石首市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．0
2． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10
3． 设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
4． 已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．m⊂α，n∥m⇒n∥α
B．m⊂α，n⊥m⇒n⊥α
C．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β D．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β
5． 设曲线f(x)x21在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象 可以为（ ）
A． B． C. D． 6． 复数z=在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7． 点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是（ A．[﹣1，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣1，0] D．[﹣，0]
8． 设sin（+θ）=，则sin2θ=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
9． 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）
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）
精选高中模拟试卷
A．y=x+1
B．y=﹣x2
C． D．y=﹣x|x|
10．已知集合Axyln(12x)，Bxx2x，全集UAB，则CUAB（ ）
111,0
22211．如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个 圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
（A） ,0 （ B ） ,1 （C） ,0,1 （D） A
D
O B
C
A．
1 B．
11111 C． D． 2242
【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度． 12．设函数y=A．∅
B．N
2
的定义域为M，集合N={y|y=x，x∈R}，则M∩N=（ ）
C．[1，+∞） D．M
二、填空题
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是 ．
14．等比数列{an}的公比q=﹣，a6=1，则S6= ．
15．如图，正方形O'A'B'C'的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的 周长为 ．
1111]
16．若函数f（x）=
﹣m在x=1处取得极值，则实数m的值是 ．
17．的展开式中的系数为 （用数字作答)．
18．观察下列等式 1=1
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精选高中模拟试卷
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49 …
照此规律，第n个等式为 ．
三、解答题
19．0）N0）在平面直角坐标系中，已知M（﹣a，，（a，，其中a∈R，若直线l上有且只有一点P，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是 ①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线； ③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；
20．设不等式
④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．
的解集为.
与
的大小。
（1）求集合； （2）若，∈，试比较
21．已知函数f（x）=lnx+ax2+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=﹣1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调；
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精选高中模拟试卷
（Ⅲ）若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1＞0）是曲线f（x）上的两点，试探究：当a＜0时，是否存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．
22．已知数列a1，a2，…a30，其中a1，a2，…a10，是首项为1，公差为1的等差数列；列a10，a11，…a20，是公
2
差为d的等差数列；a20，a21，…a30，是公差为d的等差数列（d≠0）．
（1）若a20=40，求d；
（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；
3
（3）续写已知数列，使得a30，a31，…a40，是公差为d的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数
列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
23．已知=（
sinx，cosx），=（sinx，sinx），设函数f（x）=
﹣ ．
（1）写出函数f（x）的周期，并求函数f（x）的单调递增区间； （2）求f（x）在区间[π，
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]上的最大值和最小值．
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24．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为cossin2，曲线C的极坐标方程为sin22pcos(p0)．
2t，求直线l的参数方程； 2（2）已知直线l与曲线C交于P,Q，设M(2,4)，且|PQ|2|MP||MQ|，求实数p的值．
（1）设t为参数，若x2
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精选高中模拟试卷
石首市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：取AB的中点C，连接OC，∴sin
=sin∠AOC=
=
，则AC=
，OA=1
所以：∠AOB=120° 则
•
=1×1×cos120°=
．
故选A．
2． 【答案】B 【解析】
考
点：球与几何体 3． 【答案】D
【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线； 故选：D．
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4． 【答案】D
【解析】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误； 在B选项中，可能有n⊂α，故B错误； 在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；
在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确． 故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：gx2x,gxcosx2xcosx,gxgx,cosxcosx，ygxcosx为奇函数，排除B，D，令x0.1时y0，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 6． 【答案】A
【解析】解：∵z=
=
=+i，
∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限． 故选A．
【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复 数是数形结合的典型工具．
7． 【答案】D
【解析】解：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系．
则点A（1，0，0），C1 （0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z=1．
=（﹣x，1﹣y，0）， ∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），∴
=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0=x2﹣x+y2﹣y=
+
﹣，
由二次函数的性质可得，当x=y=时，故当x=0或1，且y=0或1时，
取得最小值为﹣；
取得最大值为0，
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精选高中模拟试卷
则故选D．
的取值范围是[﹣，0]，
【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．
8． 【答案】A
【解析】解：由sin（
+θ）=sin
cosθ+cos
sinθ=
（sinθ+cosθ）=，
两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣， 则sin2θ=2sinθcosθ=﹣． 故选A
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
9． 【答案】D
【解析】解：y=x+1不是奇函数； y=﹣x2不是奇函数；
是奇函数，但不是减函数； y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数， 故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．
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10．【答案】C
【解析】
11A,,B0,1,AB0,,U,1,故选C．
2211．【答案】C
【解析】设圆O的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC中研究问题，过两个半圆的交点分别
向OA，OC作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为1，扇形
2OAC的面积为，所求概率为P2111． 212．【答案】B
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1， ∴函数的定义域M={x|x≥﹣1}；
2
∵集合N中的函数y=x≥0，
∴集合N={y|y≥0}， 则M∩N={y|y≥0}=N． 故选B
二、填空题
13．【答案】 （﹣3，21） ．
【解析】解：∵数列{an}是等差数列，
∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d， 由待定系数法可得
∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18， ∴两式相加即得﹣3＜S9＜21． ∴S9的取值范围是（﹣3，21）． 故答案为：（﹣3，21）．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
，解得x=3，y=6．
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14．【答案】 ﹣21 ．
【解析】解：∵等比数列{an}的公比q=﹣，a6=1，
5
∴a1（﹣）=1，解得a1=﹣32，
∴S6=
故答案为：﹣21
15．【答案】8cm 【解析】
=﹣21
考点：平面图形的直观图． 16．【答案】
﹣2
2
﹣m的导数为f′（x）=mx+2x，
【解析】解：函数f（x）=由函数f（x）=即有f′（1）=0，
﹣m在x=1处取得极值，
即m+2=0，解得m=﹣2，
2
即有f′（x）=﹣2x+2x=﹣2（x﹣1）x，
可得x=1处附近导数左正右负，为极大值点． 故答案为：﹣2．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题．
17．【答案】20
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【解析】【知识点】二项式定理与性质 【试题解析】通项公式为:所以系数为：故答案为：
令12-3r=3，r=3．
18．【答案】 n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 ．
【解析】解：观察下列等式 1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49 …
等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2 左边的式子的项数与右边的底数一致， 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，
照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2， 故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2
【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．
三、解答题
19．【答案】 ①②③
【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线； 确；
②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确； 此坐标平面内有且无数条黄金直线． 故答案为：①②③． 算能力，属于中档题．
20．【答案】（1）
④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因
【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计
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精选高中模拟试卷
（2）
【解析】（1）由所以
（2）由（1）和所以故
21．【答案】
，
【解析】解：（Ⅰ）由已知得此时
，
解得…
（x＞0）．
令f'（x）=0，得x=1，f（x），f'（x）的变化情况如下表： x 1 （0，1） f'（x） f（x） + 单调递增 0 极大值 （1，+∞） ﹣ 单调递减 所以函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．… （Ⅱ）
（x＞0）．
（1）当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．… （2）当a＜0时，令f'（x）=0，得x f'（x） f（x） （0，+ 单调递增 ） 0 极大值 ），减区间为（
，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
（﹣ 单调递减 ，+∞）．… ＞m，即
．
，+∞） 所以函数f（x）的增区间为（0，
要使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调，须且只须所以对任意给定的正数m，只须取满足单调．…
的实数a，就能使得函数f（x）在区间（m，+∞）上不
（Ⅲ）存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）．… 证明如下：令g（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则
，
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精选高中模拟试卷
易得g（x）在x=1处取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，从而得lnx≤x﹣1． （*）… 由令增． 且
，，
结合（*）式可得，
，
，
，得
．…
，则p（x），q（x）在区间[x1，x2]上单调递
．
令h（x）=p（x）+q（x），由以上证明可得，h（x）在区间[x1，x2]上单调递增，且h（x1）＜0，h（x2）＞0，… 所以函数h（x）在区间（x1，x2）上存在唯一的零点x0， 即
（注：在（Ⅰ）中，未计算b的值不扣分．）
【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．
22．【答案】
【解析】解：（1）a10=1+9=10．a20=10+10d=40，∴d=3．
22
（2）a30=a20+10d=10（1+d+d）（d≠0），
成立，从而命题成立．…
a30=10，
当d∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，a30∈[7.5，+∞） （3）所给数列可推广为无穷数列{an]，
其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，
n
当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为d的等差数列．
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研究的问题可以是：试写出a10（n+1）关于d的关系式，并求a10（n+1）的取值范围．
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研究的结论可以是：由a40=a30+10d=10（1+d+d+d），
．
依此类推可得a10（n+1）=10（1+d+…+d）=
n
当d＞0时，a10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等． 中档题．
23．【答案】
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，会根据特例总结归纳出一般性的规律，是一道
sinx，cosx），=（sinx，sinx），
=
（k∈Z）解得kπ﹣
，kπ+）， ]，
≤x≤kπ+
，
= ﹣
cos2x+sin2x﹣
=sin
【解析】解：（1）∵=（∴f（x）=（2x﹣
﹣
=
sin2x+sinxcosx﹣ =π， ≤2kπ+
（1﹣cos2x）+sin2x﹣
．
），
∴函数的周期为T=由2kπ﹣
≤2x﹣
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣（2）由（1）知f（x）=sin（2x﹣当x∈[π，∴﹣
]时，2x﹣
∈[
]，（k∈Z）；
，
≤sin（2x﹣）≤1，
故f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值分别为1和﹣
【点评】本题考查向量的数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，属于中档题． 24．【答案】
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【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
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