圆锥曲线的相关公式

圆锥曲线的相关公式

注：平面内到定点F(1,1)和到定直线l：x+2y=3距离相等的点的轨迹是？过定点F垂直直线l的一条直线

当A为短轴端点时，角最大，面积也最大，为bc,椭圆中焦点三角形的周长为2（a+c）

计算a，b，c相关值时，要对应标准方程，所以记得化为标准方程的形式

附录：定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：

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yAMF1OF2Bx

x2y2b2设M(x0,y0)为椭圆221弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有：kABkOM2

aba证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有kABx12y12122x12x2y12y2y1y2a2b20整，2 两式相减得：222abx1x2x2y21a2b22y12y2b2(y1y2)(y1y2)b2理得：22，即2，因为M(x0,y0)是弦AB的中点，所以2x1x2a(x1x2)(x1x2)akOMb2y02x0y1y2，所以kABkOM2 ax02y0x1x2

定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：

x2y2b2设M(x0,y0)为双曲线221弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有kABkOM2

aba证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有kABx12y12122x12x2y12y2y1y2a2b20整，2 两式相减得：222abx1x2x2y21a2b22y12y2(y1y2)(y1y2)b2b2理得：22，即2，因为M(x0,y0)是弦AB的中点，所以2x1x2a(x1x2)(x1x2)akOMb2y02x0y1y2，所以kABkOM2 ax02y0x1x22定理3（抛物线中点弦斜率公式）

在抛物线y2mx(m0)中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMNy0m.（斜率存在并有两个交点）

2y12mx1,(1)证明：设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则有2

y22mx2.(2)(1)(2)，得y1y22m(x1x2).

22y2y1(y2y1)2m.

x2x1y2y1,y2y12y0.

x2x12

又kMN

kMNy0m.

注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.

同理可证，在抛物线x22my(m0)中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则

1kMNx0m.

注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.

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