一、填空题（共8小题）.
1．（x2+）8的展开式中x4项的系数是 ．
2．设变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为 ．
3．已知奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝log2x．则f（7.5）的值为
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 ．
5．投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数
为虚数的概率为 ．
6．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为 米．
7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P为梯形的腰DC上的动点，则|
+3
|的最小值为 ．
8．已知桶A0中盛有2升水，桶B0中盛有1升水．现将桶A0中的水的和桶B0中的水的倒入桶A1中，再将桶A0与桶B0中剩余的水倒入桶B1中；然后将桶A1中的水的和桶
B1中的水的倒入桶A2中，再将桶A1与桶B1中剩余的水倒入桶B2中；若如此继续操作下去，则桶An（n∈N*）中的水比桶Bn（n∈N*）中的水多 升． 二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分） 9．函数y＝x2（x≤0）的反函数为（ ） A．y＝
（x≥0） B．y＝﹣
（x≥0） C．y＝
（x≤0） D．y＝﹣
（x≤0）
10．某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示． 年薪（万元） 人数
1
1
2
1
3
4
1
12
135
95
80
70
60
52
40
31
该公司雇员年薪的标准差约为（ ） A．24.5（万元）
B．25.5（万元）
C．26.5（万元）
D．27.5（万元）
11．在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（ ） A．204
B．260
C．384
D．480
三、解答题（本大题共有5题，共84分) 12．已知正方形ABED的边长为
，O为两条对角线的交点，如图所示，将Rt△BED沿
BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足AB＝AC． （1）求四面体ABCD的体积V； （2）请计算：
①直线BC与AD所成角的大小； ②直线BC与平面ACD所成的角的大小．
13．设f（x）＝（常数a∈R），且已知x＝3是方程f（x）﹣x+12＝0的根．
（1）求函数y＝f（x）的值域；
（2）设常数k∈R，解关于x的不等式：（2﹣x）f（x）＜（k+1）x﹣k． 14．（16分）已知椭圆
+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．
（1）求过点F、O，并且与抛物线y2＝8x的准线相切的圆的方程；
（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．
15．（18分）将正奇数1，3，5，7，……按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍．设aij（i，j∈N*）是位于这个数阵中第i行（从上往下数）、第j列（从左往右数）的数． （1）设bn＝an1（n∈N*），求数列{bn}的通项公式； （2）若amn＝2021，求m、n的值；
（3）若记这个数阵中第n行各数的和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，求极限的值．
16．（22分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）绕坐标原点O旋转角θ至点P′（x′，y′）． （1）试证明点的旋转坐标公式：
．
（2）设θ∈（0，2π），点P（0，﹣1）绕坐标原点O旋转角θ至点P1，点P1再绕坐标原点O旋转角θ至点P2，且直线P1P2的斜率k＝﹣1，求角θ的值； （3）试证明方程x2+
xy＝6的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标．
参考答案
一、填空题（共8小题）.
1．（x2+）8的展开式中x4项的系数是 70 ． 解：由
令16﹣3r＝0，得r＝4． ∴展开式中含x4项的系数为故答案为：70．
2．设变量x，y满足约束条件解：由约束条件作出可行域如图，
，则z＝x+y的最大值为 3 ． ．
，
由图可知，A（1，2），
由z＝x+y，得y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3． 故答案为：3．
3．已知奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝log2x．则f（7.5）的值为 1
解：∵奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝log2x． ∴f（7.5）＝f（1.5）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5）＝﹣log2＝1， 故答案为：1．
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 （3+
）π ．
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由圆柱和圆锥组成的组合体； 如图所示：
故圆锥的母线长x＝所以圆锥的侧面积S＝
，圆锥的底面周长为2π，
，
圆柱的表面积S＝2•π•1•1+π•12＝3π， 故几何体的表面积为故答案为：
．
．
5．投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数
为虚数的概率为
．
解：∵复数＝＝，
故复数即m≠n，
为虚数需满足n2﹣m2≠0，
故有6×6﹣6＝30种情况， ∴复数
为虚数的概率为：
＝．
故答案为：．
6．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为 5 米． 解：设长方体蓄水池长为y，宽为x，高为h， 每平方米池侧壁造价为a，蓄水池总造价为W（h）， 则由题意可得
，
，
∴W（h）＝2a（xh+yh）+2axy＝2ah（x+y）+2axy＝40ah+2a∴W（h）≥
＝400a，
∴当且仅当h＝5时，W（h）取最小值， 即h＝5时，W（h）取最小值， 故答案为：5．
7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P为梯形的腰DC上的动点，则|
+3
|的最小值为 5 ．
解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 则A（﹣2，0），B（﹣1，a），C（0，a），D（0，0）， 设P（0，b）（0≤b≤a） 则∴∴|∴|
＝（﹣2，﹣b），+3+3+3
＝（﹣1，a﹣b），
＝（﹣5，3a﹣4b） |＝
|的最小值为5．
≥5，
故答案为：5．
8．已知桶A0中盛有2升水，桶B0中盛有1升水．现将桶A0中的水的和桶B0中的水的倒入桶A1中，再将桶A0与桶B0中剩余的水倒入桶B1中；然后将桶A1中的水的和桶B1中的水的倒入桶A2中，再将桶A1与桶B1中剩余的水倒入桶B2中；若如此继续操作下去，则桶An（n∈N*）中的水比桶Bn（n∈N*）中的水多 解：根据题意可得，∴∴
公比的等比数列， ∴∴∴故答案为：
，
．
⇒
，
，即数列{
， }是以
为首项，为
，
升．
二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分） 9．函数y＝x2（x≤0）的反函数为（ ） A．y＝
（x≥0） B．y＝﹣
（x≥0） C．y＝
（x≤0） D．y＝﹣
（x≤0）
解：由y＝x2（x≤0），解得故选：B．
（y≥0），将x与y互换可得：（x≥0）．
10．某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示． 年薪（万元）
135
95
80
70
60
52
40
31
人数 1 1 2 1 3 4 1 12
该公司雇员年薪的标准差约为（ ） A．24.5（万元） 解：年薪的平均数为
B．25.5（万元）
C．26.5（万元）
D．27.5（万元）
（135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+31×12）＝50.4万元，
[（135﹣50.4）2+（95﹣50.4）2+2×（80﹣50.4）
所以该公司雇员年薪的方差约为
22
+（70﹣50.4）2+3×（60﹣50.4）2+4×（52﹣50.4）2+（40﹣50.4）2+12×（31﹣50.4）]＝650.25，
（万元）．
所以该公司雇员年薪的标准差约为故选：B．
11．在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（ ） A．204
B．260
C．384
D．480
解：两个数字之和等于5的情形只有两种：2+3＝1+4＝5． 下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有取2，3中的一个有由乘法原理可得：
•（
••
种方法；再安排第一行、第三行，若只选
种方法．
种方法，若2，3都选取，则有•
+
）方法． （
•（
••
+•
+
同理可得：第二行选取2，3作为元素，也有）方法．
）＝384种
利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为2×方法． 故选：C．
三、解答题（本大题共有5题，共84分) 12．已知正方形ABED的边长为
，O为两条对角线的交点，如图所示，将Rt△BED沿
BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足AB＝AC． （1）求四面体ABCD的体积V； （2）请计算：
①直线BC与AD所成角的大小；
②直线BC与平面ACD所成的角的大小．
解：（1）由已知可得，AO＝CO＝1，AB＝AC＝所以AO2+CO2＝AC2，故CO⊥AO，
又CO⊥BD，BD∩AO＝O，AB，AO⊂平面ABD， 所以CO⊥平面ABD，
故CO是三棱锥C﹣ABD的高， 所以三棱锥C﹣ABD的体积
，
＝；
（2）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（0，﹣1，0）， 故
，
①
所以线BC与AD所成角的大小为60°； ②设平面ACD的法向量为
，
，
则有，即，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，故，
所以，
故直线BC与平面ACD所成的角的大小为．
13．设f（x）＝（常数a∈R），且已知x＝3是方程f（x）﹣x+12＝0的根．
（1）求函数y＝f（x）的值域；
（2）设常数k∈R，解关于x的不等式：（2﹣x）f（x）＜（k+1）x﹣k． 解：（1）由题意得f（3）﹣3+12＝0， 故
，
，
解得a＝2，f（x）＝令t＝2﹣x，
当t＞0时，t+﹣4≥0，
当t＜0时，t+﹣4＝﹣[（﹣t）+（﹣）]﹣4≤﹣8， 则
＝t+﹣4∈（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞），
故函数的值域（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）； （2）：因为（2﹣x）f（x）＜（k+1）x﹣k， 整理得x2﹣（k+1）x+k＜0，（x≠2）， 即（x﹣1）（x﹣k）＜0，
当k＜1时，不等式的解集（k，1）； 当k＝1时，不等式的解集∅；
当1＜k≤2时，不等式的解集（1，k）； 当k＞2时，不等式的解集（1，2）∪（2，k）． 14．（16分）已知椭圆
+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．
（1）求过点F、O，并且与抛物线y2＝8x的准线相切的圆的方程；
（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与
x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围． 解：（1）抛物线y2＝8x的准线为x＝﹣2， ∵圆过点F，O，∴圆心M在直线x＝﹣上，
设M（﹣，t），则圆的半径为r＝|（﹣）﹣（﹣2）|＝， 由|OM|＝r，得∴所求圆的方程为
＝，解得t＝±
．
，
（2）设直线AB的方程为y＝k（x+1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，
∴x1+x2＝﹣，
∴y1+y2＝k（x1+x2）+2k＝，
∴线段AB的中点坐标为（﹣，），
∴线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y＝﹣（x+）+，
令y＝0，则x＝•k﹣＝﹣＝﹣+，
∵k≠0，∴﹣＜x＜0，
故点G的横坐标的取值范围为（﹣，0）．
15．（18分）将正奇数1，3，5，7，……按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍．设aij（i，j∈N*）是位于这个数阵中第i行（从上往下数）、第j列（从左往右数）的数． （1）设bn＝an1（n∈N*），求数列{bn}的通项公式； （2）若amn＝2021，求m、n的值；
（3）若记这个数阵中第n行各数的和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，求极限
的值．
﹣
解：（1）由已知，这个数阵的第n行有2n1个数，
∴前n﹣1行一共有∴
；
个数，
（2）令2m﹣1＜2021，满足不等式的最大整数为10，即m＝10， 210﹣1+2（n﹣1）＝2021，解得n＝500， ∴m＝10，n＝500； （3）由题意，
，
由（1）知，1+2+22+…+2n﹣2＝2n﹣1﹣1，
，
﹣
＝3×4n1﹣2n，
∴＝＝．
16．（22分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）绕坐标原点O旋转角θ至点P′（x′，y′）． （1）试证明点的旋转坐标公式：
．
（2）设θ∈（0，2π），点P（0，﹣1）绕坐标原点O旋转角θ至点P1，点P1再绕坐标原点O旋转角θ至点P2，且直线P1P2的斜率k＝﹣1，求角θ的值； （3）试证明方程x2+
xy＝6的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标．
解：（1）设将x轴正半轴绕坐标原点旋转角α至OP，OP＝r， 由任意角的三角函数的定义，可得
和
，
所以将
代入，可得
，
；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），由 点的旋转坐标公式，可得
和
，
由直线P1P2的斜率k＝﹣1，可得即有sin2θ﹣cos2θ＝sinθ﹣cosθ， 所以sin（2θ﹣所以2θ﹣
）＝sin（θ﹣
），
+θ﹣
＝﹣1，
＝2kπ+θ﹣，或2θ﹣＝2kπ+π，k∈Z，
所以θ＝2kπ或kπ+所以θ＝
、
、
，k∈Z，因为θ∈（0，2π）， ．
xy＝1的曲线上任意一点，
（3）证明：设P（x，y）为方程x2+
将点P绕坐标原点O旋转θ至点P'（x'，y'）， 则
，可得
①，
（x'cosθ+y′sinθ）（﹣x'sinθ+y'cosθ）＝6，
sinθcosθ）y'2+（sin2θ+
cos2θ）x'y'＝6，
将①代入方程，可得（x'cosθ+y'sinθ）2+整理可得（cos2θ﹣令sin2θ+
sinθcosθ）x'2+（sin2θ+
cos2θ＝0，可得sin（2θ+）＝0，θ＝﹣是该方程的解，
﹣
＝
所以将方程x2+1，
xy＝6的曲线按顺时针旋转，所得曲线C'的方程为
可得曲线C'是以F1'（﹣4，0），F2'（4，0）为焦点的双曲线，
又因为曲线C'是由曲线C绕坐标原点O旋转而得到的，所以曲线也是双曲线． 将F1'（﹣4，0），F2'（4，0）按逆时针旋转2），
所以，双曲线C'的焦点坐标为F1（﹣2
，﹣2），F2（2
，2）．
，得到F1（﹣2
，﹣2），F2（2
，
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