暑假初二升初三数学衔接班预习教材(完整版)

第一讲 一元二次方程的解法（一）

【基础知识精讲】

1．一元二次方程的定义：

只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未

知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）

2．一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 3．一元二次方程的解法：

⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。 (2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；

② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m）2=n的形式；

⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，

不能随便约去（x＋4）.

②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．

【例题巧解点拨】

（一）一元二次方程的定义：

y212220中1 ②2x5xyy0 ③7x10 ④例1：1、方程①2x23x2一元二次方程是 .

A. ①和②； B.②和③ ； C. ③和④； D. ①和③

2、要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________. A．a≠0 B．a≠3

C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0

3、若（m+1）x+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________． （二）一元二次方程的一般形式：

例2：一元二次方程(x1)(x2)2(x1)的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。 （三）一元二次方程的解法:

例3:判断下列括号里的数哪个是方程的解。 （1）3x2x(1,2,0) (2)x250(5,5,4)

拼搏的你，背影很美！

222m(m2)1努力的你，未来可期!

例4:若x1是关于x的一元二次方程axbxc0(a0) 的一个根， 求代数式2008的值。 （abc）

例5:解方程：

用直接开平方法解一元二次方程：

2（1）x250 （2） 1600(2x1)900

22（3）y3 （4）

21(2x1)280） 2用配方法解一元二次方程：

2（1）（2012 荆州）x4x30 （2）x212x150

（3）4x4x116 （4）2x6x1

例6:（开放题）关于x的方程axbx3x1一定是一元二次方程吗？若是，写出一个符合条件的a值。

拼搏的你，背影很美！

2222努力的你，未来可期!

【随堂练习】

A组

一、填空题: 1.

在

4(x1)(x2)5,

x2y21,5x2100,2x28x0，

x23x40,

12222x23,a2，3x12x3x，(x3)(2x1)2x中，是一x元二次方程有_________个 。

2.关于x的方程是(m–1)x+(m–1)x–2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.

3.把方程3x(x1)(x2)(x2)9化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.

4．关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0, 则a的值是___________.

5.x3x____(x_____); 2x6x____2(x_____)

6. 一元二次方程axbxc0若有两根

222222

2

1和－1,那么

abc________,abc 。

二、按要求解下列方程:

21.(2a5)3（直接开平方法） 2.x6x30(配方法)

22

B组

一、填空题:

1.当m_____时, 关于x的方程(m2)xmmx80是一元二次方程. 2.如果关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时方程为____________方程． 3.已知yx25x6,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.

24.当a4b2c0时,则axbxc0的解为____________________.

225. 方程x2x30的解是_______________________

拼搏的你，背影很美！

2努力的你，未来可期!

二、用配方法解下列方程:

1.(x1)(x3)12 2．(2x3)2(2x3)10

2(2a1)20 3．4x4x10 4.x(2a1)x422

三、解答题。

1．（2012 昆明）已知a是方程x2004x10的一个根，试求a2003a的值。

2．（学科内综合题）一元二次方程axbxc0的一个根是1，且a,b满足等式

2222004a21ba22a1，求此一元二次方程。

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

家庭作业

第一部分：

1．（2012教材1+1）下列方程，是一元二次方程的是（ ）

22A. 9x6x80 B. 5a60 C. 4x7y10 D. x6x80

22.（2007，广州）方程5a6a8化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）

A. 5,6,-8 B. 5，-6，-8 C. 5，-6,8 D. 6,5，-8

第二部分：

3.（2012，哈尔滨）若关于x的方程（k1）x2xk10的一个根是0，则 k= 。

4.(2011，山西)请你写出一个有一根为1的一元二次方程： 。 5.（2009，丽水）用配方法解方程x4x5时，方程的两边同加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式。 第三部分：

6.解下列方程：

2（1）(x2)(6x)(直接开平方法) （2）（2012，义乌）x2x20（用配方

222222法）

（3）（2011，兰州）用配方法解次方程：2x13x

2（3a1）x6ax30是一元一次7.（2012，潮州）当a为何值时，关于x的方程

方程？当a为何值时，原方程是一元二次方程？

2

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

第二讲 一元二次方程的解法（二）

【基础知识精讲】

一元二次方程的解法： ⑴ 直接开平方法： (2) 配方法： ⑶ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．

2bb4ac 2x一元二次方程的求根公式是(b－4ac≥0) 2a应用求根公式解一元二次方程时应注意：

①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；

④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．

(4) 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论

根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．

注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，

不能随便约去（x＋4）

②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．

(5)换元法：

【例题巧解点拨】

（一）知识回顾

例1：对于关于x的方程(xm)n,它的解的正确表达式是（ ） A.用直接开平方法，解得xn B.当n0时，xm例2 ：用配方法解方程：axbxc0(a0)（探索求根公式）

（二）用公式法解一元二次方程 例3：用公式法解方程：

（1）x3x20 （2）(x1)(x2)2x5

拼搏的你，背影很美！

222n

C．当n0时，xnm D.当n0时，xnm

努力的你，未来可期!

练习：（1）x2x80 （2）2x7x20

（三）用因式分解法解一元二次方程 例4：利用因式分解解方程：

（1）x3x20 (2) 6x7x10

22 练习：(1) x3x (2) x2x80

例5：用适当的方法解下列方程：

（1）y4y40 （2）3(x5)2(5x)

2（3(x2)(x1)10） （4）x2x20

222222 【同步达纲练习】

A组

一、按要求解下列方程:

（x-）1.

532642（直接开平方法） 2. x7x60(因式分解法) 81拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

3. x6x30(配方法) 4. 2xx30 (求根公式法)

二、用适当的方法解下列各题:

5．(x1)(x3)12 6．(x2)6x

7．(2x3)3(2x3)40 8.x70x8250

三、填空题:

21. 方程:①x30, ②9x12x10, ③12x22222221225x ,

④2(5x1)3(5x1),较简便的解法_________。 A .依次为直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法

B.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法 C. 依次为因式分解法,公式法,配方法和直接开平方法 D. ①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法

2.(2009 云南) 一元二次方程5x2x0的解是_____________________。

3．（2012东营）设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且(ab)(ab1)12，则这个直角三角形的斜边长为 。

2

4．已知三角形的两边长分别是3和4,笫三边的长是方程x－6x+5=0的根,三角形的形状为_________。

5. 方程x2x30的解是_________________________。

拼搏的你，背影很美！

2222222努力的你，未来可期!

B组

一、解下列各方程:

1.3x2(a2b)xba0 2.x(2a1)xaa0

二、解答题:

1.当x取何值时，代数式x3x2的最大值，并求出这个最大值。

2.比较代数式2x6x8与x8x的大小。

3. 已知最简二次根式2x2x与4x2是同二次根式项,且x为整数，求关于m的方程xm2m20的根。

拼搏的你，背影很美！

222222222努力的你，未来可期!

家庭作业

第一部分：

1．（2010，云南）一元二次方程5x22x0的解是（ ）

A．x1 = 0 ，x2 =

2552 B.x1 = 0 ，x2 =C．x1 = 0 ，x2 = D．x1= 0 ，x2 = 52 2522. （2011，东营）若n（n0）是关于x的方程xmx2n0的根，则m+n的值为（ ） A.1 B.2

第二部分：

C.-1 D.-2

3. (2012,南充)方程(x3)(x1)x3的解是 。

4.（2012，青海）方程x9x180的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 。

5. (2010,深圳)用配方法将代数式a2+4a-5变形，结果正确的是 。

第三部分：

6.解下列方程： （1）（2012，新疆）解方程：(x3)4x(x3)0．(分别用公式法和因式分解法)

7. （2011，定西）在实数范围内定义运算“”，其法则为：abab，求方程（43）x24的解．

2222拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

第三讲 一元二次方程根的判别式

【基础知识精讲】

1．一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式: b4ac

⑴ 当0时,方程有两个不相等的实数根； (2) 当0时,方程有两个相等的实数根； ⑶ 当0时,方程没有实数根。 以上三点反之亦成立。

2．一元二次方程有实数根0

注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；

(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明b4ac恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方

式+正数”的形式。

22【例题巧解点拨】

例1：一元二次方程axbxc0求根公式为_________________________( 注意条件). 2.方程xkx10的根的情况是（ ）

A．方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根

C.方程没有实数根 D.方程的根的情况与k的取值有关

2

3.若一元二次方程 2x（kx－4）－x＋6 ＝ 0 无实数根，则k的最小整数值是（ ） A.－1 B.2 C.3 D.4

2

4.若关于x的方程ax+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b等于( )

A.-1或2 B.1或

2211 C.- 或1 D.-2或1 222

5.若关于y的一元二次方程ky-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )

7777 B.k≥- 且k≠0 C.k≥- D.k> 且k≠0 444412例2：已知关于x的方程x(2k1)x4(k)0。

2（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；

（2）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，

A.k>-求△ABC的周长。

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

【同步达纲练习】

A组

一、选择(填空)题：

1.方程4x3(4x3)中，△= ，根的情况是 。 2.（2007，巴中）一元二次方程x2x10的根的情况为（ ）

Ａ．有两个相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根

222 Ｂ．有两个不相等的实数根

Ｄ．没有实数根

3.一元二次方程(m2)x4mx2m60只有一个实数根，则m等于 （ ） A. 6 B. 1 C. 6或1 D. 2

4．下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（ ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0

5.一元二次方程(1k)x2x10有两个相等的实根数，则k•的值是 ． 6.若方程kx–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 .

7.若关于x的一元二次方程xbxc0没有实数根，则符合条件的一组b，c的实数值可以是b= ，c= ．

8.当k 时，x2(k1)xk5是完全平方式. 三、解答下列各题

9.不解方程，判定下列方程根的情况。

2（1）3x4x50 （2）x(k2)x10

2222

22

10. 已知方程ax4x10，则：

①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？ ②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？ ③当a取什么值时，方程没有实数根？

拼搏的你，背影很美！

2努力的你，未来可期!

11.求证：不论m为何值，方程2x(4m1)xmm0总有两个不相等的实数根。

22B组

1.（2009,潍坊）关于x的方程(a6)x8x60有实数根，则整数a的最大值是( ） A.6 B.7 C.8 D.9

2.（2011 ,佳木斯）若关于x的一元二次方程nx2x10无实数根，则一次函数

22y(n1)xn的图像不经过（ ）象限。

A.一 B.二 C.三 D.四

3.（2012, 荆门）关于x的方程ax(a2)x20只有一解（相同的解算一解），则 a的值为（ ）

A.a =0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2

2x24.已知3x2x30，求4的值。 2xx12

5.设方程x2(1a)x(3a4ab4b2)0有实根，求a,b的值。

拼搏的你，背影很美！

222努力的你，未来可期!

6.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x-1)-2ax+c (x+1)=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形形状，说明理由.

7.如果a,b,c,d都是不为0的实数，且满足等式adbd2abd2bcdbc0，

求证：bac

28.阅读材料：为解方程(x1)5(x1)40，我们可以将x1看着一个整体，然2后设x1=y，① 那么原方程可化为y5y40，解得y11,y24。当y=1时，

222222

2222222x211，∴x22，∴x2；当y=4时，x214，∴x25，∴x5；

故原方程的解为x12,x22,x35,x45 。

解答问题：（1）上述解答过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了______________法达到解方程的目的，体现了转化思想； 利用以上知识解方程xx60

42拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

家庭作业

第一部分：

1．（2007，成都）下列关于x的一元二次方程中，有两个实数根的是（ ）

A．x40 B. 4x4x10

222

C．xx30 D．x2x-10

222.（2012，荆门）关于x的方程ax，（a2）x20只有一解（相同解算一解）

则a的值为（ ）A．a=0 B. a=2

2

C．a=1 D．a=0或a=2

3.（2009，成都）若关于x的一元二次方程kx2x10有两个不相等的实数根，

则k的取值范围是（ ） A．k1 B. k1且k0

2C．k1 D．k1且k0

（a6）x8x60有实数根，则整数a的最大值是4.（2010，潍坊）关于x的方程

（ ） A．6 B.7C．8 D．9

25. （2011，东营）若n（n0）是关于x的方程xmx2n0的根，则m+n的值为（ ） A.1 B.2 第二部分：

C.-1 D.-2

226. (2008,天津) 当m= 时，关于x的方程2x(4m1)x12m0有两个相等的实数根。

7.（2012，北京）若关于x的一元二次方程x2xk0没有实数根，则k的取值范围是 ． 第三部分：

8.（2012，潮州）当m为何值时，关于x的一元二次方程x4xm的实数根，此时的两个实数根是多少？

2210有两个相等2拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

第四讲 一元二次方程根与系数的关系

【基础知识精讲】

1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：

b2x、xxx2是一元二次方程ax＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则12设1a，

ca

x1x22．设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，

bxx021a则：(1)x10,x20时，有 cxx012abxx012a(2)x10,x20时，有xxc012a

c(3)x10,x20时，有x1x20

a2x(x1x2)xx1x20 x、x2为根的一元二次方程3．以两个数1（二次项系数为1）是：

【例题巧解点拨】

1．探索韦达定理

例1：一元二次方程axbxc0(a0)的两根x1,x2为_______________， 求x1x2，x1x2的值。

2．已知一个根，求另一个根.

例2：已知2+3是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。

拼搏的你，背影很美！

2努力的你，未来可期!

3．求根的代数式的值

2

例3：设x1，x2是方程x-3x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1) x1x24+x14x23；

4．求作新的二次方程

例4：1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.

2．已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个

一元二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+1

3

(2)x2x1x1x2

5．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。

13例5：1、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为，那么常数项应改

9为 。

2、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足

(1)(1)1

9，求m的值。 100拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

【同步达纲练习】

A组

1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1·x2= 。

2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1·x2= ；

11 ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；｜x1－x2｜x1x2= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 _________________ 。 4、关于x的方程2x+(m–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.

2

5、若x1 =32是二次方程x+ax+1=0的一个根，则a= ，该方程的另一个根x2 =

2

2

_____.

6、方程2x23xm0的一个根为另一个根的2倍，则m= . 7、已知方程x(k1)xk0的两根平方和是5，则k= . 28、已知方程3x25x10的两个根分别是x1，x2,则(x1x2) . 29、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2，且m= 。

113，则x1x2410、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍。

11、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，求k的值。

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

B组

1、（2009 茂名）设x1,x2是关于x的方程x4xk10的两个实数根，那么是否存在实数k，使得x1x2x1x2成立？请说明理由。

2、（2009 淄博）已知设x1,x2是关于x的方程x2xa0的两个实数根，且

32x12x232 ，（1）求x1，x2及a的值；（2）求x13x12x1x2的值。

22拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

家庭作业

第一部分： 1.（2010年四川省眉山）已知方程x25x20的两个解分别为x1、x2，则x1x2x1x2的值为( )

A．7 B．3 C．7 D．3 2.（2012，济南）若x1，x2是一元二次方程x5x60的两个根，则x1+x2的值是（ ）

A．1 B．5 C．5 D．6

3.（2012，烟台）设a，b是方程xx20090的两个实数根，则a2ab的值为（ ）

A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 4.（2010，包头）关于x的一元二次方程xmx2m10的两个实数根分别是x1、x2，

222且x1x27，则(x1x2)的值是（ ）C

2222A．1 B．12 C．13 D．25 第二部分：

22

5.(2010年安徽省芜湖市)已知x1、x2为方程x＋3x＋1＝0的两实根，则x1＋8x2＋20＝__________．

2

6.（2012，兰州）阅读材料：设一元二次方程ax+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则两

bc，x1·x2＝.根据该材料填空：已aaxx2

知x1、x2是方程x+6x+3＝0的两实数根，则2+1的值为 ．10

x1x2根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝－第三部分：

7.（2011，潍坊）已知x1,x2是方程x22xa0的两个实数根，且x12x232．

(1)求x1,x2及a的值； (2)求x133x122x1x2的值．

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

第五讲 列一元二次方程解应用题

【基础知识精讲】

1．一元二次方程的一般形式______________________________

2．解方程的常见方法_________________________________________________ 3．列方程解应用问题的步骤：

①审题， ②设未知数， ③列方程， ④解方程， ⑤答

列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验．

【知识巩固】

1．方程x(2x－1)=5(x+3)的一般形式是___________，其中一次项系数是_________，二次项系数是_________，常数项是_________. 2.解下列方程: （1）

3．若关于x的方程(m2)xm112 （2）(x28x)2x28x12 xx2mx10是一元二次方程,求m的值.

【例题巧解点拨】

例1：有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．

2

例2：如图，有一面积为150m的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少？

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

例3：某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？

例4：将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？

例5：已知直角三角形的周长是25,两直角边分别是a,b,若斜边上的中线长是1,则无论a,b为何值时,这个 直角三角形的面积都为一定值,求这个定值.

练习： (1)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500kg,销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg,针对这种水产品情况,请解答以下问题.

①当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润. ②设销售单价定每千克x元，月销售利润y元,求y与x的关系式.

③商品想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

例6.一矩形花园,长比宽长10米,在花园中间开条纵横贯通的十字路.十字路的面积共6000平方米.园外面再修一圈路把花园围起来,所有路的宽都相同.如果外面一圈路的外周长是1300米,求路宽与花园宽.

例7、如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动.

2

（1）P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm？ （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？

练习：.如图所示,在△ABC中,∠B=90,点P从A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动.

(1)如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，使△PBQ的面积等于8㎝？ （2）如果点P、Q分别从A、B同时出发，并且点P到点B后又继续在BC边上前进，点Q到C后又继续在CA边上前进，经几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6㎝？

拼搏的你，背影很美！

220CQ8cmAP6cmB努力的你，未来可期!

【同步达纲练习】

A组

1.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用作购物,剩下的1000元及所得利息又全部按一年定期存入银行.如果存款的利率不变,到期后又可得本金和利息共计1320元.求年利率.

2.已知斜边为10的直角三角形的两条直角边a、b为方程xmx3m60的两个根。

①求m的值

②求以该直角三角形的面积和周长为根的一元二次方程。

3.如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条互相垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为280m,求道路的宽?

22B组

4.某农户2000年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2005年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8

(1)根据样本平均数估计该农户2005年水果的总产量是多少?

(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪 种出售方式合理?为什么?

(3)该农户加强果园管理,力争到2007年三年合计纯收入达57000元,求2006年,2007年平均每年增长率是多少?

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

家庭作业

第一部分：

1.（2010绵阳）某校初三甲、乙两班同学向水灾地区捐款的总数为3600元，已知甲班比乙班少5人，但平均每人比乙班多捐5元，结果两班的捐款数相同，求甲、乙两班平均每人的捐款数。

第二部分：

2. （2012锦州）已知一个矩形和一个正方形的面积相等，它们的周长之和为108，且矩形的长比宽多18，求矩形的长和宽以及正方形的边长

第三部分：

3.（2012通州）某商店如果将进货为8元的商品每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间的摸索,该店主发现这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,每降价0.5元,其销售量就增加10件.

①你能帮助店主设计一种方案,使每天的利润达到700元吗?

②将售价定为每价多少元时,能使这天所获利润最大?最大利润是多少?

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

第六讲 正弦与余弦（1）

【基础知识精讲】

一、 正弦与余弦：

1、 在ABC中，C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记

作sinA，

锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA.

A的对边A的邻边cosA.

斜边斜边若把A的对边BC记作a，邻边AC记作b，斜边AB记作c，

ab则sinA，cosA。

cc2、当A为锐角时， 0sinA1，0cosA1（A为锐角）。

sinA二、 特殊角的正弦值与余弦值：

231， sin45， sin60．

222321cos30， cos45， cos60．

22200三、 增减性：当090时，

sin随角度的增大而增大；cos随角度的增大而减小。

【例题巧解点拨】

例1：在图1中求出RtABC中的sinA、cosB的值，在图2中求出RtABC中的cosA、cosB的值

sin30

例2：求下列各式的值：

（1）sin30cos30； （2）2sin45



1cos60． 2sin30 （3）． (4) sin30cos45cos30sin45

cos30

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

例3：（1）若sinA1，则锐角A_____； 22（2）若cosA，则锐角A_____.

23（3）若sinA，则锐角A____．

23（4）若cosB，则锐角A_____

2（5）已知ABC中，C90，AB3BC，cosB=__________

【同步达纲练习】

A组

一、填空题：

1. cos30sin30___________，

1sin cos 。 213、若sin，且090，则=_______，

23已知sin，则锐角=__________。

24．在RtABC中,C90,A60,,则cosB_________

2.

5．在ABC，C90,AC3,AB5,则cosB_________ 6．RtABC中,C90,BC3,AB5,则sinA_________

7．在RtABC中，C90，3a3b，则A=_________，sinA=_________ 8．如图，已知在RtABC中,C90,AB5,sinA二、选择题：

9．2sin30的值是（ ）

3,则BC_________ 531 B．1 C． D．3

2210．cos30的值是（ ）

321A． B． C． D．3

22211．在ABC，C90，AC=6，BC=8，则sinA（ ）

4334（A） （B） （C） （D）

554312．在ABC中，C90，AC5，AB13，则cosB等于（ ）

125510A． B． C． D．

1313121313．在RtABC中，C90，AC1，AB2，则B为（ ） A．30 B．45 C．60 D．90

A．

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

14．在RtPMN中，PRt，则sinM( A．

)

PNPMPNPM B． C． D． PMPNMNMN15．在RtABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值（ ）

A 都没有变化 B 都扩大2倍 C 都缩小2倍

2D 不能确定

16．在ABC中，若sinA23cosB0，A，B都是锐角，则C的度

22数是（ ）

A 75 B 90 C 105 D 120

三、求下列各式的值： 17．12sin30cos30 18．

19．(2sin302sin45)(cos30sin45)(sin60cos45)

四、解答题：

20．在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a24,c25,b=7。

求sinA,cosA,sinB,cosB.

拼搏的你，背影很美！

12sin60sin45sin30cos30。 22努力的你，未来可期!

B组

1．如图，在RtABC中,ACBRt,CDAB于点D，AD＝4，sinACD4, 5求CD、BC的值。

2.比较大小：sin23°______sin33°;cos67.5°_________cos76.5°。

3、如图，在Rt△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠C=90°。

sinA=__________；cosB=___________；则sinA________ cosB

cosA=_________；sinB=____________；则cosA________ sinB

思考：sin(90°-)=____________；cos(90°-)=_______________。 4、若30°<<<90°，化简(coscos)cos

231cos。 2拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

家庭作业

第一部分：

1.（2010年湖南郴州市）1．计算2sin45°的结果等于( )

1(A)2 (B)1 (C)2 (D)

222．（2010年怀化市）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

4，则cosB的值等于（ ） 55343A． B. C. D.

5554第二部分：

3.（2012红河自治州）13. 计算：12+2sin60°=

0骣1÷ç4.（2011金华）3274cos30°； 6.（2010郴州）+8+1-2-2sin60鞍cos60 ÷ç÷ç桫20-1

第三部分：

5.（2012年兰州）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.

（1）求新传送带AC的长度； （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，

3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)

第7题图

第七讲 正弦与余弦（2）

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

【基础知识精讲】

1、锐角的正弦值随角度的增加（或减小）而增加（或减小）；锐角的余弦值随角度的增加（或减小）而减小（或增加）。

2、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．

． 3、sinAcos(90A),

4、

角度a 函数 0° 30° 45° 60° 90° cosAsin(90A) sina cosa sin2Acos2A1

【例题巧解点拨】

例1：如图，在Rt△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠C=90°。 sinA=__________；cosB=___________；则sinA________ cosB

cosA=_________；sinB=____________；则cosA________ sinB

思考：sin(90°-)=____________；cos(90°-)=_______________。 练习：（1）已知sinA

（2）、已知cos4760.6807，则sin4254=___________。

（3）、已知sin350.5736，则cos______0.5736。

（4）、如果A为锐角，且cosA1，且B90A，则cosB=________； 21，那么（ ） 5A．0A30 B．30A45 C．45A60 D．60A90

（5）．当锐角A45时，cosA的值（ ）

A．小于

2233 B．大于 C．小于 D．大于

2222拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

例2：已知：∠A是锐角，求证：sinAcosA1

练习：（1） 如果是锐角，且sinsin541，那么的度数为（ ） A．45° B．46° C．36° D．26° （2）．如果是锐角，且cos22224，那么cos(90)的值是（ ） 54331A． B． C． D．

5554（3）．在RtABC中，C90，下列式子不一定成立的是（ ）

A．sinAsinB B．cosAsinB C．sinAcosB D．sin(AB)sinC

（4）．在RtABC中，C90，下列等式一定成立的是（）

A．sinAsinB B．sinAcosA C.sin(AB)cosC D．sinAcosB

例3：在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c。C为直角 （1）已知a32,B60，求c。 （2）已知c20,a10，求A。

例4、计算：sin1sin2sin3sin88sin89

2020202020

【同步达纲练习】

A组

一、填空题:

1．比较大小：sin47________sin46.， cos48______cos50 2． 已知sin36cos(090)，则=_________度

3． 将cos21，cos37，sin41，cos46的值，按由小到大的顺序排列是

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

_____________________

4．在ABC中，C90，若cosB5．如果是锐角，且cos12，则sinB=________ 54，那么sin(90)的值为_________. 56．在RtABC中，C90，如果A30，那么sinAcosB_________.

227．sin30cos30的值为__________， sin72sin18________

22二、选择题：

1，那么（ ） 2A．大于60 B．大于30 C．小于30 D．小于60

39．如果A是锐角，且sinA，那么（）

4A．0A30 B．30A45 C．45A60 D．60A90

8．已知为锐角，且cos的值小于10．若90，则正确的是（ ）

（A）sinsin0 （B）sincos0 （C）coscos0 （D）sincos0 11．如图，ABC中，C90,cosB4，则AC ：BC ：AB＝（ ） 5A．3 ：4 ：5 B．4 ：3 ：5 C．3 ：5 ：4 D．5 ：3 ：4 12．在ABC中，C90，且cosA3，那么cosB的值等于（ ） 53443A． B． C． D．

5435三、判断题：

13、 对于任意锐角，都有0sin1和0cos1（ ） 14、 对于任意锐角1,2，如果12，那么cos1cos2（ ） 15、 如果sin1sin2，那么锐角1锐角2（ ） 16、 如果cos1cos2，那么锐角1锐角2（ ） 四、解答题：

17、在RtABC中，其中两边长为3和4，求∠B的余弦值。

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

B组

1．已知sin40sin1，则锐角=_________。 2．在RtABC中，C90,cosA3．已知sincosm,2214,sinBn那么n的值是___________。 55sincosn, 则m 、n的关系是（ ）

22A．mn B．n2n1 C．m2n1 D．m12n 4、如图，在菱形ABCD中，已知AE⊥BC于E，BC=1，cosB=

5,求这个菱形的面积。 13A D B E C 5、（2010北京市） 在RtABC中，C90，斜边c5，两直角边的长a、b是

关于x的一元二次方程xmx2m20的两个根，求RtABC较小锐角的正弦值.

2家庭作业

第一部分：

1.(2008年江苏省宿迁市)已知

为锐角，且

，则

等于（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

2.（2008年龙岩市）已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（ ） A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

第二部分：

3.（2010湖北省咸宁市）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sin ．

A

l1 αl A D 2B

l3 C l4

（第3题）

第三部分：

4．（2012绍兴）地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄在北偏西

方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达

处，GPS显示村庄

在北偏西

方

向．

（1）求处到村庄的距离； （2）求村庄到该公路的距离．（结果精确到0.1km） （参考数据：

）

，

，

，

第八讲 正切与余切（1）

【基础知识精讲】

1、正切、余切概念：

(1) 在RtABC中，A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA。

即 tanAA的对边a （或tanA）

A的邻边b(2) 在RtABC中，A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA，

拼搏的你，背影很美！

b

努力的你，未来可期!

即 cotA2．tanA与cotA的关系

A的邻边b （或cotA）

A的对边atanA11 （或cotA， tanAcotA1） cotAtanA3、 特殊角的正弦值与余弦值：

3； tan451； tan603； 33cot303； cot451； cot60．

3【例题巧解点拨】 例1：在RtABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c。a3，c4，求tanA，cotA，tanB，cotB

tan30

例2：求下列各式的值：

（1）2sin303tan30cot45； （2）．

例3：填空：

（1）若tanA3，则A______. （2）tan35tan45cot35__________. （3）若tan47cot1，则锐角_________.

2tan301tan45cot30 21cot60cot45tan60【同步达纲练习】

A组

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

一、选择题：

1. RtABC中，C90，a，b，c分别是A，B，C的对边，则的（ ）

A．正弦

2. 在ABC中，tanAa叫AbB．余弦 C．正切 D．余切

3，cotB1，则ABC为（ ） 3A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3. 在RtABC中，C90，下列关系式中正确的有（ ）

（1）batanA （2）abcotB （3）batanB （4）abcotA

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．一个直角三角形的两条边长为3、4，则较小锐角的正切值是（ ）

（A）

7343 （B） （C）或 （D）不同于以上

343425．计算sin60tan45(12)，结果正确的是（ ） 3A．

991111 B． C． D．

4444二、填空:

6、 在ABC中，C90，a3，c5，则tanA=_________，cotA=__________ 7．在ABC中，C为直角，已知a15，A30，则b=_______. 8．在RtABC中,CRt,若tanB2,a1,则b_________

9．等腰梯形腰长为6，底角的正切为为 。

2，下底长为122，则上底长为 ，高410．在RtABC中，C90，cotA3，则cotAsinBtan____________。

三、求下列各式的值：

C的值为211.sin303tan302cos30 12.5cot302cos602sin60

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

13．

sin60cot45tan452 14.3cot602sin30cos304sin60

tan602tan45tan6015．（2010 成都中考）6tan30(3.6)12()

316．（2011 青羊中考模拟）计算：(20091)0+9－｜cos30°－1｜-(1)

0121

17．（2012 锦江中考模拟）计算：

四、解答题：

18．在RtABC中，C90，tanA

11（2）++2sin60°—1—tan60 23，c513，求a，b. 4拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

19．如图，已知ABC中，且BDA120，AC3，C90，D是BC边中点，求tanB.

B组

1．（2012 武侯中考模拟）如图ΔABC中，AD是BC边上的高，tan∠B=cos∠DAC。 （1）求证：AC=BD

12（2）若sin∠C=,BC=12，求AD的长．

13

ABDC2．在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先在A处安

置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE＝21°，然后往塔的方向前行50米到达B处，此时测得仰角∠CGE＝37°，已知测倾器高1.5米．请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．

（参考数据：sin37

F A

C

3393，tan37，sin21，tan21） 54258G B

第2题图

E D

家庭作业

第一部分：

1．（2012，黄冈）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝

A．

4，则tanB＝（ ） 54334 B． C． D． 34552.（2011，浙江温州）6．如图，已知一商场自动扶梯的长z为10米，该自动扶梯到

达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于( )

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

第二部分：

1.（2012，常州）10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB= ，sinA= . －

2.（2010，绵阳）计算：（－2010）0 +（sin60）1－︱tan30－3︱+38．

13．（2012北京）120100|43|tan60。

3

第三部分：

1.（2010，连云港）如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km． A（1）判断ABAE的数量关系，并说明理由；

（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）． （参考数据：3≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28， tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

P

E

F

BQ

第九讲正切和余切(2)

【基础知识精讲】

1、锐角的正切值随角度的增加（或减小）而增加（或减小）；锐角的余切值随角度的增加（或减小）而减小（或增加）。

2、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

即 tanAcot90A， cotAtan90A． 3、正弦、余弦与正切、余切的关系：

sinAcosA cotA cosAsinA【例题巧解点拨】

tanA例1：如图，在Rt⊿ABC中，∠A为锐角，求证： ①tanAcot90A， cotAtan90A ②tanA

sinAcosA cotA cosAsinA随堂练习：

1．若锐角A、B满足条件：45AB90时，下列式子中正确的是（ ）

A．sinAsinB B.cosAcosB C.tanAtanB D.cotBcotA 2．在ABC中，C90，如果tanA3，那么cotB的值等于（ ） 43443A． B． C． D．

54353. 已知tan(90)2，则cot=__________

4. 已知A为锐角，则下列各式中不正确的是（ ）

A．cotAsinAcosA B．tanAsinAcosA C．tanAtan(90A)1 D．tanAcosAsinA 5、在三角形ABC中，∠C为直角，如果sinA2，那么tanB（ ） 35523A． B． C． D．

3255222sin45; 6.求值：tan604tan604cot30tan20tan70

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

7.已知梯形ABCD中，上底AD2cm，一腰DC5cm，且tanB求梯形的面积

34 ,sinC，

25【同步达纲练习】

A组

一、填空（或选择）：

1、比较大小：①tan45___tan50 ②cot30___cot40 ③ cot53___tan36 2、比较大小（用、、号连接）：（其中AB90）

sinA_____tanA， sinA_____c_osB，

sinA_____tanA cosA3．若A是锐角，且tan(90A)cot36，则A_____。

4．如图，ABC中，ACBRt,CDAB于点D，若BD:AD=1 ：4， 则tanBCD的值是（ ） A．

111 B． C． D．2

3425．下列各式中符号为正的是（ ）

A．cos80sin40 B．tan50cot50 C．tan70cot20 D．sin89tan45

6．已知RtABC中，C90，下列结论正确的是（ ）

A．sinAtanA B．cosBcotB

sinAtanA

cosA7．在RtABC中，C90，则tanAtanB等于（ ）

C．sinAcosB D．

A.0 B.1 C.－1 D.不确定

B60,AC5,AD3，8．已知：如图，在ABC中，ADBC于D，

则BC=________。



二、计算下列各题：

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

9.tan302cot30(tan65)

2212100(2tan25)100

10.tan10tan20tan30tan40tan50tan60tan70tan80. .

三、解答题：

11.已知：在RtABC ， 斜边AB10,tanA

3,求RtABC的周长。 4B组

1．如图，ABC中，C是锐角；BCa,ACb,证明ABC的面积S

1absinC. 2A

2．已知：如图，在RtABC中，ACB90,sinBB C

3,D是BC边上一点，且5A ADC45，DC = 6 。求BAD的正切值.。

拼搏的你，背影很美！ B D

C

努力的你，未来可期!

3.（2011昆明）如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.

（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；

（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）

家庭作业

第一部分：

1.（2011,日照）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=

o

1，5拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

则AD的长为( )A.2 B.3 C.2 D.1 2．（2012,台州）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，

NDM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式

234表示）( ) A．a B．a C．a D． a 225DMAaC A E B3.（2012,攀枝花）已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=

3, 4AC上有一点E，满足AE:CE=2:3则tan∠ADE的值是（ ） A．

3847 B． C． Ｄ． 5959B D 第二部分：

C 4.（2006,山东潍坊）小明家准备建造长为28米的蔬菜大棚，示意图如图（1）。它的横截面为如图（2）所示的四边形ABCD，已知AB3米，BC6米，∠BCD45，ABBC，D到BC的距离DE为1米。矩形棚顶ADDA及矩形DCCD由钢架及塑料薄膜制作，造价为每平方米120元，其它部分（保温墙体等）造价共9250元，则这个大棚的总造价为多少元？（精确到1元）

，31.73，52.24，295.39，345.83） （下列数据可供参考21.41A

D

C

A

B

D E 图1

C A

D B

图2

E

C 第十讲 解直角三角形

【基础知识精讲】

解直角三角形：由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 直角三角形的解

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

法可以归纳为以下4种，列表如下： 两个独立的已知条件 解直角三角形的典型过程 （1）B90A； 已知a和A a)； tanAab（3）c(或c) sinAsinB（1）B90A； （2）acsinA； （2）bacotA(或b（3）bccosA（或bcsinB）。 已知c和A 已知a,b。 ab），求出A（或B）； ba（2）B90A（或A90B）； a（3）ca2b2（或c。 ,）sinA（1）tanA（或tanBaa（或cosB）求出A（或B）； cc（2）B90A（或A90B）； （1）sinA已知c,a。 （3）b。 c2a2（或bcsinB） 【例题巧解点拨】

例1:已知,如图,在四边形ABCD中,AD=CD,AB=7,tanA=2,∠B=∠D=90°,•求BC的长.

例2:如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，sinA＝DC＝6，求AB的长。

拼搏的你，背影很美！

Ａ

Ｂ

Ｄ Ｃ

2，D为AC上一点，∠BDC＝450，5努力的你，未来可期!

变式：如图，在△ABC中，∠B＝900，C是BD上一点，DC＝10，∠ADB＝450，∠ACB＝600，求AB的长。

例3:如图，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕

为MN，若

（2）求sin∠ENB的值。

例4:如图，已知BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，（1）求sincos的值；

（2）若SAEBSADE，AF＝6时，求cot∠BAD的值。

。（1）求△ANE的面积；

SAFD9，∠BAE＝。 SEFB【同步达纲练习】

A组

一、选择（填空）题：

1．如图(1)所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于（ ） A．1 B．2 C．2 D．22 2

(1) (2) (3)

4，那么sinα的值是（ ） 5943 A． B． C． D．22

52552．如果α是锐角，且cosα=

3．等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ） A．

513B.1213C.1013D.5 124．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子中正确的是（ ）

A．sinA=sinB B．sinA=cosB C．tanA=tanB D．cosA=cosB

3，AB=4，则AD5161620201616的长为（ ） A．3 B． C DC..D..

3333555．如图(2),在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=

6．如图(3),某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ） A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元

7．已知α为锐角，tan（90°-α）=3，则α的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

8．在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且AD=BD=5,CD=3,则sinA=_____ 9．已知直角三角形两个锐角的正弦sinA，sinB是方程2x－22x10的两个根，

2

则∠A=______，∠B=________.

10.若tanα+cotα=3, α为锐角,则tanα+cotα=_______. 二、解答题：

11．如图，△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点且BD=100，∠ADC=60°，sinB=

拼搏的你，背影很美！

2

2

2，2A努力的你，未来可期!

求AC的长

12．等腰三角形的面积为2, 腰长AB为5, 底角为α, 求tanα的值。

Ａ Ｂ Ｃ

B组

1．在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=1,已知AD、BD的长是关系x•的方程2

x+px+q=0的两个根,且tanA-tanB=2.求p、q.

2.城市规划期间，欲拆除一电线杆AB（如图所示），已知距电线杆AB水平距离14米的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i2:1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30．D，E之间是宽为2米的人行道．试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形

区域为危险区域）．（31.732，21.414）

Ａ 30 人Ｂ Ｃ 行道 Ｅ D Ｆ 家庭作业

第一部分：

1.(2010，泉州市) 如图，先锋村准备在坡角为30山坡上栽树，要求相邻两树之间

的

0拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为__________米.

5米

B A

A α B C

第1题 第2题

2．（2011，宁波市）如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，

引

桥的坡角ABC为15，则引桥的水平距离BC的长是_________米（精确到0.1米）。

BCDA

第1题图

3.如图，在△ABC中，∠B＝600，∠BAC＝750，BC边上的高AD＝3，则BC＝ 。

第二部分： 4．（2011，天津）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米。现将梯子的底端A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到B，那么BB（ ） A．等于1米 B.大于1米 C.小于1米 D.不能确定

BABCBAAOD第4题图 第3题图

5．如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若cot∠BCD＝3，则tanA＝（ ）

A.

312 B.1 C. D.

323

第三部分：

6．(2012重庆市) 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ．点D为BC边上

一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°求△ABC的周长（结果保留根号）

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

7. (2012，德化县)小明在某风景区的观景台O处观测到北偏东50的P处有一艘货船,该船正向南匀速航行,30分钟后再观察时,该船已航行到O的南偏东40,且与O相距2km的Q处.如图所示. 求: (1)∠OPQ和∠OQP的度数; (2)货船的航行速度是多少km/h?

(结果精确到0.1km/h, 已知sin50=cos40=0.7660,

cos50=sin40=0.6428, tan50=1.1918, tan40=0.8391, 供选用.)

第十一讲 解直角三角形的运用

【基础知识精讲】

1、坡度和坡角：

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡度 （或坡比），用字母i表示（如图（1）），则有i坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有：ih

, l

htan， l这说明坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角也越大. 2、方位角：

在航海的某些问题中，描述船的航向，或目标对观测点的位置，常用方位角.画方位角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观测点.

3、仰角和俯角

在利用测角仪观察目标时，视线在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视线在水平线下方和水平线的夹角称为俯角（如图）.

在测量距离、高度时，仰角和俯角常是不可缺少的数据.

【例题巧解点拨】

例1.如图，在高为100米的山顶D上，测得一塔的塔顶A与塔基B的俯角分别为30°和45°，求塔高AB．(精确到0．1米)(可供选择的数据：2≈1.414，3≈1.732)

例2．如图23—17，海岛A的四周20海里范围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60°，航行24海里到C处，见岛且在北偏西30°，货轮继续向西航行，有无触礁危险?

例3 、 如图，有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度i1=1:1.2，

斜坡BC的坡度i2=1:0.8，大堤顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加

高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上，当新大堤顶宽EF为3.8米时，大堤加高了几米?

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

Ａ

B

【同步达纲练习】

A组

1、如图(1），在高2米坡度为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 ___________ 米．

(1） (2） 2、如图(2），水坝的迎水坡AB=25m，坡比i=l：2，这座水坝的高度是 _______m 3、如图(3）,为测得一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥ AB)测得之∠ACB=50°，则A、B间的距离应为( )米．

A．15sin50° B．15 cos 50° C．15 tan50° D．15cot50°

(3） (4） (5）

4．如图(4），要测旗杆AB的高，在C处测得旗杆顶A的仰角30°，向杆前进l0m到达D处，测得A的仰角为45°，则旗杆的高为 ． 5．如图(5），两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的角为，则它们的重叠部分的面积为( ) A．

11 B． C．sin D．1

cossin

5．甲乙两船从A港出发，甲船沿北偏东20°的方向航行，乙船沿南偏东的30°的方向航行，那么两船的两条航线所成的角为( )

A．80° B．100° C．40° D．130°

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

6．（七中育才）如图，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度为1:2．现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方?

7.（七中育才学月考试题）我人民解放军在进行“解放一号”军事演习时,于海拔高度为600米的某海岛顶端A处设立了一个观察点.上午九时, 观察员发现“红方Ｃ舰”和“蓝方Ｄ舰”与该岛恰如在一条直线上，并测得“红方Ｃ舰”的俯角为30°, 测得“蓝色D舰”的俯角为8°,请求出两舰之间的距离. (参谋数据: 3=1.73,tan8°=0. 14,cot8°=7.12)

8.如图,MN是表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500 米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东

75°,已知MB=400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?

拼搏的你，背影很美！

ABCD努力的你，未来可期!

B组

1．（2006 黔南课改）某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30方向上，已知该岛周围

16海里内有暗礁

（1）试说明点B是否在暗礁区域外？

（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．

北 E C 30º 60 A B 东 2.下图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米．从A到B、从B到

C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．(精确到0．O1米) (1)求山坡路AB的高度BE．

(2)降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米?

(sin5°=0．0872，cos5°=0．9962,sin12°=0．2079，cos12°=0．9781) ．

家庭作业

第一部分：

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是 ( )

A、

151511 B、 C、 D、 154343，则cosA的值是 ( ) 53443 A． B． c． D．

54352．在A ABC中，已知∠C=90°，sinB=

拼搏的你，背影很美！

BAC努力的你，未来可期!

3.在RtΔABC中,∠C=90,则下列等式中不正确的是( ) （A）a=csinA；（B）a=bcotB；（C）b=csinB；（D）c0

b. cosB4.为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α,则楼房BC的高为

( )B （A）30tan米；（B）

30tan米； （C）30sin米； （D）

30sin米

5．在ABC中，C90，cosA3，则B为（ ）C 2 A．30 B．45 C．60 D．90

第二部分：

6.某人沿倾斜角为β的斜坡走了100米，则他上升的高度是 米

7. （2006 长春课改）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图．请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF=_________________．

（参考数据：sin40≈0.64，） cos40≈0.77，tan40≈0.84，结果精确到0.1m．

第十二讲 反比例函数

【基础知识精讲】

1、反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．

反比例函数y=

k（k•为常数，xk1（k≠0）还可以写成ykx（k≠0）或xyk（k≠0）. x2、反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k为常数，k≠0；

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

（2）

k中分母x的指数为1； x(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（4）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数．

【例题巧解点拨】

例1、下列关系式中，哪个等式表示y是x的反比例函数___________. A、ykB1 B、y2 C、y D、2xy1 x2x1x2例2、已知y(m22m)xmm1是反比例函数，那么m=__________。

练习：已知三角形的面积是定值S，则三角形的高h与底a的函数关系式是

h______________，这时h是a的_____________________；

例3、已知y与x1成反比例，当x11时，y；那么当x2时，y的值为23___________.

练习：如果y与x成反比例，z与y成正比例，则z与x成__________。

例4、如果一次函数ymxn 与反比例函数y求两图像的另一个交点坐标。

例5、已知函数yy1y2，其中y1与x成正比例,y2与x2成反比例，当

3nm1 的图像相交于点,2 ，x2x1时y1;当当x3时,y求当时y的值x,y时x时y5.求当xx2时,y的值.

【同步达纲练习】

A组

一．判断题

1．如果y是x的反比例函数，那么当x增大时，y就减小 （ ） 2．当x与y乘积一定时，y就是x的反比例函数，x也是y的反比例函数（ ） 3．如果一个函数不是正比例函数，就是反比例函数（ ）

2

4．y与x成反比例时y与x并不成反比例 （ ） 5．y与2x成反比例时，y与x也成反比例 （ ） 二．填空题 6．yk(k0)叫__________函数，x的取值范围是__________； x拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

7．若y(5m)x2n是反比例函数，则m、n的取值是________________.

是反比例函数，那么k =________，此函数的解析式

8．如果函数y=kx是 ；

2k2k29．已知函数y2x，当m=________时，y是x的正比例函数；当m=_____时，y是x的反比例函数。 10．函数y(m2)x是反比例函数，则m的值是__________.

11．下列函数表达式中，x表示自变量，那么哪些是反比例函数，如果是请在括号内

填上k的值，如果不是请填上“不是”

m22m9m1x5；（ ） ③y；（ ）

2x21④xy2；（ ） ⑤y2x；（ ） ⑥y；（ ）

5x212．已知A（2，a）在满足函数y，则a_______.

x①yx；（ ） ②y13．下列函数中，是反比例函数的是_________.

A.x(y1)1 B. y111 C. y2 D. y

3xx1x14．在某一电路中，保持电压V（伏特）不变，电流I（安培）与电阻R（欧姆）成反

比例，I与R之间的函数关系式为___________。当电阻R=5时，电流I=2安培；当电流I=0.5安培时，求电阻R的值。 15．反比例函数yk 的图像经过点P(m,n) ，其中m,n 是一元二次方程xx2kx40 的两个根，那么点P的坐标是__________.

11116．若与y成反比例，与z成正比例，则x与成( )比例.

yzx

A、 正 B、 反 C、不成 D、 有一次函数关系 17．已知反比例函数y

18．某工厂拟建一座平面图形是矩形且面积为200m2的三级污水处理池（如

图）．由于受地形限制，污水处理池的长宽都不得超过16m．•设污水处理池的一边长为xm，另一边长为ym． y与x的函数表达式为______________，x的取值范围是_________．

3

与直线y4x相交，那么交点是___________ x

拼搏的你，背影很美！

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三、解答题：

2

19、已知：yy1y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x2与x3时，y的值都等于19，求y与x的函数解析式.并求当x4时，y的值。

20、 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表： 2001 2002 2003 2004 投入技改资金x（万元） 2.5 3 4 4.5 产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4 （1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；

（2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元． ①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？

②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）

B组

1、为了预防“非典”，某学校对教室用药熏进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米的空气中含药量y（毫克）与时间x（分）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，且测的药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为____,自变量x的取值范围是______,药物燃烧后, y关于x的函数关系式为____;

(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时,学生方可进入教室，那么从消毒开始,至少需要经过______分钟,学生才能回到教室;

(3) 研究表明,当空气中每立方米的含药量低于3毫克且持续不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?

拼搏的你，背影很美！

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2. 如图，平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=1cm，E是CD边上一动点，AE、BC的延长线交于F点，设DE=x（cm），BF=y（cm）。求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

A D E B C F

3. 某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为80元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x（元）的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件。

（1）请求出y与x之间的函数关系式。

（2）若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为2000元，则其单价应定为多少元？

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家庭作业

第一部分：

1y1．（2009丽水市）如图，点P在反比例函数

x(x > 0)的图象上，且横

坐标为2. 若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的 像为点P.则在第一象限内，经过点P的反比例函数图象的解析式是

6556A．y(x0) B.y(x0) C. y(x0) D. y(x0)

xxxx2．（2009年日照）已知点M (－2，3 )在双曲线y线上的是( )

A.(3，-2 )

k上，则下列各点一定在该双曲xD.(3，2)

B.(-2，-3 ) C.(2，3 )

3．（2009年哈尔滨）点P(1，3)在反比例函数y（ ）．

A．

第二部分：

k

（k0）的图象上，则k的值是x

D．3

1 3B．3 C．1 3m1的图象经过点（2，1），则m的值是 ． xk5．（2009年清远）已知反比例函数y的图象经过点(2，3)，则此函数的关系式

x4．（2009柳州）反比例函数 y是 ．

6．(2009年黄冈市)已知点(3,3)是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式是____________________________．

第三部分：

7.（2009年宜宾）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠C=90°，点D在第一象限，OC=3，DC=4，反比例函数的图象经过OD的中点A． （1）求该反比例函数的解析式；

（2）若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边DC交于点B，求过A、B两点的直线的解析式．

拼搏的你，背影很美！

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第十三讲 反比例函数的图像和性质（1）

【基础知识精讲】

1．反比例函数的图象．

利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它

的图象是双曲线．画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；

（2）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x≠0，因此，不能把两个分支连接起来；（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现

出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势．

k

2．反比例函数y= 具有如下的性质:

x

①

当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小； ②

当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．

【知识回顾】

1、反比例函数yk3的图像经过（－，5）点、（a，－3）及（10，b）点， x2则k＝ ，a＝ ，b＝ ；

22、若函数y(2k1)x3k3、如果反比例函数y2k1是反比列函数，则k= _______

k的图像经过点（－3，－4），那么k=___________ x4、正比例函数解析式为_______________；其图像为_________；当k>0，图像过______象限，当k<0，图像过______象限。 5、一次函数解析式为_______________；其图像为_________；当k>0，b>0,图像过______象限，当k<0，b>0图像过______象限；图像过二、三、四象限，则k、b的范围是________.

拼搏的你，背影很美！

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【例题巧解点拨】

例1、 画出反比例函数y

练习：

1、若反比列函数y(2k1)x3k

2、 设有反比例函数y266和y的图像。 xx2k1的图像经过二、四象限，则k= _______

k1，(x1,y1)、(x2,y2)为其图象上的两点，若 xx10x2时，y1y2，k的取值范围是___________

3、如果反比例函数y___________象限。

4、正比例函数ykx和反比例函数y在同一坐标系内的图象为（ ）

xy y y y o A

x

o B

x

o C

x

o D

x k的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在xk

例2、如图，一次函数ykxb的图像与反比例函数ym的图像相交于A、B两点， x（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式;

（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.

例3、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线yAB⊥x轴于B 且S△ABO=

k与直线yx(k1)在第二象限的交点，xy A x B O C 3. 2（1）求这两个函数的解析式;

（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

练习：如图所示,已知反比例函数y12x的图象与一次函数ykx4的图象相交于P,Q两点,并且P点的纵坐标是6.

(1)求这个一次函数的表达式; y (2)求△POQ的面积. P AO Q

【同步达纲练习】

A组

一、填空或选择： 1．反比例函数y=

2x的图象位于（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．已知点（3，1）是双曲线y=kx（k≠0）上一点，则下列各点中在该图象上的点是（ ）．

A．（

13，-9） B．（-3，-1） C．（-1，3） D．（6，-12） 3．函数y=1x与函数y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

4．已知点A（-3，y1），B（-2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=

4x的图象上，则（ ）． A．y15．已知关于x的一次函数y=kx+1和反比例函数y=6x的图象都经过点（2，m），则一次函数的解析式是________________． 6．反比例函数y=

3n9x10n2的图象每一象限内，y随x的增大而增大，则n=_______．

7．已知关于x的函数y=k（x+1）和y=-

kx（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（

8．已知一次函数y=3x+m与反比例函数y=m3x的图象有两个交点，当m=_____时，有一个交点的纵坐标为6．

拼搏的你，背影很美！

x．• ） 努力的你，未来可期!

二．解答题：

9．如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B•两点，且与

反比例函数y=

m（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，•x若OA=OB=OD=1．

（1）求点A、B、D的坐标;（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

10．如图，双曲线y=

5在第一象限的一支上有一点C（1，5），•过点C•的直线y=kx+bx（k>0）与x轴交于点A（a，0）．

（1）求点A的横坐标a与k的函数关系式（不写自变量取值范围）．

（2）当该直线与双曲线在第一象限的另一个交点D的横坐标是9时，求△COA•的面积．

B组

⑥ 如图所示,A,B是函数y

1

的图象上关于原点O对称的任意一对对称点, x

AC平行于y轴,BC平行于x轴, △ABC的面积为S,则 ( ) A.S=1 B.S=2 C.12

2.若M(,y1),N(关系为 ( )

A. y2>y3 >y1 B. y2 >y1>y3 C. y3>y1 >y2 D. y3>y2>y1

1211k,y2),P(,y3)三点都在y(k0)的图象上,则y1,y2,y3的大小

24x拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

家庭作业

1.（2011甘肃兰州）14. 已知点（-1，y1），（2，y2），（3，的图像上. 下列结论中正确的是（ ） A．

y3）在反比例函数

y1y2y3 B．y1y3y2 C．y3y1y2 D． y2y3y1

k2．（2009年泸州）已知反比例函数y的图象经过点P(一l，2)，则这个函数的图

x象位于（ ）

A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限

2

3．（2009年娄底）市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm的矩形学具进行展示. 设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形长y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系的图象大致是( )

4．（2012娄底）一次函数y=kx+b与反比例函数y=kx的图象 如图5所示，则下列说法正确的是（ ） A．它们的函数值y随着x的增大而增大 B．它们的函数值y随着x的增大而减小 C．k＜0

D．它们的自变量x的取值为全体实数

5．（2012年广西南宁）在反比例函数y大而增大，则k的值可以是（ ） A．1 B．0 C．1

1k的图象的每一条曲线上，y都随x的增xD．2

6．（2010年南宁市）在反比例函数y而增大，则k的值可以是（ ） A．1 B．0 C．1

1k的图象的每一条曲线上，y都随x的增大xD．2

拼搏的你，背影很美！

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第十四讲 反比例函数的图像和性质（2）

【基础知识精讲】

k反比例函数y=（k≠0）中k的几何意义：

xk过函数 y=（k≠0）的图像上任一点p(x,y)作PM⊥xx

轴，PN⊥y轴，所得矩形PMON的面积S=∣xy∣=∣k∣； 所得△POM的面积S=

Y N O P (x, y) 1∣k∣。 2M X

【例题巧解点拨】

例1．正比例函数y=x与反比例函数y=

1的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD•x⊥x轴于D，如图1所示，则四边形ABCD的为_______．

(1) (2) (3)

练习：如图2，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8，则反比例函数的表达式是_____________________．

例2.（2005 中考题）如图3两个反比例函数y=点P1，P2，P3……P2005，在反比例函数y=

36，y=在第一象限内的图象如图所示，xx6的图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，xx3，…x2005，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2005年连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行线与y=

3的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，xy3），…，Q2005（x2005，y2005），则y2005=________．

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

练习：1、如图：函数y=-kx（k≠0）与y=-

4的图象交于A、B两点，过点A作ACx⊥y轴，•垂足为点C，则△BOC的面积为________．

第1题

第2题

2、.如图，正比例函数y=3x的图象与反比例函数y=

k（k>0）的图象交于点xA，若 取k为1，2，3，…，20，对应的Rt△AOB的面积分别为S1，S2，…，S20，则S1+S2+…+S20=_________．

例3．如图所示,直线y1x2分别交x轴、y轴于A，C两点，P是该直线上在第一象 2ABP限内的一 点，PB⊥x轴于B，S(1)求P点坐标; (2)双曲线y9.

k经过点P,能否在双曲线上PB的右侧求作一点R,作RT⊥x轴于T,xyPCRxAOBT使△BRT与△AOC相似?如能,求出点R坐标;若不能,说明理由.

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

【同步达纲练习】

A组

1．如图1所示，在反比例函数y=

k（k>0）的图像上有三点A、B、C，过这三点分别x向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y•轴圈成的矩形的面积分别为S1，S2，S3，则（ ）

A．S1>S2>S3 B．S1(1) (2) (3)

2．如图2,设P（a，b），M（c，d）是反比例函数y=

1在第一象限内的图像上关于直x线y=x•对称的两点，过P、M作坐标轴的垂线，如图5所示，垂足为Q、N， •若∠MON=•30•°，•则

bd=________． ac3．如图3所示，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y=

4. 如图所示，已知反比例函数y=

4（x>0）x的图像上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是___________．

12的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、•Qx两点，并且P点的纵坐标是6．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△POQ的面积．

5．通过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y（千克）•与市场价格x（元/千克）存在下列函数关系式：y=

100000+6000（0（1）根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，•该地区这种农产品的市

场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？

（2）受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产

量，以大力提高产品质量．此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，•而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a（0拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

6．已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=

1的图象在第一象限内的一个分支，点P•2x是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N•为垂足）分别与直线AB相交于点E和点F． （1）设交点E和F都在线段AB上（如图所示），分别求点E、点F的坐标（用a的代

数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）．

（2）求△OEF的面积（结果用a、b的代数式表示）．

（3）△AOF与△BOE是否一定相似，如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或

者一定不相似，请简要说明理由．

（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，•大小始

终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．

B组

如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线y=

1（x>0）上任意一点，PM•2x⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．

（1）求证：AF●BE=1；

（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

家庭作业

第一部分：

1．（2009河池）如图5，A、B是函数y2的图象上关于原点对称的任意两点， xBC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）

A． S2 B． S4 C．2S4 D．S4

2．(2011年鄂州)如图，直线y=mx与双曲线y=

k交于A、B两点，过点 xA作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM,若SABM=2，则k的值是（ ） A．2 B、m-2 C、m D、4

3．（2012年娄底）市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示. 设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形长y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系的图象大致是 ( )

4．（2009年滨州）已知点A是反比例函数y3图象上的一点．若AB x垂直于y轴，垂足为B，则△AOB的面积 ．

5.（2011仙桃）如图，已知双曲线y(k＞0)经过直角三角形OAB斜边OB 的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝________． .

6．（2010年包头）如图，已知一次函数yx1的图象与反比例函数y的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴于点B，

． △AOB的面积为1，则AC的长为 （保留根号）

拼搏的你，背影很美！

kxk x

努力的你，未来可期!

第十五讲 反比例函数综合运用

【例题巧解点拨】

例1、填空题:

（1）.反比例函数y=(m-2)x3m的图象经过(a,3),则a=_________. （2）.函数y=(2m-7m-9)xm9m19是反比例函数,且图象在每个象限内y随x的增大而减小,则m=_____.

2

22yAOBxC1的图象上关于原点O对称的任意两点,AC平

yx行于y轴,BC平行于x轴,则△ABC的面积为________. AC4（4）.如图,函数y=-kx(k≠0),与y=-的图象交于A、B两点,过点A作

xOAC垂直于y轴,垂足为点C,则△AOC的面积为__________.

B例2、选择题:

m5（1）.反比例函y=的图象的两个分支分别在第二、四象限内,那么m

x的取值范围是( ) A.m<0 B.m>0 C.m<5 D.m>5

2（2）.设A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=-图象上的两点,若x1x之间的关系是( ) A.y2y1>0 D.y1>y2>0

1（3）.如图,y=1函数的图象是( )

x1 yyyy 111

O1x-1OO1xOxx

BCDA

kb（4）.已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则函数y=的图象在( )

x A.第一、三象限; B.第二、四象限 C.第三、四象限; D.第一、二象限

k（5）.若反比例函数y=的图象过点(1,6),则不在这个反比例函数图象上的点是

x( )

A.(3,2) B.(2,3) C.(6,1) D.(2,3)

（3）.如图,A、B是函数y=

例3、(2013成都)如图，一次函数y1x1的图像与反比例函数

xk（k为常数，且k0）的图像都经过点A(m,2) x（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； y2（2）结合图像直接比较：当x0时，y1和y2的大小.

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

1x+2 分别交x轴,y轴于A,C点,P是该直线上在第一象限内的一2点,PB⊥x轴于B,SABP9.

y(1)求P点坐标;

(2)设点R与点P在同一反比例函数图象上,且点R在直线PB右侧,

P作RT⊥x轴于T, 当△BRT与△AOC相似时,求点R的坐标.

C

A

OB

例4、 如图,直线y=

x【同步达纲练习】

反比例函数小测试

一、填空题（每题3分，共30分） 1、近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x成反比例.已知400度近视眼镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是 . 2、如果反比例函数yk的图象过点（2，-3），那么k= . x3、已知y与x成反比例，并且当x=2时，y=-1，则当y=3时，x的值是 . 4、已知y与（2x+1）成反比例，且当x=1时，y=2，那么当x=0，y的值是 . 5、若点A（6，y1）和B（5，y2）在反比例函数y是 . 6、已知函数y4的图象上，则y1与y2的大小关系x3，当x＜0时，函数图象在第 象限，y随x的增大而 . x27、若函数y(m1)xmm1是反比例函数，则m的值是 . 8、直线y=-5x+b与双曲线y2相交于 x点P（-2，m），则b= . 9、如图1，点A在反比例函数图象上， 过点A作AB垂直于x轴，垂足为B， 若S△AOB=2，则这个反比例函数的解析式为

. 10、如图2，函数y=-kx(k≠0)与y4的图 x象交于点A、B，过点A作AC垂直于y轴，垂 足为C，则△BOC的面积为 . 图 1 图 2 二、选择题（每题3分，共30分）

1、如果反比例函数的图象经过点P（-2，-1），那么这个反比例函数的表达式为（ ）

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

A、y1122x B、yx C、y D、y 22xx2、已知y与x成反比例，当x=3时，y=4，那么当y=3时，x的值等于（ ）

A、4 B、-4 C、3 D、-3 3、若点A（-1，y1）,B(2,y2)，C（3，y3）都在反比例函数y5的图象上，则下列关系x式正确的是（ ）

A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3 C、y3＜y2＜y1 D、y1＜y3＜y2 4、反比例函数ym5的图象在第二、四象限内，那么m的取值范围是（ ） xA、m＜0 B、m＞0 C、m＜5 D、m＞5 5、已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（ ） A、（-1，-2） B、（-1，2） C、（1，-2） D、（-2，1）

6、若一次函数ykxb与反比例函数yk的图象都经过点（-2，1），则b的值是（ ）

xA、3 B、-3 C、5 D、-5 7、若直线y=k1x(k1≠0)和双曲线yk2（k2≠0）在同一坐标系内的图象无交点，则k1、xk2的关系是（ ）

A、k1与k2异号 B、k1与k2同号 C、k1与k2互为倒数 D、k1与k2的值相等

8、已知点A是反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，到x轴的距离为3，若点A在第二象限内，则这个反比例函数的表达式为（ ）

121211 B、y C、y D、y xx12x12x69、如果点P为反比例函数y的图像上的一点，PQ垂直于x轴，垂足为Q，那么△POQ

xA、y的面积为（ ）

A、12 B、6 C、3 D、1.5 10、已知反比例函数yk(k≠0),当x＞0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx-kx的图象经过（ ）

A、第一、第二、三象限 B、第一、二、三象限 C、第一、三、四象限 D、第二、三、四象限 三、解答题：（每题8分，共40分）

1、已知矩形的面积为6，求它的长y与宽x之间的函数关系式。

333

2、一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m）是它的体积v(m)的反比例函数，当v=10m

33

时，ρ=1.43kg/m. （1）求ρ与v的函数关系式；（2）求当v=2m时，氧气的密度ρ.

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

3、某商场出售一批进价为２元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系： 日销售单价x（元） 日销售量y(个) 3 20 4 15 5 12 6 10 （１）根据表中数据，在直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点； （２）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；

（３）设经营此贺卡的销售利润为Ｗ元，求出Ｗ与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？

4、如图，点Ａ是双曲线yB，且Ｓ△ABO＝

k与直线y=-x-(k+1)在第二象限内的交点，ＡＢ⊥x轴于x3. 2（１）求这两个函数的解析式；

（２）求直线与双曲线的两个交点Ａ、Ｃ的坐标和△AOC的面积.

5、已知反比例函数yk和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a,b），（a+1，2xb+k）两点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；

（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.

拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期!

家庭作业

第一部分：

1.（2008年南京市）5．已知反比例函数的图象经过点P(2，1)，则这个函数的图象位于（ ）

A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限

2.（茂名）已知反比例函数y=

减少，则一次函数y=-ax+a的图象不经过（ ）C ．．．

a(a≠0)的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而xＡ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限

3．(2008年扬州市)函数y

1k的图象与直线yx没有交点，那么k的取值范围是 xA、k1 B、k1 C、k1 D、k1

k24．（2008年湖北省鞥仙桃市潜江市江汉油田）对于反比例函数y(k0)，下列说法

x不正确的是 ．．．

A. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点（k，k）在它的图象上 C. 它的图象是中心对称图形 D. y随x的增大而增大

k(k＞0)的部分图象如图所示， xA、B是图象上两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，若△AOC的面积为S1，

5.(08年宁夏回族自治区) 反比例函数y△BOD的面积为S2，则S1和S2 的大小关系为（ ）

A．S1＞ S2 B.S1= S2 第二部分：

1.（2008年巴中市）如图，若点A在反比例函数y 2．（2008年•南宁市）图5是反比例函数y那么实数m的取值范围是

C.S1 ＜S2 D.无法确定

k(k0)的图象上， xAMx轴于点M，△AMO的面积为3，则k ．

m2的图象， x拼搏的你，背影很美！

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第15讲 综合练习训练

（全卷共120分）

一、填空题：（每小题3分，共36分）

1.把方程3x(x1)(x2)(x2)9化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项是_______。 2、如果反比例函数yk的图象过点（2，-3），那么k= . x3、已知y与x成反比例，并且当x=2时，y=-1，则当y=3时，x的值是 . 4、关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0, 则a的值是___________. 5. 关于x的方程是(m–1)x+(m–1)x–2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程。 6、已知函数y2

2

3，当x＜0时，函数图象在第 象限，y随x的增大而 . x27、若函数y(m1)xmm1是反比例函数，则m的值是 . 8、直线y=-5x+b与双曲线y2相交于点P（-2，m），则b= . x29.当a4b2c20时,则axbxc0的解为____________________.

1110、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么 ；

x1x2x21+x22= ；

11、若点A（6，y1）和B（5，y2）在反比例函数y4的图象上，则y1与y2的大小关xD，

系是 .

12．已知：如图，在ABC中，ADBC于

B60,AC5,AD3， 则BC=________。

13.如图，双曲线y2(x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABCx＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得△

则四边形OABC的面积是 .ABC，B点落在OA上，

14.如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线错误！未找到引用源。（k＞0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k= ．

拼搏的你，背影很美！

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16（5）如图，直线y=﹣x+b（b＞0）与双曲线y=错误！未找到引用源。（x＞0）交于A、

B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N；有以下结论：

①OA=OB ②△AOM≌△BON． ③若∠AOB=45°．则SAOBk ④当AB=2时，ON=BN=l； 其中结论正确的是 ． 二、选择题：（每小题3分，共36分）

1、关于x的一元二次方程x3x2m0的根的情况是 （ ）

A. 有两个不相等的实根； B. 有两个相等的实根； C. 无实数根； D. 不能确定

2、一元二次方程(m2)x4mx2m60只有一个实数根，则m等于 （ ）

A. 6 B. 1 C. 6或1 D. 2

222

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是 ( )

A、

151511 B、 C、 D、 1543434．在△ ABC中，已知∠C=90°，sinB=，则cosA的值是 ( )

53443 A． B． c． D．

5435

5、（2009 潍坊）关于x的方程(a6)x8x60有实数根，则整数a的最大值是（ ） A、6 B、7 C、8 D、9

6、（2009 佳木斯）若关于x的一元二次方程nx2x10无实数根，则一次函数

22y(n1)xn的图像不经过（ ）象限。

A、一 B、二 C、三 D、四

7、如图(7）,为测得一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处(AC

拼搏的你，背影很美！

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⊥ AB)测得之∠ACB=50°，则A、B间的距离应为( )米．

A．15sin50° B．15 cos 50° C．15 tan50° D．15cot50°

(7） (8） (9）

8、如图(8），要测旗杆AB的高，在C处测得旗杆顶A的仰角30°，向杆前进l0m到达D处，测得A的仰角为45°，则旗杆的高为 ．

9、如图(9），两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的角为，则它们的重叠部分的面积为( ) A．

10、在RtΔABC中,∠C=90,则下列等式中不正确的是( ) （A）a=csinA；（B）a=bcotB；（C）b=csinB；（D）c

11、若直线y=k1x(k1≠0)和双曲线y0

11 B． C．sin D．1

cossinb. cosBk2（k2≠0）在同一坐标系内的图象无交点，则xk1、k2的关系是（ ）

A、k1与k2异号 B、k1与k2同号 C、k1与k2互为倒数 D、k1与k2的值相等

12、已知点A是反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，到x轴的距离为3，若点A在第二象限内，则这个反比例函数的表达式为（ ） A、y121211 B、y C、y D、y xx12x12x2三、解下列方程: （每小题5分，共20分）

1．(x1)(x3)12（配方法） 2．(x2)2x

23．x7x10 4. (2x3)3(2x3)40

四、解答题：（每小题7分，共28分）

2拼搏的你，背影很美！

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1、求证：不论m为何值，方程2x(4m1)xmm0总有两个不相等的实数根。

2．（2006 黔南课改）某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30方向上，已知该岛周围

2216海里内有暗礁

（1）试说明点B是否在暗礁区域外？

（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．

3、如图，点Ａ是双曲线y且Ｓ△ABO＝

北 E C 30º 60 A B 东 k与直线y=-x-(k+1)在第二象限内的交点，ＡＢ⊥x轴于B， x3. 2（１）求这两个函数的解析式；

（２）求直线与双曲线的两个交点Ａ、Ｃ的坐标和△AOC的面积.

拼搏的你，背影很美！

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24、阅读材料：为解方程(x1)5(x1)40，我们可以将x1看着一个整体，2然后设x1=y，① 那么原方程可化为y5y40，解得y11,y24。当y=1时，

2222x211，∴x22，∴x2；当y=4时，x214，∴x25，∴x5；

故原方程的解为x12,x22,x35,x45 。

解答问题：（1）上述解答过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了______________法达到解方程的目的，体现了数学中的转化思想； （2）利用以上知识解方程xx60

5．如图，在△ABC中，ABAC1，点D，E在直线BC上运动，设BDx，CEy． （1）如果BAC30，DAE105，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果BAC的度数为，DAE的度数为，当，满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由． Ａ

42Ｄ Ｂ

Ｃ

Ｅ

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