递推数列求通项公式的方法

1、 an+1=an+f（n）型 累加法:

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+ a1 =f（n-1）+f（n-2）+…f（1）+ a1

例1 已知数列｛an｝满足a1=1,an+1=an+2n（n∈N*）, 求an 解: an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+ a1 =2n-1+2n-2+…+21+1=2n-1（n∈N*）

1例 在数列{an}中，a1=3,an+1=an+，求通项公式an.

n(n+1)

an+1=g(n)型 2、anaaa累积法:an=n.n−1...2.a1

an−1an−2a1所以an=g(n−1)g(n−2)g(n−3)...g(1)a1

a例2:已知数列｛an｝满足n+1=n(nN*),a1=1.求an

anaaa解:an=nn−1...2a1

an−1an−2a1 =(n−1)(n−2)(n−3)...1=(n−1)! an=(n−1)!(nN+)

例2 设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+1−nan+an+1an=0（n=1,2,3…），则它的通项公式是an=▁▁▁（2000年高考15题）.

223．an+1=pan+q型（p,q为常数）

qq=pa+np−1，再根据等比数列的相关知识求an. p−1 (2)an+1−an=p(an−an−1)再用累加法求an.

a+1ananq=+ (3)n ,先用累加法求再求an pn+1pnpn+1pn方法：（1）an+1+解 设an−=2(an−1−)，则=−1

an+1=2(an−1+1)

例3．已知an的首项a1=a（a为常数），an=2an−1(nN+,n2)，求an

an+1为公比为2的等比数列。

an+1=(a+1)•2n−1 an=(a+1)•2n−1−1

题目:在数列{an}(不是常数数列)中,an+1=

11an+2且a1=,求数列{an}的通项公式. 234．an+1=pan+f(n)型（p为常数） 方法：变形得

anan+1anf(n)=+，则n可用累加法求出，由此求得an. n+1nn+1pppp例4．已知an满足a1=2,an+1=2an+2n+1，求an.

5.an+2=pan+1+qan型（p,q为常数）

方法：待定糸数法设an+2−an=1=(an−1−an)构造等比数列

例5．数列an中，a1=2,a2=3,且2an=an−1+an+1(nN+,n2)，求an.

6、取倒数法

例6 已知数列{an}中，其中a1=1,，且当n≥2时，an=

7、取对数法

例 若数列{an}中，a1=3且an+1=an（n是正整数），则它的通项公式是an=▁▁▁（2002年上海高考题）.

8、平方（开方）法

例8 若数列{an}中，a1=2且an=

2，求它的通项公式是an. 3+an−1（n2）2an−1，求通项公式an。

2an−1+19、待定系数法

待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：

1、an+1=Aan+B（A、B为常数）型，可化为an+1+=A（an+）的形式.

例9 若数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项之和，且Sn+1=的通项公式是an.

n2、an+1=Aan+BC（A、B、C为常数，下同）型，可化为an+1+Cn+1=A(an+C）的形

nSn（n1），求数列{an}

3+4Sn式.

例10 在数列{an}中，a1=−1,an+1=2an+43n−1,求通项公式an。

3、an+2=Aan+1+Ban型，可化为an+2+an+1=(A+)(an+1+an)的形式。

例11 在数列{an}中，a1=−1,a2=2，当nN，an+2=5an+1−6an ① 求通项公式an.

4、an+1=Aan+Bn+C型，可化为an+1+1n+2=A[an+1(n−1)+2]的形式。 例12 在数列{an}中，a1=求通项公式an.

3，2an−an−1=6n−3 ① 2一、复习回顾

引入问题：已知数列{an}满足a1=1, 且an+1 =3an+1,求an。

二、例题精讲

例1.已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有an=an−1+

例2：已知数列{an}中，a1=1，an+1=

例3. 在数列{an}中，a1=2，求an。

n(n+1)an，求an。 an+33,2an−an−1=6n−3,求通项an. 2

例4.数列{an}中，若a1=8,a2=2,且满足an+2−4an+1+3an=0,求an.

例5. 已知数列{an}满足an+2−5an+1+6an=0，且a1=1,a2=5,且满足,求an.

2例6. 设正项数列an满足a1=1，an=2an−1（n≥2）.求数列an的通项公式.

一、构造等差数列法

例1.在数列{an}中，a1=3，nan+1=(n+2)an+2n(n+1)(n+2)，求通项公式an。

二、构造等比数列法

例2.设在数列{an}中，a1=2，an+12an+2=，求{an}的通项公式。

2an例3.已知数列{an}，其中a1=1，an+1=3an+2，求通项公式an。

例4.已知数列{an}，其中a1=1，且an+1=例5.在数列{an}中，a1=an，求通项公式an。

2n·an−33，2an−an−1=6n−3，求通项公式an。 2三、函数构造法

对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。

3例6.在数列{an}中，a1=1，an+1=an−3an，求通项公式an。

练习：设数列an满足下列条件，试求各通项：

（1）a1=0,an=3an−1+2(n=2,3,4) （2）a1=a,an+1+an=n(n=1,2,3) （3）a1=1,(n+2)(an+1)=nan+1(n=1,2,3) （4）a1=1,an−1−an=nan−1an(n=2,3,4) （5）a1=1,an=3n−1−2an−1(n=2,3,4)

n+1（6）a1=0,a2=1,an+2=3an+1−2an+1(n=1,2,3,) （7）a1=7,an+1=5an+23（8）a1=1,an=−4(n=1,2,3,)

4−an−1(n=2,3,4,)

3−an−1

专题二 由递推公式求通项的技巧

（1） 递推式为：an+1=an+f(n)型……（用迭加法）

11例1、已知{an}中a1=,an+1=an+2,求an24n−1

（2） 递推式为：an+1=pan+q型(p,q为常数)……(用特征根法转化成等比数列）

例2、{an}中，a1=1,对于nN,有an+1=3an+2,求an

（3） 递推式为：an+1=pan+qn型(p,q为常数)……(同除qn或qn+1，再用特征根法转化成等比数列)

511例3、{an}中，a1=,对于nN有an+1=an+()n+1,求an632

（4） 递推式为：an+2=pan+1+qan型(p,q为常数)……(变行为：an+2--αan+1=β(an+1--αan)

21例4、{an}中，a1=1,a2=2,有an+2=an+1+an,求an33

a............(n=1)(5) 递推式为sn与an的关系式：此类型可利用an=1sn−sn−1....(n2)例5、设{an}中，an+1=sn+n+1,a1=2,求an

1例6、已知{an}中，sn为其前n项的和，且sn=(an+1)2,求an4(6)型如:an+1=（用迭乘法）ann•an，求ann+1例7、已知an+1=

(7)型如：an•an+1=tn（此类题把an分成奇数项与偶数项）例8、已知{an}中，a1=1,an、an+1是方程x2−bnx+（1）求an的通项（2）{bn}的前n项和Tn的极限

1=0的两根，n3(8)双递推−−−同一个题中，出现两个递推式（用“减少变量”法）例9、已知数列an0，bn0，an、bn、an+1成等差；bn、an+1、bn+1成等比，且a1=1，b1=2,分别求出an，bn的通项

222例10、已知{an}、{bn}满足a1=1，b1=2,an、bn、an+1成等比，bn、an+1、bn+1成等差，分别求出an、bn的通项

递推数列求通项公式的基本类型及其对策

高中数学递推数列通项公式的求解，在高考中娄见不鲜，其丰富的内涵及培养学生思维逻辑性具有较高的价值，同时对于培养学生的归纳推理能力也具有十分重要的意义，下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供读者参考。

an−an−1=f(n)或an+1=g(n)型an

类型一、

对策：利用迭加或迭乘方法，即：

anan−1a2an=a1an−1an−2a1an=(an−an−1)+(an−1−an−2)++(a2−a1)+a1或

例1、（2006年山东高考文科）已知数列｛an｝中，其中n=1,2,3….

a1=12an+1−an）在直线y=x上，2，点（n，bn是等比数列；(Ⅰ)令bn=an+1−an−1,求证数列

的通项；(Ⅱ)求数列an

类型二、Sn=f(an)型

a1(n=1)an=Sn−Sn−1(n2) 对策：巧用

例2、（2007年福建高考文科）数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn (n∈N*).求数列{an}的通项an。

*ana=1,a=2a+1(nN).求数列an的通项n+1n例3、（2006年福建高考理科）已知数列满足1公式.

n*a=4a+2(n2，nN)，且a1=2.求及an. ann−1n例4、已知数列{}满足

例5、题见例1（2006山东高考文科）

例6、已知数列{an}满足a1=1，

2a=a(n为正整数)，则数列的通项公式为 aa=3n+1nn1例7、（06年石家庄模拟）若数列{}中，且

an+1=3an3an+6，求an

例8、（07保定摸底）已知数列{an}满足a1=1,n2时，an−1−an=2an−1an，求通项公式an。

例9、题见例1（2006山东高考文科）

例10（2005年高考北京卷改编）设数列{a=a1n}的首项

a14，且

n为偶数a=1n+12an,a1n+4,n为奇数，求an

例11、在数列{an}中，

a1=1，anan+1=2n，求an

类型五、周期型

a1=0，an+1=a1−3N*)，则a20=例12、（2005年高考湖南卷）已知数列{an}满足

3an+1(n（3A．0 B．−3 C．3 D．2

）探究递推公式为分式型数列的通项问题

对于形如递推公式为an=Aan−1+B（C0，AD−BC0）的数列an，这类问题有一般性的

Can−1+D公式解法，通常用特征方程求不动点，即先求解递推公式所对应的特征方程，求出不动点，然后再解。

虽然这类题本身有特征方程求不动点等的知识背景，但高考题并不考，也不依赖于这知识，从所给的标准答案来看，其立意在于将递推数列求通项问题转化为已知数列的已知知识来解决，即转化为等差数列或等比数列来解决。

那么，有没有不用高等数学知识，而只用高中数学知识的方法？这类问题是否存在通项公式？若存在又怎么来求？下面通过具体例子介绍一种方法，仅供参考!

例题 例题1：（2010年全国高考数学理科第22题）

1已知数列an中，a1=1，an+1=c−.

an51（Ⅰ）设c=，bn=，求数列bn的通项公式；

2an−2（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范围.

例题2：（2008年全国高考数学陕西卷理科第22题） 已知数列an的首项a1=

3an3，an+1=，n=1，2, 3 52an+1112－−x, n=1，2，3 n1+x(1+x)23（ⅰ）求an的通项公式； ﹙ⅱ﹚证明：对任意的x＞0, an≥

n2（ⅲ）证明：a1+a2++an＞

n+1

例题3：（2007年全国高考数学理科试卷第22题）： 已知：数列an中，a1=2，an+1=（Ⅰ）求an的通项公式； （Ⅱ）若数列bn中b1=2，bn+1=(2−1an+2，n=1，2，3

)()3bn+4，n=1，2，3

2bn+3证明：2＜bn≤a4n−3， n=1，2，3

练习：

1. （河北省定州市实验中学 张志兰）中学数学教学参考2009.1——2。P76

3a−2已知数列an中，a1=3， an=n−1，(n2,nN)，

an−1a−2（ⅰ）若数列bn满足bn=n，证明：bn是等比数列；

1−an﹙ⅱ﹚求数列an的通项公式以及最大项，并说明理由； （ⅲ）求liman的值。

x→2．（广西师大附中 李天红）中学数学教学参考2009.1——2。P80 已知函数f(x)=记Sn=x+3，设数列an满足a1=1，an+1=f(an)(nN)，数列bn满足bn=an−3，x+1b

ii=1n（ⅰ）求数列an的通项公式； ﹙ⅱ﹚求证：bn2n−123（ⅲ）求证：Sn＜

3(3−1)n；

3．已知各项均为正数的数列an满足an+1=4．已知数列an中，a1=2，an+1=5．已知数列an满足an+1=7an+41，且a1=，求数列an的通项公式。

22an+53an−1，求数列an的通项公式。 an+17an−2，首项为a1=3，求数列an的通项公式。

an+43an−116．已知数列an满足an+1=，首项为a1=，求数列an的通项公式。

24an+7