[A级 基础题——基稳才能楼高]
1．(2018·浙江高考)双曲线－y＝1的焦点坐标是( )
3A．(－2，0)，(2，0) B．(－2,0)，(2,0) C．(0，－2)，(0，2)
D．(0，－2)，(0,2)
x2
2
解析：选B ∵双曲线方程为－y＝1，
3∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上， ∴c＝a2＋b2＝3＋1＝2，
即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．
2．(2019·南宁摸底联考)双曲线－＝1的渐近线方程为( )
25204
A．y＝±x
51
C．y＝±x
5
5
B．y＝±x
425
D．y＝±x
5
x2
2
x2y2
25
解析：选D 在双曲线－＝1中，a＝5，b＝25，∴其渐近线方程为y＝±
25205
x2y2
x，故选D.
3
3．(2019·合肥调研)下列双曲线中，渐近线方程不是y＝±x的是( )
4A.
－＝1 14481
x2y2
B.
－＝1 1832
y2x2
C.－＝1 916
y2x2
D.－＝1 43
x2y2
9318
解析：选D 对于A，渐近线方程为y＝±x＝±x；对于B，渐近线方程为y＝±12432
x＝±x；对于C，渐近线方程为y＝±x；对于D，渐近线方程为y＝±
x2y2
3
4343
x．故选D. 2
4．(2019·铜陵模拟)已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，
42点A(0，2)，则△APF周长的最小值为( )
A．4(1＋2)
B．4＋2
1
C．2(2＋6) D.6＋32
解析：选A 设双曲线的左焦点为F′，易得点F(6，0)，△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知当A，P，F′三点共线时取到，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋2)．故选A.
x2y2
5．(2019·合肥一模)若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝－2x，
ab则该双曲线的离心率是( )
A．
5 2
B．3 D．23
C．5
x2y2b解析：选C 由双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且双曲线
ababca2＋b2
的一条渐近线方程为y＝－2x，得＝2，则b＝2a，则双曲线的离心率e＝＝＝
aaaa2＋4a25a＝＝5.故选C. aax2y2
6．(2019·德州一模)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝
ab16x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(3，3)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 420C.－＝1 412
x2x2
y2y2
B.D.
－＝1 124－＝1 204
x2x2
y2y2
x2y2b解析：选C 双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，由双曲线的
aba一条渐近线过点(3，3)，可得＝3，
2
ba ①
由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y＝16x的准线x＝－4上，可得c＝4， 即有a＋b＝16，
由①②解得a＝2，b＝23， 则双曲线的方程为－＝1.故选C.
412
[B级 保分题——准做快做达标]
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C上一点，且
3
2
2
2
2
②
x2y2
y2
PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
1
A. 32C. 3
1B. 23D. 2
解析：选D 法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥
3
y2
x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝. 法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，―→―→
得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP＝(1,0)，PF3113―→―→
＝(0，－3)，所以AP·PF＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
222
1
21232
y2
x2y2222
2．(2019·黄冈质检)过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x＋y＝aab的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )
A.2 C．2
B.3 D.5
解析：选A 连接OM.由题意知OM⊥PF，且|FM|＝|PM|，∴|OP|＝|OF|， ∴∠OFP＝45°，∴|OM|＝|OF|·sin 45°，即a＝c·∴e＝＝2.故选A.
2
， 2
cax2y2
3．(2019·银川模拟)已知双曲线2－＝1(0＜a＜1)的离心率为2，则a的值
a1－a2
为( )
1A. 21C. 3
B.2 23 3
D.
解析：选B ∵c2＝a2＋1－a2＝1，∴c＝1，又＝2，∴a＝
ca2
，故选B. 2
x2y2
4．(2019·辽宁五校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2－2＝1(aab
3
＞0，b＞0)的离心率为5，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A．－＝1
28C．－＝1
416
x2y2x2
B．－y2＝1
4D．x－＝1
4
2
x2
y2y2
解析：选D 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为5，所以
2
b2
1＋2＝5，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，a所以双曲线C的方程为x－＝1，故选D.
4
y2
x2y2
5．(2019·黄山一诊)双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2yab＋1＝0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1等于( )
A.3 25 5
B.5 4
C.
1D. 4
解析：选C 因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝25a，|F1F2|2＋|F2A|2－|F1A|220a2＋4a2－16a25所以cos∠AF2F1＝＝＝，故选C.
2|F1F2||F2A|52×25a×2ax2y23
6．(2019·天津和平一模)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过右焦ab2
点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为5，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为( )
4y2
A．x－＝1
5
2
B.－＝1 25D.
－＝1 1620
x22y2x2
y2
C.－＝1 45
x2y2
c3b5
解析：选C 由题意可知e＝＝，可得＝，
a2a2
取一条渐近线为y＝x，
ba 4
可得F到渐近线y＝x的距离d＝
babc＝b， a2＋b2
在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝|OF|2－|MF|2＝c2－b2＝a，
1
由题意可得ab＝
2
b5＝a2，5，联立
12ab＝5，x2y2
a＝2，
解得
b＝5，
所以双曲线的方程为－＝1.故选C.
45
x2y2
7．(2019·湘中名校联考)过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴
ab3
的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，
5则双曲线离心率的取值范围为( )
5A.，＋∞ 35C.1， 3
5B.，＋∞ 45D.1， 4
x2y2b2
解析：选B 将x＝c代入2－2＝1得y＝±，
aba22
2b2c，bc，－b
不妨取A，所以|AB|＝. ，Baaa
将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±x，得y＝±不妨取Cc，，Dc，－，所以|CD|＝32b232bc因为|AB|≥|CD|，所以≥×，
5a5a399
即b≥c，则b2≥c2，即c2－a2≥c2，
52525即
162255c≥a2，所以e2≥，所以e≥. 25164
babc， a
bca
bca
2bca.
x2y2
8．(2019·桂林模拟)若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为
ab边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是
5
( )
A.1，C.
5 2
B.1，D.
7 2
5
，＋∞ 27
，＋∞ 2
解析：选C 由条件得|OP|2＝2ab.又∵P为双曲线上一点，∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，5c5
∴2b≥a.又∵c＝a＋b≥a＋＝a2，∴e＝≥.∴双曲线离心率的取值范围是
44a2
2
2
2
2
a2
5
，＋∞. 2
9．(2019·惠州调研)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝( )
A．1 C．4
B．2 1
D．
2
解析：选A 如图，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2
的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.故选A.
x2y2
10．(2019·郑州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右
ab焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．x±2y＝0 C．x±2y＝0
B．2x±y＝0 D．2x±y＝0
解析：选B 假设点P在双曲线的右支上，
|PF1|＋|PF2|＝6a，则
|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
∵|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的边是PF2， ∴△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.
在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos 30°，
6
∴c2－23ac＋3a2＝0，
∴e－23e＋3＝0，∴e＝3，∴＝3， ∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，
∴＝2，∴双曲线的渐近线方程为2x±y＝0，故选B.
2
cabax2y23
11．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线2－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝
a95
________.
x2y23
解析：∵双曲线的标准方程为2－＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
a9a3
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.
5
答案：5
x2y2
12．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的
ab右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知 |AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
222
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
22
pppppx2y22－2＝1，
联立abx2＝2pya
消去x，得ay－2pby＋ab＝0，
22222
2pb22pb2
所以y1＋y2＝2，所以2＝p，
ab21b2即2＝，故＝， a2a2
所以双曲线的渐近线方程为y＝±答案：y＝±
2
x 2
2x. 2
x2y2
13．(2019·成都毕业班摸底测试)已知双曲线2－＝1(a＞0)和抛物线y2＝8x有相
a2
7
同的焦点，则双曲线的离心率为________．
x2y2
解析：易知抛物线y＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线2－＝1的焦点为(2,0)，
a2
2
则a2＋2＝22，即a＝2，所以双曲线的离心率e＝＝答案：2
ca22
＝2.
x2y2
14．(2019·南昌调研)已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点Fab作圆(x－a)＋y＝的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心
16率为________．
解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y＝x，由题意可知该切线方程为y＝－
2
2
2
2
c2
baab(x－c)，即ax＋by－ac＝0.又圆(x－a)＋y＝的圆心为(a,0)，半径为，则圆心到切
164|a2－ac|ac－a2cc线的距离d＝＝＝，又e＝，则e2－4e＋4＝0，解得e＝2. 22
c4aa＋b答案：2
c2cy2
15．(2019·西安铁一中模拟)已知点F1，F2分别是双曲线C：x－2＝1(b＞0)的左、
b2
右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2＝30°.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求―→―→
PP1·PP2的值．
解：(1)由题易知F2(1＋b2，0)，可设M(1＋b2，y1)．
y21
因为点M在双曲线C上且在x轴上方，所以1＋b－2＝1，得y1＝b2，所以|F2M|＝
b2
b2.在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2.由双曲线的定义可知，
|MF1|－|MF2|＝b＝2，故双曲线C的方程为x－＝1.
2
(2)易知两条渐近线方程分别为l1：2x－y＝0，l2：2x＋y＝0. 设双曲线C上的点P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为θ， 不妨设P1在l1上，P2在l2上，
2
2
y2
8
|2x0－y0||2x0＋y0|
则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|＝，|PP2|＝.
33因为P(x0，y0)在双曲线x－＝1上，
2
2
所以2x20－y0＝2，
2
y2
1又易知cos θ＝，
3
2
|2x0－y2120|―→―→|2x0－y0||2x0＋y0|
所以PP1·PP2＝·cos θ＝·＝. 33933
x2y2
16．(2019·湛江模拟)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
ab(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b， 所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2， 所以双曲线的方程为－＝1.
22(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
所以直线AO的斜率满足·(－3)＝－1， 所以x0＝3y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
122
将①代入圆的方程得3y20＋y0＝c，即y0＝c，
2所以x0＝
331c，所以点A的坐标为c，c， 222
bax2y2
y0x0
3212cc44
代入双曲线方程得2－2＝1，
ab31
即b2c2－a2c2＝a2b2，② 44又因为a2＋b2＝c2，
3
所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
4
9
所以3－8＋4＝0， 所以(3e2－2)(e2－2)＝0， 因为e＞1，所以e＝2， 所以双曲线的离心率为2.
c4ac2a
10
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容