材料力学作业参考解答

2-2（b）答：

2F F FN

FN

2F ABFNAB8kN100MPa 2AAB80cmFNBC19kN950MPa ABC20cm2FNCD2kN16.7MPa 2ACD120cmBCCDmax950MPa

2-3答：以B点为研究对象，由平面汇交力系的平衡条件

FAB97.14kNFBC12.12kN

FAB

B AB137.5MPa

BC12.1MPa

FBC W

2-2 求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A1=A2=1150mm2； 解：（1）分析整体，作示力图

MB(Fi)0：

C

A FA

E

D

B FB

FA881040 FA40kN

（2）取部分分析，示力图见（b）

MFN2C(Fi)0：

q C FCx

FN22.2FA44q20

(404402)2.236.36kN

FCy 32杆FN2A36.361031.62MPa

11501062（3）分析铰E，示力图见（c）

FA FN2 (b)

Fix0：

FN2FN1sin0

FN1FN22122FN3 240.65kN

31杆

FN1A137.9610115010635.3MPa

FN1 β E (c)

FN2

2-3 求下列各杆内的最大正应力。

（3）图(c)为变截面拉杆，上段AB的横截面积为40mm2，下段BC的横截面积为30mm2，杆材料的ρg=78kN/m3。

解：1.作轴力图，BC段最大轴力在B处

FNB120.5301067812.0kN

B

12.0

A

12.0

AB段最大轴力在A处

FNA1212(0.5300.540)1067812.0kN

C FN (kN)

BFNB30mm212.0103301063400MPa

AFNA40mm212.01040106300MPa

杆件最大正应力为400MPa，发生在B截面。

2-4 一直径为15mm，标距为200mm 的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm，直径缩小了0.022mm，确定材料的弹性模量E、泊松比ν。

解：加载至58.4kN时，杆件横截面中心正应力为

＝FNA58.410330.48MPa 241.51043线应变：Δll0.910弹性模量：E32001034.5103

3330.48MPa4.51073.4103MPa

＝0.0221.467103 侧向线应变：，15,泊松比： 0.326

2-6图示短柱，上段为钢制，长200mm，截面尺寸为100×100mm2；下段为铝制，长300mm，截面尺寸为200×200mm2。当柱顶受F力作用时，柱子总长度减少了0.4mm，试求F值。已知E钢=200GPa，E铝=70GPa。

解：柱中的轴力都为F，总的变形（缩短）为：

Δl0.2F0.3F EgA1ElA2FΔl0.20.3EAEAg1l230.20.399200100.10.170100.20.21931.0kN0.410

2-7 图示等直杆AC，材料的容重为ρg，弹性模量为E，横截面积为求直杆B截面的位移ΔB。

解： AB段内轴力 FN1FgAx BC段内轴力 FN22FgAx

B点位移为杆BC的伸长量： B

2lA。

l(2FgAx)dx2Fl1.5gAl2

EAEA2-8 图示结构中，AB可视为刚性杆，AD为钢杆，面积A1=500mm2，弹性模量E1=200GPa；CG为铜杆，面积A2=1500mm2，弹性模量E2=100GPa；BE为木杆，面积A3=3000mm2，弹性模量E3=10GPa。当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移ΔG。 解：（1）求①、②杆轴力 由平衡方程可以求出:

FN12F340kN FN3F320kN

FN2F60kN （2）求杆的变形

FN1lAD401031Δl14104m（压缩） 96E1A12001050010FN2lCG601030.5Δl22104m（拉伸） 96E2A210010150010FN3lBE2010316Δl36.6710m（压缩） 96E3A3101030001021＝6.104m（下降） （3）由几何关系：GΔl2-Δl1Δl3332-9答：任一截面上轴力为F，由

x2b ld1d2A(x)4(d22b)2

得面积为

A(x)b b x 4(d22b)2(d1d2)xd2l4[l]2

伸长量为

lFdx4Fl2dx l0EA(x)0E[(dd)xdl]2122l4Fl

Ed1d2

2-11 图示一挡水墙示意图，其中AB杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。若AB杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ］=11MPa，试求AB杆所需的直径。

解：（1）求水压力的合力：

2P12hb40kN

4m （2）作示力图（a）由平衡方程求轴力

P 2m FN 3m MO(Fi)0:FN0.60.4P230 FN11.11kN（3）由强度条件，设计截面尺寸：

FNA[]d411.11103/(11106)1.286103m2 d3.58cm2-10答：对水塔

MFFA0，10014001F320

F3250kN

ix0，100F22/20

F31002141.4kN

iy0，F1F22/2F34000

F150kN

FN1/A1[c]，A1500mm2

FN2/A2[c]，A21414mm2 FN3/A3[c]，A32500mm2

2-12 图示结构中的CD杆为刚性杆，AB杆为钢杆，直径d=30mm，容许应力［σ］=160MPa，弹性模量E=2.0×105MPa。试求结构的容许荷载F。 解：（1）求AB杆的轴力FN

MC(Fi)0：

FNsin302F2.50FN2.5F （2）由强度条件求F

FNA2.5FA 46F4

91016010

2.545.2kN2-14 图示AB 为刚性杆，长为3a。A 端铰接于墙壁上，在C、B 两处分别用同材料、同面积的①、②两杆拉住，使AB 杆保持水平。在D 点作用荷载F 后，求两杆内产生的应力。设弹性模量为E，横截面面积为A。

解：

1．本题为超静定问题，

见图(a),设AB杆产生角位移，则 l1a,l23a， 2．由Hooke定律：

FN1EAl1EAa

EAl21.5EA2aFN1 FAx △ △l2

FAy △l1 F FN2

FN2 3.由平衡方程：

MA(Fi)0：

aFN13aFN22aF0aEA4.5aEA2aF 2F5.5EA4.由Hooke定律：

FN1EA2FFN20.3636F5.5

1.5EA1.52F0.F5.5FN1A0.3636FA A

①

②

FN2A0.F

2-15 两端固定，长度为l，横截面面积为A，弹性模量为E的正方形杆，在B、C截面处各受一F力作用。求B、C截面间的相对位移。

解： 1．

本题为超静定问题

解除A截面处约束，代之约束力FNA,见图（a） A截面的位移为杆件的总变形量

AlABlBClCDFNAl3(FNAF)l3(FNA2F)l3EAEAEA FNAlEAFlEA 2.由约束条件 A0 得：

FNAlEAFlEA0

FNAF见图(b),求BC段轴力 由平衡条件可知： FN0

所以B,C截面相对位移为 FNl3BCEA0 FNA

A B F C F D (a)

F NA

F FN (b)

3.

3-1 试作下列各杆的扭矩图。 5

3 2 1

Mx

Mx

(kN·m)

(N·m) 10 100

3-2 一直径d=60mm的圆杆，其两端受外力偶矩T=2kN·m的作用而发生扭转。试求横截面上1，2，3点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。(G=80GPa)。 解：横截面上切应力大小沿半径线性分布，方向垂直半径

T2000347.2MPaWP3.140.063/1620.0123/331.4MPamax3/G5.9104rad

31

3-3 从直径为300mm的实心轴中镗出一个直径为150mm的通孔而成为空心轴，问最大切应力增大了百分之几?

M16Mx解：实心轴max1x

WP1d3M16Mx空心轴max2x

WP2d3(10.)16Mx16Mxmax2max10.d3(10.)d3100%100%100%6.67% 最大切应力增大了416Mmax110.5x3d

-1-

3-4 一端固定、一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如图所示（空心处有两段，内径10mm，外径30mm）,试求： (1)轴的最大切应力。

(2)两端截面的相对扭转角(G=80GPa)。 解：（1）作扭矩图， AB段中最大切应力 maxMxW6035.56MPa

36P31016C A B CD段中最大切应力 D

maxMxW40P30л 3914100л

16

1640660л1024MPa27134л 所以轴中，max35.56MPa （2）相对扭转角分四段计算

ΔΔDCΔCEΔEBΔBA400.2300.1300.1600.15GIP1GIP1GIP2GIP2

11121112 GIP1GIP2GIP1IP211120.011426rad 9114844880103101331032323-2 一变截面实心圆轴，受图示外力偶矩作用，求轴的最大切应力。 解：

300 作扭矩图， 100 D A

C B

500

可见最大切应力发生在AB段

M maxx500136WP2.510162.97MPa16

E 300

3-5 一圆轴AC如图所示。AB段为实心，直径为50mm；BC段为空心，外径为50mm，内

-2-

径为35mm。要使杆的总扭转角为0.12°，试确定BC段的长度a。设G=80GPa。 解：（1）作扭矩图 Mx100Nm

（2）杆件A、C截面相对扭转角分两段计算

ΔACΔBCΔBA

Mx0.9a MxaGIPGIP14100N·m ⊕

A

Mx

C

GIPΔACa0.9a,4Mx10.31596aGIPΔAC0.9Mx其中＝35＝0.750

94880100.12510180320.9100aa0.405m

0.31596

3-8 传动轴的转速为n=500转/分，主动轮输入功率P1=500kW，从动轮2、3分别输出功率P2=200kW，P3=300kW。已知［τ］=70MPa，［θ］=1°/m，G=8×104MPa。 (1)确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。

(2)若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。 解：（1）由输入和输出功率求等效力偶，作扭矩图

500T19.559.55kNm500200T29.553.82kNm

500300T39.555.73kNm500MB A 由强度条件：maxxmax WP169.55103d,d10.0m70106 3165.73103d2,d20.075m67010M由刚度条件：maxxmax

GIP31C 5.73 9.55

Mx

329.55103d,d10.091m1028101804134d2325.3710,d20.080m810102180为满足强度和刚度条件，AB段的直径d取91mm；BC段的直径d取80mm。

-3-

（2）若AB和BC两段选用同一直径，直径d取91mm。

3-7 图示传动轴的转速为200转/分，从主动轮3上输入的功率是80kW，由1、2、4、5轮分别输出的功率为25、15、30和10KW。设［τ］=20Mpa (1)试按强度条件选定轴的直径。

(2)若轴改用变截面，试分别定出每一段轴的直径。

1.91 1.19375

解：1.由输入和输出功率计算等效力偶

T19.55251.19375kNm200T29.55150.71625kNm200 T49.55301.4325kNm

200T59.55100.4775kNm200T39.55803.82kNm2002.作扭转图

Mxmax （1）Mxmax1.91kNm,WP1,91

0.4775

WP1.911032010460.95510413d160.955100.0786m

d取79mm，适用于全轴。

161.193751033,d167mm 适用于1，2轮之间 （2）d162010160.47751033,d350mm 适用于4，5轮之间 d220106

3-14 工字形薄壁截面杆，长2m，两端受0.2kN·m的力偶矩作用。设G=80GPa，求此杆的最大切应力及杆单位长度的扭转角。

解：

-4-

max13hii30.21030.0136 0.091310620.12131060.090.2410618.18MPaMxGhii330.21033 801090.091310620.1213106

maxMx0.6103800.090.241030.0227radm

2-16 试校核图示销钉的剪切强度。已知F=120kN，销钉直径d=30mm，材料的容许应力［τ］=70MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉?

解：

F12010384.88MPa 不满足强度条件

2A29/4104

F120103Ad8.571104 62[]27010142d3.3cm

3-10(b) F=40kN, d=20mm 解：中心c位置xc80/3 50 50

等效后：

F MF(20080/3)1036.93kN80 120 由F引起的切应力

F/(3A)40kN/(3d2)42.4MPa4A C B 由M引起的剪切力满足

Fc/r1FA/r2FB/r3FCr1FAr2FBr3M解得

FC39.8kNC铆钉切应力最大

FC/A39.8kN/(d2)126.7MPa4-5-

xc r2 r3 c F r1 M

2-17 两块钢板塔接，铆钉直径为25mm，排列如图所示。已知［τ］=100MPa，［σbs ］=280MPa，板①的容许应力［ σ］=160MPa，板②的容许应力［ σ］=140MPa，求拉力F 的许可值，如果铆钉排列次序相反，即自上而下，第一排是两个铆钉，第二排是三个铆钉，则F 值如何改变? 解：

1．铆钉强度,求F

抗剪强度：

＝F5A4F5A52.52104100106

245.4kN挤压强度

bsF5bs52.51.6104280106Ab

560kN2.板的抗拉强度条件求F,A的截面

B

＝F(0.160.01622.51020.016)

FN

⊕

3F/5

A

F

F(2.561030.8103)160106281.6kN

B截面： 3F5

(2.5610332.51020.016)F5(2.561031.2103)160106326.67kN

3综合上述结果，F的许可值取245.4kN (最小值) 3．改变铆钉排列后，求解过程与上述相同。

-6-

3-6答：

dlMxdxGIPMx16ml2dx0GIGd4P

3-10 图(a)所示托架，受力F=40kN，铆钉直径d=20mm，铆钉为单剪，求最危险铆钉上的切应力的大小及方向。 A F1

d

F2

F 2d

d F1 B (b)

解：将F等效移至铆钉群中心，得力偶， MF0.228.8kNm

1. 由F引起的切应力（每个铆钉大小相同，方向向下）

F101034 131.83MPa 1A2210442. 先求由M引起的各铆钉剪力，见图(b)

3dFdF2M1 F F210.5d1.5d 解得：F133kN,F211kN 上部和底部铆钉中切应力最大

-7-

2＝F1A33103421024 105.04MPa（水平方向）A 3. 最大切应力

2＝12＋2＝109.76MPa2

 1

(c)

方向tan23.3,73.141

A-2 试求图形水平形心轴z的位置，并求影阴线部分面积对z轴的面积矩Sz。 解：分三块计算

AAi15050501501505022500mm2 形心轴位置

h25A175A2175A391.67mmA

SzA1h25500.025cm3A1 h A2 z A3

z'

A-3 试计算(b)图形对y，z轴的惯性矩和惯性积。 解：查型钢表得20a号工字钢几何性质：

'h200mm,Iz'2370cm4,Iy158cm4

1 故 IzIz'20.11.431060.10.0140.1072

12＝237010－8＋321010－8＝558010－8m4

'IyIy2h 11.41020.13 12158108233.3108391.3108m4 由对称性，Iyz0

A-8 计算图示（a）图形的形心主惯性矩。 解：1.首先求形心位置：

150502520050150h15050200501687500 96.4317500

C z h

-8-

y 2.求惯性矩

1151532053 1212 1406.25208.331614.58cm4IyIz11225203＋52015－9.3＋1553＋5159.3－2.5 1212＝3333.3＋2869.7＋156.25＋3826.710185.95cm4

4-1 求下列各梁指定截面上的剪力和弯矩。

FA

解：（b）自右向左分析：1-1截面FQ12F，弯矩M12Fl；

2-2截面FQ22F，弯矩M1Fl

（c）支座反力FA68820，自左向右分析： kN（铅直向上）

631-1截面FQ16kN，弯矩M112kNm； 2-2截面FQ22/3kN，弯矩M212kNm

4-2 写出下列各梁的剪力方程、弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。

53解：支座反力FAql，FBql，自左向右分析：

225剪力方程：FQ(x)ql2qx(0x2l)

2FQ(x)0(2lx3l)

FA

5ql/2

FB

5弯矩方程：M(x)qlxqx2(0x2l)

2M(x)ql(2lx3l)

2FQ

1.25l由方程作图。

注意标出最大弯矩所在截面位置及最大弯矩值。M

3ql/2 ql2 25ql2/16

-9-

4-3 利用剪力、弯矩与荷载集度之间的关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。 解：(a)自左向右分析（这样不需要计算固定端反力） 梁分3段，5个控制面

FQ10,M13Fl；FQ20,M23Fl FQ3F,M33.5Fl；FQ40,M43.5Fl

1

2

3 4

5

FQ5F,M54Fl

FQ

F 3Fl M

3.5Fl F 4Fl

(b)支座反力FA29/3kN,FA13/3kN 梁分3段，6个控制面

FQ10,M14kNm；FQ26kN,M22kNm

FQ311/3kN,M32kNm FQ411/3kN,M416/3kNm FQ511/3kN,M54/3kNm FQ613/3kN,M60

1

2 3

4 5

6

FA 11/3 FQ /kN

FB

13m6Mmax169/36kNm位置距离右端13/6m

6 13/3 2 M

/kN·m 4/3 4 16/3 169/36

5-1 图(a)所示钢梁(E=2.0×105MPa)具有(b)、(c)两种截面形式，试分别求出两种截面形式下梁的曲率半径，最大拉、压应力及其所在位置。

z

h

解：（b）截面 Iz11101834860cm4 12EIz2.010114860108M,1215m EIzM8103

-10-

maxM810314.81MPa（上拉下压） Wz10.10.1826 （c）截面 形心位置：h18050251805014082.5mm

218050Iz

11225183518148.2518531858.252.51212 24302975.6187.52975.68568.7cm4EIz2.010118568.71082142.18m M8103

tmaxM81030.08250.08257.7MPa8Iz8568.710M0.230.082513.77MPaIz

cmax

5-4 求梁指定截面a-a上指定点D处的正应力，及梁的最大拉应力tmax和最大压应力cmax。

B A

z

h

解：1.求弯矩

10支座反力：FAkN

3a-a截面弯矩

10M26.67kNm

3最大弯矩：Mmax4013.34kNm

32.求形心轴

12030151522065.74h12.91cm

1423.3220301Iz1222030320301512.9111522012.91 124450002620.86－2485.05－8883.1＝36252.7cm4Mmax13.34103212.911012.911024.75MPa 8Iz36252.710tmax

-11-

cmaxMmax13.3410323012.911017.091026.2MPa 8Iz36252.710Dmax截面a-a上指定点D：

4-5解：

图(a)6.67103207.512.911020.07MPa 836252.710MymaxM100mm1.5106mm-3M34IZ100200112mmσmaxM1.5106mm-3挖去虚线内面积时σmaxMymaxM100mm 6-31.910mmMIZ1002003501503112mm4σmaxM1.9106mm-3弯矩减小了σmaxσmax1.5106mm-3σmax1.9106mm-31000021.1006-3σmax1.510mm

5-5 图示梁的横截面，其上受绕水平中性轴转动的弯矩。若横截面上的最大正应力为40MPa，试问：工字形截面腹板和翼缘上，各承受总弯矩的百分之几? 解：设工字形截面腹板上最大正应力σ1，其承受的弯矩 h/2x21225dxx1041666.71  01h/2h/2 翼缘上最大正应力σ2，其承受的弯矩 h/2x22400dxx5015151.52 h/2h/2211，故腹板上承受总弯矩的百分比为 1101041666.711041666.715015151.5111101000015.8800

即翼缘上承受总弯矩的百分比为84.1200

5-6 一矩形截面悬臂梁，具有如下三种截面形式：(a)整体；(b)两块上、下叠合；(c)两块并排。试分别计算梁的最大正应力，并画出正应力沿截面高度的分布规律。

-12-

解：(a) 固定端弯矩最大 最大正应力位于该截面

lqlyMy3ql224y

13Iz4aa2a12tc正应力分布规律

max3ql2 34a

(b)根据变形协调，

上下两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2

qllyMy223ql24y

1IZaaa312ttcmax3ql2 32ac(c) 两块并排时

两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2

qllyMy3ql2224y

1aIZ4a3（2a）122正应力分布规律

tmax3ql2 34ac 正应力分布规律

5-8 一槽形截面悬臂梁，长6m，受q=5kN/m的均布荷载作用，求距固定端为0.5m处的截面上，距梁顶面100mm处b-b线上的切应力及a-a线上的切应力。

y

-13-

z z'

解： 根据切应力公式*FQSZIZb，需确定横截面剪力、面积矩、形心惯性矩

（1）剪力FQ55.5=27.5kN

（2）形心位置、形心惯性矩，如图

2601401202805025z76.82mm

260140280501IZ2(60140360140(70(76.8250))2)12

1 28050328050(76.8250/2)29.9107mm412（3）b-b处切应力

bb27.5kN(6010063.18mm3)1.77MPa 784IZb9.91010mm60mm*FQSZ（4）a-a处切应力

由于a-a位于对称轴y轴上，故aa0

5-9 一梁由两个18B号槽钢背靠背组成一整体，如图所示。在梁的a-a截面上，剪力为18kN、弯矩为55kN·m，求b-b截面中性轴以下40mm处的正应力和切应力。

h C b

解：b-b截面的剪力、弯矩分别为

FQ18304052kN

M55181.4301400.338.2kNm 18B号槽钢的几何性质

h180mm，IzC1369.9cm4，b70mm，t10.5mm,d9mm

-14-

My38.21030.04由正应力公式55.77MPa

IZC1369.92108切应力公式

52103(7010.584.75109939.559.75109)35.23MPa 83IZd1369.910910

5-10 一等截面直木梁，因翼缘宽度不够，在其左右两边各粘结一条截面为50×50mm的木条，如图所示。若此梁危险截面上受有竖直向下的剪力20kN，试求粘结层中的切应力。 解：求中性轴位置和Iz zC

50510012.510cm

50100*FQSZ11Iz12510350521220531002.52z 2500cm*FQSz2

zc 20103251040.0251.0MPa

Izb25001080.05

5-11 图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，其横截面尺寸为b、h，长度为l。

（1）证明在距自由端为x处的横截面上的切向分布内力τdA的合力等于该截面上的剪力；而法向分布内力σdA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。

（2）如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示。问截开面上的切应力τ′沿梁长度的变化规律如何?该面上总的水平剪力FQ′有多大?它由什么力来平衡？ 解：（1）取x截面左边部分，由其平衡

Fiy0，dAqx0，dAqxFQ

AAqx2xMi0，AdAyqx20，AdAy2M

（2）沿梁长度剪力是线性分布的，该梁为等截面梁， 因此横截面中性轴上切应力沿梁长度也是线性分布， 由切应力互等，截开面上的切应力τ′沿梁长度是线性分布。

沿梁长度剪力方程FQ(x)qx，横截面中性轴上切应力大小沿梁长度变化规律为

(x)3FQ(x)2bh3qx，宽度方向均匀分布，故总的水平剪力 2bh

-15-

3qx3ql2(x)bdxFQbdx，它由固定端约束力平衡。

002bh4hll

5-12 试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置，并画出切应力流的流向，设截面上剪力FQ的方向竖直向下。

A

z

解： z A

z z A A

y

y y FQ

FQ FQ

FQ

-16-

5-14 图示铸铁梁，若［t］=30MPa,［c］=60MPa,试校核此梁的强度。已知Iz7×108m4。

4.0

C kNm

D

2.5

解：(1)计算支座反力，作弯矩图

(2)校核强度（该梁截面中性轴不对称，正负弯矩最大截面均是可能危险截面） C截面正弯矩最大

MCymax2.51030.088tmax28.80MPat 8IZ710 MCy'max2.51030.052 cmax17.02MPac8IZ710D截面负弯矩最大

MDymax41030.052tmax27.23MPat 8IZ710MDy'max41030.088cmax46.07MPac IZ7108符合强度要求

4-13 [σ]=8.5MPa，求满足强度条件的最小Fmin 30kN

A 0.3m

C 1.8m 1.8m 0.15m Mc

MC27kNm0.6F 解：最小F时，最大应力发生在C截面。

MC271030.6F max[]8.5MPa-17- 2B F 1.2m Wz160.150.3

F10.6[271038.510610.150.09]13.13kN6

5-15 一矩形截面简支梁，由圆柱形木料锯成。已知F=8kN,a=1.5m，［σ］=10MPa。试确定弯曲截面系数为最大时的矩形截面的高宽比h/b，以及锯成此梁所需要木料的最d。

Wz1bh21b(d2b2)66dWz 0  d23b20  bd/3dbMmax1210333Wz1.210m 6[]1010Wz=d3931.2103

d266mm

5-16 截面为10号工字钢的AB梁，B点由d=20mm的圆钢杆BC支承，梁及杆的容许应力［σ］=160MPa，试求容许均布荷载q。 解：这是一个拉杆强度和梁的强度计算问题 （1）对于BC拉杆

3q1.59q所受轴力FN 24F9q4由强度条件maxN[]

A40.022得q22.34kN/m

（2）对于AB梁 其剪力弯矩图如图

工字钢横截面中性轴对称,

危险截面为弯矩绝对值最大的截面 由强度条件

0.75qFQ

A q 0.75mB 1.25q0.5qM

A B maxMmax0.5q WZ491060.28125q 得q15.68kN/m 从而确定容许均布荷载

-18-

4-13解：MA0，301.8F4.8FB360，FB154F 3Fiy0，FA15C截面下部受拉： max14F30F0，FA15F 33Mmax(270.6F)8.5106 1Wz0.150.326F13.125kN

B支座负弯矩，上部受拉：

maxMmax8.5106WzF15.938kNFmin13.125kN

4-18 用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。设EI为已知。在图(d)中的E=2.0×105MPa，I=1.0×104cm4。 解:(a)（1）支座反力计算

FAyqa，MA0.5qa2

MA

（2）列弯矩方程

M1(x)qax0.5qa2，(0xa)

M2(x)qax1.5qa20.5q(xa)2，(ax2a)

FAy

（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程

(x)qax0.5qa2，(0xa) EIw1(x)qax1.5qa20.5q(xa)2，(ax2a) EIw2（4）积分一次

1EI1(x)qax20.5qa2xC1，(0xa)

211EI2(x)qax21.5qa2x0.5q(xa)3C2，(ax2a)

23（5）再积分一次

11EIw1(x)qax30.5qa2x2C1xD1，(0xa)

62111EIw2(x)qax31.5qa2x20.5q(xa)4C2xD2，(ax2a)

6212（6）边界条件、连续光滑条件

x0,10;x0,w10;xa,12;xa,w1w2

-19-

由x0,10得C10；x0,w10得D10

由xa,12得C2qa3；xa,w1w2得D20.5qa4

qa3（7）从而B2(x)x2a；wCw1(x)6EIqa4 xa12EI

6-1 用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。设EI为已知。 解：（1）支座反力计算

FAy0，FBF

（2）列弯矩方程

M1(x)0，(0xa)

M2(x)F(xa)，(ax2a)

FAy

FB

（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程

(x)0，(0xa) EIw1(x)F(xa)，(ax2a) EIw2（4）积分一次

EI1(x)C1，(0xa)

1F(xa)2C2，(ax2a) 2（5）再积分一次 EI2(x)EIw1(x)C1xD1，(0xa)

1F(xa)3C2xD2，(ax2a) 6（6）边界条件、连续光滑条件 EIw2(x)x0,w10;x2a,w20;xa,12;xa,w1w2

由x0,w10得D10；xa,12得C1C2

Fa2由xa,w1w2得D2D10；x2a,w20;得C2

12Fa2（7）从而C1(x)xa；wCw1(x)12EIFa3 xa12EI

6-2 对于下列各梁，要求：

(1)写出用积分法求梁变形时的边界条件和连续光滑条件。

-20-

(2)根据梁的弯矩图和支座条件，画出梁的挠曲线的大致形状。 解：（a）（1）边界条件和连续光滑条件

x0,10;x0,w10 xl,12;xl,w1w2 x2l,23;x2l,w2w3

（2）梁的挠曲线的大致形状如图（前后两段为直线，无弯矩；中间段为曲线，正弯矩，下部受拉）

（d）（1）边界条件和连续光滑条件

Flx0,w10；x2l,w2l

2EAxl,12;xl,w1w2

Δl

（2）梁的挠曲线的大致形状如图

6-3 用叠加法求下列各梁指定截面上的转角和挠度。 解：(a)查表得F单独作用下

F(3l)3F(3l)2wD(F)(34l3l) ，wB(F)3EI6EIFl单独作用下

Fl(3l)2Fl(4l)2wD(Fl)，wB(Fl)

2EI2EI叠加得到

27Fl343Fl3wD，wB

2EI2EI

(c) 外伸梁变成简支梁加悬臂梁（结构变换、结构叠加） 简支梁上查表

ql(2l)3ql2(2l)25ql4wCwC(ql)wC(ql)

48EI16EI12EI2ql2

ql(2l)2ql2(2l)11ql3DD(ql)D(ql)

16EI3EI12EI2悬臂梁上查表

ql2l23ql3B1，故BB1D

EI12EI

-21-

4－18（b) 求wD，θB

q

D B

C a a a

qa3/(6EI)B

M=qa2/2 Mqa2/2 D CM2a/(3EI)qa3/(3EI)B CC wDM(2a)2/(16EI)qa4/(8EI) Cqa3/(2EI)BB叠加：

wDqa4/(8EI)

4-19

F

M M

2ql 3ql2 F q

4-20(c)

用叠加法求C,B ql ql2 D A B -22- C l l l  C1Fl3ql448EI48EI 21Flql3 16EI16EI ql2 22Mlql3 3EI3EI C2C2Ml216EIql4/16EI CC1C2 B122

6-4 图示悬臂梁，容许应力［σ］=160MPa，挠度［w］=l/400，截面为两个槽钢组成，试槽钢的型号。设E=200GPa。 解：（1）根据强度条件选择 槽钢横截面中性轴为对称轴

maxmaxMW

Z悬臂梁弯矩图如图

1010103WZ16010662.5cm3 M 查表，2个10号槽钢截面

/kN·m

WZ39.7279.4cm3满足要求。

2（2）刚度条件

自由端挠度近似看作最大挠度，则由叠加法

-23-

容许选择

wmax21034241032341032221032421032320103(2)(2)

2EI3EI2EI8EI6EIEI从而由刚度条件wmax[w]l/4000.01m 得wmax20103201050.01，I105m41000cm4 9EI20010查表，2个14a号槽钢截面IZ563.721127.4cm4满足要求 综合看选择2个14a号槽钢。

4-22(a) 求内力（超静定）

q=F/l

B wB2ql4/(8EI)ql3/(6EI)lFl3/(8EI)Fl3/(6EI)7Fl3/(24EI)F M=Fl B B FB wB3FB(2l)3/(3EI)8FBl3/(3EI)wB1F(2l)3/(3EI)M(2l)2/(2EI)(8/32)Fl3/EI14Fl3/(3EI)约束条件：

wBwB1wB2wB30 (14F/37F/248FB/3)l3/(3EI)0 FB119F/1.86F

4-23 图示两梁相互垂直，并在简支梁中点接触。设两梁材料相同，AB梁的惯性矩为I1，CD梁的惯性矩为I2，试求AB梁中点的挠度wC。

解：超静定问题，设CD梁与AB梁之间相互作用力为F′,

由于CD梁C端挠度与AB梁中点挠度相等，即wC(CD)wC(AB)

2

-24-

l(FF)()32FI1Fl32F 2I1I23EI248EI11

Fl3Fl3故wC 48EI124(2I1I2)E

7-1 单元体上的应力如图所示。试用解析公式法求指定方向面上的应力。 解：由平面应力状态斜截面应力公式

xyxycos2xsin222 xysin2cos2x2（a）x20MPa，y50MPa，x70MPa，60o

7030oocos12070sin12018.12MPao6022从而

o30sin120o70cos120o47.99MPa602（d）x20MPa，y40MPa，x0，60o

6020ocos(120)35MPao6022从而

o20sin(120o)8.66MPa602

7-3 单元体上的应力如图所示。试用应力圆法求单元体的主应力大小和方向，再用解析公式法校核，并绘出主应力单元体。

解：（c）x80MPa，y20MPa，x30MPa

其应力圆绘制：在Oστ坐标系里描出D1（σx，τx）、D2（σy，τy），连接D1、D2两点与σ轴交点C，以C为圆心，C D1或C D2为半径，做圆即为该点应力状态的应力圆。

τ D1(80,30) O D2(-20,-30) 2α0 C σ

-25-

从图上可知188.31MPa，20，328.31MPa，015.48o 公式校核：

xyxy28020802022()()30288.31MPa1x2222 xyxy280208020222()()3028.31MPa3x2222 20

（d）x10MPa，y10MPa，x10MPa

其应力圆绘制：在Oστ坐标系里描出D1（σx，τx）、D2（σy，τy），连接D1、D2两点与σ轴交点C，

以C为圆心，C D1或C D2为半径，做圆即为该点应力状态的应力圆。 τ D2(10,10)

σ

O (C)

2α0 D1(10,-10)

从图上可知120MPa，20，30，045o

xyxy2101010102()x2()10220MPa12222 公式校核：

xyxy21010101022()()1020x3222220

7-5 图示A点处的最大切应力是0.9MPa，试确定F力的大小。 解：A点所在截面剪力为F、弯矩M=0.2F 由切应力公式、正应力公式

F505075109112.5F

502003Izb50101512*FQSzMy0.2F50103300F 350200Iz101212

-26-

该点主应力分别为

22300F300F2()(112.5F)2337.5F1()2222 ()22300F(300F)2(112.5F)237.5F3222220

从而最大切应力max

1325-6 A点处横截面和纵截面上的应力？

187.5F0.9106，得F4.8kN

xA yF

7-7 求图中两单元体的主应力大小及方向。 解：用应力圆法

在Oστ坐标系里描出D1（30o，30o）、D2（30o，30o），从D1面转到D2面，单元体逆时针转了240o

则在应力圆上逆时针转480o，即它们所夹圆心角120 o，其应力圆如图

τ D1(2,3) σ

120 o O C(1,0) D2(2,-3) 由图可知，13F/A，20，3F/A，030o即为图中单元体x方向。

5-7(b)

A(F,3F)F3F600600F-27- 3F(2F,0)(F,0)2400(2F,0)

5-13 受力物体内一点处的应力状态如图所示，试求单元体的体积改变能密度和形状改变能密度。设E=2.0×105MPa， ν=0.3。

解：x120MPa，y60MPa，z30MPa，xy30MPa

330MPa

xy21xy2()4x 2221132.43MPa 247.57MPa

1212(123)2(xyz)20.0147MPa 6E6E1d[(12)2(23)2(31)2]0.0195MPa

6EV5-8 在物体不受力的表面上取一单元体A，已知该点的最大切应力为3.5MPa，与表面垂直的斜面上作用着拉应力，而前后面上无应力。

(1)计算A点的σx，σy及τx，并画在单元体上。 (2)求A点处的主应力大小和方向。 解：见A点的应力单元体(a): 1, 230 固有：12max7.0MPa 由A点应力单元体(b)和(c):

A (a)

τ σx σ

σ (b)

xcos7.00.362.52MPa cossin7.00.483.36MPa ysin27.00.4.48MPa2τ σy (c)

7-9 在一体积较大的钢块上开一个立方槽，其各边尺寸都是1cm，在槽内嵌入一铝质立方块，它的尺寸是0.95×0.95×1cm3(长×宽×高)。当铝块受到压力F=6kN的作用时，假设钢

-28-

块不变形，铝的弹性模量E=7.0×104MPa，ν=0.33，试求铝块的三个主应力和相应的主应变。

F610366.48MPa 解：F沿高度方向作用，z4A0.950.9510F 若铝快的变形填充整个立方槽则

1(yz)0.005/0.95=0.0526xEx由广义胡克定律

1()0.005/0.95=0.0526yyxzE1cm 0.95cm 0.95cm

得到xy62.8MPa，显然是不可能为拉应力的。故铝快的变形未能填充整个立方槽 从而xy0即10，20，366.48MPa

14()3.134101123E1相应的主应变2(213)3.134104

E14()9.49710123E37-10 在图示工字钢梁的中性层上某点K处，沿与轴线成45°方向上贴有电阻片，测得正应变ε=-2.6×10-5，试求梁上的荷载F。设E=2.1×105MPa，ν=0.28。

解：K点处于纯切应力状态，所在截面剪力为A支座反力

2F由MB0，FAyFQK

3查表得28a号工字钢

Ix:Sx24.62cm，d8.5mm

45o K 故K点切应力KFQK(Ix:Sx)d2F318.57F 23324.62108.510根据该点应力状态，由斜截面应力公式求±45o方位面上正应力

xyxy45ocos90oxsin90o318.57F22 xyxycos(90o)xsin(90o)318.57Fo4522

-29-

由广义胡克定律，45o1(45o45o)2.6105 E从而得出F13.4kN

7-11 图示一钢质圆杆，直径D=20mm。已知A点处与水平线成70°方向上的正应变ε70°=4.1×10-4。E=2.1×105MPa，ν=0.28,求荷载F。 解：横截面应力： yF/A

70/2-/2cos（140o）0.5F(1+cos40o)/Ao-200.5F(1-cos40o)/Ao

由广义Hooke定律 70o1(o-20o) E70可得： F

7-12 用电阻应变仪测得受扭空心圆轴表面上某点处与母线成45°方向上的正应变ε=2.0×10-4。已知E=2.0×105MPa,ν=0.3，试求T的大小。 解：该点处于纯切应力状态 切应力T16T561.77T 34WPD(1)2EA70o1(1)cos40031.8kN

σ70o σ-20o

σy 根据该点应力状态，由斜截面应力公式

求±45o方位面上正应力

xyxyoocos90sin90561.77Tox4522 xyxyoocos(90)sin(90)561.77Tox4522由广义胡克定律，45o45o 1(45o45o)2.0104 E从而得出T.77kNm

7-13 炮筒横截面如图所示。在危险点处，σt=60MPa，σr=-35MPa，第三主应力垂直于纸面为拉应力，其大小为40MPa，试按第三和第四强度论计算其相当应力。 解：第三强度理论相当应力r313

-30-

第四强度理论相当应力r41[(12)2(23)2(31)2] 2这里160MPa 240MPa，335MPa 故r31395MPa

r41[(12)2(23)2(31)2]86.75MPa 2

7-20 已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力σ1=-650MPa，σ2=-700MPa，σ3=-900MPa。如钢轨的容许应力［σ］=250MPa，试用第三强度理论和第四强度理论校核该点的强度。 解：第三强度理论相当应力r313 第

四

强

度

理

论

相

当

应

力

r41[(12)2(23)2(31)2] 2这里1650MPa，2700MPa，3900MPa 故r313250MPa=[]

r41[(12)2(23)2(31)2]229MPa<[]，所以该点满足强度要求。 2

6-3 受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点A 处的应力状态如图(b)所示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得：εx=1.88×10-4，εy=7.37×10-4。已知钢材弹性模量E=2.1×105MPa，横向变形系数v=0.3，［ σ］=170MPa。试用第三强度理论对A 点处作强度校核。 解：该点处于平面应力状态，由广义胡克定律

1(y)xEx 1()yyxEE(y)94.4MPax12x得

E(yx)183.1MPay21即该点1183.1MPa，294.4MPa，30

-31-

根据第三强度理论r313183.1MPa>[]，所以该点不满足强度要求。

7-24 图示两端封闭的薄壁圆筒。若内压p=4MPa，自重q=60kN/m，圆筒平均直径D=1m，壁厚δ=30mm，容许应力［σ］=120MPa，试用第三强度理论校核圆筒的强度。 解：内压产生轴向应力和环向应力分别为

pD410633.3MPa440.03 pD66.7MPa2自重作用下，下部将产生轴向拉应力，上部将产生轴向压应力 危险点位于中间截面最下部，该点自重产生的轴向拉应力为

Mql26010312245.8MPa

D1Wz8()28()20.0322σ\" σ' +σ\"'

故该点179.1MPa，266.7MPa，30

根据第三强度理论r31379.1MPa<[]，所以该点满足强度要求。

6-6 在一砖石结构中的某一点处，由作用力引起的应力状态如图所示。构成此结构的石料是层化的，而且顺着与A-A平行的平面上承剪能力较弱。试问该点是否安全?假定石头在任何方向上的容许拉应力都是1.5MPa，容许压应力是14MPa，平行于A-A平面的容许切应力是2.3MPa。

解：根据题意，判断该点是否安全该用莫尔强度理论

先求该点三个主应力

xyxy210210222()x2()31MPa22222 xyxy2102102222()()311MPax3222210

根据莫尔强度理论

[t]1.53111.18MPa<[t] [c]14rM1再看平行于A-A平面的截面，sin22sincos2(

xy24sin2xcos2

425)210.6

225)250.8，cos22cos212(-32-

xy2sin2xcos24(0.8)30.61.4MPa<2.3MPa

所以该点满足强度要求。

6-7 一简支钢板梁受荷载如图(a)所示，它的截面尺寸见图(b)。已知钢材的容许应力［ σ］=170MPa,［ τ］=100MPa，试校核梁内的正应力强度和切应力强度，并按第四强度理论对截面上的a 点作强度校核。(注：通常在计算a 点处的应力时近似地按a′点的位置计算。) 解：①画内力图

②校核横截面正应力和切应力

maxMmaxy1080032402032(410224020)2.041109mm4 ，由于IzIz1212故max8201030.42168.8MPa 9122.0411010*FQmaxSzmaxmaxIzd*FQmaxSzmax，由于Sz*max24020410400102002.768106mm3

maxIzd6601032.768106109.55MPa 9122.04110100.01满足正应力和切应力强度要求。 ③ 校核主应力

已知C左或D右截面剪力和弯矩较大， 故需对该截面上a点强度进行校核。

My01030.4a125.43MPaIz2.0411036201030.240.020.41a

Izd2.0411030.01 59.8MPaa点处主应力

FQSz*1149.4MPa()223223.9MPa 220660

620 120 120 620 660 r41222()()()122331222ＦQ

(kN) 3

M

(kN·m) 0 -33-

162.7MPa满足强度要求。

820

0 7-1 矩形截面梁，跨度l=4m，荷载及截面尺寸如图所示。设材料为杉木，容许应力［σ］=10MPa，试校核该梁的强度。

解：梁发生斜弯曲（外力过形心，但与形心主惯性平面不平行）

qyqcos20o，qzqsin20o

qy作用下，下部拉上部压 qz作用下，左部拉右部压

所以梁的左下角点拉应力最大； 右上角点压应力最大， 且最大值相同。

qx 左

q

下 qy

maxMyWyMzWz

2qzl2qylqsin20ol2qcos20ol2 8Wy8Wz8Wy8Wz61.6103sin20o1661.6103cos20o16 80.160.11280.110.162 9.8MPa<[]故该梁安全。

7-3 图示悬臂梁长度中间截面前侧边的上、下两点分别设为A、B。现在该两点沿轴线方向贴电阻片，当梁在F、M共同作用时，测得两点的应变值分别为A、B。设截面为正方形，边长为a，材料的E、为已知，试求F和M的大小。 解：梁发生双向弯曲，

A、B两点处于单向应力状态，

EMFlMFl3而A

aWzWy6AAE，BB

BMFlMFl3

aWzWy66(MFl)Ea3(BA)MAEa312故，从而 36(MFl)FEa(BA)B3Ea12l

8-4 图示悬臂梁在两个不同截面上分别受有水平力F1 和竖直力F2 的作用。若F1=800N，F2=1600N， l =1m，试求以下两种情况下，梁内最大正应力并指出其作用位置： (1)宽b=90mm，高h=180mm，截面为矩形，如图(a)所示。 (2)直径d=130mm 的圆截面，如图(b)所示。

-34-

A Mz z B My M合 y

解：（1）在F1 和F2共同作用下梁固定端截面内侧上角点为危险点(拉应力最大)或外侧下角点为危险点(压应力最大)，最大拉应力和最大压应力大小数值相同，为

max2FlFl2FlFl1212229.88MPa

bhWyWzhb66（2）在F1 和F2共同作用下梁固定端截面为危险截面，该截面合弯矩（如图）为

2M合Mz2My2(F2l)2(2Fl1)

右侧A点为危险点(拉应力最大)或左侧B点为危险点(压应力最大)，最大拉应力和最大压

应力大小数值相同，为

max2(F2l)2(2FlM合1)10.5MPa 3dW328-6 图(a)和图(b)所示的混凝土坝，右边一侧受水压力作用。试求当混凝土不出现拉应力时，所需的宽度b。设混凝土的材料密度是2.4×103kg/m3。

解：（a）如图，AB面为危险截面

B点为危险点，取单位坝段（1m长）分析 AB面上内力

FN混gbh

W 11M12水ghh3h6水gh

3令BFNM AWM FN

-35-

b1b2 混gh水gh3/b2 0混gbh水gh3得bh水5.81m 混（b）如图，AB面为危险截面

B点为危险点，取单位坝段（1m长）分析 AB面上内力

gbh FN混2b13211M1ghhhWghgbh 混水水236126FNMgbhgh3gb2h2令B 2AW2bb2bghgh3/b20

W A M B FN 得bh

水5.81m 混8-10 短柱承载如图所示，现测得A 点的纵向正应变εA=500×10-6，试求F 力的大小。设E=1.0×104MPa

解：短柱发生偏心压缩变形，A点所在截面内力

FNF，MZ0.06F，My0.09F

F

My

Mz

M0.07FMANzyAWzIyF0.06F0.09F0.07 230.120.180.120.180.180.12612 200.62F A点处于单向应力状态，AEA5MPa 从而F24.9kN

-36-

8-12 试确定图示各截面图形的截面核心。

解：

（a） （b） （c）

8-13 图示一水平面内的等截面直角曲拐，截面为圆形，受到垂直向下的均布荷载q 作用。已知：l=800mm，d=40mm，q=1kN/m，［ σ］=170MPa。试按第三强度理论校核曲拐强度。 解：通过内力分析，曲拐BC段发生平面弯曲，最大弯矩ql2/2，AB段发生弯扭组合变形，危险截面为A截面，该截面内力

Mzqllqll/23ql2/2

Mxql2/2

该截面上顶点（或下底点）为危险点， 上顶点应力状态如图，大小为

Mz3ql2/2152.79MPa 3Wzd/32

-37-

Mxql2/225.46MPa 3WPd/16由第三强度理论强度条件

σ τ r3242161.05MPa<[]，曲拐安全

7-14 图示圆截面杆，受荷载F1，F2和T作用，试按第三强度理论校核杆的强度。已知：F1=0.7kN，F2=150kN，T=1.2kN·m，［σ］=170MPa，d=50mm，l=900mm。

解：由内力分析，该杆发生拉弯扭组合变形，固定端为危险截面 其内力为

FNF2，MZF1l，MxT

该截面上顶点为危险点， 上顶点应力状态如图，大小为

FNMzFFl221376.39MPa51.34MPa=127.73MPa

dAWzd432σ MxT48.MPa 3WPd/16τ 由第三强度理论强度条件

r3242160.86MPa<[]，杆安全

8-15 圆轴受力如图所示。直径d=100mm，容许应力［ σ］=170MPa。 (1)绘出A、B、C、D 四点处单元体上的应力； (2)用第三强度理论对危险点进行强度校核。 解：（1）A、B、C、D四点处所在截面内力(不考虑剪力):

FN110kN

MxFy1d90kN0.05m4.5kNm 2Mz(Fy1Fy2)l10kN1m10kNm

MyFxd110kN0.05m5.5kNm 2A 、B、C、D四点应力分别为:

-38-

AFNMz110kN10kNm14.01MPa101.91MPa115.92MPa 23AWz0.10.1432Mx4.5kNm22.93MPaBCD 3Wp0.116FNMy110kN5.5kNm14.01MPa56.05MPa42.04MPa 23AWy0.10.1432ABCFNMz110kN10kNm14.01MPa101.91MPa87.9MPa 23AWz0.10.1432DFNMy110kN5.5kNm14.01MPa56.05MPa70.06MPa AWy0.120.1343222（2）校核危险点:

MMzMy1025.5211.413kNm

FNM110kN11.413kNm14.01MPa116.31MPa130.32MPa AW0.120.13危险点E432MxMzMx4.5kNmA22.93MPa 3Wp0.1MMy16r3242130.322422.932138.2MPa[]170MPa 该轴是安全的。

 

(A) 7-20

(B)(C)(D)100kN-39- 14070στ30

FQ=-50kN , M=20kNm

γ=τ/G=67 με

σ=50MPa ,τ=-5.15MPa

ε0= σ/E=250με ε90= -νσ/E=-75με

ε45 = (σ45-νσ-45)/E=(30.15-0.3×19.85)/2×105=121με

ε45 = (εx+εy)/2+(εx-εy)cos900/2+γsin900/2

=(250-75)/2+67/2=121με 讨论题：请设计图示结构中的压杆BC。

已知F=28kN，A、B、C三处连接都简化为柱形铰。压杆采用矩形截面松木，σp= 13Mpa，E=10Gpa，n=2.0，nst=3.0，松木a=29.3MPa，b=0.19MPa 。

ib/12)F yl/y1l/(h/12) z0.5l/(B yzh2bA 2m2m

p2E/p10GPa/13MPa87.14m u(ab)/b(29.313)/0.1985.7 C

假设是大柔度杆件，稳定性条件：

FN

bhcr2Ehn2stnstz 1410321010b

2b2(12l/h)2nst b5.6cmy 123.7

8-1答：

（a）两端铰支，μ=1.0，μl=5m；

-40-

b=σ （b）一端固定，一端铰支，μ=0.7，μl=4.9m； （c）两端固定，μ=0.5，μl=4.5m；

（d）一端固定，一端自由，μ=2.0，μl=4m；

（e）上段杆：一端固定，一端铰支，μ=0.7，μl=3.5m；下段杆：两端固定，μ=0.5，μl=2.5m。 故，（a）最小，（e）最大。

9-2 图示压杆的截面为矩形，h=60mm，b=40mm，杆长l=2.0m，材料为Q235钢，E=2.1×105MPa。两端约束示意图为：在正视图(a)的平面内相当于铰支；在俯视图(b)的平面内为弹性固定，采用μ=0.8。试求此杆的临界力Fcr。 解：（a）izIzh217.32mm A12zliz12115.5

0.01732（b）iyIyb211.55mm A12yliy0.82138.53

0.01155故y138.53，为细长杆。

211401012π2EIπ2.1106012Fcr258.8kN 22(l)(0.82)3

9-5 图示５根圆杆组成的正方形结构。a=1m，各结点均为铰接，杆的直径均为d=35mm，截面类型为a 类。材料均为Ｑ235 钢，［σ］=170MPa，试求此时的容许荷载F。又若力F 的方向改为向外，容许荷载F 又应为多少? 解：（1）外围4根受压情况相同的压杆，内部1根拉杆 由受力分析F2FABFBD AB杆 

li1114.3，截面类型为a 类

0.035/4-41-

查表内插得折减因数0.533 则稳定条件FAB[]90.67MPa A得[FAB]87.23kN，[F1]123.34kN

由拉杆[F2][]A163.6kN，故[F]123.34kN （2）外围4根受拉情况相同的压杆，内部1根压杆 由受力分析F2FABFBD BD杆 li1.414161.6，截面类型为a 类

0.035/4查表内插得折减因数0.297 则稳定条件FBD[]50.47MPa A得[FBD]48.56kN，[F1]48.56kN

由拉杆[F2]2[]A231.3kN，故[F]48.56kN

9-7 图示结构是由同材料的两Q235钢杆组成。AB杆为一端固定，另一端铰支的圆截面杆，直径d=70mm；BC杆为两端铰支的正方形截面杆，边长a=70mm，AB和BC两杆可各自发生弯曲、互不影响。已知l=2.5m，稳定安全因数nst=2.5。E=2.1×105MPa。试求此结构的最大安全荷载。

解：结构由两根压杆构成

l0.71.5lAB杆 150，Q235钢的p100

id/4故AB杆为细长压杆，其临界力

FABcr2EI2.11010(l)2(0.71.52.5)2li2560.074353.97kN

BC杆 1l123.7，Q235钢的p100

a/12故BC杆为细长压杆，其临界力

0.0742EI2.1101012662.84kN (l)2(12.5)2256BCFcrFcrAB353.97kN故结构最大安全荷载[F]141.6kN

nst2.58-4答：

-42-

29501012π2EIπ70105012AB杆Fcr.9kN 22(l)(1.02)3F15Fcr149.8kN 329501012πEIπ70105012BC杆Fcr159.8kN 22(l)(1.01.5)23F25Fcr199.8kN 4所以 FF1149.8kN

9-8 图示一简单托架，其撑杆AB为TC17圆截面杉木杆，直径d=200mm。A、B两处为球形铰，材料的容许压应力［σ］=11MPa。试求托架的容许荷载［q］。 解：由受力分析知

FABsin30o2.4q3.21.6

q 15已知容许压应力，采用折减因数法计算

l12.77压杆AB，55.43，

i0.2/41TC17杉木的折减因数0.67566

21()80F则稳定条件[]7.43MPa

A即FAB故[F]7.4310AB60.224233.5kN

得[q][FAB]15/.7kN/m

9-10 图示托架中AB杆的直径d=40mm，两端可视为铰支，材料为Ｑ235钢。σp=200MPa，E=200GPa。若为中长杆，经验公式σcr=a-bλ中的a=304MPa，b=1.12MPa。

(1) 试求托架的临界荷载Fcr。

(2) 若已知工作荷载F=70kN，并要求AB杆的稳定安全因数nst=2，试问托架是否安全? 解：（1）AB杆

l1.01100

0.04i4

-43-

2E2200103p99.3，AB杆为细长杆。

p20029401012π2EIπ20010Fcr247.7kN

(l)2(1.01)244FFcr0.6/0.9132.1kN

50.90.9（2）FABF/0.870/0.8131.25kN

0.60.6nFcr247.7kN1.9，托架不安全。 FAB131.25kN

9-11 图示结构中钢梁AB及立柱CD分别由20b号工字钢和连成一体的两根63×63×5的角钢制成。立柱截面类型为b类， 均布荷载集度q=39kN/m，梁及柱的材料均为Ｑ235钢，［σ］=170MPa，E=2.1×105MPa。试验算梁和柱是否安全。 解：FCDq423942124.8kN 2.52.5FAyq42124.831.2kN

Mx0.831.20.8390.80.412.48kNm MC391.50.7543.875kNm

C截面为危险截面。

maxMC43.875kNm175.5MPa 1.05[]，梁AB安全。 Wz25010-6m3立柱CD：

FCD124.8kN101.6MPa 2A26.143cmIy223.17108m446.34108m4

Iz2[23.17108m4(0.01740.005)26.143104m4]107.99108m4

IminIy46.34108m4 iIy46.34108m40.019m A26.143104m212105 0.019-44-



li0.524

[st][]0.524170.1MPa，立柱CD不安全。

9-12 图示梁杆结构，材料均为Q235 钢。AB 梁为16 号工字钢，BC 杆为d=60mm 的圆杆。已知E=200GPa， σp=200MPa， σs=235MPa，强度安全因数n=2， 稳定安全因数nst=3，求容许荷载值。 解：（1）由压杆BC稳定条件确定容许压力：

p2E/p200109/20010699.34 u(as)/b(304235)/1.1261.6

l/i4l/d411.2/0.0680 故压杆BC为中长杆。 其临界应力为crab 根据F2FBC，则

[F]2[FBC]2crAnst221d(ab)1420.062(3041.1280)106/3404kN 3（2）由梁正应力强度条件确定容许压力： 梁跨中为危险截面，其弯矩MmaxFl/4F/2 最大正应力max=Mmax[]s Wzn得[F]2Wzs/n2141106235106/233.14kN 从而容许荷载值[F]33.14kN

10-2 图示一自重W1=20kN的起重机装在两根22b号工字钢的大梁上，起吊重为Ｗ=40kN的物体。若重物在第一秒内以等加速度a=2.5m/s2上升。已知钢索直径d=20mm，钢索和梁的材料相同，［σ］=160MPa。试校核钢索与梁的强度(不计钢索和梁的质量)。 解：钢索的拉力：

-45-

FW2W2a/g40(12.5/9.8)kN50.204kN

钢索中应力：

F/A50.204103/(104)

159.8MPa[160]MPa，钢索满足强度条件。

梁中最大弯矩：

M(FW1)2.5/270.2042.5/287.755kN

查表：22b号工字钢Wz325cm3

M87.755103max135MPa[160]MPa，梁的强度满足。 62Wz232510

9-1答：

kd1a2(取g10N/kg) g工字钢梁重：F24.1kg/m12m10N/kg22N

吊索：FNdkdF5784N FNd2每根吊索的动应力d48.2MPaA梁：最大静应力发生的地方可能在梁中间或吊索处

梁中间：M24.16103144641446Nm 吊索处：M24.12101482Nm

j1M1446Nm55.6MPa 63W2610m故，危险点处：dmaxkdj1255.6111.2MPa

10-3 图示机车车轮以n=400转/分的转速旋转。平行杆AB的横截面为矩形，h=60mm，b=30mm，长l=2m，r=250mm，材料的密度为7.8×103kg/m3。试确定平行杆最危险位置和杆内最大正应力。

解：杆件在最低位置最危险。 杆承受的荷载有自重和惯性力：

-46-

q(gan)bh(2n)2(gr)bh 26016002r(g)bh9q ql21(9.8160020.25/9)7.81031810443.148kN 最大弯矩：Mmax188最大正应力：maxMmax/Wz3.148kN6/(186106)174.8MPa

10-5 图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在1kN的静荷作用下缩短0.625mm。钢杆的直径d=40mm，l=4m容许应力［σ］=120MPa，E=200GPa。若有重为15kN的重物自由落下，求其容许高度h；又若没有弹簧，则容许高度h将等于多大?

d2[]0.250.042120106150.8kN 解：容许内力：[F]14动荷系数：kd[F]/W150.8/1510

无弹簧时静变形：st1Wl/EA154103/(210110.25(0.04)2)2.387104m

h[(kd1)21]st1/29.55mm

有弹簧时静变形：st2W0.625103st196.14104m

h[(kd1)21]st2/2=384.6mm

10-6 外伸梁ABC在C点上方有一重物W=700N从高度h=300mm处自由下落。若梁材料的弹性模量E=1.0×104MPa，试求梁中最大正应力。 解：求W作用下的静位移（用叠加法）：

Wl3Wll1lst3EI3EI 27002.4(2.41.2)15.48102m10363100.3510/12动荷系数：kd112h/st110.6/(15.48102)3.208 最大弯矩：Mst,maxWl7002.41680Nm

最大动应力：dmaxkdMst,max/Wz3.2081680/(0.30.052/6)43.11MPa

10-7 冲击物W=500kN，以速度v=0.35m/s 的速度水平冲击图示简支梁中点C，梁的弯曲截面系数Wz=1.0×107mm3，惯性矩I=5.0×109mm4，弹性模量E=2.0×105MPa。试求梁内最大动应力。

-47-

解：以W作为静荷载求静挠度：

Wl35105833st5.3310m 1191248EI482.0105.010

动荷系数：

kdv2/(gst)0.35/9.85.331031.531 最大弯矩：

Mst,maxWl/450000021106Nm 最大动应力：

dmaxkdMst,max/Wz1.531106/1079153.1MPa

10-8 试求图示4 种交变应力的最大应力σmax，最小应力σmin，循环特征r 和应力幅Δσ。 解：(a)

r0,

200MPa(b)

r50/1501/3150(50)200MPar50/2001/4

20050150MPa

( c )

(d)

r100/1001

100(100)200MPa10-9 试求图示车轴n-n截面周边上任一点交变应力中的σmax，σmin，循环特征r和应力幅Δσ。

解：轴中弯矩：

MFaWzd3/32

maxM/Wz32Fa/(d3)minM/Wz32Fa/(d3)maxminFA/(d3)rmin/max1

-48-

9-10答：

Fmax=50kN作用下：

Iz3400cm41120103mm4115212010mm419280cm4 12Mymax(Fl/4)ymax5010350.12/4max38.9MPa

IzIz19280108Fmin=0作用下：min0

第三类构件：C3.261012，3

C[]N1/3.26101221061/3117.7MPa

maxmin38.9MPa

梁是安全的。

10-1 计算图示各杆的应变能。设EA，EI，GIP 均已知。 解：画弯矩图，建立弯矩方程：

(0xa)M(x)0.5Mx/a M(x)0.5M(2x/a) (ax2a)应变能为：

2222a0.25Mxdx2a0.25M(2x/a)dxM2(x)Vεdx20a2EI2EIa2EIM2aM2aM2a 24EI24EI12EI0.5M 0.5M

10-1答：

2FNlF2a(F)2a3F2a1（a） VεFNl

22EA2EA22EA4EAM(x)2dx（b） Vεl02EI

(aMex2Mex2)dx(-M)dx2e2aMa2a2a ea2EI2EI12EI-49-

（c）VεVεMVεMxM(x)2dxMxl l2EI2GIp(aFx2F2)dx[(2ax)]dx2aT2a22 a2EI2EI2GIp20F2a3F2D2a 12EI8GIp

10-2 用卡氏第二定理求下列各梁中C 截面的竖直位移和转角。设梁的EI 为已知。

解 (1) 求C处竖向位移，加力F 求弯矩方程：

FAF/23ql/4, FBF/2ql/4 M(x)(F/23ql/4)xqx/2 (0xl)

2M(x)(2lx)(F/2ql/4) (0xl)求应变能：

222l(2lx)(F/2ql/4)dx[(F/23ql/4)xqx2/2]2dxVε0l2EI2EI(F/23ql/4)2l3/3q2l5/20(F/23ql/4)ql4/4 2EI(F/2ql/4)2l3/3 FA 2EIlF

FB

C点位移：

Vε3ql/4l3/3ql4/8ql3/12ql4ql45ql4Cy|F0

F2EI2EI16EI24EI48EI(2) 求C处转角，加一力偶M，求弯矩方程：

M

FA(M/2l3ql/4), FB(ql/4M/2l)M(x)(M/2l3ql/4)xqx2/2 (0xl) M(x)(2lx)(ql/4M/2l) (lx2l)求应变能：

222l(2lx)(ql/4M/2l)dx[(M/2l3ql/4)xqx2/2]2dxVε

0l2EI2EIlFA FB

(M/2l3ql/4)2l3/3ql5/20(M/2l3ql/4)ql4/4(ql/4M/2l)2l3/3

2EI2EIC点转角：

Vε3ql/4l2/3ql4/8ql3/12ql4ql4ql4C|M0，逆时针。

M2EI2EI16EI24EI48EI

-50-

10-3 用卡氏第二定理求下列结构中C 点的竖直位移。设各杆的材料、横截面积均相同并已知。 解：在C处加力P，首先求各杆内力：

FDC0FADFDB(FP)/2FAC0.52(FP)FBC0.52(FP)求系统应变能：

2FNili(FP)2a/4[0.52(FP)]22aV22EA2EA2EA

2[0.52(FP)]2a 2EA

P

位移：

VFa(0.52)2F2a(0.52)2F2aFaCy|P0

P2EA2EA2EA2EA

10-4 用莫尔定理求下列各梁C截面的竖直位移和A截面的转角。 解：画弯矩图，建立弯矩方程：

2M 0.5l (0xl)M(x)2Mx/l  (0x0.5l)M(x)2M （1） 求C处位移。C处加单位力，建立弯矩方程：

0 (0xl)M(x)0.5x 0(0x0.5l)M(x)(0.5lx ) 用莫尔定理得：

l2Mx/l0.5xdx0.5l2M(0.5lx)dxM(x)M0(x)Cdx

00EI3EIEIMl2Ml213Ml2，位移向上。

9EI4EI36EI(2) 求A处转角

在A截面加单位弯矩，建立弯矩方程：

M0(x)(1x/l) (0xl)

用莫尔定理得：

1

-51-

l2Mx/l(1x/l)dxM(x)M0(x)MlAdx，顺时针转。

0EI3EI9EI

10-5 用莫尔定理求下列各梁指定点处的位移。

解(b)：首先求弯矩方程（用弯矩图表示）

0.5Fa M(x)

Fa C处位移：在C处加单位力（向下），求弯矩方程（用弯矩图表示） 用莫尔定理得：

Mo(x) M(x)M0(x)CEIa0dx0.5a

2aa 0.5Fa(1x/2a)0.5xdx/EI0.5Fa(1x/2a)(ax/2a)dx/EI Fa35Fa33Fa3 6EI24EI8EIM

解(c)：首先求弯矩方程（用弯矩图表示）： (1) C处位移：在C处加单位力（向下），求弯矩方程（用弯矩图表示） 3a/2Mo(x)M(x)M0(x)dx0 用莫尔定理得CEI(2) 求D处位移，在D处加单位力（向下），求弯矩方程（用弯矩图表示）

Mo(x)

FaaFax/axFax/ax2F22Fa3由莫尔定理得：D adxadxxdxEIaEIaEI03EI00

aaa

-52-

10-2答：(a)此时不能用ΔiVε（因为M=Fl） FiC处加一铅直向广义力F0，则

(0xl)M1(x)(FF0)x2FlF0l  (lx2l)M2(x)Fl lM(x)dx2lMM2(x)dx2(x)dxVε1

l0l2EI2EI2EI22VεΔCF0F0012EIM1(x)12M(x)dx01F0F02EIl05Fl302M1(x)(xl)dx6EI

l在C截面加一力偶M0

(0xl)M1(x)Fx2FlM0 M(x)Fl (lx2l)222lM(x)dx2lM(x)dxM(x)2dx12Vε

l0l2EI2EI2EIVεCM0M001l2M1(x)M1(x)dx2EI0M0M001l3Fl2(Fx2Fl)dx 0EI2EI10-4答：(a)先列出荷载引起的弯矩方程

M(x)3qax12qx (0x2a) 22在C截面加一单位力

10M(x)x1 (0x1a)12 1M0(x)ax (ax2a)222200aM(x)M(x)2aM(x)M(x)M(x)M0(x)11qa412Cdxdxdx

l0aEIEIEI24EI在A截面加一单位力偶

M0(x)1x1 (0x2a) 2a02aM(x)M(x)M(x)M0(x)2qa3Adxdx

l0EIEI3EI

-53-

FF1F AA CBB

(a)

V请说明下式的意义：

F

M(x)MF1(x)MF2(x)解：见图（a），弯矩可表示为：

F1M1(x)F2M2(x)

式中M1(x),M2(x)分别为F1=1, F2=1时对应的弯矩。

M(x)M(x)M(x)

BdxM1(x)dx EIF1EI

M(x)M(x)M(x) CdxM2(x)dxEIF2EI

设F1=F2=F

VM(x)M(x)dxM(x)[M(x)M(x)]dx12BCEIFEI F

F2C

--