马鞍山市第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

马鞍山市第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）

A．9214 B．8214 C．9224 D．8224

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.

2． 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )

A5 B4 C3 D2

3． 已知命题p:f(x)a(a0且a1)是单调增函数；命题q:x(则下列命题为真命题的是（ ）

A．pq B．pq C. pq D．pq 4． 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+A．

B．

，则S2015的值是（ ）

x5,)，sinxcosx. 44C．2015 D．

5． 已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（ ）

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精选高中模拟试卷

A．为直角三角形 B．为锐角三角形

C．为钝角三角形 D．前三种形状都有可能

6． 某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ） A．4320 B．2400 C．2160 D．1320 7． 复数z=

（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8． 抛物线y2=8x的焦点到双曲线A．1

B．

的渐近线的距离为（ ） C．

D．

9． 已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=A．

B．

C．

D．

；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=（ ）

2

10．+xf（ ′x）′x）设函数f（x）在R上的导函数为f（，且2f（x）＞x，下面的不等式在R内恒成立的是（ ）

A．f（x）＞0

B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x

11

11．设f（x）＝（e－x－ex）（x－），则不等式f（x）＜f（1＋x）的解集为（ ）

2＋12

1

A．（0，＋∞） B．（－∞，－）

2

11

C．（－，＋∞） D．（－，0）

2212．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ ） A．

B．

C．

，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成

D．

二、填空题

13．过椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则

椭圆的离心率为 ．

14．已知a，b是互异的负数，A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，则A与G的大小关系为 ．

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精选高中模拟试卷

15．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为 ． 16．如图所示，在三棱锥C﹣ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是 ．

17．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．

18．已知x是400和1600的等差中项，则x= ．

三、解答题

19．如图，过抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F的直线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1x2=﹣4．

（Ⅰ）p的值；

（Ⅱ）R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，RQ的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值．

20．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示． （Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？

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（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？” 下面临界值表仅供参考： P（K2≥k） k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

2

（参考公式：K=

，其中n=a+b+c+d）

21．在等比数列{an}中，a3=﹣12，前3项和S3=﹣9，求公比q．

22．（本小题满分12分）已知向量a=(mcoswx-msinwx,sinwx)，b=(-coswx-sinwx,2ncoswx)， 设函数f(x)=a?bnp(x?R)的图象关于点(,1)对称，且wÎ(1,2)． 212第 4 页，共 15 页

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（I）若m=1，求函数f(x)的最小值；

（II）若f(x)£f()对一切实数恒成立，求yf(x)的单调递增区间．

【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．

p4

23．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。

（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为

极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系； （2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。

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24．【徐州市2018届高三上学期期中】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池形附属设施矩形的一边

及其矩

，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为，半径为，在直径上，点、、、在圆周上，、在边

，求

上，且

，设

．

（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为（2）怎样设计才能符合园林局的要求？

的表达式；

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马鞍山市第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】A

2． 【答案】C

【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3.

3． 【答案】D 【解析】

考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用. 4． 【答案】D 【解析】解：∵2Sn=an+当n=2时，2（1+a2）=同理可得猜想验证：2Sn==

因此满足2Sn=an+∴∴Sn=∴S2015=故选：D．

．

．

， ．

=

，

． ．

…+

=

，

，∴

，化为

，解得a1=1．

=0，又a2＞0，解得

，

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【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

5． 【答案】A

22

【解析】解：设A（x1，x1），B（x2，x2），

将直线与抛物线方程联立得

2

消去y得：x﹣mx﹣1=0，

，

根据韦达定理得：x1x2=﹣1， 由得到则

⊥

=（x1，x12），

，

=（x2，x22），

=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，

∴△AOB为直角三角形． 故选A

【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．

6． 【答案】D

•

=388，

【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（根据分类计数原理，可得388+932=1320种， 故选D．

﹣

）•

=932

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．

7． 【答案】C 【解析】解：z=

=

=

=

+

i，

当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1； 当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1； 当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；

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当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解； 故选：C．

【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．

8． 【答案】A

2

【解析】解：因为抛物线y=8x，由焦点公式求得：抛物线焦点为（2，0） 又双曲线

．渐近线为y=

=1．

有点到直线距离公式可得：d=故选A．

【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法．其中应用到点到直线的距离公式，包含知识点多，属于综合性试题．

9． 【答案】A 且3+log23＞4

∴f（2+log23）=f（3+log23） =

故选A．

10．【答案】A

2

【解析】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x， 令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．

22

如果 f（x）=x+0.1，时 已知条件 2f（x）+xf′（x）＞x 成立，

【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）

但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选 A 故选A．

11．【答案】

【解析】选C.f（x）的定义域为x∈R，

11

由f（x）＝（e－x－ex）（x－）得

2＋12

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11

f（－x）＝（ex－e－x）（x－）

2－＋12＝（e

x

－e－x）（1＋） 2x＋12

－1

11

＝（e－x－ex）（x－）＝f（x），

2＋12∴f（x）在R上为偶函数，

∴不等式f（x）＜f（1＋x）等价于|x|＜|1＋x|，

1

即x2＜1＋2x＋x2，∴x＞－，

2

1

即不等式f（x）＜f（1＋x）的解集为{x|x＞－}，故选C.

212．【答案】D 【解析】解：双曲线

（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x

联立方程组，解得A（，），B（，﹣），

设直线x=与x轴交于点D

∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）

∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA ∴c﹣

＜

222222

，b＜a，c﹣a＜a∴c＜2a，e＜2，e＜

又∵e＞1

∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D

【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，∵∠F1PF2=60°，

）或（﹣c，﹣

），

．

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∴=， b2=

22

（a﹣c）．

即2ac=∴∴e=

e2+2e﹣或e=﹣

=0， （舍去）．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．

14．【答案】 A＜G ． 【解析】解：由题意可得A=

，G=±

，

由基本不等式可得A≥G，当且仅当a=b取等号， 由题意a，b是互异的负数，故A＜G． 故答案是：A＜G．

【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题．

15．【答案】 3x﹣y﹣11=0 ．

【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点 为A（x1，y1），B（x2，y2），

22

即有y1=6x1，y2=6x2，

相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2）， 即有kAB=

=

==3，

则直线方程为y﹣1=3（x﹣4）， 即为3x﹣y﹣11=0．

将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得 9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0， 故所求直线为3x﹣y﹣11=0． 故答案为：3x﹣y﹣11=0．

16．【答案】 30° ．

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【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则EG故∠GEF即为EF与CD所成的角． 故答案为：30°

DC=2，GF

AB=1，

又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．

【点评】此题的关键是作出AD的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．

17．【答案】

．

【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥， 8个三棱锥的体积为：

剩下的凸多面体的体积是1﹣=． 故答案为：．

=．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．

18．【答案】 1000 ．

【解析】解：∵x是400和1600的等差中项， ∴x=

=1000．

故答案为：1000．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意设MN：y=kx+，

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由22

，消去y得，x﹣2pkx﹣p=0（*）

由题设，x1，x2是方程（*）的两实根，∴

（Ⅱ）设R（x3，y3），Q（x4，y4），T（0，t）， ∵T在RQ的垂直平分线上，∴|TR|=|TQ|． 得∴

而y3≠y4，∴﹣4=y3+y4﹣2t． 又∵y3+y4=1，∴因此，

由（Ⅰ）得，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

=

因此，当k=0时，S△MNT有最小值3．

，故T（0，）．

．

，又

，故p=2；

，

，即4（y3﹣y4）=（y3+y4﹣2t）（y4﹣y3）．

．

【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，着重考查“舍而不求”的解题思想方法，考查了计算能力，是中档题．

20．【答案】

【解析】

【专题】综合题；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论； ξ的分布列和数学期望；

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得

2

（Ⅲ）根据成绩不低于85分的为优秀，可得2×2列联表，计算K，从而与临界值比较，即可得到结论．

【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所

以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2 P（ξ=0）=

=

，P（ξ=1）=

=

，P（ξ=2）=

1

2

=

┉┉┉┉┉┉

则随机变量ξ的分布列为

0 ξ

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P

+1×

乙班 10 10 20 +2×

数学期望Eξ=0×=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉

合计 13 27 40

≈5.584＞5.024

（Ⅲ）2×2列联表为 优秀 不优秀

甲班 3 17

20 合计

┉┉┉┉┉ K2=

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．┉┉ 21．【答案】

【解析】解：由已知可得方程组

=，

，

【点评】本题考查概率的计算，考查性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．

第二式除以第一式得

2

整理可得q+4q+4=0，解得q=﹣2．

22．【答案】

23．【答案】（1）点P在直线上 （2）

化为直角坐标，得P（0，4）。

，

，

【解析】（1）把极坐标系下的点所以点P在直线上，

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为从而点Q到直线的距离为

，

24．【答案】（1）

（2）

【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后

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根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值

（2）要符合园林局的要求，只要由（1）知，令解得令当当所以当

时，时，时，，即

或

，

最小，

， （舍去），

是单调减函数， 是单调增函数，

取得最小值.

时，符合园林局要求.

答：当满足

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