的情况：a=0，b≠0，求得方程a（2x﹣1）=3x﹣2中a的值．
解答：解：将原方程变形为 2ax﹣a=3x﹣2，
即（2a﹣3）x=a﹣2． 由已知该方程无解，所以
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2
22
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，
解得a=． 故a的值为．
点评：本题考查了一元一次方程解的情况．一元一次方程的标准形式为ax=b，它的解有三种情况：①当a≠0，b≠0时，方程有唯一一个解；②当a=0，b≠0时，方程无解；③当a=0，b=0时，方程有无数个解． 8、k为何正数时，方程kx﹣k=2kx﹣5k的解是正数？ 考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。 专题：方程思想。
分析：对方程ax=b，当a≠0时，方程有唯一解x=，此解的正负由a，b的取值范围确定：（1）当ab＞0时，方程的解是正数，（2）当ab＜时，方程的解是负数． 解答：解：按未知数x整理方程得 （k﹣2k）x=k﹣5k．
要使方程的解为正数，需要 （k﹣2k）（k﹣5k）＞0． 看不等式的左端
（k﹣2k）（k﹣5k）=k（k﹣2）（k﹣5）．
2
因为k≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数， 所以k＞5或0＜k＜2即为所求．
点评：本题考查的是方程的解，根据方程的解的概念，运用不等式的性质，确定k的取值范围． 9、若abc=1，解方程
+
+
=1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
考点：解一元一次方程。
分析：将方程中的1用abc代替，然后化简整理可约去abc+bc+b，进而能得出答案． 解答：解：因为abc=1，所以原方程可变形为：化简整理为：
+
化简整理为：
=1，
∴x=为原方程的解．
点评：本题考查解一元一次方程的知识，注意像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．
10、若a，b，c是正数，解方程
+=1，
=1， =1，
+
+
=1
考点：解一元一次方程。 专题：计算题。
分析：根据题意，首先将方程式进行化简，去分母、移项、合并同类项，再根据题干所给a、b、c的条件进行推理讨论解决．
解答：解：解法1、原方程两边乘以abc，
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得到方程：ab（x﹣a﹣b）+bc（x﹣b﹣c）+ac（x﹣c﹣a）=3abc， 移项、合并同类项得：
ab[x﹣（a+b+c）]+bc[x﹣（a+b+c）]+ac[x﹣（a+b+c）]=0， 因此有：[x﹣（a+b+c）]（ab+bc+ac）=0， 因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以ab+bc+ac≠0， 所以x﹣（a+b+c）=0， 即x=a+b+c为原方程的解；
解法2、将原方程右边的3移到左边变为﹣3， 再拆为三个“﹣1”， 并注意到：
其余两项做类似处理， 设m=a+b+c， 则原方程变形为：所以：（x﹣m）（∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴
≠0，
）=0，
， ，
∴x﹣m=0，
即：x﹣（a+b+c）=0，
所以x=a+b+c为原方程的解． 点评：本题主要考查了解一元一次方程，需要熟悉解一元一次方程的步骤，同时需要注意观察，认真推敲所给条件，巧妙变形，从而产生简单优美解法．
11、设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：x+2[x]+3[x]+4[x]+…+[x]=
．
考点：取整函数。 专题：计算题。
分析：要解此方程，必须先去掉[]，根据[x]是整数，2[x]，3[x]，n[x]都是整数，所以x必是整数，即可求解． 解答：解：由于n是自然数，所以n与（n+1） 中必有一个偶数，因此
是整数．因为[x]是整数，2[x]，3[x]，n[x]都是整数，所以x必是整数．
根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为 x+2x+3x+4x+…+nx=合并同类项得 （1+2+3+…+n）x=故有
x=
所以x=n（n+1）为原方程的解．
。
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点评：本题主要考查了取整函数的计算，去掉[]，转化为一般的式子是解决本题的关键． 12、已知关于x的方程
且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．
考点：一元二次方程的整数根与有理根。 专题：计算题。
分析：用x表示出a，找到x的最小的自然数解，也就求得了a的值，进而求得最小值． 解答：解：由原方程可解得a=∵a为自然数， ∴
x＞142，
x﹣142，
∴x＞157，
∵a最小，∴x应取x=160．∴a=2．
所以满足题设的自然数a的最小值为2．
点评：考查二元方程的最小系数的自然数值；用一个字母表示出另一个字母是解决本题的突破点． 13、解下列方程： （1）
（2）（3）{
}=1
考点：解一元一次方程。 专题：计算题。 分析：（1）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项即可；（2）按照去分母、去括号、移项的步骤计算；（3）先去小括号、再去中括号、最后去大括号、移项即可． 解答：解：（1）分母化为整数得：
﹣
=
，
去分母得：6（4x+9）﹣15（x﹣5）=10（2x+3）， 去括号得：24x+54﹣15x+75=20x+30， 移项得：11x=99， 同除以11得：x=9． （2）去分母得：1﹣
=4，
再去分母得：3﹣1﹣（1﹣x）=12， 去括号得：2﹣+x=12， 移项得：x=10=同除以得：x=21． （3）去小括号得：{[
﹣﹣6]+4}=1，
，
。
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再去中括号得：{再去大括号得：移项得：同除以
=
，
+4}=1，
，
得：x=5．
点评：本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号． 14、解下列关于x的方程： （1）a（x﹣2）﹣3a=x+1； （2）ax+b﹣（3）
2
考点：解一元一次方程。 专题：计算题。
分析：根据题意，去括号、移项、合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解；②③需要分析好ab的取值． 解答：解：（1）去括号，得：ax﹣2a﹣3a=x+1，
22
移项，得：ax﹣x=2a+3a+1，
22
即：（a﹣1）x=2a+3a+1，
2
当a﹣1≠0即a≠±1时， 方程有唯一解：x=
2
2
2
，
当a﹣1=0即a=±1时， 方程无解；
（2）去分母，得：6ax+6b﹣（6x+4ab）=3， 去括号，得：6ax+6b﹣6x﹣4ab=3， 移项合并同类项，得：（6a﹣6）x=4ab﹣6b+3， 当a≠1时， 方程有唯一解：x=
，
当a=1时，方程无解；
（3）去分母，得：b（x﹣b）=2ab﹣a（x﹣a）
去括号，得：bx﹣b=2ab﹣ax+a，
22
移项，得：ax+bx=a+2ab+b，
2
即：（a+b）x=（a+b）， ∴当a+b≠0时， x=a+b，
当a+b=0时， 方程无解．
点评：本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，需要特别注意取值分析． 15、a为何值时，方程
有无数个解？无解？
2
2
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考点：解一元一次方程。 专题：分类讨论。
分析：原方程可整理为0x=6a﹣12，从而讨论a的值可得出答案． 解答：解：由题意得：0x=6a﹣12， ①当a=2时，方程有无数个解； ②当a≠2时，方程无解．
点评：本题考查解一元一次方程的知识，关键是整理方程后讨论a的取值． 16、当k取何值时，关于x的方程3（x+1）=5﹣kx分别有（1）正数解；（2）负数解；（3）不大于1的解． 考点：解一元一次不等式组；一元一次方程的解。 专题：综合题。
分析：先求出方程的解，把问题转化为求不等式（1）x＞0，（2）x＜0，（3）x≤1的解集问题． 解答：解：将原方程变形为（3+k）x=2．
（1）当3+k＞0，即k＞﹣3时，方程有正数解． （2）当3+k＜0，即k＜﹣3时，方程有负数解． （3）当方程解不大于1时，有∴1﹣
=
≥0．
≤1（k≠﹣3），
所以1+k，3+k应同号，即
或
解得或
得解为k≥﹣1或k＜﹣3．
注意由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的． 点评：本题是考查解一元一次不等式与方程综合性的题目，是常见的考点之一．
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