2018-2019学年安徽省马鞍山市第二中学高一下学期开学考试数学试题(解析版)

试数学试题

一、单选题

Bx|x1， 1．设集合UR（R为实数集），Ax|x0，则AICUB（ ）

A．x|0x1 B．x|0x1

C．x|x1

【答案】A

【解析】根据集合交集与补集运算,即可求得ACUB. 【详解】

集合UR,Ax|x0,Bx|x1 所以CUBxx1

所以ACUBxx0xx1x0x1 故选:A 【点睛】

本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题. 2．2343cos215（ ） A．33 B．1

33C．3 【答案】C

【解析】根据余弦二倍角公式,化简求cos215o,代入即可求解. 【详解】

根据余弦二倍角公式cos22cos21, 所以cos30o2cos215o1

则cos215ocos30o131242

代入式子可得2343cos215 第 1 页 共 19 页

D．x|x0

D．

13 2431

33423 3故选:C 【点睛】

本题考查了余弦二倍角公式的简单应用,三角函数求值,属于基础题.

x23x2,x23．已知函数fx，则f1f2（ ）

,x2xx1A．-1 【答案】C

【解析】根据分段函数解析式,先求得f2,再代入即可求解. 【详解】

B．0

C．2

D．3

x23x2,x2 因为函数fx1,x2xx1则f2213 212所以ff2f333322 故选:C 【点睛】

本题考查了分段函数的求值,属于基础题.

rrrrr4．已知向量a1,2，b2,.若a//2ab，则（ ）

A．-8 【答案】B

B．-4 C．2 D．4

rr【解析】根据向量的坐标运算,先表示出2ab,再由向量平行的坐标关系即可求得的

值. 【详解】

rr由向量的坐标运算,可得2ab21,22,4,4

rrr因为a∥2ab

第 2 页 共 19 页

rrr所以由向量平行的关系可设a=2ab

代入坐标可得1,24,4

414,解方程组可得即1

244故选:B 【点睛】

本题考查了向量共线基本定理的应用,向量平行的坐标关系及运算,属于基础题. 5．若角的终边过点P1,2，则sin（ ） 2C．25 5A．25 5B．5 5D．5 5【答案】D

【解析】根据终边所过点的坐标,可求得cos,再由诱导公式化简三角函数式即可求解. 【详解】

因为角的终边过点P1,2 则由三角函数定义可得cos15 514由诱导公式,化简sin 2cos故选:D 【点睛】

5 5本题考查了三角函数的定义,诱导公式化简三角函数式,属于基础题.

6．已知ABC的边BC所在直线上有一点D满足BD4CD，则AD可以表示为（ ）

uuuruuuruuuruuurr4uuur1uuuA．ADABAC

33uuur1uuur4uuurB．ADABAC

33uuur4uuur1uuurC．ADABAC

55【答案】A

uuur1uuur4uuurD．ADABAC

55第 3 页 共 19 页

uuuruuur【解析】根据D在BC所在直线上且满足BD4CD,可确定D的位置.由向量的线性运

算和平面向量基本定理,即可用AB,AC作为基底表示出AD. 【详解】

uuuruuuruuuruuuruuur因为D在BC所在直线上且满足BD4CD

所以可确定D的位置如下图所示:

根据向量的线性运算及平面向量基本定理可知

uuuruuuruuurADABBD

uuur4uuurABBC

3uuur4uuuruuurABACAB

3ur4uuur1uuABAC

33故选:A 【点睛】

本题考查了平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于基础题. 7．已知alog2A．abc 【答案】D

【解析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,即可比较大小. 【详解】

由指数函数与对数函数的图像与性质可知

11blog1，，c23，则a，b，c的大小关系为（ ） 1323B．bca C．bac D．acb

alog2blog1210 311log11 322第 4 页 共 19 页

0c213201

所以acb 故选:D 【点睛】

本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,函数值大小的比较,属于基础题.

x318．方程的根x0所在的区间为（ ）

42A．0,1 【答案】B

B．1,2

C．2,3

D．3,4

xx3【解析】将方程变形,构造函数fx4判断零点所在区间. 【详解】

1,根据函数单调性及零点存在定理即可2xx3将方程变形,并构造函数fx4x1 2xxx3x311因为y和y均为增函数,所以fx也为增函数 4422由函数解析式可得f00110

f11110 424170 441的零点在1,2中间 2xf22x3由零点存在定理可得fx4xx31即方程的根x0所在的区间为1,2

42故选:B 【点睛】

本题考查了方程的根与函数零点关系,函数零点的判断方法,注意在利用零点存在定理判断函数零点所在区间时,需判断函数零点的唯一性,即函数具有单调性,属于基础题. 9．函数yfx的定义域为1,2，则函数yf1xf1x的定义域为

第 5 页 共 19 页

（ ） A．1,3 【答案】C

【解析】根据抽象函数定义域的求法,可得关于x的不等式组,解不等式组即可求得函数

B．0,2

C．1,1

2 D．2,yf1xf1x的定义域.

【详解】

函数yfx的定义域为1,2,即1x2

11x2 所以函数yf1xf1x的定义域满足11x2解不等式组可得1x1

即函数yf1xf1x的定义域为1,1 故选:C 【点睛】

本题考查了抽象函数定义域的求法,关键在于对定义域概念的理解,属于中档题. 10．已知yfx是定义在R上的偶函数，当x0时，fxx2x，则不等式

2f2x10的解集为（ ）

13,A．U,

22C．,5U3, 【答案】A

【解析】根据偶函数性质及x0时的解析式,可求得yfx再R上的解析式.由偶函数图像特征即可得不等式,进而求得不等式f2x10的解集. 【详解】

因为yfx是定义在R上的偶函数,当x0时,fxx2x

233,B．,

22D．,3U3,

令x0,则x0 所以满足fxx2x

2而偶函数满足fxfx

所以当x0时, fxfxx2x

2第 6 页 共 19 页

x22x,x0 即fx2x2x,x0画出函数图像如下图所示:

由函数图像可知,若f2x10成立, 则满足2x12或2x12 解得x13或x 2213U, 22即f2x10的解集为,故选:A 【点睛】

本题考查了根据函数为偶函数求函数解析式,函数图像的画法,并由图像解不等式,属于中档题.

uuuruuurBAC60，AB3，AC4，11．在ABC中，且ABCD3，D是边AB上一点，

uuur则BD（ ）

A．1 【答案】B

【解析】根据题意,建立平面直角坐标系,写出各个点的坐标.由D在边AB上可设出D点

B．2

C．4

D．6

uuuruuuruuur坐标,再根据ABCD3即可求得D的坐标,进而利用两点间距离公式求得BD.

【详解】

在ABC中,BAC60,AB3,AC4,D是边AB上一点.建立平面直角坐标系如下图所示:

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则A0,0,C4,0,

而AE333 ,BE22333B所以2,2 直线AB的方程为y3x 可设Da,3a

uuur333uuur所以由向量的坐标运算可得AB2,2,CDa4,3a

uuuruuur333则由题意可得ABCD2,2a4,3a3

解得a1 213则D2,2

uuur13333则BD22,221,3

uuur所以BD132

故选:B 【点睛】

本题考查了平面向量在几何中的应用,利用建立平面直角坐标系的方法,计算向量的数量积求参数,并求得向量的模,属于中档题.

12．将函数fxsin2x的图象向左平移

个单位长度，得到函数ygx的3图象，若函数ygx的图象与函数ycos2x的图象关于直线x最小值为（ ）

第 8 页 共 19 页

6

对称，则的

A．

 6B．

 2C．

2 3D．

5 6【答案】A

【解析】根据三角函数的平移变换,先求得ygx的解析式.由两个函数关于x称,可知当x【详解】

把函数fxsin2x的图象向左平移可得gxsin2x6对

6

时两个函数的函数值相等,即可求得的表达式,进而求得的最小值.

个单位长度 32sin2x 33因为函数ygx的图象与函数ycos2x的图象关于直线x所以当x即sin26

对称

6

时两个函数的函数值相等

62cos2 36化简可得sincos1 32由正弦函数的图像与性质可知, sincos1 32则2k711,kZ 或2k6611,kZ 6所以当k1时,代入2k可得211取得最小值 662cos2x满足题意， 36当故选:A

6时，gxsin2x【点睛】

本题考查了三角函数图像的平移变化,三角函数的对称性及正弦函数的性质应用,属于中档题.

二、填空题

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13．已知幂函数yfx的图象过点2,2，则f3______. 【答案】3 【解析】先根据待定系数法求得函数yfx的解析式，然后可得f3的值． 【详解】

由题意设yfxx，

∵函数yfx的图象过点2,2， ∴

222，

12∴1， 21∴fxx2， ∴f333． 故答案为3． 【点睛】

本题考查幂函数的定义及解析式，解题时注意用待定系数法求解函数的解析式，属于基础题． 14．已知大小为【答案】

12的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 32. 3【解析】根据圆心角及弦长求得扇形的半径,进而求得扇形的弧长,即可由扇形面积公式求得扇形面积. 【详解】 因为圆心角为

 3圆心角所对的弦长为2,则扇形的半径为2 所以扇形的弧长为lr322 3所以由面积公式可得S1122lr2 2233故答案为:【点睛】

2 3第 10 页 共 19 页

本题考查了扇形的弧长及面积求法,属于基础题.

rrrrrrrrrrr15．已知向量a与b满足abab2a，则ab与ab的夹角为______.

【答案】

rrrrrrrr【解析】根据向量的运算可将abab化简得ab0,即ab.再根据

2. 3rrrrrrrrrrrabab2a即可求得a与b的夹角,即可求得ab与ab的夹角.

【详解】

rrrr因为abab,两边同时平方可得

r2rrr2r2rrr2rra2abba2abb,即ab0

rr所以ab

rr以a与b为长作矩形,如下图所示:

rruuurrruuur则abAC,abDB

rrrr所以COB即为ab与ab的夹角

rruuurr因为abAC2a

则CABDBA所以COB故答案为: 【点睛】

本题考查了平面向量的模长及夹角运算,向量在几何中的应用,属于基础题. 16．函数fxe【答案】4.

x【解析】根据题意,令fx0.分别画出函数ye,ysin2x的图像,即可判断函数

3

2 32 3xsin2x，x,2的零点个数为______个.

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零点个数. 【详解】 函数fxexsin2x,x,2的零点

即fx0,变形可得exsin2x

x画出ye,ysin2x的图像如下图所示:

由函数图像可知,当x时, ex0且ex0 结合函数ysin2x图像即可判断出fxe为4个 故答案为:4 【点睛】

本题考查了函数零点的定义,利用图像法判断函数零点个数,属于基础题. 17．函数fxcosx2sinx在x时取得最小值，则cos______. 【答案】xsin2x,在x,2的零点个数

5. 5【解析】根据辅助角公式化简,结合三角函数的性质即可求解. 【详解】

由辅助角公式化简函数可得fxcosx2sinx

5255cosxsinx5 55cosx,cos5 5第 12 页 共 19 页

当x2k,kZ时取得最小值. 由题意,当x时取得最小值 即2k,kZ 所以2k,kZ 则coscos2k

cos

cos5 5故答案为:【点睛】

5 5本题考查了辅助角公式化简三角函数式,当角度为非特殊角时三角函数值的求法,余弦函数的图像与性质的应用,综合性较强,属于中档题.

三、解答题

x18．已知函数ylgxx2的定义域为A，函数ya（a0且a1）（xA）

2的值域为B. （1）若a1，求AUB； 2（2）若AIB1,1，求a的值. 21或2. 21及集合A2【答案】（1）AUB2,4；（2）a【解析】（1）根据对数函数的性质可解一元二次不等式求得集合A,代入a可求得集合B,进而由集合的并集运算求得AUB.

x（2）分类讨论0a1与a1两种情况.根据函数ya单调性表示出集合B,再由

1AIB,1即可求得a的值.

2【详解】

（1）函数ylgxx2的定义域为A, 则由对数函数的性质可知x2x20

第 13 页 共 19 页

2解不等式可得集合A2,1,

函数ya（a0且a1）（xA）的值域为B.

x11当a时,可得y,x2,1

22x1B可得,4,

2由集合的并集运算可得AUB2,4.

x（2）当0a1时, 函数ya单调递减

由集合A2,1可得集合B的值域为Ba,a∵a21,AIB∴解得a2,

1,1, 21, 2x当a1时, 函数ya单调递增

由集合A2,1可得集合B的值域为Ba,a,

2而AIB同理：a∴a21,1 21, 22, 1或2. 2综上可知,a【点睛】

本题考查了对数函数与指数函数的图像与性质,分类讨论思想的综合应用,属于基础题. 19．已知函数fxsinxcosx，xR. （1）若fx2fx，求f（2）求函数yf2x的值；

x的单调递增区间. 12【答案】（1）

11252k,2kkZ. ；（2）656第 14 页 共 19 页

【解析】（1）根据fx2fx,代入可求得tanx的值.求得f齐次式的求法求解即可.

（2）根据辅助角公式,化简fx,代入可求得yf简,结合正弦函数的图像与性质即可求解. 【详解】

（1）∵fx2fx,

∴sinxcosx2sinx2cosx, 化简可得tanx ∴f22x的表达式,并根据

x的表达式并由诱导公式化1213x12sinxcosx12tanx2. 21tanx52sinxcosx 22sinxcosx1（2）∵fxsinxcosx2sinx,

4∴fx2sinx

412122sinx,

32sinx

3则由正弦函数的图像与性质可得y2sinx单调递增区间满足 332kkZ

2325112kx2kkZ, 解得66令

2kx故yf【点睛】

115x的单调递增区间为2k,2kkZ.

6126本题考查了三角函数式的化简求值,齐次式的求值方法,辅助角公式的应用,正弦函数的图像与性质的应用,属于中档题.

220．已知函数yfx是定义在R上的奇函数，当x0时，fxx2. x第 15 页 共 19 页

（1）求函数yfx的解析式；

（2）判断函数yfx在x0,1上的单调性，并用定义法证明.

22xx,x0【答案】（1）fx0,x0；（2）fx在x0,1上单调递减，证明见解

2x2,x0x析.

【解析】（1）令x0,则x0,根据奇函数性质可求得当x0时的解析式.即可得函数yfx的解析式;

（2）根据函数解析式可判断函数fx在x0,1上单调递减.根据定义法, 任取0fx1fx2,化简变形即可证明函数的单调性.

【详解】

（1）令x0,则x0, 所以fxx222x2, xx又由奇函数的性质可知fxfx, ∴x0时,fxx22, x22xx,x0. 故fx0,x02x2,x0x（2）fx在x0,1上单调递减.

证明:任取0xx12∵022, 故x1x20,0x1x22,x1x2第 16 页 共 19 页

则x1x220, x1x220, x1x2故fx1fx2x1x2x1x2即fx1fx2,

∴fx在x0,1上单调递减. 【点睛】

本题考查了分段函数解析式的求法,奇函数的性质及应用,利用定义证明函数的单调性方法,属于基础题.

21．已知O为ABC内一点，且满足OA2OB3OC0，延长AO交BC于点D.记ABa，ACb.

uuuruuuruuurruuurruuurruuurrr（1）试用a，b表示AO；

uuurBDr. （2）求uuuDCuuurBD3uuur1r1rr. 【答案】（1）AOab；（2）uuu32DC2uuurrr【解析】（1）根据向量的加法与减法的线性运算,化简即可用a,b表示AO;

ruuuruuuruuuruuu（2）由平面向量共线基本定理,可设BDDC和AOkAD.根据向量的线性运算化

uuurBDr. 简,结合（1）可得关于,的方程组,解方程组可求得,.即可求得uuuDC【详解】

（1）∵OA2OB3OC0,

uuuruuuruuurruuuruuuruuuruuuruuurr∴OA2ABAO3ACAO0,

uuuruuuruuur∴6AO2AB3AC,

uuur1r1r则AOab.

32uuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）设BDDC,则ADABACAD,

uuur1rr∴ADab,

11第 17 页 共 19 页

uuuruuurkrkrab, 设AOkAD111k313, 则2k112uuurBD3r. 即uuuDC2【点睛】

本题考查了平面向量基本定理的应用,平面向量加法与减法的线性运算,平面向量共线基本定理的应用,综合性较强,属于中档题. 22．已知函数fx2sinx2asinxcosx，xR. 6（1）若f2，求函数fx的解析式和最小正周期； 3（2）若f5，求函数gxfxsinxR的最大值. 343,02.

3,02【答案】（1）fxsin2x（2）gxmax1，；

6【解析】（1）将f2代入,即可解方程求得a的值.利用正弦和余弦的二倍角公式3及辅助角公式化简,即可求得解析式.再由周期公式即可求得最小正周期.

5f（2）将代入,即可解方程求得a的值.利用余弦的二倍角公式化简,即可求得34关于sinx的解析式.结合二次函数的性质,分类讨论的取值情况,即可求得gx的最大值. 【详解】 （1）∵f31a2, 324解得a23 第 18 页 共 19 页

∴fx2sinx223sinxcosx 61cos2x3sin2x

3131cos2xsin2x3sin2x

22sin2x1

6故fx最小正周期为. （2）∵f解得a351, a43243 则fx1111cos2x112sin2xsin2x, 22222112∴gxfxsinxsinxsinxsinx,

2224当当

20即0时,gxmax1210即0时,gxmax3,02.

3,02213, 2213211,

22故gxmax【点睛】

本题考查了三角函数的化简求值,正弦与余弦二倍角公式的用法,辅助角公式的应用,三角函数与二次函数的综合应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.

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