2022年-有答案-安徽省马鞍山市高一(上)期末数学试卷

2022学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集𝑈＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合𝐴＝{1, 3, 5}，集合𝐵＝{2, 3, 4}，则∁𝑈(𝐴∪𝐵)＝（ ） A.{1, 6}

2. 已知圆心为𝑂的圆形金属板的半径𝑂𝐴＝2，在该板上截取一块扇形板𝐴𝑂𝐵，其圆心

B.{6}

C.{3, 6}

D.{1, 3}

角的弧度数为，则该扇形板的面积为（ ）

A.

B. C. D.

3. 下列函数既是偶函数，又在(−∞, 0)单调递增的是（ ）

A.𝑦＝

B.𝑦＝𝑥3 C.𝑦＝6+2𝑥2

D.𝑦＝−lg|𝑥|

4. 已知𝑎＝（A.𝑐<𝑏<𝑎

），𝑏＝（B.𝑎<𝑐<𝑏

），𝑐＝log，则（ ）

D.𝑐<𝑎<𝑏

C.𝑏<𝑎<𝑐

5. 已知tan𝛼=2，则sin𝛼−cos𝛼=( ) A.2

B.3

C.4

D.6

sin𝛼+2cos𝛼

6. 已知𝑓(𝑥)＝A.26

B.17

，则𝑓（𝑓(2)）＝（ ）

C.8

D.−10

7. 已知cos（则sin(𝛼+𝛽)＝（ ）

）＝，sin(𝜋+𝛽)＝-，𝛼∈(0，），𝛽∈（，𝜋)，

A.-

B. C. D.

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8. 当0<𝑎<1时，在同一坐标系中，函数𝑦=𝑎−𝑥与𝑦=log𝑎𝑥的图象是( )

A. B.

C.

D.

9. 方程𝑒𝑥+4𝑥−5＝0的解所在区间为（ ）

A.（-

，0) B.(0，） C.（） D.(1，）

10. 函数𝑓(𝑥)＝4𝑥+A.9

B.10

(𝑥>2)的最小值为（ ）

C.11

D.12

11. 已知函数𝑓(𝑥)＝𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0，𝜔>0，-<𝜑<）的部分图象如图

所示，它可由函数𝑦＝sin𝑥的图象变换而得，这个变换可以是（ ）

A.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍

B.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍

C.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的

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倍

D.向左平移

个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍

12. 函数𝑓(𝑥)＝为（ ） A.12

与𝑔(𝑥)＝(𝑥−1)3+2的图象的所有交点的横坐标与纵坐标之和B.6

C.4

D.2

二、填空题：每小题4分（第17题毎空2分），共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．

已知𝐴＝{𝑥|𝑥2+2𝑥−3<0}，𝐵＝{𝑥|2𝑥<4}，𝑝:𝑥∈𝐴，𝑞:𝑥∈𝐵，则𝑝是𝑞的

________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．

求值：（

）-（-

）0+lg22+lg25+lg2⋅lg50＝________．

已知tan（

）＝，则tan2𝛼＝________．

已知∀𝑥∈𝑅，𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1>0，则实数𝑎的取值范围是________．

有一架两臂不等长（左臂长于右臂）的天平，将5𝑔的砝码放在右盘时，将某种粉末𝑎𝑔放在左盘可使天平平衡；将5𝑔的砝码放在左盘时，将该粉末𝑏𝑔放在右盘也使天平平衡，则𝑎+𝑏 > 10（填“>”“＝”或“<”）．将该粉末(𝑎+𝑏)𝑔放在左盘，右盘放12𝑔砝码时，天平恰好平衡．用这架天平称重时，砝码放在右盘．则物体的实际质量𝑦(𝑔)与砝码的质量𝑥(𝑔)的函数关系式为________（不考虑定义域）．

三、解答题：本大题共5题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．

已知集合𝐴＝{𝑥|log3𝑥>0}，𝐵＝{𝑥|(𝑥−2)(𝑥+1+𝑎)<0}． （1）若𝑎＝3，求𝐴∩𝐵；

（2）若𝐵⊆𝐴，求实数𝑎的取值范围．

为了预防流感，某学校对教室进行药熏消毒．室内每立方米空气的含药量𝑦（单位：毫克）随时间𝑥（单位：ℎ）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，𝑦与𝑥成正比（对应图中𝑂𝐴）；药物释放完毕后，𝑦与𝑥函数关系式为𝑦＝𝑘⋅(𝑥+𝑎)−1(𝑘为常数，其

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图象经过点𝐵)．根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，𝑦与𝑥之间的函数关系式；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教

室．学校每天19:00准时对教室进行药熏消毒，那么第二天6:30后，学生能否进教室？并说明理由．

已知函数𝑓(𝑥)＝log2(2+𝑥)−log2(2−𝑥)． （1）判断𝑓(𝑥)的奇偶性，并予以证明；

（2）解不等式：𝑓(𝑥)>1．

已知函数𝑓(𝑥)＝sin(2𝑥+）+sin(2𝑥）+cos2𝑥．

（1）求函数𝑓(𝑥)的最小正周期及单调递减区间；

（2）当𝑥∈(0，

）时，求𝑓(𝑥)的取值范围．

已知函数𝑓(𝑥)＝𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，不等式𝑓(𝑥)<3的解集为(0, 2)，且𝑓(3)＝9． （1）求函数𝑓(𝑥)的解析式；

（2）设函数𝑓(𝑥)在𝑥∈[𝑡, 𝑡+1]上的最小值为𝑔(𝑡)，求𝑔(𝑡)的表达式．

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参与试题解析

2022学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 【答案】 B

【考点】

交、并、补集的混合运算 【解析】

根据并集和补集的定义进行计算即可． 【解答】

𝐴∪𝐵＝{1, 2, 3, 4, 5}，则∁𝑈(𝐴∪𝐵)＝{6}， 2. 【答案】 C

【考点】 扇形面积公式 【解析】

由扇形面积公式𝑆＝【解答】

𝑟2𝛼计算即可．

根据题意知，𝑆＝3. 【答案】 D

𝑟2𝛼＝×22×＝．

【考点】

奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质与判断 【解析】

根据函数的奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可． 【解答】

𝐴．𝑦＝是奇函数，不满足条件，

𝐵．𝑦＝𝑥3是奇函数，不满足条件，

𝐶．𝑦＝6+2𝑥2是偶函数，当𝑥<0为减函数，不满足条件．

𝐷．𝑦＝−lg|𝑥|的定义域为{𝑥|𝑥≠0}，函数是偶函数，当𝑥<0时，𝑦＝−lg|𝑥|＝−lg(−𝑥)为增函数，满足条件． 4.

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【答案】 A

【考点】

对数值大小的比较 【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【解答】

∵ 𝑎＝（）>（

）0＝1，

0<𝑏＝（）<（）0＝1，

𝑐＝log5. 【答案】 C

<＝0，

∴ 𝑐<𝑏<𝑎．

【考点】

同角三角函数基本关系的运用 【解析】

由已知及同角三角函数基本关系的运用即可化简求值． 【解答】

解：∵ tan𝛼=2，

∴ sin𝛼−cos𝛼=tan𝛼−1=2−1=4． 故选：𝐶． 6. 【答案】 B

【考点】 求函数的值 分段函数的应用 函数的求值 【解析】

根据题意，由函数的解析式可得𝑓(2)＝−4，则有𝑓（𝑓(2)）＝𝑓(−4)，计算可得答案． 【解答】

sin𝛼+2cos𝛼

tan𝛼+2

2+2

根据题意，𝑓(𝑥)＝，

则𝑓(2)＝−2×2＝−4，则𝑓（𝑓(2)）＝𝑓(−4)＝(−4)2+1＝17，

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7. 【答案】 B

【考点】

两角和与差的三角函数 【解析】

由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，求得sin(𝛼+𝛽)的值． 【解答】

已知cos（）＝sin𝛼＝，sin(𝜋+𝛽)＝−sin𝛽＝-，即 sin𝛽＝．

∵ 𝛼∈(0，），𝛽∈（，𝜋)，

∴ cos𝛼＝＝，cos𝛽＝-＝-，

则sin(𝛼+𝛽)＝sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽＝8. 【答案】 C

【考点】

指数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质 【解析】

×(−）+×＝-，

先将函数𝑦=𝑎−𝑥化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果 【解答】

解：∵ 函数𝑦=𝑎−𝑥与可化为函数𝑦=(𝑎)𝑥， 其底数大于1，是增函数，故排除𝐴，𝐷；

又𝑦=log𝑎𝑥，当0<𝑎<1时是减函数，故排除𝐵. 两个函数是一增一减，前增后减． 故选𝐶． 9. 【答案】 C

【考点】

函数零点的判定定理 【解析】

1

𝑓(𝑥)＝𝑒𝑥+4𝑥−5，𝑓(𝑥)是增函数，𝑥0是𝑓(𝑥)的零点，由𝑓（

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）𝑓(1)<0，可得结论．

【解答】

设𝑓(𝑥)＝𝑒𝑥+4𝑥−5，显然𝑓(𝑥)是(0, +∞)上的增函数，𝑥0是连续函数𝑓(𝑥)的零点．

因为𝑓（）＝+4×−3<0，𝑓(1)＝𝑒+4×1−5＝𝑒−1>0，

𝑓（）𝑓(1)<0，

故𝑥0∈（故选：𝐶． 10. 【答案】 D

，1)，

【考点】

基本不等式及其应用 【解析】

直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果． 【解答】 由于𝑥>2，

函数𝑓(𝑥)＝4𝑥+＝4(𝑥−2)+，

当且仅当𝑥＝11. 【答案】 A

时，等号成立，

【考点】

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 【解析】

由函数的图象的顶点坐标求出𝐴，由特殊点的坐标求出𝜑的值，由特殊点坐标求得𝜔，可得函数的解析式，再根据函数𝑦＝𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，得出结论． 【解答】

根据函数𝑓(𝑥)＝𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0，𝜔>0，-<𝜑<）的部分图象，

可得𝐴＝2，根据图象经过(0, 1)，可得2sin𝜑＝1，∴ 𝜑＝．

由五点法做图可得𝜔×+＝𝜋，∴ 𝜔＝2，故𝑓(𝑥)＝2sin(2𝑥+）．

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故把函数𝑦＝sin𝑥的图象向左平移个单位长度，可得函数𝑦＝sin(𝑥+）的图象；

再将横坐标变为原来的倍，可得函数𝑦＝sin(2𝑥+）的图象；

纵坐标变为原来的2倍，可得函数𝑦＝2sin(2𝑥+12. 【答案】 B

【考点】

函数与方程的综合运用 【解析】

）的图象，

利用图象变换分别得到𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的对称中心都为(1, 2)，然后利用交点关于点(1, 2)对称，求解即可得到答案． 【解答】

函数𝑓(𝑥)＝＝，

因为𝑓(𝑥)的图象是由的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到的，

而关于(0, 0)对称，

所以𝑓(𝑥)关于点(1, 2)对称，

函数𝑔(𝑥)＝(𝑥−1)3+2，因为𝑔(𝑥)的图象是由𝑦＝𝑥3的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到的，

而𝑦＝𝑥3关于点(0, 0)对称， 所以𝑔(𝑥)关于点(1, 2)对称，

作出函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的图象如图所示，

当𝑥>1时，𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的图象有一个交点𝐴(𝑥1, 𝑦1)， 当𝑥<1时，𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的图象还有一个交点𝐵(𝑥2, 𝑦2)， 因为𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)都关于点(1, 2)对称， 则点𝐴，𝐵也关于(1, 2)对称， 所以𝑥1+𝑥2＝2，𝑦1+𝑦2＝4， 故𝑥1+𝑥2+𝑦1+𝑦2＝6．

所以函数𝑓(𝑥)＝和为6．

与𝑔(𝑥)＝(𝑥−1)3+2的图象的所有交点的横坐标与纵坐标之

二、填空题：每小题4分（第17题毎空2分），共20分．请把答案填在答题卡的相应位置． 【答案】

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充分不必要

【考点】

充分条件、必要条件、充要条件 【解析】

根据一元二次不等式和指数不等式的解法求出集合𝐴和𝐵，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定． 【解答】

因为𝐴＝{𝑥|𝑥2+2𝑥−3<0}＝{𝑥|−3<𝑥<1}，𝐵＝{𝑥|2𝑥<4}＝{𝑥|𝑥<2}， 所以𝐴⫋𝐵，

而𝑝:𝑥∈𝐴，𝑞:𝑥∈𝐵，则𝑝是𝑞的充分不必要条件， 【答案】

【考点】

对数的运算性质 【解析】

直接利用有理指数幂的运算性质以及对数的运算性质进行分析求解即可． 【解答】

原式＝

＝

＝

＝

＝．

【答案】

-

【考点】

二倍角的三角函数 两角和与差的三角函数 【解析】

根据已知条件求得tan𝛼＝-，然后利用二倍角公式求解．

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【解答】

∵ tan（）＝，

∴ ＝，

∴ tan𝛼＝-，

∴ tan2𝛼＝【答案】 [0, 4)

【考点】

全称命题与特称命题 全称量词与存在量词 【解析】

＝＝-．

讨论𝑎＝0和𝑎≠0时，分别求出不等式𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1>0恒成立时𝑎的取值范围． 【解答】

𝑎＝0时，不等式𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1>0化为1>0，满足题意；

𝑎≠0时，不等式𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1>0恒成立，应满足𝑎<4；

综上知，实数𝑎的取值范围是[0, 4)． 【答案】

，解得0<

【考点】

根据实际问题选择函数类型 【解析】

设天平左臂长为𝑐，右臂长为𝑑，且𝑐>𝑑，由题意得到𝑎𝑐＝5𝑑，5𝑐＝𝑏𝑑，然后将𝑎和𝑏

代换成𝑏和𝑐表示，再利用基本不等式进行求解即可；根据题意可得，然后利

用𝑎𝑐＝5𝑑，5𝑐＝𝑏𝑑，(𝑎+𝑏)𝑐＝12𝑑进行分析求解，即可求出【解答】

的值，从而得到答案．

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设天平左臂长为𝑐，右臂长为𝑑，且𝑐>𝑑， 则𝑎𝑐＝5𝑑，5𝑐＝𝑏𝑑，

所以𝑎+𝑏＝

因为𝑐>𝑑，所以取不到等号， 所以𝑎+𝑏>10；

，

由题意，𝑦𝑐＝𝑑𝑥，则，

因为𝑎𝑐＝5𝑑，5𝑐＝𝑏𝑑，(𝑎+𝑏)𝑐＝12𝑑，

求得则𝑎𝑏＝25，

，

所以，解得，

则，

所以．

三、解答题：本大题共5题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 【答案】

𝐴＝{𝑥|𝑥>1}，𝑎＝3时，𝐵＝{𝑥|−4<𝑥<2}， ∴ 𝐴∩𝐵＝(1, 2)；

∵ 𝐵⊆𝐴，

∴ ①−1−𝑎＝2，即𝑎＝−3时，𝐵＝⌀，满足题意；

②−1−𝑎<2，即𝑎>−3时，𝐵＝{𝑥|−1−𝑎<𝑥<2}，则−1−𝑎≥1，解得−3<𝑎≤−2；

③−1−𝑎>2，即𝑎<−3时，𝐵＝{𝑥|2<𝑥<−1−𝑎}，满足题意； 综上得，实数𝑎的取值范围为：{𝑎|𝑎≤−2}． 【考点】 交集及其运算

集合的包含关系判断及应用 【解析】

（1）可求出𝐴＝{𝑥|𝑥>1}，𝑎＝3时，得出集合𝐵，然后进行交集的运算即可；

（2）根据𝐵⊆𝐴可讨论−1−𝑎和2的关系：−1−𝑎＝2，即𝑎＝−3时，满足题意；−1−𝑎<2，即𝑎>−3时，可得出−1−𝑎≥1；−1−𝑎>2，即𝑎<−3时，满足题意，这样即可得出𝑎的取值范围． 【解答】

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𝐴＝{𝑥|𝑥>1}，𝑎＝3时，𝐵＝{𝑥|−4<𝑥<2}， ∴ 𝐴∩𝐵＝(1, 2)；

∵ 𝐵⊆𝐴，

∴ ①−1−𝑎＝2，即𝑎＝−3时，𝐵＝⌀，满足题意；

②−1−𝑎<2，即𝑎>−3时，𝐵＝{𝑥|−1−𝑎<𝑥<2}，则−1−𝑎≥1，解得−3<𝑎≤−2；

③−1−𝑎>2，即𝑎<−3时，𝐵＝{𝑥|2<𝑥<−1−𝑎}，满足题意； 综上得，实数𝑎的取值范围为：{𝑎|𝑎≤−2}． 【答案】

当0≤𝑥≤0.1时，设𝑦＝𝑚𝑥，

由图象可知，点𝐴(0.1, 2)在函数图象上， 则有0.1𝑚＝2，解得𝑚＝20， 所以𝑦＝20𝑥；

当𝑥>0.1时，𝑦＝𝑘⋅(𝑥+𝑎)−1，因为其图象经过点𝐴(0.1, 2)，𝐵(2.5, 0.8)，

则有

所以𝑦＝3.2⋅(𝑥+1.5)−1，

，解得𝑎＝1.5，𝑘＝3.2，

故𝑦与𝑥之间的函数关系式为

从19:00到第二天6:30的时间为𝑥＝11.5小时，

；

所以𝑦＝3.2×(11.5+1.5)−1＝故第二天6:30后，学生能进教室． 【考点】

根据实际问题选择函数类型 【解析】

，

（1）利用待定系数法结合函数图象上特殊点，分当0≤𝑥≤0.1和𝑥>0.1两种情况分别求解即可；

（2）从19:00到第二天6:30的时间为𝑥＝11.5小时，代入到解析式中求出𝑦的值，然后进行比较即可得到答案． 【解答】

当0≤𝑥≤0.1时，设𝑦＝𝑚𝑥，

由图象可知，点𝐴(0.1, 2)在函数图象上， 则有0.1𝑚＝2，解得𝑚＝20， 所以𝑦＝20𝑥；

当𝑥>0.1时，𝑦＝𝑘⋅(𝑥+𝑎)−1，因为其图象经过点𝐴(0.1, 2)，𝐵(2.5, 0.8)，

则有，解得𝑎＝1.5，𝑘＝3.2，

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所以𝑦＝3.2⋅(𝑥+1.5)−1，

故𝑦与𝑥之间的函数关系式为

从19:00到第二天6:30的时间为𝑥＝11.5小时，

；

所以𝑦＝3.2×(11.5+1.5)−1＝故第二天6:30后，学生能进教室． 【答案】

对于函数𝑓(𝑥)＝log2(2+𝑥)−log2(2−𝑥)，

，

∴ ，求得−2<𝑥<2，可得它的定义域为(−2, 2)，关于原点对称，

且 𝑓(−𝑥)＝log2(2−𝑥)−log2(2+𝑥)＝𝑓(𝑥)， 故𝑓(𝑥)为偶函数．

不等式：𝑓(𝑥)>1，即 log2(2+𝑥)−log2(2−𝑥)>1，即 log2(2+𝑥)>log22(2−𝑥)．

∴ 2+𝑥>2(2−𝑥)>0，求得 <𝑥<2，

可得不等式的解集为（ 【考点】

函数奇偶性的性质与判断 指、对数不等式的解法 【解析】

，2)．

（1）由题意利用对数函数的定义域、奇偶性，得出结论．

（2）由题意利用对数的运算性质、对数函数的单调性，求得不等式的解集． 【解答】

对于函数𝑓(𝑥)＝log2(2+𝑥)−log2(2−𝑥)，

∴ ，求得−2<𝑥<2，可得它的定义域为(−2, 2)，关于原点对称，

且 𝑓(−𝑥)＝log2(2−𝑥)−log2(2+𝑥)＝𝑓(𝑥)， 故𝑓(𝑥)为偶函数．

不等式：𝑓(𝑥)>1，即 log2(2+𝑥)−log2(2−𝑥)>1，即 log2(2+𝑥)>log22(2−𝑥)．

∴ 2+𝑥>2(2−𝑥)>0，求得 <𝑥<2，

可得不等式的解集为（ ，2)．

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【答案】

函数𝑓(𝑥)＝sin(2𝑥+）+sin(2𝑥）+cos2𝑥．

＝＝

，

+cos2𝑥，

＝2．

所以函数的最小正周期𝑇＝，

令(𝑘∈𝑍)，

解得：(𝑘∈𝑍)，

所以函数的单调递减区间为：[](𝑘∈𝑍)．

由于𝑥∈(0，）时，

所以，

故𝑓(𝑥)．当𝑥＝时取得最大值为1．

【考点】

三角函数的周期性

三角函数中的恒等变换应用 【解析】

（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单调递减区间；

（2）利用函数的关系式，根据函数的定义域求出函数的值域． 【解答】

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函数𝑓(𝑥)＝sin(2𝑥+）+sin(2𝑥）+cos2𝑥．

＝＝

，

+cos2𝑥，

＝2．

所以函数的最小正周期𝑇＝，

令(𝑘∈𝑍)，

解得：(𝑘∈𝑍)，

所以函数的单调递减区间为：[](𝑘∈𝑍)．

由于𝑥∈(0，）时，

所以，

故𝑓(𝑥)【答案】

．当𝑥＝时取得最大值为1．

因为函数𝑓(𝑥)＝𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，不等式𝑓(𝑥)<3的解集为(0, 2)， 所以𝑎>0且0和2为方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐＝0的两个根，

则有，

所以𝑏＝−2𝑎，𝑐＝0，

又𝑓(3)＝9，则9𝑎+3𝑏＝9， 所以𝑎＝3，𝑏＝−6， 故𝑓(𝑥)＝3𝑥2−6𝑥；

因为𝑓(𝑥)＝3𝑥2−6𝑥＝3(𝑥−1)2−3，图象开口向上，对称轴为𝑥＝1， ①当𝑡≥1时，函数𝑓(𝑥)在[𝑡, 𝑡+1]上单调递增，

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所以；

②当0<𝑡<1时，函数𝑓(𝑥)的对称轴在区间[𝑡, 𝑡+1]内， 故𝑔(𝑡)＝𝑓(𝑥)min＝𝑓(1)＝−3；

③当𝑡≤0时，函数𝑓(𝑥)在[𝑡, 𝑡+1]上单调递减， 所以

；

综上可得，

【考点】

函数解析式的求解及常用方法 一元二次不等式的应用 二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】

．

（1）利用一元二次不等式的解法得到𝑎>0且0和2为方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐＝0的两个根，再结合𝑓(3)＝9，解方程组即可得到𝑎，𝑏，𝑐的值，从而得到𝑓(𝑥)的解析式；

（2）利用对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，再利用二次函数的性质求解即可得到答案． 【解答】

因为函数𝑓(𝑥)＝𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，不等式𝑓(𝑥)<3的解集为(0, 2)， 所以𝑎>0且0和2为方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐＝0的两个根，

则有，

所以𝑏＝−2𝑎，𝑐＝0，

又𝑓(3)＝9，则9𝑎+3𝑏＝9， 所以𝑎＝3，𝑏＝−6， 故𝑓(𝑥)＝3𝑥2−6𝑥；

因为𝑓(𝑥)＝3𝑥2−6𝑥＝3(𝑥−1)2−3，图象开口向上，对称轴为𝑥＝1， ①当𝑡≥1时，函数𝑓(𝑥)在[𝑡, 𝑡+1]上单调递增， 所以；

②当0<𝑡<1时，函数𝑓(𝑥)的对称轴在区间[𝑡, 𝑡+1]内， 故𝑔(𝑡)＝𝑓(𝑥)min＝𝑓(1)＝−3；

③当𝑡≤0时，函数𝑓(𝑥)在[𝑡, 𝑡+1]上单调递减，

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所以

；

综上可得，．

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