高中数列知识点总结

——严老师

数列知识点总结

第一部分 等差数列

一 定义式： anan1d

am(nm)dan二 通项公式：a1(n1)d

a一个数列是等差数列的等价条件：ananb(a，b为常数)，即n是关于n的一次函

数，因为nZ，所以

an关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。

三 前n项和公式：

n(a1an)n(n1)nad1na中间项22

Snan2bnSn一个数列是等差数列的另一个充要条件：

(a，b为常数，a≠0)，即Sn是关

于n的二次函数，因为nZ，所以Sn关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。

四 性质结论

1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，

如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d

1 每天提升一点点，相信自己终会取得优异的成绩

明天的成功是今天努力的结果

——严老师

2.a与b的等差中项

Aab2；

在等差数列an中，若mnpq，则

amanapaq；若mn2p，则

aman2ap；

3.若等差数列的项数为2

nnN，则S偶S奇nd，

S奇S偶anan1；

S奇若等差数列的项数为

2n1nN，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶nn1

4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设Ban1an2a2nAa1a2an,，

，

Ca2n1a2n2a3n，则有2BAC；

5.

a10SmSn,,则前

Smn2(m+n为偶数)或

Smn12(m+n为奇

数)最大

2 每天提升一点点，相信自己终会取得优异的成绩

明天的成功是今天努力的结果

——严老师

第二部分 等比数列

anq(n2,an0,q0){an}一 定义：an1成等比数列。

二 通项公式：

ana1qn1，

anamqnm

数列{an}是等比数列的一个等价条件是：

Sna(bn1),(a0,b0，1）q0q0an当且时，关于n的图像是指数函数图像的分点表示

形式。

三 前n项和：

(q1)na1Sna1(1qn)a1an1q1q1q(q1)；

(注意对公比的讨论)

四 性质结论：

21.a与b的等比中项GGabGab(a,b同号)；

aaapaqa2.在等比数列n中，若mnpq，则mn；

amana2mn2pp若，则；

3 每天提升一点点，相信自己终会取得优异的成绩

3.设

Aa1a2an,，

明天的成功是今天努力的结果

——严老师 Ban1an2a2n，

Ca2n1a2n2a3n2， 则有BAC

第三部分 求杂数列通项公式an

一． 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。

第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，

例如：

an11an12an11，

112(n1)an1a11，

两边取倒数从而求出an。

1an11211{}an1an1是公差为

2的等差数列

第二类：

(n21)ann2an1n(n1)

n1n1nananan11n是公差为1的等差数列 nn1n1112nana1ann1n1

二。递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。

4 每天提升一点点，相信自己终会取得优异的成绩

例如

明天的成功是今天努力的结果

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annan1annn1an2ann!a1

【注: n!n(n1)(n2)1】

求通项公式an的题，不能够利用构造等比或者构造等差求an的时候，一般通过递推来求an。

第四部分 求前n项和Sn

一 裂项相消法：

1111122334（nn1）1111111111111,2,3,4,的前n和是：()()()()392781122334nn1111111n（+12+3+4+）+（+++）1n1n1392781、

二 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，

求：

Sn=x3x25x3(2n-1)xn (x1)Sn=x3x25x3(2n-5)xn-2(2n-3)xn-1(2n-5)xn-2(2n-3)xn-1(2n-1)xn (x1)①

xSn=x23x35x4(2n-5)xn-1(2n-3)xn(2n-1)xn+1 (x1)②

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①减②得：

(1x)Sn=x2x22x32xn-12xn2n1xn+1x2x21xn-11x2n1xn+1

从而求出Sn。

错位相减法的步骤：

(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式

(2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式

(3)用①②，错位相减

(4)化简计算

三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法

例：等差数列求和：

Sn=a1a2a3an2an1ana3a2a1Sn=anan1an2

两式相加可得：

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明天的成功是今天努力的结果

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2Sn=a1ana2an1a3an2a3an2a2an1a1anna1anSn

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