电磁感应中的常见模型

一、单杆模型

1．如图水平放置的光滑平行轨道左端与一电容器C相连，导体棒ab的 电阻为R，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，开始时导体棒ab向右做匀速运动；若由于外力作用使棒的速度突然变为零，则下列结论的有( BD )

A．此后ab棒将先加速后减速 B．ab棒的速度将逐渐增大到某一数值 C．电容C带电量将逐渐减小到零 D．此后磁场力将对ab棒做正功

a C b B

B

2．如图两个粗细不同的铜导线，各绕制一单匝矩形线框，线框面积相等，让线框平面与磁感线方向垂直，从磁场外同一高度开始同时下落，则( A )

A．两线框同时落地 B．粗线框先着地 C．细线框先着地 D．线框下落过程中损失的机械能相同

3．如图所示，在竖直向上磁感强度为B的匀强磁场中，放置着一个宽度为L的金属框架，框架的右端接有电阻R。一根质量为m，电阻忽略不计的金属棒受到外力冲击后，以速度v沿框架向左运动。已知棒与框架间的摩擦系数为μ，在整个运动过程中，通过电阻R的电量为q，求:(设框架足够长)

(1)棒运动的最大距离； (2)电阻R上产生的热量。答案：(1)S=qR/BL。(2)Q=mv2/2-μmgqR/BL。

d a c B0

e b f

4．如图固定在水平桌面上的金属框cdef处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上可无摩擦地滑动，此时构成一个边长为L的正方形，棒的电阻为r，其余部分电阻不计，开始时磁感应强度为B

⑴若从t=0时刻起，磁感应强度均匀增加，每秒增量为k，同时保持棒静止，求棒中的感应电流，在图上标出感应电流的方向；

⑵在上述情况中，始终保持静止，当t=t1s末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？

⑶若从t=0时刻起，磁感应强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感应强度应怎样随时间变化（写出B与t的关系式）？

kL2kL3BL答案： ba，（B+kt1），

rrLvt5．如图电容为C的电容器与竖直放置的金属导轨EFGH相连，一起置于垂直纸面向里，磁感应强度

为B的匀强磁场中，金属棒ab因受约束被垂直固定于金属导轨上，且金属棒ab的质量为m、电阻为R，金属导轨的宽度为L，现解除约束让金属棒ab从静止开始沿导轨下滑，不计金属棒与金属导轨间的摩擦，求金属棒下落的加速度．答案：

mg

mC2B2L2 1 / 5

E G C a b B F H A V A B

6．如图，电动机用轻绳牵引一根原来静止的长l=1m，质量m=0.1kg的导体棒AB，导体棒的电阻R=1Ω，导体棒与竖直“∏”型金属框架有良好的接触，框架处在图示方向的磁感应强度为B=1T的匀强磁场中，且足够长，已知在电动机牵引导体棒时，电路中的电流表和电压表的读数分别稳定在I=1A和U=10V，电动机自身内阻r=1Ω，不计框架电阻及一切摩擦，取g=10m/s2，求：导体棒到达的稳定速度？答案：4.5m/s

二、双杆

1．如图所示，两金属杆ab和cd长均为L，电阻均为R，质量分别为M和m。现用两根质量和电阻均可忽略不计且不可伸长的柔软导线将它们连接成闭合回路，并悬挂于水平、光滑、不导电的圆棒两侧。已知两金属杆都处于水平位置，整个装置处在一个与回路平面垂直磁感强度为B的匀强磁场中，求金属杆ab向下做匀速运动时的速度。V=(M-m)gR/(2B2L2)。

a c b d

2．如图所示，平行导轨MN和PQ相距0.5m，电阻忽略不计。其水平部分粗糙，倾斜部分光滑。且水平部分置于B=0.6T竖直向上的匀强磁场中，倾斜部分处没有磁场。已知导线a和b的质量均为0.2kg，电阻均为0.15Ω，开始时a、b相距足够远，b放置在水平导轨上，现将a从斜轨上高0.05m处由静止开始释放，求:(g=10m/s2)。(1)回路中的最大感应电流是多少？(1) Im=1A。(2) a=20m/s2，方向水平向右。

(2)如果导线和导轨间动摩擦因数μ=0.1，当导线b的速度最大时，导线a的加速度是多少？

三、线框

1．在如图所示的倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域I的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过GH进入磁场Ⅰ区时，恰好以速度v1做匀速直线运动；当ab边下滑到JP与MN的中间位置时，线框又恰好以速度v2做匀速直线运动，从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，线框的动能变化量大小为△Ek，重力对线框做功大小为W1，安培力对线框做功大小为W2，下列说法中正确的有( CD )

A．在下滑过程中，由于重力做正功，所以有v2＞v1。

B．从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，机械能守恒。

C．从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程，有（W1+△Ek）机械能转化为电能。 D．、从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，线框动能的变化量大小为△Ek= W2－W1。

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M J Π N G I P H a d b c θ

2．如图所示，相距为d的两水平直线L1和L2分别是水平向里的匀强磁场的边界，磁场的磁感应强度为B，正方形线框abcd边长为L(Lo，cd边刚穿出磁场时速度也为o。从ab边刚进入磁场到cd边刚穿出磁场的

整个过程中( B )

A．线框一直都有感应电流 B．线框一定有减速运动的过程

C．线框不可能有匀速运动的过程 D．线框产生的总热量为mg(d+h+L)

3．(2006年普通高等学校夏季招生考试物理上海卷)如图所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里．线框向上离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进人磁场．整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转动．求：

（1）线框在下落阶段匀速进人磁场时的速度v2； （2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v1； （3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q．

解：（1）v2 =

(mg - f )RR2 2

2 2 （2）v1 = (mg) – f 2 2 BaBa

3R

（3）Q = m [ (mg)2 – f 2 ] 4 4 -（mg + f）(a + b)

2Ba

b B

4．如图所示，倾角为370的光滑绝缘的斜面上放着M=1kg的导轨abcd，ab∥cd。另有一质量m=1kg的金属棒EF平行bc放在导轨上，EF下侧有绝缘的垂直于斜面的立柱P、S、Q挡住EF使之不下滑，以OO′为界，斜面左边有一垂直于斜面向下的匀强磁场。右边有平行于斜面向下的匀强磁场，两磁场的磁感应强度均为B=1T，导轨bc段长L=1m。金属棒EF的电阻R=1.2Ω，其余电阻不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.4，开始时导轨bc边用细线系在立柱S上，导轨和斜面足够长，当剪断细线后，试求：

（1）求导轨abcd运动的最大加速度； （2）求导轨abcd运动的最大速度；

（3）若导轨从开始运动到最大速度的过程中，流过金属棒EF的电量q=5C，则在此过程中，系统损失的机械能是多少？（sin370=0.6） （1）am=2.8m/s2 （2）vm=5.6m/s （3）W=20.32J

5．在t=0时，磁场在xOy平面内的分布如图，其磁感应强度的大小均为B0，方向垂直于xOy平面，相邻磁场区域的磁场方向相反。每个同向磁场区域的宽度均为l0。整个磁场以速度沿x轴正方向匀速移动。

⑴若在磁场所在区域，xOy平面内放置一由n匝线圈串联而成的矩形导线框abcd，线框的bc边平行于x轴，bc=l0，ab=L，总电阻为R，线框始终保持静止，求

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a ①线框中产生的总电动势大小和导线中的电流大小； ②线框所受安培力的大小和方向。

⑵该运动的磁场可视为沿x轴传播的波，设垂直于纸面向外的磁场方向为正，画出t=0时磁感应强度的波形图，并求波长λ和频率f。

4n2B02L22nB0L⑴①总2nB0L I ②FA总。 ⑵2l0， f。 2l0RRRy l0 a l0 d v b O

c 总x

6．如图所示，在倾角为θ的光滑的斜面上，存在着两个磁感应强度相等的匀强磁场，方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为L，一个质量为m，边长也为L的正方形线框(设电阻为R)以速度v进入磁场时，恰好做匀速直线运动.若当ab边到达gg′与ff′中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则：

(1)当ab边刚越过ff′时，线框加速度的值为多少?

(2)求线框开始进入磁场到ab边到达gg′与ff′中点的过程中产生的热量是多少? (1)a=3gsin，方向沿斜面向上. (2) 315QmgLsinmv2 2327．如图所示，金属框中ad、be、cf段导体长均为L，电阻均为R，且导体abc和def的电阻均忽略不计。金属框处在一个垂直于纸面向里磁感强度为B的匀强磁场中，在外力作用下以速度v向左匀速拉出，求：

(1)金属框运动到图示位置时，各段导体中的电流强度； (2)作用在金属框上的外力。 (1) ad为I=E/(R+R/2)=2BLv/3R， be和cf为I’=I/2=BLv/(3R)。 (2) F’=F=2B2L2v/(3R)，方向向左。

8．随着越来越高的摩天大楼在各地的落成，至今普遍使用的钢索悬挂式电梯已经渐渐地不适用了。这是因为钢索的长度随着楼层的增高而相应增加，这样钢索会由于承受不了自身的重量，还没有挂电梯就会被扯断。为此，科学技术人员正在研究用磁动力来解决这个问题。如图6所示就是一种磁动力电梯的模拟机，即在竖直平面上有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B1和B2，且B1和B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=1T，两磁场始终竖直向上作匀速运动。电梯桥厢固定在如图6的一个用超导材料制成的金属框abcd内（电梯桥厢在图6中未画出），并且与之绝缘．电梯载人时的总质量为

，所受阻力f=500N，金属框垂直轨道的边长Lcd =2m，两磁场的宽度均与金属框的边长Lac相同，

金属框整个回路的电阻

，假如设计要求电梯以v1=10m/s的速度向上匀速运动，那么，

（1）磁场向上运动速度v0应该为多大？ （2）在电梯向上作匀速运动时，为维持它的运动，

外界必须提供能量，那么这些能量是由谁提供的？此时系统的效率为多少？

（1）v0=13m/s。（2）能量由磁场提供。η=76.2％

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9．如图所示，线圈ａｂｃｄ每边长L＝0.20ｍ，线圈质量ｍ1＝0.10ｋｇ、电阻Ｒ＝0.10Ω，砝码质量 ｍ2＝0.14ｋｇ．线圈上方的匀强磁场磁感强度Ｂ＝0.5Ｔ，方向垂直线圈平面向里，磁场区域的宽度为 ｈ＝L＝0.20ｍ．砝码从某一位置下降，使ａｂ边进入磁场开始做匀速运动．求线圈做匀速运动的速度． ｖ＝4（ｍ／ｓ）

10．如图，光滑斜面的倾角= 30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l1 = l m，bc边的边长l2= 0.6 m，线框的质量m = 1 kg，电阻R = 0.1Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M = 2 kg，斜面上ef线（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B = 0.5 T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef线和gh的距离s = 11.4 m，（取g = 10.4m/s2），求：

（1）线框进入磁场前重物M的加速度； （2）线框进入磁场时匀速运动的速度v； （3）ab边由静止开始到运动到gh线处所用的时间t； （4）ab边运动到gh线处的速度大小和在线框由静止开始到运动到gh线的整个过程中产生的焦耳热。 （1）a=5m/s2 （2）v=6 m/s （3）t = t1+t2+t3=2.5s （4）Q = 9 J

四、杆—框

1．如图所示，P、Q为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距为L1，处在竖直向下、磁感应强度大小为B1的匀强磁场中。一导体杆ef垂直于P、Q 放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动。质量为m、每边电阻均为r、边长为L2的正方形金属框abcd置于竖直平面内，两顶点a、b通过细导线与导轨相连，磁感应强度大小为B2的匀强磁场垂直金属框向里，金属框恰好处于静止状态。不计其余电阻和细导线对a、b点的作用力。 ⑴通过ab边的电流Iab是多大？ ⑵导体杆ef的运动速度v是多大？

⑴Iab

3mg3mgr ⑵。

4B1B2L1L24B2L2Q P B1 v f a B2 d c

b e 2．如图所示，间距l=0.3m的平行金属导轨a1b1c1和a2b2c2分别固定在两个竖直面内，在水平面a1b1b2a2

区域内和倾角=37的斜面c1b1b2c2区域内分别有磁感应强度B1=0.4T、方向竖直向上和B2=1T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场。电阻R=0.3、质量m1=0.1kg、长为l 的相同导体杆K、S、Q分别放置在导轨上，S杆的两端固定在b1、b2点，K、Q杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好。一端系于K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质滑轮自然下垂，绳上穿有质量m2=0.05kg的小环。已知小环以a=6 m/s2的加速度沿绳下滑，K杆保持静止，Q杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动。不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长。取g=10 m/s2，sin37=0.6，cos37=0.8。求

（1）小环所受摩擦力的大小；（2）Q杆所受拉力的瞬时功率。

（1）

；（2）

。

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