2022-2023学年安徽省马鞍山二中数学高三第一学期期末达标检测模拟试题含解析

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A={x|x<1}，B={x|3x1}，则 A．AC．AB{x|x0} B{x|x1}

B．AD．ABR B

2．已知在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若函数f(x)角B的取值范围是（ ） A．0,1312122xbxacacx存在极值，则324 3B．, 63C．, 3D．, 63．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，FEF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60° 处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm．，则该正方形的边长为（ ）

A．502cm B．402cm

C．50cm

D．206cm

4．已知i是虚数单位，若z1ai，zz2，则实数a（ ） A．2或2 B．-1或1

C．1

D．2

5．已知函数f(x)cosx与g(x)sin(2x)(0)的图象有一个横坐标为坐标不变，横坐标变为原来的

的交点，若函数g(x)的图象的纵31倍后，得到的函数在[0,2]有且仅有5个零点，则的取值范围是( )

A．2935, 2424B．2935, 2424C．2935, 2424D．2935, 242432x2y2226．Fc,0为双曲线E:221的左焦点，过点F的直线与圆xyc交于A、B两点，（A在F、B之

4ab间）与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若FABP，且OAOB32c，则双曲线E的离心率100为（ ） A．5 B．

52 C．52 D．5

7．在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量OZ绕原点O按逆时针方向旋转6，所得向量对应的复数是（ A．1232i B．3212i C．1232i D．3212i 8．已知函数fxln1x1xx1且fafa12，则实数a的取值范围是( ) A．1,1112 B．2,0 C．0,

D．122,1

9．若复数z12i，z2cosisin(R)，其中i是虚数单位，则|z1z2|的最大值为( ) A．51

B．512 C．51

D．512 10．设点P是椭圆x2y2a241(a2)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若F1F243，则PF1PF2（ ） A．4

B．8

C．42

D．47 11．在ABC中，BD12DC，则AD=（ ） A．

134AB4AC B．23AB+13AC

C．13AB+23AC

D．123AB3AC

12．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N除以正整数m所得的余数是n”记为“Nn(modm)”，例如71(mod2).执行该程序框图，则输出的n等于（ ）

）

A．16 B．17 C．18 D．19

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

ex2019,x0213．设函数f(x)，则满足fx4f(3x)的x的取值范围为________.

2020,x032x8tx3s2（t为参数）

14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，曲线C的参数方程为（s为

yty23s2参数）.

（1）求直线l和曲线C的普通方程；

（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最小值及此时P点的坐标. 15．已知集合A{2,5},B{3,5}，则AB____________.

16．函数f(x)ln(1x)43xx2的定义域是____________．（写成区间的形式） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，侧面PAB为等边三角形，侧棱PC22.

（1）求证：平面PAB平面ABC； （2）求三棱锥PABC外接球的体积.

18．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不

超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．

（I）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；

（Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值；

（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望.

19．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切． （1）求圆的方程；

（2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

20．（12分）如图，在四面体DABC中，ABBC，DADCDB.

（1）求证:平面ABC平面ACD；

（2）若CAD30，二面角CAB D为60，求异面直线AD与BC所成角的余弦值. 21．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，D25，sinBACcosB，AB13. 313

（1）求AC；

（2）求四边形ABCD面积的最大值.

x12cos22．（10分）在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的非负

y12sin半轴为极轴建立极坐标系，射线l1的极坐标方程为（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程，并指出是何种曲线；

（Ⅱ）若射线l1与曲线C交于O、A两点，射线l2与曲线C交于O、B两点，求ABO面积的取值范围.

，射线l2的极坐标方程为.

626 参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【解析】

∵集合B{x|3x1} ∴Bx|x0 ∵集合A{x|x1}

∴ABx|x0，ABx|x1 故选A 2、C 【解析】

求出导函数f(x)，由f(x)0有不等的两实根，即可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论． 【详解】

1111f(x)x3bx2a2c2acx，f(x)x2bxa2c2ac.

3244222若f(x)存在极值，则b4acac0，a2c2b2ac

14a2c2b21B0,,B． .又cosB又,cosB32ac2故选：C． 【点睛】

本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键． 3、D 【解析】

过点E,F做正方形边的垂线，如图，设AEM，利用直线三角形中的边角关系，将AB,BC用表示出来，根据ABBC，列方程求出，进而可得正方形的边长. 【详解】

过点E,F做正方形边的垂线，如图，

设AEM，则CFQ，MEFQFE60，

则ABAMMNNBAEsinEFsin60FCsin

3350sin40sin6030sin40sincos2， 2CBBPPCAEcosFCcosEFcos60

3350cos30cos40cos60402cos2sin

333340sincos40cossin因为ABCB，则， 2222整理化简得

sin23，又sin2cos21， cos得sin3131 ，cos 222233331331AB40sincos40206. 22222222即该正方形的边长为206cm. 故选：D. 【点睛】

本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题. 4、B 【解析】

由题意得，zz1ai1ai1a，然后求解即可

2【详解】

∵z1ai，∴zz1ai1ai1a.又∵zz2，∴1a22，∴a1.

2【点睛】

本题考查复数的运算，属于基础题 5、A 【解析】 根据题意，cos的取值范围. 【详解】

已知f(x)cosx与g(x)sin(2x)(0)的图象有一个横坐标为则cosπ2sin，求出，所以g(x)sin2x，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出6363的交点， 32sin， 33225,， 33325，， 366g(x)sin2x，

6若函数g(x)图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1倍， 则ysin2x， 6所以当x[0,2]时，2x,4， 666f(x)在[0,2]有且仅有5个零点，

546，

62935. 2424故选：A. 【点睛】

本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 6、D 【解析】

过点O作OMPF，可得出点M为AB的中点，由OAOB32c可求得cosAOB的值，可计算出100cosAOB的值，进而可得出OM，结合FABP可知点M为PF的中点，可得出PF，利用勾股定理求得PF2（F为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】

如下图所示，过点O作OMPF，设该双曲线的右焦点为F，连接PF.

OAOB13332cccosAOBc，cosAOB.

2522100cosAOB3AOB1cosAOB23c， ， OMOAcos252256c， 5FABP，M为PF的中点，PF//OM，FPF90，PF2OMPF2c2PF28c， 52c2a， 5由双曲线的定义得PFPF2a，即因此，该双曲线的离心率为e故选：D. 【点睛】

c5. a本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 7、A 【解析】

由复数z求得点Z的坐标，得到向量OZ的坐标，逆时针旋转【详解】

解：∵复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1）， ∴OZ＝(0，1)，将OZ绕原点O逆时针旋转设OB＝(a，b)，a0,b0，

得到OB， 6，得到向量OB的坐标，则对应的复数可求. 6则OZOBbOZOBcos3， 62即b3， 2又a2b21， 解得：a13， ,b2213∴OB2,2，

对应复数为故选：A. 【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 8、B 【解析】

构造函数Fxfx1，判断出Fx的单调性和奇偶性，由此求得不等式fafa12的解集. 【详解】

构造函数Fxfx1ln13i. 221x1xx，由0解得1x1，所以Fx的定义域为1,1，且1x1xFxln1x1x1xxlnxlnxFx，所以Fx为奇函数，而1x1x1xFxln1x2xln1x，所以Fx在定义域上为增函数，且F0ln100.由1x1xaa101fafa12得fa1fa110，即FaFa10，所以1a1a0.

21a11故选：B 【点睛】

本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题. 9、C

【解析】

由复数的几何意义可得z1z2表示复数z12i，z2cosisin对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解. 【详解】

由复数的几何意义可得，复数z12i对应的点为2,1，复数z2cosisin对应的点为cos,sin，所以z1z22cos1sin2212sin44cos1625sin62551，其中tanφ2，

故选C 【点睛】

本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将z1z2转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型. 10、B 【解析】 ∵F1F243 ∵F1F22c43 ∴c23

∵c2a2b2，b24 ∴a4

∴PF1PF22a8 故选B

点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 11、B 【解析】

1FC, 221可知AEDF为平行四边形，从而可得到ADAEAFABAC，即可得到答案．

33在AB,AC上分别取点E、F,使得AE2EB,AF【详解】 如下图，BD11DC，在AB,AC上分别取点E、F,使得AE2EB,AFFC, 22则AEDF为平行四边形，故ADAEAF21ABAC,故答案为B. 33

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题． 12、B 【解析】

由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可. 【详解】

解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数. 若输出n16 ，则161mod3不符合题意，排除； 若输出n17，则172mod3,172mod5，符合题意. 故选:B. 【点睛】

本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、(1,) 【解析】

当x0时，函数单调递增，当x0时，函数为常数，故需满足x243x，且3x0，解得答案. 【详解】

ex2019,x0f(x)，当x0时，函数单调递增，当x0时，函数为常数，

2020,x0fx24f(3x)需满足x243x，且3x0，解得x1.

故答案为：(1,).

【点睛】

本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 14、（1）x3y80，y4x；（2）【解析】

（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；

（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得. 【详解】

（1）直线l的普通方程为x3y80. 在曲线C的参数方程中，y12s4x， 所以曲线C的普通方程为y4x. （2）设点P3s,23s.

22225，3,23. 22点P到直线l的距离d3s26s823s15. 22当s1时，dmin55，所以点P到直线l的距离的最小值为. 22此时点P的坐标为3,23. 【点睛】

本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题. 15、2,3,5 【解析】

根据并集的定义计算即可. 【详解】

由集合的并集，知A故答案为：2,3,5 【点睛】

本题考查集合的并集运算，属于容易题. 16、[1,1)

B2,3,5.

【解析】

1x0x1f(x)要使函数有意义，需满足，即，解得1x1，故函数f(x)的定义域是[1,1)． 21x443xx0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）设AB中点为D，连接PD、CD，利用等腰三角形三线合一的性质得出PDAB，利用勾股定理得出

646. 27CDPD，由线面垂直的判定定理可证得PD平面ABC，再利用面面垂直的判定定理可得出平面PAB平面ABC；

（2）先确定三棱锥PABC的外接球球心O的位置，利用三角形相似求出外接球的半径，再由球体的体积公式可求得结果. 【详解】

（1）设AB中点为D，连接PD、CD， 因为APBP，所以PDAB. 又ACBC，所以CDAB，

又由已知ACB90，ACBC2，则AB22，所以ADBDCD又PAB为正三角形，且PDAB，所以PD2，.

6，

因为PC22，所以PC2CD2PD2，PDCD，

CDABD，PD平面ABC，

又PD平面PAB，平面PAB平面ABC；

（2）由于D是底面直角三角形ABC的斜边AB的中点，所以点D是ABC的外心， 由（1）知PD平面ABC，所以三棱锥PABC的外接球的球心O在PD上. 在RtPDC中，PC的垂直平分线与PD的交点即为球心O， 记PC的中点为点E，则OEPC. 由RtPEO与RtPDC相似可得

PEPD， POPC所以POPEPC22226. PD36所以三棱锥PABC外接球的体积为V266464327. 33

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，找出外接球球心的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

0.5x,0x20018、（1）y{0.8x60,200x400；（2）a0.0015，b0.0020；（3）见解析.

x140,x140【解析】

试题分析: （1）根据题意分段表示出函数解析式;（2）将y260代入（1）中函数解析式可得x400，即

Px4000.80，根据频率分布直方图可分别得到关于a,b的方程,即可得a,b;（3）x取每段中点值作为代表的用

电量,分别算出对应的费用y值,对应得出每组电费的概率,即可得到Y的概率分布列,然后求出Y的期望. 试题解析:（1）当0x200时，y0.5x；

当当200x400时，y0.52000.8x2000.8x60；

当当x400时，y0.52000.82001.0x400x140，所以y与x之间的函数解析式为

0.5x,0x200y{0.8x60,200x400.

x140,x140（2）由（1）可知，当y260时，x400，则Px4000.80，结合频率分布直方图可知

0.12100b0.30.8{，∴a0.0015，b0.0020

100a0.050.2（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550， 当x50时，y0.55025，∴Py250.1，

当x150时，y0.515075，∴Py750.2，

当x250时，y0.52000.850140，∴Py1400.3， 当x350时，y0.52000.8150220，∴Py2200.2，

当x450时，y0.52000.82001.050310，∴Py3100.15， 当x550时，y0.52000.82001.0150410，∴Py4100.05， 故Y的概率分布列为

Y P 25 0.1 75 0.2 140 0.3 220 0.2 310 0.15 410 0.05 所以随机变量X的数学期望

EY250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5

19、（2）（x﹣2）2+y2＝2．（2）（【解析】

（2）设圆心为M（m，0），根据相切得到

53，）．（3）存在，a 1244m2955，计算得到答案.

（2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0得到答案. （3）l的方程为y【详解】

（2）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5， 所以

1，计算得到答案. x24，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（2，0）

a4m2955，即|4m﹣29|＝2．因为m为整数，故m＝2．

故所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝2．

（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y， 整理得（a2+2）x2+2（5a﹣2）x+2＝0，

由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0，

55），所以实数a的取值范围是（，． 12121（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，

a1l的方程为yx24，即x+ay+2﹣4a＝0，

a即22a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞由于l垂直平分弦AB，故圆心M（2，0）必在l上， 所以2+0+2﹣4a＝0，解得a3533，故存在实数a ．由于，41244使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB. 【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 20、（1）证明见解析 （2）

3

6【解析】

（1）取AC中点F,连接FD,FB，得DFAC,ABBC，可得FAFBFC， 可证DFA≌DFB，可得DFFB，进而DF平面ABC，即可证明结论；

（2）设E,G,H分别为边AB,CD,BD的中点，连DE,EF,GF,FH,HG，可得GF//AD，GH//BC,EF//BC，可得FGH（或补角）是异面直线AD与BC所成的角，BCAB，可得EFAB，DEF为二面角CAB D的平面角，即DEF60，设ADa，求解FGH，即可得出结论. 【详解】

（1）证明:取AC中点F,连接FD,FB， 由DADC,则DFAC,

ABBC，则FAFBFC，

故DFA≌DFB，DFBDFA2，

DFAC,DFFB,ACFBF

∴DF平面ABC，又DF平面ACD，

故平面ABC平面ACD

（2）解法一:设G,H分别为边CD,BD的中点， 则FG//AD,GH//BC，

FGH（或补角）是异面直线AD与BC所成的角.

设E为边AB的中点，则EF//BC， 由ABBC,知EFAB.

又由（1）有DF平面ABC,DFAB，

EFDFF,AB平面DEF,DEAB.，

所以DEF为二面角CABD的平面角，DEF60， 设DADCDBa,则DFADCADa 2在Rt△DEF中，EFa33a 236从而GH13BCEFa 26在RtBDF中，FH又FG1aBD， 221aAD， 22从而在FGH中，因FGFH，

1GH3，

cosFGH2FG6因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为

3.

6

解法二:过点F作FMAC交AB于点M, 由（1）易知FC,FD,FM两两垂直， 以F为原点，射线FM,FC,FD分别为x轴，

y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Fxyz.

不妨设AD2，由CDAD,CAD30，

易知点A,C,D的坐标分别为A(0,3,0),C(0,3,0), D0,0,1

则AD (0,3,1)

显然向量k0,0,1是平面ABC的法向量 已知二面角CAB D为60，

设Bm,n,0，则m2n23,AB(m,n3,0) 设平面ABD的法向量为nx,y,z，

ADn03yz0 则mxn3y0ABn0n3令y1，则nm,1,3

cosk,n由

|kn|kn3n34m212

由上式整理得9n223n210， 解之得n3(舍)或n73 946734623B9,9,0CB9,9,0，

233cosAD,CB 623ADCB23ADCB因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为3. 6

【点睛】

本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 21、（1）12；（2）S12330 【解析】

（1）根据同角三角函数式可求得cosBACsinB，结合正弦和角公式求得sinBCAsinBACB，即可求得BCA2，进而由三角函数

（2）设ADx,DCy,根据余弦定理及基本不等式，可求得xy的最大值，结合三角形面积公式可求得SADC的最大值，即可求得四边形ABCD面积的最大值. 【详解】

（1）sinBACcosB5， 132125则由同角三角函数关系式可得cosBACsinB1， 1313则sinBCAsinBACB

sinBACcosBcosBACsinB

5512121， 13131313则BCA2，

所以ACABsinB13（2）设ADx,DCy,

1212. 13在DAC中由余弦定理可得AC2DA2DC22DADCcosADC，代入可得

144x2y2xy，

由基本不等式xy2xy可知144xy2xy， 即xy48，当且仅当xy43时取等号， 由三角形面积公式可得SADC221xysinADC 21348123 221SACB12530，

2所以四边形ABCD面积的最大值为S12330. 【点睛】

本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题. 22、（Ⅰ）2cos2sin，曲线C是以1,1为圆心，2为半径的圆；（Ⅱ）1,2. 【解析】

（Ⅰ）由曲线C的参数方程能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程． （Ⅱ）令1OA2cos2sin，2OB2cos12sinS12，利用诱导公，则222式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围； 【详解】

x12cos22解：（Ⅰ）由（为参数）化为普通方程为x1y12

y12sincos1sin1222，整理得2cos2sin

曲线C是以1,1为圆心，2为半径的圆. （Ⅱ）令1OA2cos2sin

2OB2cos2sin2sin2cos

22S1122cos2sin22cos2 21，2，cos21，12cos22，

33266ABO面积的取值范围为1,2

【点睛】

本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．