(完整版)文科高中数学公式大全(超全完美)

高

一、函数、导数

中文科数学公式总结

1．元素与集合的关系:xAxCUA,xCUAxA.ØAA

集合{a1,a2,L,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n1个；非空子集有2n1个；非空的真子集有

2n2个.

2. 真值表 常见结论的否定形ｐ ｑ 非ｐ 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 真 原结论 是 都是 大于 小于 对所有x，成立 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某x，不成立 ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 真 假 真 假 假 假 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n1）个 至少有（n1）个 式; 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 p或q p且q p且q p或q 对任何x，不成立 存在某x，成立 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 3. 充要条件（记p表示条件，q表示结论） （1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4. 全称量词表示任意，表示存在；的否定是，的否定是。

例：xR,xx10 的否定是 xR,xx10 5. 函数的单调性

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22托普高考教育

(1)设x1、x2[a,b],x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数；

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.

(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减函数.

6. 复合函数yf[g(x)]单调性判断步骤：

（1）先求定义域 （2）把原函数拆分成两个简单函数yf(u)和ug(x) （3）判断法则是同增异减（4）所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性

(1)前提是定义域关于原点对称。

(2)对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数； 对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。 8．若奇函数在x=0处有意义，则一定存在 若奇函数在x=0处无意义，则利用

f00；

fxfx求解；

nn19．多项式函数P(x)anxan1xa0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像： 11. 函数的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.

(2)对于函数yf(x)(xR),f(ax)f(ax)恒成立,则函数f(x)的对称轴是xa (3)对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是x12. 由

ab; 2f(x)向左平移一个单位得到函数f(x1) f(x)向上平移一个单位得到函数f(x)1

由f(x)向右平移一个单位得到函数f(x1)

由

由f(x)向下平移一个单位得到函数f(x)1

若将函数yf(x)的图象向右移a、再向上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线

f(x,y)0的图象向右移a、向上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.

13. 函数的周期性

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期Ta； （2）f(xa)f(x)，则f(x)的周期T2a （3）f(xa)1，则f(x)的周期T2a f(x)（4）f(xa)f(xb),则f(x)的周期Tab； 14. 分数指数 (1)amnnam（a0,m,nN，且n1）.

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(2)amn1amn1nam（a0,m,nN，且n1）.

15．根式的性质

n（1）(na)a.

（2）当n为奇数时，nana； 当n为偶数时，nan|a|16．指数的运算性质

(1) aaarsrsrsa,a0.

a,a0(a0,r,sQ) (2) arasars(a0,r,sQ)

rrr(3) (a)a(a0,r,sQ) (4) (ab)ab(a0,b0,rQ). 17. 指数式与对数式的互化式: logaNbabN(a0,a1,N0). 18．对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

rsMlogaMlogaN; Nnnn(3)logaMnlogaM(nR); (4) logamNlogaN(n,mR)

m(1)loga(MN)logaMlogaN; (2) loga（5）

logaa1 （6）loga10

logmN (a0,且a1,m0,且m1, N0).

logma19. 对数的换底公式 :logaN 倒数关系式：

logablogba1

logaN20. 对数恒等式：aN(a0,且a1, N0).

21. 零点存在定理： 如果函数

f(x)在区间（a, b）满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间（a, b）上存在零点。

22. 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0). 23. 几种常见函数的导数

'n1(1) C0（C为常数） (2) (xn)nx(nQ)

(3) (sinx)cosx (4) (cosx)sinx

11 (6) (logax) xxlnaxxxx(7) (e)e (8) (a)alna.

(5) (lnx)24. 导数的运算法则

u'u'vuv'(v0) （1）(uv)uv （2）(uv)uvuv （3）()vv2''''''25. 复合函数的求导法则

''''设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x处的对应点U处有导数yuf(u)，则

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''''''复合函数yf((x))在点x处有导数，且yxyuux，或写作fx((x))f(u)(x).

26. 求切线方程的步骤：

① 求原函数的导函数f(x)

② 把横坐标x0带入导函数f(x)，得到f(x0)，则斜率kf(x0) ③ 点斜式写方程yy0f(x0)(xx0) 27. 求函数的单调区间

① 求原函数的导函数f(x)

② 令f(x)0，则得到原函数的单调增区间。 ② 令f(x)0，则得到原函数的单调减区间。 28. 求极值常按如下步骤：

① 求原函数的导函数f(x)；

② 令方程f(x)=0的根，这些根也称为可能极值点

③ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(可以通过列表法) 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极小值. ④ 将极值点带入到原函数中，得到极值。 29. 求最值常按如下步骤： ① 求原函数的极值。

② 将两个端点带入原函数，求出端点值。

③ 将极值与端点值相比较，最大的为最大值，最小的为最小值。

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

30. 同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=

31. 正弦、余弦的诱导公式

sin. cos奇变偶不变，符号看象限。

32. 和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscosmsinsin;

tantantan().

1mtantan33. 二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

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tan22tan. 21tan2cos21cos2,cos21cos2;2公式变形：

1cos22sin21cos2,sin2;234. 三角函数的周期

函数ysin(x)，周期T22函数ycos(x)，周期T；

函数ytan(x)，周期T.

35. 函数ysin(x)的周期、最值、单调区间、图象变换（熟记）

36. 辅助角公式（化一公式）

；

yasinxbcosxa2b2sin(x) 其中tan36. 正弦定理

b aabc2R. sinAsinBsinC37. 余弦定理

a2b2c22bccosA; b2c2a22cacosB; c2a2b22abcosC.

38. 三角形面积公式

S111absinCbcsinAcasinB. 22239. 三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB) sin(AB)sinC 40. a与b的数量积(或内积) 41. 平面向量的坐标运算

uuuruuuruuur（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).

（3）设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=(x1x2,y1y2). （4）设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2y1y2. (5)设a=(x,y)，则a （2）设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=(x1x2,y1y2).

x2y2

42. 两向量的夹角公式

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则 43. 向量的平行与垂直

a//bba x1y2x2y10.

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ab(a0) ab0x1x2y1y20.

44. 向量的射影公式

若，a与b的夹角为，则b在a的射影为|b|cos

三、数列

45. 数列{an}的通项公式与前n项的和的关系（递推公式）

n1s1,( 数列{an}的前n项的和为sna1a2Lan). anss,n2nn146. 等差数列{an}的通项公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

47. 等差数列{an}的前n项和公式

snn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)n. 222248. 等差数列{an}的中项公式

49. 等差数列{an}中，若mnpq，则amanapaq 50. 等差数列{an}中，sn，s2nsn，s3ns2n成等差数列 51. 等差数列{an}中，若n为奇数，则snnan1

252. 等比数列的通项公式

ana1qn1a1nq(nN*)； q53. 等比数列前n项的和公式为

a1(1qn)a1anq,q1,q1sn1q 或 sn1q.

na,q1na,q111当q1时，anna1

. 等比数列{an}的中项公式

55. 等比数列{an}中，若mnpq，则amanapaq 56. 等比数列{an}中，sn，s2nsn，s3ns2n成等比数列

四、均值不等式

57. 均值不等式：如果a,bR，那么ab2ab。“一正二定三相等”

xyxy，当xy时等号成立。 2（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；

12（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值s.

4五、解析几何

58. 已知x,y都是正数，则有59. 斜率的计算公式

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（1）ktan （2）k60. 直线的五种方程

y2y1A （3）直线一般式中k

x2x1B（1）点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)).

y2y1x2x1xy（4）截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

ab（5）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式 61. 两条直线的平行

若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2 （1）k1k2,b1b2; （2）k1,k2均不存在 62. 两条直线的垂直

若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2 （1）k1k21. （2）k10,k2不存在 63. 平面两点间的距离公式

dA,B(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

. 点到直线的距离

d|Ax0By0C|AB22 (点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

65. 圆的三种方程

（1）圆的标准方程 (xa)(yb)r.

22（2）圆的一般方程 xyDxEyF0(DE4F＞0).

22222DE 圆心坐标(,) 半径=

2266. 直线与圆的位置关系

2D2E24F

222直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

dr相离0; dr相切0;

dr相交0. 弦长=2r2d2

AaBbC其中d.

22AB67. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

x2y2a2c222椭圆：221(ab0)，acb，离心率e1.准线方程：x

caba第7页（共9页）

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x2y2a2c222双曲线：221(a>0,b>0)，cab，离心率e1，准线方程：x

caab渐近线方程是y2bx. a抛物线：y2px，焦点(pp,0),准线x。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

2268. 双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

ababax2y2xyb (2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

ababax2y2x2y2 (3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴上，0，焦点

abab在y轴上）.

69. 抛物线y2px的焦半径公式

抛物线y2px(p0)焦半径|PF|x070. 过抛物线焦点的弦长ABx122p.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。） 2ppx2x1x2p. 22六、立体几何

71. 证明直线与直线平行的方法

（1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等） 72. 证明直线与平面平行的方法

（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行） （2）先证面面平行

73. 证明平面与平面平行的方法

平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行） ．．．．74. 证明直线与直线垂直的方法

转化为证明直线与平面垂直 75. 证明直线与平面垂直的方法

（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直） ．．．．

（2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面） 76. 证明平面与平面垂直的方法

平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直） 77. 柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=2rl，表面积=2rl2r

2圆椎侧面积=rl，表面积=rlr

21V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

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球的半径是R，则其体积V43R,其表面积S4R2 378. 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算（构造二面角的平面角） 79. 点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

80. 直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

81. 平均数、方差、标准差的计算

x1x2xn12222 方差:s[(x1x)(x2x)(xnx)]

nn1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] 标准差:sn平均数:x82. 回归直线方程

nnxixyiyxiyinxyi1i1bnn$2yabx，其中22.

xxxnxiii1i1aybxn(acbd)2283. 性检验 K

(ab)(cd)(ac)(bd)84. 古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏） ．．．．．．．．．85. 几何概型的计算，转化为体积，面积，长度之比。

八、复数

86. 复数的相等

abicdiac,bd.（a,b,c,dR）

87. 复数zabi的模

|z|=|abi|=a2b2. 88. 复数zabi的共轭复数 . 复数的四则运算法则

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i; (4)(abi)(cdi)90. 复数的周期T4

acbdbcad2i(cdi0) 222cdcd第9页（共9页）