2021年四川省成都市中考数学真题试卷 解析版

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．﹣7的倒数是（ ） A．﹣

B．

C．﹣7

D．7

2．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）

A． B．

C． D．

3．2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾3亿千米的神秘火星，在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展．将数据3亿用科学记数法表示为（ ） A．3×105

B．3×106

C．3×107

D．3×108

4．在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（﹣4，2）

B．（4，2）

C．（﹣4，﹣2）

D．（4，﹣2）

5．下列计算正确的是（ ） A．3mn﹣2mn＝1 C．（﹣m）3•m＝m4

B．（m2n3）2＝m4n6 D．（m+n）2＝m2+n2

6．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）

A．BE＝DF

B．∠BAE＝∠DAF

C．AE＝AD

D．∠AEB＝∠AFD

7．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（ ） A．34 8．分式方程A．x＝2

+

B．35

＝1的解为（ ） B．x＝﹣2

C．x＝1

D．x＝﹣1

C．36

D．40

9．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）

A． B．

C． D．

10．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．4π

B．6π

C．8π

D．12π

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）

11．（4分）因式分解：x2﹣4＝ ．

12．（4分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．

13．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝ ． 14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 ．

三、解答题（本大题共6个小题，共分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）（1）计算：（2）解不等式组：

+（1+π）0﹣2cos45°+|1﹣

．

|．

16．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．

17．（8分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表． 课程

人数

篮球 足球 排球 乒乓球

m 21 30 n

根据图表信息，解答下列问题： （1）分别求出表中m，n的值；

（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；

（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．

18．（8分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据sin33°≈0.，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B． （1）求反比例函数的表达式；

（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．

20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为

，△ABC的面积为2

，求CD的长；

＝，求

（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若BF的长．

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

21．（4分）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）在第 象限．

22．（4分）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 ． 23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝

x+

与⊙O相交于A，B两点，

且点A在x轴上，则弦AB的长为 ．

24．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：

第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 ；

第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 ．

25．（4分）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 ．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答过程写在答题卡上）

26．（8分）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．

（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；

（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域

计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？

27．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′． （1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；

（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；

（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；

（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围．

2021年四川省成都市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．﹣7的倒数是（ ） A．﹣

B．

C．﹣7

D．7

【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案． 【解答】解：∵﹣7×（﹣）＝1， ∴﹣7的倒数是：﹣． 故选：A．

2．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【解答】解：从上面看，底层的最右边是一个小正方形，上层是四个小正方形，右齐． 故选：C．

3．2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾3亿千米的神秘火星，在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展．将数据3亿用科学记数法表示为（ ） A．3×105

B．3×106

C．3×107

D．3×108

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，

且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【解答】解：3亿＝300000000＝3×108． 故选：D．

4．在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（﹣4，2）

B．（4，2）

C．（﹣4，﹣2）

D．（4，﹣2）

【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．

【解答】解：点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（﹣4，﹣2）． 故选：C．

5．下列计算正确的是（ ） A．3mn﹣2mn＝1 C．（﹣m）3•m＝m4

B．（m2n3）2＝m4n6 D．（m+n）2＝m2+n2

【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．

【解答】解：A.3mn﹣2mn＝mn，故本选项不合题意； B．（m2n3）2＝m4n6，故本选项符合题意； C．（﹣m）3•m＝﹣m4，故本选项不合题意； D．（m+n）2＝m2+2mn+n2，故本选项不合题意； 故选：B．

6．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）

A．BE＝DF

B．∠BAE＝∠DAF

C．AE＝AD

D．∠AEB＝∠AFD

【分析】由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，再根据每个选项添加的条件逐一判断．

【解答】解：由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D， A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；

B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意； C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；

D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意； 故选：C．

7．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（ ） A．34

B．35

C．36

D．40

【分析】把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可． 【解答】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为30，34，36，40， ∴中位数为（34+36）÷2＝35． 故选：B． 8．分式方程A．x＝2

+

＝1的解为（ ） B．x＝﹣2

C．x＝1

D．x＝﹣1

【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：分式方程整理得：去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3， 解得：x＝2，

检验：当x＝2时，x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 故选：A．

9．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）

﹣

＝1，

A． B．

C． D．

【分析】设甲需持钱x，乙持钱y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝50，乙的钱+甲所有钱的＝50，据此列方程组可得． 【解答】解：设甲需持钱x，乙持钱y，

根据题意，得：，

故选：A．

10．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．4π

B．6π

C．8π

D．12π

【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵正六边形的外角和为360°， ∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°， ∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°， ∵正六边形的边长为6， ∴S阴影＝故选：D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）因式分解：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．

＝12π，

【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+2）（x﹣2）．

12．（4分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 100 ．

【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A＝36+＝100．

【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝，

则斜边的平方＝36+＝100． 故答案为100．

13．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝ 1 ．

【分析】由题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，即可求解． 【解答】解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0， 解得k＝1， 故答案为1．

14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 1+

．

【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，则CD＝DH＝1，进而求解。 【解答】解：过点D作DH⊥AB，则DH＝1， 由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，

则CD＝DH＝1，

∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B＝45°， 则△DHB为等腰直角三角形，故BD＝则BC＝CD+BD＝1+故答案为：1+

。

,

HD＝

，

三、解答题（本大题共6个小题，共分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）（1）计算：（2）解不等式组：

+（1+π）0﹣2cos45°+|1﹣

．

|．

【分析】（1）原式第一项开平方化简，第二项利用零指数幂的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，然后计算即可得到结果； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解：（1）原式＝2+1﹣2×＝2+1﹣＝2；

（2）由①得：x＞2.5， 由②得：x≤4，

则不等式组的解集为2.5＜x≤4． 16．（6分）先化简，再求值：（1+

）÷

，其中a＝

﹣3．

+

﹣1

+

﹣1

【分析】分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．

【解答】解：原式＝＝当a＝

，

﹣3时，原式＝

．

17．（8分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表． 课程 篮球 足球 排球 乒乓球

人数 m 21 30 n

根据图表信息，解答下列问题： （1）分别求出表中m，n的值；

（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；

（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．

【分析】（1）根据选择排球的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后计算出m、n的值；

（2）用360°乘以样本中“足球”所占的百分比即可；

（3）用总人数乘以样本中选择“乒乓球”课程的学生所占的百分比即可． 【解答】解：（1）30÷

＝120（人），

即参加这次调查的学生有120人， 选择篮球的学生m＝120×30%＝36， 选择乒乓球的学生n＝120﹣36﹣21﹣30＝33；

（2）360°×＝63°，

即扇形统计图中“足球”项目所对应扇形的圆心角度数是63°；

（3）2000×

＝550（人），

答：估计其中选择“乒乓球”课程的学生有550人．

18．（8分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据sin33°≈0.，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

【分析】设MH＝x，∠MEC＝45°，故EH＝x，则tan∠MBH＝进而求解。

【解答】解：延长BC交MN于点H，CD＝BE＝3.5, 设MH＝x，

＝

≈0.65，

∵∠MEC＝45°，故EH＝x，

在Rt△MHB中，tan∠MBH＝则MN＝1.6+6.5＝8.1≈8（米），

＝≈0.65，解得x＝6.5，

∴电池板离地面的高度MN的长约为8米。

19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B． （1）求反比例函数的表达式；

（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．

【分析】（1）根据一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），求出点A的坐标，再代入y＝，即可求得答案；

（2）过点A作AE⊥x轴于点E，先求出点B的坐标，再根据△ABD是以BD为底边的等腰三角形，可求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式，联立直线AD解析式和反比例函数解析式并求解即可得出点C的坐标． 【解答】（1）∵一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3）， ∴a+＝3， 解得：a＝2， ∴A（2，3），

将A（2，3）代入y＝（x＞0）， 得：3＝， ∴k＝6，

∴反比例函数的表达式为y＝； （2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E， 在y＝x+中，令y＝0，得x+＝0， 解得：x＝﹣2， ∴B（﹣2，0）， ∵E（2，0），

∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，

∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形， ∴AB＝AD， ∵AE⊥BD， ∴DE＝BE＝4， ∴D（6，0），

设直线AD的函数表达式为y＝mx+n， ∵A（2，3），D（6，0）， ∴

，

解得：，

∴直线AD的函数表达式为y＝﹣x+，

联立方程组：，

解得：（舍去），，

∴点C的坐标为（4，）．

20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为

，△ABC的面积为2

，求CD的长；

＝，求

（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若BF的长．

【分析】（1）连接OC,由AB为⊙O的直径，可得∠A+∠ABC＝90°，再证明∠ABC＝∠BCO,结合已知∠BCD＝∠A，可得∠ACB＝90°，从而证明CD是⊙O的切线； （2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,由△ABC的面积为2由∠BCM＝∠A得

＝

，可解得BM＝

＝;

＝

,可得CM＝2，

﹣1，根据△BCM≌△BCN，可得CN＝CM即

＝

＝

，解DN＝

＝2，再由△DBN∽△DCM,得2

﹣2，故CD＝DN+CN＝2

（3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,由CM⊥AB，EH⊥AB，可得＝＝

＝

,而

＝，故HE＝1，MF＝2HF,Rt△OEH中，OH＝2，可得AH＝OA﹣OH

﹣1)+2x+x+(+1．

﹣2)＝2

,可解得HF＝1,MF＝2,

﹣2，设HF＝x,则MF＝2x,则(

﹣1)+2＝

从而BF＝BM+MF＝(

【解答】（1）证明：连接OC,如图：

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°， ∵OB＝OC, ∴∠ABC＝∠BCO, 又∠BCD＝∠A，

∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠ACB＝90°， ∴OC⊥CD,

∴CD是⊙O的切线；

（2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,如图：

∵⊙O的半径为∴AB＝2

，

,

•CM＝2

，

，

∵△ABC的面积为2∴AB•CM＝2∴CM＝2，

，即×2

Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA, Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA, ∴∠BCM＝∠A, ∴tan∠BCM＝tanA,即∴

＝

,

＝

,

解得BM＝﹣1，(BM＝+1已舍去），

∵∠BCD＝∠A,∠BCM＝∠A, ∴∠BCD＝∠BCM,

而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC, ∴△BCM≌△BCN(AAS), ∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝

﹣1，

∵∠DNB＝∠DMC＝90°,∠D＝∠D, ∴△DBN∽△DCM, ∴即

＝＝＝

, ＝﹣2，

;

，

解得DN＝2

∴CD＝DN+CN＝2

（3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,如图：

∵CM⊥AB，EH⊥AB， ∴∵∴

＝

＝

,

＝， ＝

＝，

﹣1，

由（2）知CM＝2，BM＝∴HE＝1，MF＝2HF, Rt△OEH中，OH＝∴AH＝OA﹣OH＝设HF＝x,则MF＝2x, 由AB＝2

﹣2，

＝＝2，

可得：BM+MF+HF+AH＝2，

∴(﹣1)+2x+x+(﹣2)＝2,

解得：x＝1, ∴HF＝1,MF＝2, ∴BF＝BM+MF＝(

﹣1)+2＝

+1．

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

21．（4分）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）在第 一 象限．

【分析】因为在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，所以k＞0，所以点P（3，k）在第一象限．

【解答】解：∵在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大， ∴k＞0，

∴点P（3，k）在第一象限． 故答案为：一．

22．（4分）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 ﹣3 ．

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m﹣1＝0，则m2+2m＝1，根据根与系数的关系得出m+n＝﹣2，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根， ∴m2+2m﹣1＝0， ∴m2+2m＝1，

∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根， ∴m+n＝﹣2，

∴m2+4m+2n＝m2+2m+2m+2n＝1+2×（﹣2）＝﹣3． 故答案为：﹣3．

23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝且点A在x轴上，则弦AB的长为 2

．

x+

与⊙O相交于A，B两点，

【分析】设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，先求出A、C坐标，得到OA、OC长度，可得∠CAO＝30°，Rt△AOD中求出AD长度，从而根据垂径定理可得答案。 【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：

在y＝∴C(0,在y＝

x+

中，令x＝0得y＝

,

x+

＝0, ,

),OC＝x+

中令y＝0得

解得x＝﹣2, ∴A(﹣2,0),OA＝2,

Rt△AOC中，tan∠CAO＝∴∠CAO＝30°，

＝＝,

Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×∵OD⊥AB， ∴AD＝BD＝∴AB＝2

，

． ，

＝，

故答案为：2

24．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：

第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 1 ；

第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为

．

【分析】如图，过点F作FT⊥AD于T,则四边形ABFT是矩形，连接FN,EN,设AC交EF于J.证明△FTE∽△ADC,求出ET＝2,EF＝2＝32+x2,解方程求出x,可得结论。

【解答】解：如图，过点F作FT⊥AD于T,则四边形ABFT是矩形，连接FN,EN,设AC交EF于J．

,设A′N＝x,根据NF＝NE,可得12+(4﹣x)2

∵四边形ABFT是矩形， ∴AB＝FT＝4,BF＝AT, ∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝4,AD＝BC＝8,∠B＝∠D＝90° ∴AC＝

＝4

,

∵∠TFE+∠AEJ＝90°,∠DAC+∠AEJ＝90°, ∴∠TFE＝∠DAC, ∵∠FTE＝∠D＝90°, ∴△FTE∽△ADC, ∴

＝

＝

,

∴＝＝, ,

∴TE＝2,EF＝2

∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1, 设A′N＝x,

∵NM垂直平分线段EF, ∴NF＝NE,

∴12+(4﹣x)2＝32+x2, ∴x＝1, ∴FN＝∴MN＝故答案为：1，

＝。

＝

＝

, ＝

,

25．（4分）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是

．

【分析】先根据题意计算出该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为x+y﹣2z，再画树状图展示所有12种等可能的结果，找出此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2z+3y）﹣（3x+2y﹣4z）＝x+y﹣2z， 画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数为9，

所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率＝故答案为．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答过程写在答题卡上）

26．（8分）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．

（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；

（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？

【分析】（1）每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，根据“每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理”，可列方程，即可解得答案；

（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾37吨，每个B型点位每天处理生活垃圾30吨，根据题意列出不等式：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，可解得y的范围，在求得的范围内取最小正整数值即得到答案．

【解答】解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾（x+7）吨，根据题意可得： 12（x+7）+10x＝920， 解得：x＝38，

＝．

答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；

（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，

由（1）可知：《条例》施行前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾45﹣8＝37（吨），

《条例》施行前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则《条例》施行后，每个B型点位每天处理生活垃圾38﹣8＝30（吨），

根据题意可得：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10， 解得y≥

，

∵y是正整数，

∴符合条件的y的最小值为3，

答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．

27．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′． （1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；

（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；

（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求出AC＝4，再在Rt△A'BC中，求出A'C＝得AA'＝8;

＝4，从而可

（2）过C作CE//A'B交AB于E,过C作CD⊥AB于D,先证明CE＝BC＝3,再根据S△ABC

＝AC•BC＝AB•CD,求出CD，进而可得DE和BE及C'E,由CE//A'B得即可得BM＝

;

＝,

（3）过A作AP//A'C'交C'D延长线于P,连接A'C,先证明∠ACP＝∠A'C'D＝∠P，得AP＝AC＝A'C',再证明△APD≌△A'C'D得AD＝A'D,DE是△AA'C的中位线，DE＝A'C,要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，即可得DE最小值为A'C＝1．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°,AB＝5，BC＝3， ∴AC＝

＝4，

∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上, ∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5， Rt△A'BC中，A'C＝∴AA'＝AC+A'C＝8;

（2）过C作CE//A'B交AB于E,过C作CD⊥AB于D,如图：

＝4，

∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′， ∴∠A'BC＝∠ABC,BC'＝BC＝3， ∵CE//A'B, ∴∠A'BC＝∠CEB, ∴∠CEB＝∠ABC, ∴CE＝BC＝3，

Rt△ABC中，S△ABC＝AC•BC＝AB•CD,AC＝4，BC＝3，AB＝5， ∴CD＝

＝

，

＝

＝，

Rt△CED中，DE＝

同理BD＝， ∴BE＝DE+BD＝∵CE//A'B, ∴∴

＝＝

, ，

，C'E＝BC'+BE＝3+

＝

，

∴BM＝;

（3）DE存在最小值1，理由如下：

过A作AP//A'C'交C'D延长线于P,连接A'C，如图：

∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′， ∴BC＝BC',∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C', ∴∠BCC'＝∠BC'C,

而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC', ∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C, ∴∠ACP＝∠A'C'D, ∵AP//A'C'， ∴∠P＝∠A'C'D, ∴∠P＝∠ACP, ∴AP＝AC, ∴AP＝A'C',

在△APD和△A'C'D中，

,

∴△APD≌△A'C'D(AAS),

∴AD＝A'D,即D是AA'中点， ∵点E为AC的中点， ∴DE是△AA'C的中位线， ∴DE＝A'C,

要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，

∴DE最小为A'C＝1．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；

（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围．

【分析】（1）由抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点P的坐标为（2，﹣1），可得h＝2,k＝﹣1,又y＝a(x﹣2)2﹣1的图象过（0,0），即可解得a＝,从而得到抛物线表达为y＝(x﹣2)2﹣1＝x2﹣x;

（2）在y＝x2﹣x中，令y＝x得x＝x2﹣x,可得B(0,0)或B(8，8),分两种情况分别求C，①当B(0，0)时，过B作BC//AP交抛物线于C，此时∠ABC＝∠OAP，先求出直线AP解

析式为y＝x﹣2,再求得直线BC解析式为y＝x,由得C(6,3);②当B(8，8)

时，过P作PQ⊥x轴于Q,过B作BH⊥x轴于H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C,由tan∠OAP＝

＝,tan∠ABH＝

＝,可知∠OAP＝∠ABH,而H关于

AB的对称点M,有∠ABH＝∠ABM,故∠ABM＝∠OAP,C是满足条件的点，设M(x,y),根据AM＝AH＝4，BM＝BH＝8，可得

,解得M(,

),从而求得直线

BM解析式为y＝x+2,再解得C(﹣1,)；

（3）设BC交y轴于M，过B作BH⊥x轴于H，过M作MN⊥BH于N，证明△ABH∽

△BMN,可得＝,即＝，BN＝

＝4,故M(0,t2﹣t+4）,

设直线BM解析式为y＝ex+t2﹣t+4,将B(t,t2﹣t）代入得e＝﹣,可得直线BM解析式

为y＝﹣x+t2﹣t+4，由

得,解得点C

的横坐标为﹣t﹣

+4;当t＜0时，xC＝﹣t﹣+4＝（﹣

)2+12,可知

＝

时，xC最小值是12，故当t＜0时，点C的横坐标的取值范围是xC≥12． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点P的坐标为（2，﹣1）， ∴h＝2,k＝﹣1,即抛物线y＝a（x﹣h）2+k为y＝a(x﹣2)2﹣1,

∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过O，即y＝a(x﹣2)2﹣1的图象过（0,0）， ∴0＝a(0﹣2)2﹣1,解得a＝,

∴抛物线表达为y＝(x﹣2)2﹣1＝x2﹣x; （2）在y＝x2﹣x中，令y＝x得x＝x2﹣x, 解得x＝0或x＝8, ∴B(0,0)或B(8，8),

①当B(0，0)时，过B作BC//AP交抛物线于C，此时∠ABC＝∠OAP，如图：

在y＝x2﹣x中，令y＝0,得x2﹣x＝0， 解得x＝0或x＝4, ∴A(4,0),

设直线AP解析式为y＝kx+b,将A(4,0)、P(2，﹣1)代入得：

,解得

,

∴直线AP解析式为y＝x﹣2, ∵BC//AP,

∴设直线BC解析式为y＝x+b',将B(0，0)代入得b'＝0, ∴直线BC解析式为y＝x,

由得（此时为点O，舍去）或,

∴C(6,3);

②当B(8，8)时，过P作PQ⊥x轴于Q,过B作BH⊥x轴于H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C,连接AM,如图：

∵P(2，﹣1),A(4，0), ∴PQ＝1，AQ＝2， Rt△APQ中，tan∠OAP＝∵B(8,8),A(4,0), ∴AH＝4,BH＝8, Rt△ABH中，tan∠ABH＝∴∠OAP＝∠ABH, ∵H关于AB的对称点M, ∴∠ABH＝∠ABM,

∴∠ABM＝∠OAP,即C是满足条件的点， 设M(x,y),

∵H关于AB的对称点M, ∴AM＝AH＝4，BM＝BH＝8， ∴

, ＝, ＝,

两式相减变形可得x＝8﹣2y,代入即可解得(此时为H，舍去）或,

∴M(,),

),B(8，8)代入得;

设直线BM解析式为y＝cx+d,将M(,

,解得,

∴直线BM解析式为y＝x+2,

解得或（此时为B,舍去），

∴C(﹣1,),

综上所述，C坐标为（6,3）或（﹣1，）；

（3）设BC交y轴于M，过B作BH⊥x轴于H，过M作MN⊥BH于N,如图：

∵点B的横坐标为t， ∴B(t,t2﹣t）,又A(4，0)，

∴AH＝|t﹣4|,BH＝|t2﹣t|,OH＝|t|＝MN, ∵∠ABC＝90°,

∴∠MBN＝90°﹣∠ABH＝∠BAH, 且∠N＝∠AHB＝90°， ∴△ABH∽△BMN,

∴＝,即＝＝4,

∴BN＝

∴NH＝t2﹣t+4, ∴M(0,t2﹣t+4）,

设直线BM解析式为y＝ex+t2﹣t+4, 将B(t,t2﹣t）代入得t2﹣t＝et+t2﹣t+4, ∴e＝﹣,

∴直线BC解析式为y＝﹣x+t2﹣t+4，

由得,

解得x1＝t(B的横坐标）,x2＝﹣∴点C的横坐标为﹣t﹣当t＜0时， xC＝﹣t﹣＝(＝（∴

)2+(﹣＝

+4 )2+4 )2+12,

+4;

＝﹣t﹣+4,

时，xC最小值是12，此时t＝﹣4,

∴当t＜0时，点C的横坐标的取值范围是xC≥12．