华北电力大学复变2017-2018B-试卷及答案

课程名称 专业班级 考试方式 命题教师 复变函数与积分变换 课程编号 全校各班 闭卷 命题组 需要份数 试卷页数 主任签字 00900090 2 考核日期时间 送交日期 A B卷齐全 备 注 2018.1.2 是 注意：请将所有答案写在答题册上，写在试卷上无效。

一、 填空题(共15分,每小题3分) 1.计算1i8= 。

2. 已知f1(t),f2(t) 的Laplace变换分别为F1(s),F2(s)，则f1(t)f2(t) 的Laplace变换为 。 3.幂级数

nzn1n的收敛半径R=______________。

21在z0处的留数为 。 zf(z)1 。 5.设f(0)1,f(0)1i，则 limz0z

4.函数f(z)zsin二、 设z1,z2设为任意两个复数，证明

z1z2=z1z2。(10分)

三、 设f(z)uiv是解析函数，证明：

(1) if(z)也是解析函数。(6分) (2) u是v的共轭调和函数。(6分) 四、求一个映射wf(z)，将角形域3argz映成圆域|w1|2，且满足42f(e

5i8)1。(10分)

1, t1,5, t1五、求函数f(t)的傅里叶变换及其积分表达式。(10分)

10, t10, t1.

六、求函数f(z)1在以下圆环域内的洛朗展式: (共10分)

z(zi) (A) 0zi|1； (B) 1zi|

七、求解微分方程y3y2yu(t1), 这里u(t)为单位阶跃函数。(10分)

y(0)0,y(0)1,sin2z八、（1）计算积分I2dz的值. (7分)

z(z1)z2（2）计算积分I0xsinaxdx的值.其中b0, a为实数。(8分)

x2b2z15（3）计算积分Idz的值. (8分) 2226(z1)(z2)z3

华北电力大学 2017-2018学年第1学期考试试卷(B)

一、 填空题(共15分,每小题3分) 1.计算1i= 16 。

2. 已知f1(t),f2(t) 的Laplace变换分别为F1(s),F2(s)，则f1(t)f2(t) 的Laplace变换为

8F1(s)F2(s) 。

3.幂级数

nzn1n的收敛半径R=_________1_____。

1124.函数f(z)zsin在z0处的留数为 6 。

zf(z)1 1i 。 5.设f(0)1,f(0)1i，则 limz0z

二、 设z1,z2为两个任意复数，证明证明：

三、 设f(z)uiv是解析函数，证明：

(1) if(z)也是解析函数。(6分)

证明：因为if(z)if(z), 由于f(z)解析，故if(z)也解析，从而if(z)解析。

(2) u是v的共轭调和函数。(6分)

证明：由于解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。而if(z)viu也是解析函数，故其虚部u为其实部v的共轭调和函数。

四、求一个映射wf(z)，将角形域z1z2=z1z2。(10分)

z2=z1z2

z1z2=zzzz=zzzz=zzz121212121123argz映成圆域|w1|2，且满足42f(e5i8)1.(10分)

i34解：w1zei,w2w14z4,

4w2izw3ee,Im0,为实数， w2z4z4w2w312e1， 4zif(e5i8)1,(e5i48)i，

z4iw2e1,可取任意实数。 4zii

1, t1,5, t1五、求函数f(t)的傅里叶变换及其积分表达式。(10分)

10, t10, t1.解：ft的傅里叶变换为：Fw1

f()ejd=ejd11 2cosd20sin其积分表达式为：12Fwejtdsinjted2sincostd01212sinejtd

 1, t1=0, t11, t12六、求函数f(z)1在以下圆环域内的洛朗展式: (共10分)

z(zi) (A) 0zi|1； (B) 1zi|

1111n 解：（A）当0zi1时，iinzi,

zziii1zin0i1n1in1zi. 于是

zzin0

n11111i（B）当1zi时，, zzi1izin0zinzin1in1于是.

zzin0zin2n

y3y2yu(t1),七、求解微分方程 这里u(t)为单位阶跃函数。(10分)

y(0)0,y(0)1,

解：设y(t) 的Laplace变换为Y(s)，对方程两端同时取Laplace变换，得到

s2Y(s)sy(0)y(0)3sY(s)3y(0)2Y(s)L[u(t1)] ，

es (s1)(s2)Y(s)1L[u(t1)]1s1esY(s)

(s1)(s2)s(s1)(s2)11esy(t)LLs(s1)(s2)(s1)(s2)1eete2tL1s(s1)(s2)s

es设Lg(t)，

s(s1)(s2)1estestest11e2tet 。 则g(t)(s1)(s2)s0s(s1)s2s(s2)s122L1Y(s)ete2tg(t1)u(t1)eet2t， 112(t1)(t1)eeu(t1)2211所以原方程的解为y(t)ete2te2(t1)e(t1)u(t1).

22

sin2z八、（1）计算积分I2dz的值. (7分)

z(z1)z2sin2z2sin2z2(sinzcosz)(z1)sin2z,0limz20 解 Res2lim2z0z0z(z1)z(z1)(z1)sin2zsin2z Res2,1lim(z1)2sin21

z(z1)z(z1)z1sin2z22isin1 idz2z(z1)z2

（2）计算积分I0xsinaxdx的值.其中b0, a为实数。(8分) 22xbxsinax1xsinax1xeiaxIdx解 由于2是偶函数，所以Imdx xb22x2b22x2b2zeiazzeiazeab Res2,bilim(zbi)222zbizb2zb故I

zeiazxeiaxdx2i Res,biieab 2222xbzbeab2(a0); 类似地，Ieab2(a0)；I0(a0).

z15dz的值. (8分) （3）计算积分I2226(z1)(z2)z3z15 2i ，均在圆z3内。 解 f(z)2有4个有限奇点i，(z1)2(z22)6i 为二级极点， 2i 为六级极点

 从而I2i Resf(z),iResf(z),2i2i Resf(z),

11 Resf(z),Res2f,01

zz 从而I2i