必修4模块综合测试（3）
姓名:_______________
一、选择题(每小题5分，共50分) 1．tan105°＝( )
A．2－3 B．－2－3 C．－3－3 D．－2－2
→
→→
A．0 →C.AD
B.BE →D.CF
→
则x＋y等于( )
A．1 B．2 C．3 cos2α4．已知tanα＝2，则＝( )
sinα－cosα2A．2 B．－2 C．3 D．－3 5.(2011·广东高考)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3 C．2
D．0 D．4
→
→
2.(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( )
3．(2011·衡水高一检测)已知点A(x,1)，B(1,0)，C(0，y)，D(－1,1)，若AB＝CD，
6.(2011·广东惠州一模)若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b等于( )
A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) 7．在△ABC中，C>90°，则tanA·tanB与1的关系是( )
A．tanA·tanB>1 B．tanA·tanB<1 C．tanA·tanB＝1
D．不能确定 D．(－6,3)
→→→
π
8.已知|a|＝22，|b|＝3，a，b的夹角为，如图所示，若AB＝5a＋2b，AC＝a－3b，且D为BC中点，则AD
4的长度为( )
15A. 2C．7
B.15 2
D．8
ππ
9．(2011·课标全国高考)设函数f(x)＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)，则( )
44
ππ
A．y＝f(x)在(0，)单调递增，其图象关于直线x＝对称
24
1
ππ
B．y＝f(x)在(0，)单调递增，其图象关于直线x＝对称
22ππ
C．y＝f(x)在(0，)单调递减，其图象关于直线x＝对称
24ππ
D．y＝f(x)在(0，)单调递减，其图象关于直线x＝对称
22
xxx65ππ
10．已知不等式f(x)＝32sin·cos＋6cos2－＋m≤0，对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取
444266值范围是( )
A．m≥3 B．m≤3 C．m≤－3 二、填空题(每小题5分，共25分)
11．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为________．
12．(2011·安徽高考)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________． 1
13．已知sinx＝，sin(x＋y)＝1，则sin(2y＋x)＝________.
32
14．在△ABC中，sin2A＝，则sinA＋cosA＝________.
3
→
＋|b|2＋|c|2＝________.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共75分)
→
→
→
17．(12分)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，
(1)求|a＋b|；(2)当k为何值时，(ka＋b)∥(a－3b)?
2
D．－3≤m≤3
→→
15．设O、A、B、C为平面内四点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，且a＋b＋c＝0，a·b＝b·c＝c·a＝－1，则|a|2
→
16．(12分)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，若AB＝a，AD＝b，试以a，b为基底表示DE和BF.
15
18. (12分)已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．
35ππ
求： (1)tan(α＋β)的值； (2)2sin(－α)＋cos(＋β)的值．
66
π
19．(12分)(2011·北京高考)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.
6
ππ
(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
64
20．(13分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝
413
. 13
ππ4
(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα的值．
225
3
21．(14分)平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，点B(0,3)，点C(cosα，sinα)．
→→
参考答案：
一、选择题：1．B 2. D 3. D 4. D 5. D 6. A 7. B 8. A 9. D 10. C 1π115
二、填空题：11. 12. 13． 14． 15．6
2333三、解答题：
16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，
→→→→→
111111
∴AD＝BC＝2BE，∴BE＝AD＝b，CF＝CD＝BA＝－AB＝－a，
22222211
∴DE＝DA＋AB＋BE＝－AD＋AB＋BE＝－b＋a＋b＝a－b，
221
BF＝BC＋CF＝AD＋CF＝－a＋b.
217．解：(1)依题意，a＋b＝(－2,4)，
∴|a＋b|＝－22＋42＝25.
(2)方法1：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵(ka＋b)∥(a－3b)，
∴(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0，
11
解得：k＝－，∴当k＝－时，(ka＋b)∥(a－3b)．
33方法2：∵a－3b≠0，∴由(ka＋b)∥(a－3b)， 可得ka＋b＝λ(a－3b)，
即ka＋b＝λa－3λb，又∵a，b不共线， ∴k＝λ，－3λ＝1，
4
→→→→
(1)若AC·BC＝－1，求sinα·cosα的值．(2)若|OA＋OC|＝13且α∈(0，π)，求OB与OC的夹角．
→→→→
→→→→→→→
→→→→→
11
解得：k＝－，∴当k＝－时，(ka＋b)∥(a－3b)．
3318.解：(1)由cosβ＝tanα＋tanβ525
，β∈(0，π)，得sinβ＝，tanβ＝2. 所以tan(α＋β)＝＝1. 551－tanαtanβ
113
(2)因为tanα＝－，α∈(0，π)，所以sinα＝，cosα＝－ .
31010原式＝(＝－263123613512cosα－sinα)＋(cosβ－sinβ)＝×(－)－×＋×－×5 22222252510102
5. 2
π31
19．解：(1)因为f(x)＝4cosxsin(x＋)－1＝4cosx(sinx＋cosx)－1＝3sin2x＋2cos2x－1
622
π
＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，所以f(x)的最小正周期为π.
6
ππππ2ππππ
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
64663626πππ
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
666
20．解：(1)a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2cos(α－β)，
∴
165＝2－2cos(α－β)．∴cos(α－β)＝. 1313
ππ43
(2)由0<α<，－<β<0且sinβ＝－，可知cosβ＝，且0<α－β<π.
2255512
又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，
1313
1235416
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×(－)＝.
13513565
21．解：(1)∵A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)
→→→
→
∴AC＝(cosα－3，sinα) BC＝(cosα，sinα－3)
24
又∵AC·BC＝－1∴cosα(cosα－3)＋sinα(sinα－3)＝－1 ∴cosα＋sinα＝两边平方1＋2sinα·cosα＝
395
∴sinα·cosα＝－.
18
1
(2)∵OA＋OC＝(3＋cosα，sinα)，|OA＋OC|＝13，∴(3＋cosα)2＋sin2α＝13 ∴cosα＝，α∈(0，π)
2π31333∴α＝，sinα＝，∴C(，)，OB·OC＝.设OB与OC的夹角为θ(0≤θ≤π)，则
32222
→→
→
→
→
→
→
→
5
332OB·OC3π
cosθ＝＝＝，∴θ＝即为所求．
→326→
|OC||OB|
→→
6
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