上海市闵行区高考数学一模试卷
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M= ． 2．（4分）计算3．（4分）方程4．（4分）已知
= ．
5．（4分）已知直线l的一个法向量是是 ．
= ．
的根是 ．
是纯虚数（i是虚数单位），则
6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是 （用数字作答）
7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为 （用数字作答） 8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是 （结果用反三角函数表示）
祝您高
9．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且
，则b1+b2+…+b1009= ．
与
的夹角为120°，上的动点，若
，
，P是以O为，则λμ的最大值
10．（5分）如图，向量圆心，是 ．
为半径的弧
考马到成，则l的倾斜角的大小
功！
11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过
线方程是 ．
12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的取值范围是 ．
的点P至少有4个，则实数k
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（ ） A．l1⊥l3
B．l1∥l3
祝您高C．充要
16．（5分）已知函数有下列结论：
C．l1、l3既不平行也不垂直 D．l1、l3相交且垂直 14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ） A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd
15．（5分）无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（ ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分
D．既非充分也非必要
（n＜m）的值域是[﹣1，1]，
考马到成功！F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近
①当n=0时，m∈（0，2]； ②当③当④当
时，
；
时，m∈[1，2]； 时，m∈（n，2]；
其中结论正确的所有的序号是（ ） A．①②
B．③④
C．②③
D．②④
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）已知函数
（其中ω＞0）．
（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若ω=2，0＜α＜π，且
，求α的值．
18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°． （1）求圆锥的侧面积；
到成（2）求直线PC与底面所成的角的大小．
祝您高19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．
考马
功！，
（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益； （2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？ 20．（16分）已知椭圆
的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与
Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）． （1）求Γ的方程；
（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；
（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．
21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0
b）映像函数”．
的a、b的值，若不是，请说明理由；
[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；
（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{an}，使得当x∈[an，an+1）（n∈N*）时，2x+1∈[an+1，an+2），并求x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．
祝您高
考马（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈
到（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应
成不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，
功！
上海市闵行区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
【解答】解：∵集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}={0，1，2}， M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}， ∴P∩M={0，1，2}． 故答案为：{0，1，2}．
2．（4分）计算
=
．
故答案为：．
3．（4分）方程
您高【解答】解：∵∴lgx=1， ∴x=10．
祝故答案为：10．
4．（4分）已知
． 【解答】解：∵
考马【解答】解：=
到=
是纯虚数，
的根是 10 ． ，即1+lgx﹣3+lgx=0，
是纯虚数（i是虚数单位），则
成=，
=
功！1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M= {0，1，2} ．
∴，得sin且cos，
∴α为第二象限角，则cos∴
故答案为：﹣
=sinαcos．
．
+cosαsin
=
．
5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是
【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）． 设直线的方向向量为=（x，y），则∴tanθ==故答案为：
，解得θ=．
．
=
x﹣y=0，
6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是 96 （用数字作答）
【解答】解：根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，
祝您高其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种 则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120﹣4﹣20=96种； 故答案为：96．
7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为 40 （用数字作答） 【解答】解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）r， 今r=2，
∴T3=22C52x2=40x2． ∴x2的系数是40
考马到成功！ ．
8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是 arccos
（结果用反三角函数表示）
【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1， BC∥B1C1，
∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角， ∵A1B=A1C=∴cos∠A1BC=∴∠A1BC=arccos
． ==
==
=5，
=，
∴异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos故答案为：arccos
．
考马=常数t．
祝您高
9．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且
，则b1+b2+…+b1009= 2018 ．
【解答】解：数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列， ∴bn+1﹣bn=lnan+1﹣lnan=ln
到成． ．
功！
∴
=常数et=q＞0，
因此数列{an}为等比数列． 且
，
=…．
∴a1a1009=a2a1008=
故答案为：2018．
10．（5分）如图，向量圆心，
为半径的弧
与
的夹角为120°，
，
上的动点，若
成． ．
，sinθ=
+
，
，则λμ的最大值是
【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），
，
，
∵
您高∴
∴λμ=
祝故答案为：
考马
，∴
，
﹣+=
到功！，P是以O为
．
则b1+b2+…+b1009=ln（a1a2…a1009）==lne2018=2018．
11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线
（a＞0，b＞0）的左右焦点，过
F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是 y=±x ．
在直角△PF1F2中，∠PF1F2=30°， 可得m=2n，
则m﹣n=2a=n，即a=n， 2c=b=
n，即c=
=
n， n，
可得双曲线的渐近线方程为y=±x， 即为y=±
x，
x．
故答案为：y=±
12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件
的点P至少有4个，则实数k
您高祝角坐标系， ∴E（﹣3，
的取值范围是 （﹣，﹣2） ．
【解答】解：以BC的垂直平分线为y轴，以BC为x轴，建立如图所示的平面直
∵AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°， ∴B（﹣2.0），C（2，0），A（﹣4，2∵E、F分别是AB、CD的中点，
），F（3，
），
），D（4，2
），
考马
到成功！【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，
设P（x，y），﹣4≤x≤4，0≤y≤2∵
，
﹣y）（3﹣x，）﹣9=k+9，
，
∴（﹣3﹣x，即x2+（y﹣
﹣y）=x2+（y﹣）+9=k，
当k+9＞0时，点P的轨迹为以（0，）为圆心，以为半径的圆，
当圆经过点C时，此时圆的半径为r=∵满足条件∴
＜k+9＜7，
=，此时点P有4个，
的点P至少有4个，结合图象可得，
解得﹣＜k＜﹣2，
故实数k的取值范围为（﹣，﹣2）， 故答案为：（﹣，﹣2）
您高
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（ ） A．l1⊥l3
B．l1∥l3
祝C．l1、l3既不平行也不垂直 D．l1、l3相交且垂直
【解答】解：∵空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3， ∴l1⊥l3， 故选：A．
考马
到成功！当圆与直线DC相切时，此时圆的半径r=，此时点有2个，
14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ） A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd 【解答】解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0． 又a＞b＞0，
则一定有﹣ac＞﹣bd，可得ac＜bd． 故选：D．
15．（5分）无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（ ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要
D．既非充分也非必要
则Sn+1=（n+1）a1+则Sn+1﹣Sn=（n+1）a1+
，
考马﹣na1﹣
若{Sn}为递增数列，a1+nd＞0， ∵S2﹣S1=a1+d＞0，
∴a1+nd＞0不能推出a1+d＞0
祝您高但a1+d能推出a1+nd，
故a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列必要非充分， 故选：B
16．（5分）已知函数
有下列结论：
①当n=0时，m∈（0，2]； ②当
时，
；
到【解答】解：等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn=na1+
成d=a1+nd，
（n＜m）的值域是[﹣1，1]，
功！d，
③当④当
时，m∈[1，2]； 时，m∈（n，2]；
其中结论正确的所有的序号是（ ） A．①②
B．③④
C．②③
D．②④
【解答】解：当x＞1时，x﹣1＞0，f（x）=22﹣x+1﹣3=23﹣x﹣3，单调递减，
∴f（x）=22﹣|x﹣1|﹣3在（﹣1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减， ∴当x=1时，取最大值为1， ∴绘出f（x）的图象，如图： ①当n=0时，f（x）=
，
由函数图象可知：
要使f（x）的值域是[﹣1，1]， 则m∈（1，2]；故①错误； ②当
时，f（x）=
f（x）在[﹣1，]单调递增，f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，
祝您高③当故选C．
∴；故②正确；
时，m∈[1，2]；故③正确，④错误，
考马，
到成功！当﹣1＜x＜1时，f（x）=22+x﹣1﹣3=21+x﹣3，单调递增，
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增
（2）若ω=2，0＜α＜π，且【解答】解：（1）函数
考马，
区间；
，求α的值．
=
到=
sin（ωx
17．（14分）已知函数
成），
（其中ω＞0）．
sin（ωx
∵函数f（x）的最小正周期为3π，即T=3π=
您高∴ω= 那么：由
，k∈Z，
祝得：
∴函数f（x）的单调递增区间为（2）函数∵ω=2 ∴f（x）=
，k∈Z；
sin（2x），
功！），
，可得sin（2α
∵0＜α＜π， ∴2α
≤（2α=
或
）≤
）=
解得：α=
或α=．
18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°． （1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线PC与底面所成的角的大小．
【解答】解：（1）∵AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．
考马
到，AB=4，
您高∴r==2，l===4，
∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×4=8π．
（2）过点P作PE⊥圆O，交AO于E，连结CE，则E是AO中点， ∴PE=PO=
，CE=
=
，
祝∴∠PCE是直线PC与底面所成角， ∵PE=CE，PE⊥CE，∴∴直线PC与底面所成的角为
， ．
成功！，
19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的
贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假
设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．
（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益； （2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？ 【解答】解：（1）设第x天的捐步人数为x，则（fx）=
∴第5天的捐步人数为f（5）=10000•（1+15%）4=17490．
由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，
考马到成您高∴前5天的捐步总收益为×0.05=3371；
（2）设活动第x天后公司捐步总收益可以回收并有盈余， ①若1≤x≤30，则
×0.05＞300000，
解得x＞log1.1591≈32.3（舍）． ②若x＞30，则[解得x＞32.87．
∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．
20．（16分）已知椭圆
的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与+10000•1.1529•（x﹣30）]•0.05＞300000，
祝
功！．
Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）． （1）求Γ的方程；
（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）； （3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．
【解答】（1）解：由椭圆
，得a2=10，b2=9，则c=1．
∴椭圆则
，p=2，
的右焦点，即抛物线Γ：y2=2px的焦点为（1，0），
∴Γ的方程为y2=4x；
（2）解：设直线l：x=my+2， 联立
，得y2﹣4my﹣8=0．
∴
考马=
则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．
到=
，
．
即△OAB的面积的最小值为；
（3）证明：当AB所在直线斜率存在时，设直线方程为y+2=k（x﹣5），即y=kx
您高联立
，
﹣5k﹣2．
，可得ky2﹣4y﹣20k﹣8=0．
． =
祝=
==．
成功！
∵C（1，2）， ∴则+4 =
，
，
，
=（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2﹣2（y1+y2）
当AB所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5， 联立
，可得A（5，﹣
，
），B（5，2，有
）， ，
∴CA⊥CB，又D为线段AB的中点，∴|AB|=2|CD|．
祝您高b）映像函数”．
21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，
（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；
（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；
（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{an}，使得当x∈[an，an+1）（n∈N*）时，2x+1∈[an+1，an+2），并求x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．
考马
到成功！
【解答】解：（1）由f（x）=x2﹣2，可得f（ax+b）=（ax+b）2﹣2=a2x2+2abx+b2﹣2，
由f（x）=f（ax+b），得x2﹣2=a2x2+2abx+b2﹣2， 则
，∵a≠0，且a=1，b=0不同时成立，
∴函数f（x）=x2﹣2是“（﹣1，0）映像函数”；
（2）∵函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，
∴f（x）=f（2x+1），则f（0）=f（1）=f（3），f（1）=f（3）=f（7），
而当x∈[0，1）时，f（x）=2x， ∴x∈[3，7）时，设f（x）=2sx+t， 由
，解得s=，t=﹣．
．
令y=∴x=
（3≤x＜7），得
考马．
∴x∈[3，7）时，f（x）=
（1≤y＜2），
祝您高则an+1+1=2（an+1）， 则
，即
令
∴函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数为y=
到，
（1≤x＜2）；
．
（3）由（2）可知，构造数列{an}，满足a1=0，an+1=2an+1，
∴数列{an+1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
当x∈[an，an+1）=[2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
，解得s=21﹣n，t=21﹣n﹣1．
∴x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式为f（x）=当x∈[0，+∞）时，函数f（x）的值域为[1，2）．
成∴f（0）=f（3），f（1）=f（7），
功！∴a=﹣1，b=0．
祝
您高考马到成功！
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