13.1 轴对称
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共15小题）
1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）
A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条
3．如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（ ）
A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′，CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上 5．下列说法中错误的是（ ）
A．两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 B．关于某直线对称的两个图形全等 C．面积相等的两个四边形对称
D．轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合 K12的学习需要努力专业专心坚持
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6．将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ） A．
B．
C．
D．
7．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（ ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
8．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
9．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（ ）
A．50° B．70° C．75° D．80°
10．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
11．如图所示，△ABC中，AC=5，AB=6，BC=9，AB的垂直平分线交BC于点D，则△ACD的周K12的学习需要努力专业专心坚持
生活的色彩就是学习 长是（ ）
A．11 B．14 C．15 D．20
12．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（ ）
A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12
13．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON=50°，则∠CPD=（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（ ）
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A．
B． C． D．
二．填空题（共8小题）
16．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为 ．
17．如图，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为 ．
18．如图，正方形ABCD的边长为5cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
19．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若得∠AOB′=70°，则∠B′OG的度数为 ．
20．某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 ．
21．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN= ． K12的学习需要努力专业专心坚持
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22．如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为 ．
23．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴．若AD∥BC，则下列结论： （1）AB∥CD；（2）AB=BC；（3）BD平分∠ABC；（4）AO=CO． 其中正确的有 （填序号）．
三．解答题（共4小题）
24．已知如图，在△ABC中，∠B=45°，点D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，连接CE．
（1）求∠AEC的度数；
（2）请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．
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25．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC=5，求△ADE的周长． （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．
26．如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连结PM，PN，如果∠PMO=33°，∠PNO=70°，求∠QPN的度数．
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27．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点P为边BC上的一点，BC=3BP，且∠PAB=15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH （1）求∠BPD的大小；
（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由； （3）证明：∠BAP=∠CAH．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题） 1．
解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 2．
解：五角星的对称轴共有5条， 故选：C． 3．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 4．
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确；
直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．D错误； 故选：D． 5．
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生活的色彩就是学习 解：A、B、D都正确；
C、面积相等的两个四边形不一定全等，故不一定轴对称，错误． 故选：C． 6．
解：观察选项可得：只有C是轴对称图形． 故选：C． 7．
解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形， 根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形． 故选：A． 8．
解：
可以瞄准点D击球． 故选：D． 9．
解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°， ∵∠B=60°，∠C=25°， ∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=70°， 故选：B．
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生活的色彩就是学习 10．
解：∵CD=AC，∠A=50°， ∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线， ∴CD=BD， ∴∠BCD=∠B， ∴∠B=∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°． 故选：D． 11．
解：∵MN是AB的垂直平分线， ∴DA=DB，
∴△ACD的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=14， 故选：B． 12．
解：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05． 故选：A． 13．
解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子． 故选：C． 14．
解：如图，连接OA、OB、OP，设PA与OM交于点E，PB与ON交于点F． ∵点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，
∴OA=OP=OB，CA=CP，DP=DB，∠AOC=∠COP，∠POD=∠DOB，
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∴∠AOB=∠AOC+∠COP+∠POD+∠DOB=2∠COD=100°， ∴∠OAB=∠OBA=（180°﹣∠AOB）=40°． 设∠COP=α，∠DOP=β，则α+β=50°． ∵OA=OP，∠AOP=2α，
∴∠OPA=∠OAP=（180°﹣2α）=90°﹣α， ∵∠OAB=40°，
∴∠CPA=∠CAP=∠OAP﹣∠OAB=50°﹣α． 同理，∠DPB=50°﹣β．
∵∠EPF=360°﹣∠EOF﹣∠OEP﹣∠OFP=360°﹣50°﹣90°﹣90°=130°，
∴∠CPD=∠EPF﹣（∠CPA+∠DPB）=130°﹣（50°﹣α+50°﹣β）=30°+（α+β）=80°． 故选：B．
15．
解：如图，连接CC'并延长交A'B'于D，连接CB'，CA'，
∵点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，
∴AC=A'C，BC=B'C，∠ACB=∠A'CB'，AB垂直平分CC'， ∴△ABC≌△A'B'C（SAS），
∴S△ABC=S△A'B'C，∠A=∠AA'B'，AB=A'B'， ∴AB∥A'B'， ∴CD⊥A'B'，
∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD=CE， ∴CD=CE=EC'，
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∴S△A'B'C=S△A'B'C'， ∴S△ABC=S△A'B'C'，
∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为， 故选：B．
二．填空题（共8小题） 16． 解：如图，
这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 17．
解：如图所示，
∵点O关于AB的对称点是O′（1，1）， 点A关于y轴的对称点是A′（﹣1，0） 设AB的解析式为y=kx+b， ∵（1，0），（0，1）在直线上， ∴
，解得k=﹣1，
∴AB的表达式是y=1﹣x，
同理可得O′A′的表达式是y=+， 两个表达式联立，解得x=，y=． K12的学习需要努力专业专心坚持
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故答案为：（，）．
18．
解：由题意得：S阴影=×5×5=12.5（cm）． 故阴影部分的面积为12.5cm． 故答案为：12.5． 19．
解：根据轴对称的性质得：∠B′OG=∠BOG 又∠AOB′=70°，可得∠B′OG+∠BOG=110° ∴∠B′OG=×110°=55°． 20．
解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395． 21．
解：∵△ABC中，∠BAC=106°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°， ∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线， ∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN， 即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，
∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．
2
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生活的色彩就是学习 故答案为32°． 22．
解：∵BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4， ∴BE=EC，BC=2BD=8； 又∵△ABE的周长为14， ∴AB+AE+BE=AB+AE+EC=AB+AC=14； ∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=14+8=22； 故答案是：22． 23．
解：如图，∵直线l是四边形ABCD的对称轴， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵AD∥BC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3=∠4，
∴AB∥CD，AB=BC，故（1）（2）正确； 由轴对称的性质，AC⊥BD，
∴BD平分∠ABC，AO=CO（等腰三角形三线合一），故（3）（综上所述，正确的是（1）（2）（3）（4）． 故答案为：（1）（2）（3）（4）．
三．解答题（共4小题） 24．
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4）正确． 生活的色彩就是学习
解：（1）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC， ∴DE是线段BC的垂直平分线， ∴EB=EC，
∴∠ECB=∠B=45°， ∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°； （2）AE+EB=AC． ∵∠AEC=90°， ∴AE2+EC2=AC2， ∵EB=EC， ∴AE2+EB2=AC2． 25．
解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴DA=DB，EA=EC，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=DB+DE+EC=BC=5； （2）∵∠BAC=120°， ∴∠B+∠C=60°， ∵DA=DB，EA=EC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠DAE=∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=60°． 26．
解：∵点Q和点P关于OA的对称， 点R和点P关于OB的对称
∴直线OA、OB分别是PQ、PR的中垂线， ∴MP=MQ，NP=NR，
∴∠PMO=∠QMO，∠PNO=∠RNO， ∵∠PMO=3 3°，∠PNO=70°
∴∠PMO=∠QMO=33°，∠PNO=∠RNO=70° ∴∠PMQ=66°，∠PNR=140° K12的学习需要努力专业专心坚持
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生活的色彩就是学习 ∴∠MQP=57°，
∴∠PQN=123°，∠PNQ=40°， ∴∠QPN=17°． 27．
解：（1）∵∠PAB=15°，∠ABC=45°， ∴∠APC=15°+45°=60°， ∵点C关于直线PA的对称点为D， ∴PD=PC，AD=AC， ∴△ADP≌△ACP， ∴∠APC=∠APD=60°， ∴∠BPD=180°﹣120°=60°；
（2）直线BD，AH平行．理由： ∵BC=3BP， ∴BP=PC=PD，
如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BCDE为等腰三角形，
∴∠BEP=60°， ∴∠BDE=∠BEP=30°， ∴∠DBP=90°，即BD⊥BC． 又∵△APC的PC边上的高为AH， ∴AH⊥BC， ∴BD∥AH；
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（3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．
∵∠APC=∠APD，即点A在∠DPC的平分线上， ∴AH=AF．
∵∠CBD=90°，∠ABC=45°， ∴∠GBA=∠CBA=45°， 即点A在∠GBC的平分线上， ∴AG=AE， ∴AG=AF，
∴点A在∠GDP的平分线上． 又∵∠BDP=30°， ∴∠GDP=150°，
∴∠ADP=×150°=75°， ∴∠C=∠ADP=75°， ∴Rt△ACH中，∠CAH=15°， ∴∠BAP=∠CAH．
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