一、单项选择题（每小题5分）.
1．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∪N＝（ ） A．{x|﹣4＜x＜3}
B．{x|﹣4＜x＜﹣2}
C．{x|﹣2＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}
2．复数z∈C，在复平面内z对应的点Z，满足1≤|z﹣A．π
B．2π
C．3π
|≤2， 则点Z所在区域的面积（ ）
D．4π
3．《九章算术》是世界上最古老的数学著作之一，书中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重十斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重10斤；在细的一端截下1尺，重4斤，问依次每一尺各重多少斤？”假设金杖由粗到细是均匀变化的，则截去粗端2尺后，金杖剩余部分的重量为（ ） A．15.5斤
B．16.5斤
与
C．17.5斤
的夹角是钝角”是“
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
D．18.5斤
”的（ ）
4．B、C三点不共线，设A、则“A．充分不必要条件 C．充分必要条件
5．设x＝log0.40.5，y＝log1.50.5，则（ ） A．xy＜x+y＜0
B．x+y＜xy＜0
C．x+y＜0＜xy
D．xy＜0＜x+y
6．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则此函数可能是（ ）
A．f（x）＝
B．f（x）＝
C．f（x）＝
D．f（x）＝
7．若数列{Fn}满足F1＝1，F2＝1，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3），则{Fn}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近（ ）（备注：0.6182≈0.38，1.6182≈2.61） A．31万
B．51万
C．217万
D．317万
，
8．平面直角坐标系xOy中，若点的横、纵坐标均为整数，则称该点为整点．已知点A（﹣0），B（A．10
，0），若整点P满足
B．11
•
+|
|•|
|≤4，则点P的个数为（ ）
D．15
C．14
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分． 9．已知函数A．f（x）在区间B．f（x）的图象关于点C．f（x）最小正周期为π D．f（x）的值域为[0，4]
10．某学校组织知识竞赛，每班组成四人小组参加比赛，比赛采用抢答形式，答对，则得5分，否则得0分．高三（10）班由甲、乙、丙、丁四人组队参赛．最后统计结果为：甲、乙、丙、丁四人得分恰好由高到低排列，且均不相同；甲答对题个数的2倍小于丁答对题个数的3倍，则（ ） A．甲至少答对了11道题 B．乙至少答对了9道题 C．丁至少答对了8道题
D．高三（10）班至少获得了170分
11．在平面直角坐标系xOy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2＝2x上，则
上递增
，则（ ） 对称
（ ）
A．四边形ABCD不可能为平行四边形 B．存在四边形ABCD，满足∠A＝∠C
C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2 D．若△OAC为正三角形，则该三角形的面积为12
12．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1（底面为平行四边形的四棱柱）中，AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠DAB＝∠A1AD＝60°，则（ ） A．线段AC1的长度为2
B．异面直线BD1、B1C夹角的余弦值为 C．对角面BB1D1D的面积为4
D．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．以坐标轴为对称轴的等轴双曲线C经过点A（﹣3，1），则C的标准方程为 ． 14．
展开式中，x8y2的系数为 ．
15．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运转特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2，则该“莱洛三角形”的面积为 ．
16．已知函数f（x）＝（2x2﹣4x+3）（ex﹣1﹣e1﹣x）﹣2x+1在[0，2]上的最大值为M，最小
值为m，则M+m＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°． （1）若∠CBD＝30°，求三角形ABD的面积； （2）若AD＝
，求∠CBD的大小．
18．已知数列{an}为等比数列，且各项均为正数，a1＝2，a2+a3是a3与a4的等差中项．记正项数列{bn}前n项之积为Tn，b1＝1，Tn2＝an（n﹣1）（n≥2）． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）证明：
．
19．如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，∠ABC＝60°，QC＝QD＝2
，PQ＝a（a＞0）．
（1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形； （2）当a＝
时，求直线PQ与平面PBC所成角的正弦值．
20．某贫困地区截至2016年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户2016年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．
（1）将家庭人均年纯收入不足5000元的家庭称为“特困户”，若从这50户中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望；
（2）假设2017年底该地区有1000户居民，其中900户为小康户，100户为“特困户”，
若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有90%变为小康户，但小康户仍有t%（0＜t＜10）变为“特困户”，假设该地区居民户数保持不变，记经过n年脱贫工作后该地区小康户数为an．
（ⅰ）求a1并写出an+1与an的关系式；
（ⅱ）要使经2年脱贫工作后该地区小康户数至少有950户，求最大的正整数t的值．
21．已知圆E：（x+1）2+y2＝8，点F（m，0）（m＞0），P是圆E上一点，线段PF的垂直平分线l与直线EP相交于点Q．
（1）若m＝2，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹是什么？说明理由；
（2）若m＝1，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹记为曲线C．过E点作两条互相垂直的直线l1、l2，l1与曲线C交于两点A、B，l2与曲线C交于两点C、D，M为线段AB的中点，N为线段CD的中点．试问，直线MN是否过定点？若过定点，并求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由． 22．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝sinx．
（1）设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）•g（x），当x∈[﹣π，0]时，求函数h（x）零点的个数；
（2）求证：g（x）•g'（x）+1＜x•f（x）﹣lnx．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∪N＝（ ） A．{x|﹣4＜x＜3}
B．{x|﹣4＜x＜﹣2}
C．{x|﹣2＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}
解：∵集合M＝{x|﹣4＜x＜2}， N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}， ∴M∪N＝{x|﹣4＜x＜3}． 故选：A．
2．复数z∈C，在复平面内z对应的点Z，满足1≤|z﹣A．π 解：|z﹣
＝
B．2π ＝
＝﹣i，
C．3π
|≤2， 则点Z所在区域的面积（ ）
D．4π
|＝1，2分别表示以（，﹣）为圆心，1，2为半径的圆，
|≤2，点Z所在区域的面积＝π×22﹣π×12＝3π，
因此有1≤|z﹣故选：C．
3．《九章算术》是世界上最古老的数学著作之一，书中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重十斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重10斤；在细的一端截下1尺，重4斤，问依次每一尺各重多少斤？”假设金杖由粗到细是均匀变化的，则截去粗端2尺后，金杖剩余部分的重量为（ ） A．15.5斤
B．16.5斤
C．17.5斤
D．18.5斤
解：设金杖从细至粗每尺的重量为an，则{an}是首项为a1＝4，a5＝10的等差数列， 则公差d＝
＝，
∴截去粗端2尺后，金杖剩余部分的重量为： S3＝3×4+故选：B．
＝16.5（斤）．
4．B、C三点不共线，设A、则“A．充分不必要条件 C．充分必要条件 解：设则“
⇔cosθ＜0，且θ≠π⇔∴“
与与
的夹角是θ，|
与的夹角是钝角”是“
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
”的（ ）
|＝c，＝b， ＝a，已知A、B、C三点不共线．
”⇔c2+b2+2bccosθ＜a2，由余弦定理可得：c2+b2﹣2bccosθ＝a2，与
的夹角是钝角．
”的充要条件．
的夹角是钝角”是“
故选：C．
5．设x＝log0.40.5，y＝log1.50.5，则（ ） A．xy＜x+y＜0
B．x+y＜xy＜0
C．x+y＜0＜xy
D．xy＜0＜x+y
解：∵x＝log0.40.5＞log0.41，∴x＞0， ∵y＝log1.50.5＜log1.51，∴y＜0，∴xy＜0， ∵+＝log0.50.4+log0.51.5＝log0.50.6，
∵log0.51＜log0.50.6＜log0.505，∴0＜log0.50.6＜1， 即0＜+＝故选：A．
6．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则此函数可能是（ ）
＜1，∴0＞x+y＞xy，
A．f（x）＝
B．f（x）＝
C．f（x）＝
D．f（x）＝
﹣
解：对于A，当x∈（0，1）时，ex﹣ex＜0，x2+|x|﹣2＜0，所以f（x）＞0，不符合题意；对于C，当x→+∞时，f（x）→0，函数图象无限接近x轴，不符合题意；
对于D，当x∈（0，1）时，x3﹣x＜0，e|x|﹣1﹣e1﹣|x|＜0，所以f（x）＞0，不符合题意， 故选：B．
7．若数列{Fn}满足F1＝1，F2＝1，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3），则{Fn}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近（ ）（备注：0.6182≈0.38，1.6182≈2.61） A．31万
B．51万
C．217万
D．317万
解：根据题意得，F30＝832040，
假设{F30}的前n项和为Sn，则S28＝F30﹣F2＝832039， 又因为随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618， 所以F29＝832040×0.618≈514200， 故S30＝S28+F29+F30≈2178279， 故选：C．
8．平面直角坐标系xOy中，若点的横、纵坐标均为整数，则称该点为整点．已知点A（﹣0），B（A．10
，0），若整点P满足
B．11
•
+|
|•|
|≤4，则点P的个数为（ ）
D．15
，
C．14
解：设P（x，y），x，y∈Z， 因为点A（﹣所以所以
＝（﹣•
+|
，0），B（﹣x，﹣y），|•|
|＝（﹣
，0）， ＝（﹣x）（
﹣x，﹣y）， +y2+﹣x）
•
＝x2+y2﹣6+整理得
≤4，
≤10﹣x2﹣y2，
所以（x2+y2）2+12（y2﹣x2）+36≤（10﹣x2﹣y2）2， 所以x2+4y2≤8，且x2+y2≤10，（x2+y2+6）2﹣24x2≥0，
所以有（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，1），（1，﹣1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1），（2，1），（2，﹣1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（1，0），（﹣1，0），（2，0），（﹣2，0）， 共15个． 故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分． 9．已知函数A．f（x）在区间B．f（x）的图象关于点C．f（x）最小正周期为π D．f（x）的值域为[0，4] 解：∵函数
＝
＝4•
＝2
上递增
，则（ ） 对称
﹣2cos（2x+∵x∈[0，令x＝﹣
）， ]，∴2x+
∈[
，π]，函数f（x）单调递增，故A正确；
，求得f（x）＝0，为最小值，故B错误；
＝π，故C正确；
f（x）最小正周期为
显然，f（x）的值域为[0，4]，故D正确， 故选：ACD．
10．某学校组织知识竞赛，每班组成四人小组参加比赛，比赛采用抢答形式，答对，则得5分，否则得0分．高三（10）班由甲、乙、丙、丁四人组队参赛．最后统计结果为：甲、乙、丙、丁四人得分恰好由高到低排列，且均不相同；甲答对题个数的2倍小于丁答对题个数的3倍，则（ ） A．甲至少答对了11道题 B．乙至少答对了9道题 C．丁至少答对了8道题
D．高三（10）班至少获得了170分
解：设甲、乙、丙、丁四个人解题正确的个数分别为a，b，c，d， 则a，b，c，d都是正整数，
则题意得：，
当a，b，c，d取最小值时，a＝11，b＝10，c＝9，d＝8， ∴这四人测试总得分数最少：（11+10+9+8）×5＝190． 故选：AC．
11．在平面直角坐标系xOy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2＝2x上，则（ ）
A．四边形ABCD不可能为平行四边形 B．存在四边形ABCD，满足∠A＝∠C
C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2 D．若△OAC为正三角形，则该三角形的面积为12
解：对于A：构成平行四边形的条件是一组对边平行且相等，而水平直线与y2＝2x至多只有一个交点，
因此四边形ABCD不可能为平行四边形，故A正确； 对于B：如图所示，
连接B，D，则当确；
对于C：设A（
＝＝a，则0＜a＜1，则△DAB∽△BCD，则∠A＝∠C，故B正
，y1），B（，y2），
则kOA•kOB＝＝，即＝，解得y1y2＝﹣1，
所以kOA•kOB＝﹣4，故C错误；
对于D：设若△OAC为正三角形，如图所示，
由抛物线的对称性可知，∠AOx＝30°，kOA＝，则直线OA：y＝x，
则，解得xA＝6，yA＝2，
|OA|＝＝＝4，
，故D正确．
S△OAC＝|OA|•|OC|•sin60°＝12故选：ABD．
12．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1（底面为平行四边形的四棱柱）中，AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠DAB＝∠A1AD＝60°，则（ ） A．线段AC1的长度为2
B．异面直线BD1、B1C夹角的余弦值为 C．对角面BB1D1D的面积为4
，则
，
D．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为4解：设
＝
，，
对于A，因为
＝＝
，
＝
，所以AC1的长度为|
＝
＝2
，所以A对；
|＝＝
对于B，因为＝（）•（）＝＝0，所以异面
直线BD1、B1C夹角的余弦值为0，所以B错；
对于C，因为AB＝AD＝2，∠DAB＝60°，所以△ABD为正三角形，于是BD＝2， 因为
＝•（
）＝
＝0，所以DD1⊥BD，所以对角面BB1D1D为
矩形，其面积为2•2＝4≠4，所以C错，
对于D，设AC交BD于O，连接OA1，取AA1中点M，连接OM，
＝2
故选：AD．
＝4
，所以D对．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．以坐标轴为对称轴的等轴双曲线C经过点A（﹣3，1），则C的标准方程为
．
解：设以原点为中心，坐标轴为对称轴的等轴双曲线C：x2﹣y2＝k，k≠0，k∈R， 经过点A（﹣3，1），
所以k＝8，所以C的标准方程为：
．
故答案为：．
14．展开式中，x8y2的系数为 15 ．
解：＝（•x5+•x3y2+•xy4+•+•+•）•（
•x5+•x4y+•x3y2+•
+
•x2y3+•
•xy4+•y5），
故x8y2的系数为故答案为：15．
＝10+5＝15，
15．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运转特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2，则该“莱洛三角形”的面积为 2
．
解：由题意可知等边三角形的边长为2，即AB＝BC＝AC＝2，
所以扇形ABC的面积等于以点A为圆心，AB为半径的圆的面积的， ∴扇形ABC的面积S＝又S△ABC＝
＝
，
．
＝
，
∴莱洛三角形”的面积为3S﹣2S△ABC＝2故答案为：2
．
16．已知函数f（x）＝（2x2﹣4x+3）（ex﹣1﹣e1﹣x）﹣2x+1在[0，2]上的最大值为M，最小
值为m，则M+m＝ ﹣2 ．
﹣﹣﹣﹣
解：法一：∵f（x）＝（2x2﹣4x+3）（ex1﹣e1x）﹣2x+1＝[2（x﹣1）2+1]（ex1﹣e1x）
﹣2x+1，
∴f（2﹣x）＝[2（（1﹣x）2+1]（e1﹣x﹣ex﹣1）+2x﹣3， ∴f（x）+f（2﹣x）＝﹣2，f（x）关于点（1，﹣1）对称， 根据函数f（x）关于（a，b）对称，得f（x）+f（2a﹣x）＝2b， 得M+n＝﹣1×2＝﹣2， 故答案为：﹣2．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°． （1）若∠CBD＝30°，求三角形ABD的面积； （2）若AD＝
，求∠CBD的大小．
解：（1）因为BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°，∠CBD＝30°， 可得∠BDC＝90°，∠ABD＝60°，∠BDA＝45°， 在△BCD中，由正弦定理
＝
，可得
＝，可得BD＝
，
在△ABD中，由正弦定理＝，可得＝，可得AB＝
＝，
所以S△ABD＝AB•BD•sin∠ABD＝（2）因为AD＝
××＝．
，BC＝1，∠BCD＝60°，
在△ABD，△BCD中，由正弦定理可知：＝，＝ ，
又∠ABC＝90°，所以sin∠ABD＝cos∠CBD， 从而有BD•cos∠CBD＝，BD•sin∠BDC＝两式相除可得sin∠BDC＝
cos∠CBD，
，
由sin∠BDC＝sin（180°﹣60°﹣∠CBD）＝sin（60°+∠CBD）＝sin60°cos∠CBD+cos60°sin∠CBD＝因此有tan∠CBD＝
cos∠CBD+sin∠CBD，
，由0＜∠CBD＜180°，可得∠CBD＝60°．
18．已知数列{an}为等比数列，且各项均为正数，a1＝2，a2+a3是a3与a4的等差中项．记正项数列{bn}前n项之积为Tn，b1＝1，Tn2＝an（n﹣1）（n≥2）． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）证明：
解：（1）设等比数列{an}的公比为q，q＞0， 由a1＝2，a2+a3是a3与a4的等差中项，
可得2（a2+a3）＝a3+a4，即2（2q+2q2）＝2q2+2q3， 解得q＝2，则an＝2n；
正项数列{bn}前n项之积为Tn，b1＝1，Tn2＝an（n﹣1）＝2n（n﹣1），① 当n≥2时，Tn﹣12＝2（n﹣1）（n﹣2），②
（﹣）
①②相除可得bn2＝22n1，
．
解得bn＝2n﹣1，对n＝1也成立， 所以bn＝2n﹣1，n∈N*； （2）证明：
＝
＝
﹣
，
所以++…+
＝＝1﹣
﹣+，
﹣+…+﹣
由于{1﹣可得1﹣
}是n∈N*的递增数列， ≥1﹣
＝．
所以原不等式成立．
19．如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，∠ABC＝60°，QC＝QD＝2
，PQ＝a（a＞0）．
（1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形； （2）当a＝
时，求直线PQ与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：设Q在平面ABCD内的射影为E，因为QC＝QD，所以EC＝ED，故点E在CD的垂直平分线上， 因为ABCD是菱形，且∠ABC＝60°， 故直线AE与CD的交点即为CD的中点F， 因为PA⊥平面ABCD，QE⊥平面ABCD， 所以PA∥QE，故PA，QE共面， 所以PQFA为平面四边形；
（2）解：分别以AB，AF，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，当PQ＝a＝
时，由PF＝
，0），，
，
又F为等腰三角形QCD的底边CD的中点，故QF⊥CD， 所以
，
故PF2+QF2＝PQ2，又QC＝，
设Q（x，y，z），则有，
解得
设平面PBC的法向量为因为
，
，
＝
，
则有，即，
令b＝1，则又
，故，
，
所以，
故直线PQ与平面PBC所成角的正弦值为．
20．某贫困地区截至2016年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅
剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户2016年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．
（1）将家庭人均年纯收入不足5000元的家庭称为“特困户”，若从这50户中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望；
（2）假设2017年底该地区有1000户居民，其中900户为小康户，100户为“特困户”，若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有90%变为小康户，但小康户仍有t%（0＜t＜10）变为“特困户”，假设该地区居民户数保持不变，记经过n年脱贫工作后该地区小康户数为an．
（ⅰ）求a1并写出an+1与an的关系式；
（ⅱ）要使经2年脱贫工作后该地区小康户数至少有950户，求最大的正整数t的值．
解：（1）由频率分布直方图得家庭人均收入在[2000，3000）元、[3000，4000）元、[4000，5000）元、[5000，6000）元、[6000，7000）元、[7000，8000）元的家庭数依次为： 0.04×50＝2户；0.10×50＝5户；0.32×50＝16户；0.30×50＝15户；0.18×50＝9户；0.06×50＝3户．共计50户，
其中家庭人均年收入不足5000元的特困户有：2+5+16＝23户， 若从这50户中再取出10户调查致贫原因，
这10户中含有“特困户”的户数X～H（10，23，50）的超几何分布， ∵当X～H（n，M，N）时，E（X）＝n×， ∴E（X）＝10×
＝4.6户．
（2）（i）∵每经过一年的脱贫工和后，“特困户”中有90%变为小康户， 但小康户仍有t%（0＜t＜10）变为“特困户”， ∴a1＝（1﹣
）•900+
＝990﹣9t，
an+1＝（1﹣即（ii）
）an+（1000﹣an），
（0＜t＜10）． ＝
，
由a2≥950，可得（990﹣9t）（10﹣t）≥5000， 记函数f（t）＝（990﹣9t）（10﹣t），其中0＜t＜10，
∵函数f（t）＝（990﹣9t）（10﹣t）是开口向上的二次函数，且其对称轴为t＝60， 则函数f（t）＝（990﹣9t）（10﹣t）在（0，10）上单调递减， ∵f（4）＝5724，f（5）＝4725，∴最大的正整数t＝4．
21．已知圆E：（x+1）2+y2＝8，点F（m，0）（m＞0），P是圆E上一点，线段PF的垂直平分线l与直线EP相交于点Q．
（1）若m＝2，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹是什么？说明理由；
（2）若m＝1，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹记为曲线C．过E点作两条互相垂直的直线l1、l2，l1与曲线C交于两点A、B，l2与曲线C交于两点C、D，M为线段AB的中点，N为线段CD的中点．试问，直线MN是否过定点？若过定点，并求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．
解：（1）m＝2时，点F在圆E外，|EF|＞2由Q是线段PF外，故||QP|﹣|QE||＝2∴||QF|﹣|QE||＝2又由|EF|＞2
，
，
，
，即||QE|﹣|QF||＜|EF|，
由双曲线定义知点Q的轨迹是以E，F为焦点的双曲线． （2）当m＝1时，E（﹣1，0），（1，0）， 同（1）得|QE|+|QF|＝2
＞|EF|，
∴Q点的轨迹C是以E，F为左、右焦点的椭圆， ∴c＝1，又a2﹣b2＝c2，|QE|+|QF|＝2∴曲线C的方程为
＝1，
＝2a，∴a2＝2，b2＝1，
设l1：x＝ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， ①当t＝0时，直线MN与x轴重合，
②当t≠0时，由＝1，消去x得（t2+2）y2﹣2ty﹣1＝0，
∵点E在椭圆内，∴△＞0恒成立，且y1+y2＝，
∴＝，
y0）x＝ty﹣1上，∵M（x0，在直线l1：∴∵l1，l2互相垂直，∴设l1：x＝﹣
，
，即M（， ），
同理得N（﹣），
（i）若﹣，则t2≠1，
此时，＝＝，
直线MN方程：y﹣化简，得y＝
＝
，
，
此时，MN恒过点（﹣，0）．
（ii）若＝，则有t2＝1，此时M（﹣，），N（﹣，﹣），或M
（﹣，﹣），N（﹣，）， 此时直线MN过点（﹣，0）， 综上，直线MN恒过定点（﹣，0）． 22．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝sinx．
（1）设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）•g（x），当x∈[﹣π，0]时，求函数h（x）零点的个数；
（2）求证：g（x）•g'（x）+1＜x•f（x）﹣lnx．
解：（1）由题意得：h（x）＝ex﹣（x﹣1）sinx，
∴h′（x）＝ex﹣sinx﹣（x﹣1）cosx，h″（x）＝ex﹣2cosx+（x﹣1）sinx， ①当x∈[﹣
，0]时，ex＞0，sinx≤0，（x﹣1）cosx≤0，故h′（x）＞0，
，0]上单调递增；
]时，ex＞0，cosx≤0，（x﹣1）sinx≥0，
]上单调递增， ）＝
+1＞0，
∴h（x）在[﹣②当x∈[﹣π，﹣
∴h″（x）＞0，∴h′（x）在[﹣π，﹣又h′（﹣π）＝eπ﹣π﹣1＜0，h′（﹣且h′（x）的图像在[﹣π．﹣∴存在x0∈（﹣π，﹣
﹣
]内连续不断，
），使得h′（x0）＝0，
]时，h′（x）＞0，
且当x∈[﹣π，x0）时，h′（x）＜0，当x∈（x0，﹣∴h（x）在[﹣π，x0）内单调递减，在（x0，﹣
]内单调递增，
综合①②可知：h（x）在[﹣π，x0）内单调递减，在（x0，0）内单调递增， 又h（﹣π）＝e﹣π＞0，h（x0）＜h（﹣且h（x）的图像在[﹣π，0]内连续不断，
∴存在x1∈（﹣π，x0），存在x2∈（x0，0），使得h（x1）＝h（x2）＝0， ∴函数h（x）在[﹣π，0]内的零点个数是2； （2）证明：要证g（x）•g'（x）+1＜x•f（x）﹣lnx， 即证：sinx•cosx+1﹣x•ex+lnx＜0（*），
设F（x）＝sin2x﹣2x，则F′（x）＝2cos2x﹣2＝2（cos2x﹣1）≤0， ∴F（x）在（0，+∞）单调递减，∴F（x）＜F（0）＝0，∴sin2x＜2x， 故要证（*）成立，只需证明x+1﹣x•ex+lnx≤0，
设G（x）＝x+1﹣x•ex+lnx，则G′（x）＝1﹣（x+1）•ex+＝
（1﹣xex），
）＝
﹣
﹣1＜0，h（0）＝1＞0，
又设k（x）＝1﹣xex，∴k′（x）＝﹣（x+1）ex＜0，∴k（x）在（0，+∞）上单调递减，又k（0）＝1＞0，k（1）＝1﹣e＜0，
∴存在t∈（0，1），使得k（t）＝0，即tet＝1，lnt+t＝0， 当x∈（0，t）时，G′（x）＞0，G（x）单调递增，
当x∈（t，+∞）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减， 故G（x）≤G（t）＝t+1﹣tet+lnt＝0， 故原命题成立．
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