武川县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

武川县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． （2011辽宁）设sin（

+θ）=，则sin2θ=（ ）

A．﹣ B．﹣ C． D．

x2． 已知函数F(x)e满足F(x)g(x)h(x)，且g(x)，h(x)分别是R上的偶函数和奇函数， 若x(0,2]使得不等式g(2x)ah(x)0恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．(,22) B．(,22] C．(0,22] D．(22,) 3． 设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（ ） A．1

B．

C．

D．﹣1

4． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A．

B．

C．

D．

5． 函数f（x﹣）=x2+A．8

B．9

C．11

，则f（3）=（ ） D．10

6． 设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ） A．y2=4x或y2=8x

B．y2=2x或y2=8x

C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x

7． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I（A∩B）等于（ ） A．{3，4} B．{1，2，5，6} C．{1，2，3，4，5，6} D．∅

8． 设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9． 已知圆C：x+y﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（ ） A．一定相离 B．一定相切

C．相交且一定不过圆心 D．相交且可能过圆心

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2

2

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10．直角梯形OABC中,ABOC,AB1,OCBC2,直线l:xt截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数Sft的图像大致为（ ）

11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） A．232

B．252

C．472

D．484

12．已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ） A．C．x3＞y3

B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）

D．sinx＞siny

二、填空题

13．已知a,b为常数，若fxx24x+3，faxbx210x24,则5ab_________. 14．若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z12i，则复数（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 15．已知点E、F分别在正方体

16．已知函数f(x)sinxa(0xz1在复平面内对应的点在2|z1|z2 的棱上，且, ,则

面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

5)的三个零点成等比数列，则log2a . 217．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

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18．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f（x）=ax有三个不同

的实数根，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题

19．如图，椭圆C1：

的离心率为

2

，x轴被曲线C2：y=x﹣b截得的线段长等于椭

圆C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点， （Ⅰ）求C1、C2的方程；

（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若

，求直线AB的方程．

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20．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．

x＝1＋3cos α

在直角坐标系中，曲线C1：（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

y＝2＋3sin α

标系，C2的极坐标方程为ρ＝

2πsin（θ＋）

4

.

（1）求C1，C2的普通方程；

3π

（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C3与C1交于点M，N，P是C2上一点，求△PMN的面

4积．

21．已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为

22．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4，A（PA为直径的圆与圆C相切．

（Ⅰ）求证：|PA1|+|PA|为定值，并求出点P的轨迹方程C1；

（Ⅱ）若直线PA与曲线C1的另一交点为Q，求△POQ面积的最大值．

，0），A1（﹣

，0），点P为平面内一动点，以

，求此抛物线方程．

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23．平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ． （1）写出圆C1的普通方程及圆C2的直角坐标方程；

（2）圆C1与圆C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交请说明理由．

24．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣（1）求ω，φ；

（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称点为（

，0），求θ的最小值．

，

]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．

＜φ＜

）的部分图象如图所示；

（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半

（3）对任意的x∈[

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武川县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：由sin（

+θ）=sin

cosθ+cos

sinθ=

（sinθ+cosθ）=，

两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣， 则sin2θ=2sinθcosθ=﹣． 故选A

【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题． 2． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为函数Fxex满足Fxgxhx,且gx,hx分别是R上的偶函数和奇函数,egxhx,exxexexexexgxhx,gx,hx,x0,2 使得不等式

22ee22x2xg2xahx0恒成立, 即

exexaee2xx0恒成立, aeeexex2x2xexex22exex

2xxxx22, 设tee，则函数tee在0,2上单调递增,0tee, 此时不等xxee22式t22,当且仅当t,即t2时, 取等号,a22,故选B.

tt考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.

【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成立（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.

3． 【答案】A

【解析】解：y'=2ax，

于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行 ∴有2a=2

∴a=1

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故选：A

【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．

4． 【答案】D

【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m 则由题意知解得d=

．

，

故选：D．

【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．

5． 【答案】C

【解析】解：∵函数故选C．

6． 【答案】 C

=

2

，∴f（3）=3+2=11．

2

【解析】解：∵抛物线C方程为y=2px（p＞0），

∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=， ∵以MF为直径的圆过点（0，2）， ∴设A（0，2），可得AF⊥AM， Rt△AOF中，|AF|=

=

，

∴sin∠OAF==，

∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，

∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，

∵|MF|=5，|AF|=

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∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8

22

因此，抛物线C的方程为y=4x或y=16x．

故选：C．

方法二：

2

∵抛物线C方程为y=2px（p＞0），∴焦点F（，0），

=，

设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣， 因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为

由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，

2

即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p﹣10p+16=0，所以p=2或p=8． 22

所以抛物线C的方程为y=4x或y=16x．

故答案C．

【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．

7． 【答案】B 【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}， ∴A∩B={3，4}，

∵全集I={1，2，3，4，5，6}，

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∴∁I（A∩B）={1，2，5，6}， 故选B． 转化．

8． 【答案】A

【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价

【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，

2

由x+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，

2

即“|x﹣2|＜1”是“x+x﹣2＞0”的充分不必要条件，

故选：A．

9． 【答案】C

【解析】

【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．

22

【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）+y=2， ∴圆心C（1，0），半径r=， ∵≥＞1， ∴圆心到直线l的距离d=

＜

=r，且圆心（1，0）不在直线l上，

∴直线l与圆相交且一定不过圆心． 故选C 10．【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，当0t1时，ft1t2tt2，当1t2时， 2t2,0t11ft12(t1)22t1，所以ft，结合不同段上函数的性质，可知选项C符

22t1,1t2合，故选C.

考点：分段函数的解析式与图象. 11．【答案】

C

【解析】【专题】排列组合． 【分析】不考虑特殊情况，共有

种取法，由此可得结论．

种取法，两种红色卡片，共有

种取法，其中每一种卡片各取三张，有

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【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有色卡片，共有故所求的取法共有故选C．

种取法， ﹣

﹣

种取法，其中每一种卡片各取三张，有

种取法，两种红

=560﹣16﹣72=472

【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题． 12．【答案】C

xy

【解析】解：∵实数x、y满足a＜a（1＞a＞0），∴y＜x． 对于A．取x=1，y=0，

不成立，因此不正确；

22

对于B．取y=﹣2，x=﹣1，ln（x+1）＞ln（y+1）不成立； 333

对于C．利用y=x在R上单调递增，可得x＞y，正确；

对于D．取y=﹣故选：C．

π，x=，但是sinx=，siny=，sinx＞siny不成立，不正确．

【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 【解析】

试题分析：由fxx4x+3，faxbx10x24，得(axb)4(axb)3x10x24，

2222a212222即ax2abxb4ax4b3x10x24，比较系数得2ab4a10，解得a1,b7或

b24b324a1,b3，则5ab.

考点：函数的性质及其应用.

【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简f(axb)的解析式是解答的关键. 14．【答案】D 【

解

析

】

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15．【答案】

，所以

为

【解析】延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。

16．【答案】1 2

考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．

【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题． 17．【答案】

【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】正方体则截面为即截去一个三棱锥

其体积为：

中，BC中点为E，CD中点为F，

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所以该几何体的体积为：故答案为：

18．【答案】 （﹣1，﹣]∪[，） ．

【解析】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2． 当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．

当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x． 当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．

当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2． 当3≤x＜4时，2≤x﹣1＜3，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣2=x﹣3． 设g（x）=ax，则g（x）过定点（0，0），

坐标系中作出函数y=f（x）和g（x）的图象如图： 2个不同的交点， 则OA的斜率k=

当g（x）经过点A（﹣2，1），D（4，1）时有3个不同的交点，当经过点B（﹣1，1），C（3，1）时，有

，OB的斜率k=﹣1，OC的斜率k=，OD的斜率k=，

或

，

故满足条件的斜率k的取值范围是故答案为：（﹣1，﹣]∪[，）

【点评】本题主要考查函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想．

三、解答题

19．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：

22∴a=2b，

的离心率为，

令x﹣b=0可得x=±

2，

2

∵x轴被曲线C2：y=x﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，

∴2=2b，

∴b=1，

∴C1、C2的方程分别为

2

，y=x﹣1； …

22

（Ⅱ）设直线MA的斜率为k1，直线MA的方程为y=k1x﹣1与y=x﹣1联立得x﹣k1x=0 2

∴x=0或x=k1，∴A（k1，k1﹣1）

同理可得B（k2，k2﹣1）…

2

∴S1=|MA||MB|=•|k1||k2|…

），

y=k1x﹣1与椭圆方程联立，可得D（

同理可得E（） …

∴S2=|MD||ME|=•• …

∴

若则

或

解得或…

∴直线AB的方程为

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【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，确定点的坐标是关键．

20．【答案】

x＝1＋3cos α

【解析】解：（1）由C1：（α为参数）

y＝2＋3sin α

得（x－1）2＋（y－2）2＝9（cos2α＋sin2α）＝9. 即C1的普通方程为（x－1）2＋（y－2）2＝9， 由C2：ρ＝

2π

sin（θ＋）

4

得

ρ（sin θ＋cos θ）＝2， 即x＋y－2＝0，

即C2的普通方程为x＋y－2＝0.

（2）由C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9得 x2＋y2－2x－4y－4＝0，

其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0， 3π

将θ＝代入上式得

4ρ2－2ρ－4＝0， ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－4，

∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝32. 3

C3：θ＝π（ρ∈R）的直角坐标方程为x＋y＝0，

4

2

∴C2与C3是两平行直线，其距离d＝＝2. 2

11

∴△PMN的面积为S＝|MN|×d＝×32×2＝3.

22

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即△PMN的面积为3.

21．【答案】

2

【解析】解：由题意可设抛物线的方程y=2px（p≠0），直线与抛物线交与A（x1，y1），B（x2，y2） 联立方程则

2

可得，4x+（4﹣2p）x+1=0

=

=

，，y1﹣y2=2（x1﹣x2）

=

=

解得p=6或p=﹣2

22

∴抛物线的方程为y=12x或y=﹣4x

【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用

22．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：设点P（x，y），记线段PA的中点为M，则 两圆的圆心距d=|OM|=|PA1|=R﹣|PA|， 所以，|PA1|+|PA|=4＞2

，

故点P的轨迹是以A，A1为焦点，以4为长轴的椭圆， 所以，点P的轨迹方程C1为：

=1． …

，…

（Ⅱ）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为：x=my+代入则y1+y2=﹣

=1消去x，整理得：（m2+4）y2+2

，y1y2=﹣

，…

…

my﹣1=0，

△POQ面积S=|OA||y1﹣y2|=2令t=

（0

，则S=2

≤1（当且仅当t=时取等号）

所以，△POQ面积的最大值1． …

23．【答案】

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【解析】解：（1）由圆C1的参数方程为x2﹣4x+y2=0．

222

由圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，化为ρ=4ρsinθ，∴直角坐标方程为x+y=4y．

22

（φ为参数），可得普通方程：（x﹣2）+y=4，即

（2）联立，解得，或．

∴圆C1与圆C2相交，交点（0，0），（2，2）． 公共弦长=

．

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角方程、两圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

24．【答案】

【解析】解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣•

=

，

＜φ＜

）的部分图象，可得

求得ω=2．

再根据五点法作图可得2•

+φ=

，求得φ=﹣

，∴f（x）=2sin（2x﹣

）．

）的图

（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）=2sin=2sin（2x+2θ﹣象，

∵y=g（x）图象的一个对称点为（故θ的最小正值为（3）对任意的x∈[

． ，

]时，2x﹣

∈[

，，

]，sin（2x﹣

，0），∴2•

+2θ﹣

=kπ，k∈Z，∴θ=

﹣

，

）∈，即f（x）∈，

∵方程f（x）=m有两个不等根，结合函数f（x），x∈[]时的图象可得，1≤m＜2．

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