第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数z
34i
1i
（i是虚数单位）对应的点在（
）A．第一象限 B
．第二象限 C
．第三象限 D
．第四象限
2．在用线性回归方程研究数据的拟合效果中，分别作出下列四个关于四组数据的残差图，则用线性回归模式拟合效果最佳的是（
）
3．已知向量a
r
2,3,1，b
r
4,2,x，且r
a
br
，则x的值为（
）
A．12 B
．10 C
．
14 D
．14
4．现抛掷两枚骰子，即事件
A为“朝上的2个数之和为偶数”，事件B为“朝上的2个数均为偶数”PBA
（）A．
1218
B
．
14
C．
5
D．
2
5．如图，阴影部分面积是（）
A．e
1e
B
．e
1e
1 C．e
1e
2 D．e
1e
1
，则
6．设随机变量A．4 B7．函数y
X，Y满足：Y
．5 C
3X1，
X:B2,p
．7 ）
，若PX1
59
，则
DY
（）
．6 D
x2sinx的图象大致是（
A． B． C． D．
.甲：我不会
）
8．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明A．甲 B
．乙 C
．丙 D
．丁
.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（
9．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是A．3 B10．直三棱柱值为（
）
．4 C
．5 D
64，且用料最省，则圆柱的底面半径为（
．6
）
ABCA1B1C1中，
BCA
90，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦
A．
255
B．
53
C．
35
D．
55
4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生
1
11．某教师有相同的语文参考书本，则不同的赠送方法共有（A．15种 B12．已知函数取值范围是（A．
3本，相同的数学参考书）
．48种 D
．20种 C．60种
fx
）
13
x
3
a与函数gx
12
x
2
2x的图象上恰有三对关于
y轴对称的点，则实数
a的
107
B,36
．
710
C,
63
．
710
D,
63
．
103
,
76
第Ⅱ卷（共90分）
2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．曲线14．已知
y
sinx
ex在点0,1处的切线方程为
x
6
．
192，则展开式中
a2x1
的展开式的所有项系数的和为
x项的系数是
2
．
15．如图，已知二面角的两个半平面内，且都垂直于
l的大小为60，其棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角
AB，已知AB2，AC3，BD4，则线段CD的长为
．
16．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行：设实系数一元二次方程在复数集C内的根为展开得
a2x
2
a1xa00……①
a2x
x1
x
x2
0，
x1，x2，则方程①可变形为x2xx1
x2
a0a2
n次方程
anx
n
a2x
2
a2x1a2x1x2
a1a2
0.……②
比较①②可以得到：
x1x2
类比上述方法，设实系数一元
an1x
n
n1
L
a1xa0
．
0（n2且nN）在复数集C内
*
的根为
x1，x2，…，xn，则这n个根的积
i1
xi
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．观察下列等式：
）
113
1；2；
3；4；
1351357
………
（1）照此规律，归纳猜想出第
n个等式；
3
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
18．甲、乙两企业生产同一种型号零件，按规定该型号零件的质量指标值落在企业生产的零件中各随机抽出了甲企业：
45,75内为优质品.从两个
500件，测量这些零件的质量指标值，得结果如下表：
乙企业：
（1）已知甲企业的态分布N作代表），
2
500件零件质量指标值的样本方差，其中
s
2
142，该企业生产的零件质量指标值
X服从正
,
2
近似为质量指标值的样本平均数
2
x（注：求x时，同一组数据用该区间的中点值
71.92
近似为样本方差
s，试根据该企业的抽样数据，估计所生产的零件中，质量指标值不低于
的产品的概率.（精确到0.001）（2）由以上统计数据完成下面分厂生产的零件的质量有差异”
22列联表，并问能否在犯错误的概率不超过
.
0.01的前提下，认为“两个
附注：参考数据：参考公式：
14211.92，PX
nad
X3
bc
2
0.6827，P
0.9973.
2X20.9545，
P
2
3
K
abcdacbd
4
19．如图，在三棱锥（1）求证：PE（2）设平面PAB
PABC中，ABBC，PAPB，E为AC的中点.
AB；
平面ABC，PB
PC2，AC4，求二面角BPAC的平面角的正弦值.
20．在某校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从（1）求甲、乙两班选择不同曲目的概率；（2）设这四个班级总共选取了21．已知函数（1）讨论函数（2）若
A、B、C、D四首不同曲目中任选一首
.
X首曲目，求X的分布列及数学期望
R）.
EX.
fxax1lnx（a
fx极值点的个数，并说明理由；
1，xfx
x
ax
2
axa恒成立，求a的最大整数值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
x
在直角坐标系
xOy中，直线l的参数方程是
y
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线（1）求直线l的普通方程和曲线（2）设点
3
tm2（t为参数）.以坐标原点O为极点，以x轴的正1t2
2cos
.
C的极坐标方程是C的直角坐标方程；
Pm,0，若直线l与曲线C交于A，B两点，且PAPB1，求实数m的值.
23．选修4-5：不等式选讲已知函数（1）若a
fxx1xa.
0的解集；
0，求不等式
fx
5
（2）若方程
fxx0有三个不同的解，求实数a的取值范围.
6
第二学期期末考试高二数学（理）试题答案
一、选择题
1-5:BCDDC 6-10:ABABD 11
、12：AC
二、填空题
13．2x
y10 14
．45 15．
17 16
．
1
n
a0an
三、解答题
17．解：（1）第
n个等式为135L
1
n
2n1
1
n
n（n
N）；
*
（2）用数学归纳法证明：①当n
1时，等式显然成立；
k（k
N）时，等式成立，1
k*
②假设当n即
135L
k
k
2k1111
k1
k
k2k12k
1
1
k1
则当n1时，1kk1
k1
135L2k
1
k
2k1
11
kk
k1
所以当n由①②知，
1时，等式成立. 135L
1
n
2n1
1（n
n
N）
*
18．解：（1）依据上述数据，甲厂产品质量指标值的平均值为：
x
所以
1500
301060，
2
4040142，
5011560165
70120804590560，
即甲企业生产的零件质量指标值又
X服从正态分布X~N60,142，
14211.92，则，
X
6011.92
X2
P6011.92P48.08X
71.92
71.920.6827，
PX71.92
1P48.08
10.6827
2
7
0.158650.159，
所以，甲企业零件质量指标值不低于71.92的产品的概率为0.159.
（2）由以上统计数据填写
22列联表，如下：
2
计算
K
2
1000400140360100
760240500500
8.7726.635
对照临界值表得出，在犯错的概率不超过
0.01的前提下，认为“两个分厂生产的产品的质量有差异”
.
19．解：（1）设AB中点为O，连接PO，EO，因为PA
PB，所以POAB，
又E为AC的中点，所以EO∥BC. 因为AB
BC，所以EOAB，
因为POIOEO，所以AB
平面POE，又PE
平面POE，
所以PE
AB
（2）由（1）知POAB，
因为平面PAB平面ABC，平面PABI平面ABC
AB，PO
平面PAB，
所以PO
平面ABC，又EOAB.
以O为坐标原点，分别以OEuuur，OBuuur，OPuuur
为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系
O
xyz，如
图所示，因为AB
BC，AC4，BC2，得ABAC
2
BC
2
23，由O为AB中点，POAB，PB
2，得OA
OB3，
PO
PB
2
OB
2
1，
则，
O0,0,0，E1,0,0，P0,0,1，A0,
3,0，B0,3,0，C2,3,0
8
r
设平面PAC的一个法向量为n
x,y,z，0z
0
AB，OE
平面ABC，
rn由r
nuurPA03yz
，即uuur
2x3yPC0
取
y
r
3，可得n
3,3,3，
因为平面PAB平面ABC，平面PABI平面ABC
PABuuur
所以EO
平面，所以平面PAB的一个法向量为OE
1,0,0，
uuurr∴cosOEuuur,n
r
OEuuurnr321OEn
21
7
，设二面角BPAC的大小为
，则cos
217
所以sin1cos
2
477
，
∴二面角BPAC的平面角的正弦值为
477
.
20．解：（1）在某校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A、B、首，共有4
2
16种选法，甲、乙两班选择不同的曲目共有
A24
12种选法，
∴甲、乙两班选择不同曲目的概率为34
.
（2）依题意可知，X的可能取值为1，2，3，4，则PX
1
414
464
，
24PX2
C4
22
214
4
64
,
C2A3PX3
4
4
364464，
PX4
A4464
464
∴X的分布列为：
9
C、D四首不同曲目中任选一
EX1
164
2
2164
3
3664
4
664
17564
，且f
21．解：（1）当a∴
fxx
的定义域为
0,xa
1x
axx
1
.
0时，f0在0,
上没有极值点；
上恒成立，函数
fx在0,
上单调递减.
fx在0,
0时，令f
当a列表
x0得x
1a
0,
；
所以当x综上，当a当a
1a
时，
fx取得极小值.
上没有极值点；
0时，fx在0,
0时，fx在0,x
1，xfxxlnxx1
x
上有一个极值点.
（2）对
ax
（x
2
axa恒成立等价于a
1），则gx
1x
xlnxx1
2
x
对
x1恒成立，
设函数gx
xlnx2x1
（x
（x1），
令函数当x又
x
1时，
xlnx
x
1
2，则
1x
x1
1），
上是增函数，
0，所以x在1,0，
31ln3x0
0，42ln4x0
所以存在且当当
3,4，使得
xx
0，即gx0
0，
x
1,x0时，x0,x
1,
时，
0，即gx0，即gx
0，故gx在1,x0在上单调递减；0，故gx在x0,
x0lnx0
x01
x0
，
上单调递增；
x
所以当时，
gx有最小值gx0
2
0，即lnx0
x0
由
x00得x0
lnx02，
10
所以
gx0a
x0x0
2
x0
x01
x0，
所以
x0，又x0
3,4，所以实数a的最大整数值为3.
3t212
x
22．解：（1）直线l的参数方程是
m
（t为参数），
y
消去参数
t可得直线l的普通方程为x
2cos
3ym
2
02cos，
曲线C的极坐标方程是所以曲线C的直角坐标方程为
，化为
2
x1y
2
1.
x
（2）将
321t2
2
tm
（t为参数）代入方程
x1
2
y
2
1，得
y
32
即t∵
2
tm1
123t
2
t
2
1，
0，解得
1m
3，所以t1t2
3mm2m
2
0.由2m
m
2
2m
PAPB1
t1t2，∴m
1，解得m12或12或1，
都满足
0，所以m12或m1或m1
1,x
2.
0
x
1
1
23．解：（1）当a0，fxx1x
12x,01,x
所以当x当0当x
0时，fx10，满足题意；12x，由fx10，不合题意.
0得12x
0，得x
12
，所以0
x1时，fx1时，fx
x
12
；
综上，不等式
fxx
0的解集为0得a
x1
,
12
（2）由
fxxx，
11
则方程函数
fxx1
xx
0有三个不同的解等价于函数x的图象有三个不同交点，
1x,x
0
ya的图象和
y
因为
yx1xx
1x,0x1，画出其图象，如图所示，
1x,x1
结合图象可知，函数
y
0
a的图象和函数y
a
1即
1a
x1
0，
xx的图象
有三个不同交点时，则有所以实数
a的取值范围为1,0.
12
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