X 射线应力测定技术预备知识
一、X 射线的本质与产生
1、X 射线的本质
1895 年德国物理学家伦琴发现了 X 射线。1912
年德国物理学家劳埃等人成功地观察到 X 射线在晶 体中的衍射现象，从而证实了 X 射线在本质上是一
种电磁波。依据电磁波的波长，从 3×10m 以上到 10
－
－
4
13
m 以下，可以把它们分别称为无线电波、红外
－
线、可见光、紫外线、X 射线、γ射线和宇宙射线 等（如图 1 所示）。X 射线的波长范围在 10－8
12
m ～ 10
m 之间。用于衍射分析的 X 射线波长通常在
线 波长为 0.1nm ～0.005 nm，甚至更短。
0.05nm～0.25nm 范围，用于金属材料透视的 X 射
实验证明，波长越长的电磁波，其波动性越明 显，波长越短的电磁波，其粒子性越明显。X 射线 和可见光、紫外线同其它基本粒子一样都同时具有 波动性和粒子性二重特性。正因为它们的具有波动 性，光的干涉衍射现象才得以圆满解
图1、电磁
释；也正因为 它们的粒子性，探测器才可以接收到一个个不连续的 波谱
光量子。反映波动性的波长λ、频率υ与反映粒子性
各个区域的上下限难以明确指定，本图中各种电
磁波的边界是臆定的
的光子能量ε之间存在以下关系：
ε＝hυ＝hc/λ
－34
式中 h 为普朗克常数，h＝6.626×10J·s ；c 为光速，也是 X 射线的传播速度，c＝2.2998
8× 10m/s 。
2、X 射线的产生
研究证明，当高速运动的电子束（即阴极射线）与物体碰撞时，他们的运动便急遽的 被
阻止，从而失去所具有的动能，其中一小部分能量变成 X 射线的能量，发生 X 射线，而 大部分能量转变成热能，使物体温度升高。从原则上讲，所有基本粒子（电子、中子、质子 等）其能量状态发生变化时，均伴随有 X 射线辐射。通常使用的 X 射线都是从特制的 X 射 线管中产生的。图 2 是 X 射线管的结构和产生 X 射线示意图。灯丝上的热电子在高电压的 作用下以高速度撞击阳极靶面，就从靶面上产生 X 射线，并通过管壁上的铍窗放射出来。
图 2、X 射线管的一般结构示意图
3、连续 X 射线谱和标识 X 射线谱 从 X 射线管发出的 X 射线分为两种：
一种是波长连续变化的 X 射线，构成连续 X 射线谱，和白色可见光相类比。连续谱包
含从一个短波限λ0 开始的全部波长的 X 射线，辐射强度随波长连续变化，升高 X 射线管的
电压，各波长的辐射强度一致增高，短波限λ0 变小。 之所以存在一个短波限λ0 ，就因为撞向阳极的电子 的能量取决于管电压，产生 X 射线的能量至多等于电 子的能量，因此辐射有一个频率上限υm，对应的波长 就是短波限λ0 。
另一种是具有特定波长的 X 射线，他们叠加在连 续 X 射线谱上，称为标识或特征 X 射线谱（如图 3 所 示）。当加在 X 射线管上的电压达到一定值（临界激 发电压）的时候就会产生标识谱 X 射线。一旦产生了 标识谱 X 射线，管电压继续升高，其强度随之增大， 但是它的波长却不随管电压的升高而变化。实际上标 识谱的波长取决于 X 射线光中阳极靶的材料，测定其 波长就可以断定是什么靶材，这恐怕就是标识谱这个 名称的含义。
图 3、钼靶的连续谱与标识谱
4、标识 X 射线的产生
如果说连续 X 射线是由高速电子被靶急剧减速而产生的，那么标识 X 射线则源于靶
材 料本身的原子之中。在此只需把原子看成是由原子核和在其外围壳层分布的电子所组成便足 够了（如图 4 所示）。如果轰击靶的高速电子具有足够的能量，以至于把 K 层一个电子撞出， 便使得原子处于受激状态或高能状态；外层的电子即跃迁到 K 层的空位，并在这个过程中 发射出能量，使原子重新回到正常状态。所发射的能量等于跃迁电子的能级之差 E，以一 个 X 光量子的形态辐射出来，事实上这就是 K 系标识 X 射线（当然如果是在 L 层产生空位， 发射的就是 L 系标识 X 射线，以此类推）。它同时具有波动性，其频率υ、波长λ取决于能 级之差 E
E ＝ hυ＝hc/λ。 如果 K 层一个电子被撞出，相邻的 L 层上的电子来填补空位，产生的 X 射线称为
Kα 辐射；如果由 M 层电子填补 K 空位，产生的 X 射线称 为 Kβ辐射（如图 3 所示）。
在高电压的作用下，轰击靶的电子动能必须大于 或等于内层电子与其原子核的结合能 EK 才可能撞出内 层电子，所以先对应地存在一个临界激发电压 VK 。不 同的靶材，随原子序数 Z 的增大，跃迁电子的能级之 差 E 也随之增大，同一系标识 X 射线的波长λ也越 短，莫塞莱定律给出了它们之间的关系：
图 4、电子跃迁产生 X 射线
1/λ= K ( Z－σ) 。
式中 K 和σ为常数。这就解释了为什么根据标识谱
线 的波长λ可以断定靶材的原子序数 Z。
至此，我们对用于 X 射线衍射的标识谱 X 射线的来源和本质有了初步的认识。
二、 简单的晶体学知识
众所周知，自然界里的固态物质分为晶体和非晶体。所谓晶体，就是由原子所组成的图
．．
样，在三维空间中周期地排列而构成的固体。
把晶体中质点排列的规律性抽象出来，就可以得到空间点阵。在空间点阵之中人们可以
．．．．
选出一个能代表该点阵排列规律的最小几何体，这就是晶胞；整个空间点阵可以看作是由许
．．
许多多晶胞在三维空间重复排列而成的。按照晶胞 形式的不同，自然界里的晶体分属于 14 种布拉维格 子，归纳为七大晶系，例如立方晶系，六方晶系等 等。这本来是非常复杂的一门学问，所幸我们面对 的大多数金属材料只分别具有如下三种典型的晶
胞：体心立方、面心立方和密排六方（如图 5 所示）。
．．．． ．．．． ．．．．
图 5、三种典型的晶胞 图 6、二维点阵和晶面、晶面指数
（a）面心立方，（b）密排六方，（c）体心 间距大的晶面其指数小，并具有高的节点密度；反过来， 立方。左边是晶胞点阵，右边是原子排列 晶面指数的数字越大，其晶面间距就越小，节点密度也 示意图 越小。
因为晶体中的原子是规则排列的，人们总可以在其中按照不同的取向找到许多组相互平
行的，间距相等的，由原子组成的平面（如图 6 二维点阵所示的那样），这就是晶面，晶面
．． ．．
间距，常记作 d，是个很重要的物理量。为了表示晶面的在点阵中的取向，晶体学家规定了
．．
晶面指数（或叫米勒指数），如（1 0 0），（1 1 1），（2 1 1），（2 2 0），（3 1 1）…… 等等，一
．．．．
般地记为（h k l）。晶面指数不同，就意味着晶面在点阵中的取向不同，对应的晶面间距和 节点密度也不相同。间距大的晶面其指数小，并具有高的节点密度；反过来，晶面指数的数 字越大，其晶面间距就越小，节点密度也越小。对于立方晶系，如果晶胞的边长为 a ，则 （h k l）晶面的晶面间距
a
d =
晶体又分为单晶体和多晶体。直白地讲，以一个晶核为起点，原子按照一定的空间点阵
h k l 222。
．．． ．．．
花样，在三维空间连续排列，直至生成外形规则或不规则的整块材料，这就是单晶体。在一 个单晶体中晶体学方向是一致的，也就是说，一个指定的（h k l）晶面的法线只指向空间一
个方向。如果结晶时有许许多多晶核，每个晶核都生长为一个小小单晶，叫做晶粒，这许许 多多晶粒借助晶界组合为一块材料，这就是多晶体。顺便说，多晶体当中的各个晶粒的晶体 学方向如果是充分紊乱的，材料就被称为无织构的；如果有一定的择优取向，亦即某指定的
（h k l）晶面的法线在空间某些方向分布较多，而在另外一些方向较少，这就是织构材料。
．．
三、X 射线在晶体上的衍射
经过实际观察和科学分析，人们逐步认识到 X 射线和可见光具有相同的本质，试图类 比可见光的反射和衍射设计 X 射线的衍射试验。最早是劳埃，基于当时还处在萌芽状态的 晶体知识和 X 射线知识以及光栅衍射可见光的事实，提出用晶体作光栅来衍射 X 射线，1912 年在他的指导下实验获得成功。差不多同时英国物理学家布拉格父子也完成了类似的实验， 并导出著名的布拉格公式。他们的实验既证实了 X 射线具有波动性，同时也证明了晶体内 部结构的周期性，布拉格还测定了岩盐的晶体结构。
在布拉格实验中得到的结果是在某些特定的入射角度上有较高的反射强度，而在另外
一 些角度上就不发生反射。对比可见光的反射规律，发现 X 射线在晶面上的反射和可见光在 镜面上的反射有共同之点，那就是满足反射定律；但是却又一个重大的差异：可见光可以任 何角度入射到镜面上都能发生反射，而 X 射线只有在某些特定的角度入射才能发生发射。 因此，人们把 X 射线的这种反射称为“选择反射”。
实际上，选择反射是由 X 射线和晶体的性质就决定的。X 射线不同于可见光之点在于
它可以穿透到晶体内部，同时许多相互平行的晶面上发生发射，然而仅当在这些反射线相互 干涉而加强的情况下才能真正产生出反射线来。相互干涉加强的条件自然应当是各晶面反射 线的光程差等于 X 射线波长的整数倍，即所有的反射光波的位相相同。在晶面间距 d 一定、 入射 X 射线波长一定的前提下，只有连续改变入射角，才能找到一个满足“整数倍”条件 的入射掠角θ，才能得到反射线。这便是对选择反射的通俗理解。
如图 4-11 所示，当一束波长为 λ 的 X 射线入射到晶面上时，这些晶面都会依照反射定 律发生反射。该晶面间距为 d，入射和反射的掠角为 θ，从图 4-11 可以看出，相邻晶面的反 射线 1′和 2′之间的波程差
δ = ML+LN = 2dsinθ 。 根据前述的干涉加强的条件，波程差应等于波长的整数倍，即
这就是著名的布拉格公式。其中 n 为整数，称为干涉级数。掠角 θ 就是选择反射的特定角度，
2dsinθ = nλ。
常称为布拉格角。因为它是入射线和微观的晶面之间的夹角，往往不可直观，而反射线同入 射线之间的夹角则比较直观且可以度量，所以又常用入射线的正方向同反射线之间的夹角来 表示选择反射的角度。从图 4-11 可以看出，这个夹角就是 2θ，称为衍射角。
布拉格公式又叫布拉格方程。方程中有三个变量 d、θ、λ。已知三者之中的任何两个， 便可求出另一个。试想，当晶体中存在应力时，必然有应变发生，而应变又必然表现在晶面 间距 d 的变化上。这样，我们总可以用波长λ
为已知数的 X 射线去照射该晶
体，测出布拉 格角 θ（或衍射角 2θ）的变化，依照布拉格公式求出晶面间距 d 的变化，进而算出应变和应 力。当然，问题并不这么简单，还要假定一些条件，运用弹性理论进行推导，才能得出应力 和衍射角之间的确切关系。但无论如何，布拉格公式是 X 射线衍射理论的最基本公式，也 是我们进行应力测定的理论基础。
X 射线应力测定方法
一、 确定测试方法的依据
当接到一项 X 射线应力测定任务时，我们该从哪些方面来准备和考虑，以便正确选择 测试方法和工作方案呢？
首先应当熟知 X 射线应力测原理。为此必须事先了解 X 射线本质，具备必要的晶体其次，应当尽可能详尽地了解被测对象。知道了它的化学成分、组织结构和其中一些
学 知识，懂得 X 射线衍射原理。
主 要相的晶体学参数，才能够确定测量材料中哪个相的应力，进而选择衍射晶面、辐射和滤波 片，查找或计算应力常数。知道了它的工艺历程和最后状态，特别表面状态，再进一步判断 它是否存在织构，晶粒是否粗大，或者晶粒是否碎化（嵌镶块化），才能确定测量方法和条 件。
第三，在实际工作中常常会遇到实验的委托者并不了解 X 射线法测定的是指定点指
定 方向应力这一特点，只是笼统地要求测定工件的应力。在这种情况下，我们应当根据上述已 知的信息，再加上工件的形状、尺寸等等因素，分析残余应力产生的各种可能的原因，初步 判断工件各个部位应当是什么应力状态，这种应力状态对工件的使用性能或工艺性能有何影 响，做到心中有数。在此基础上才能够确定测试部位、测点分布、应力方向、测试点的大小 等等。还要依据试样的现有状态和测试目的，正确进行测试点的表面处理，并考虑是否需要 和允许进行剥层，测定应力沿层深的分布。只有这样，我们最后提供的测试结果才是可信的 和有价值的。
二、测量方法
1.X 射线应力测定的基本思路
依据布拉格定律 2dsinθ = nλ，测定衍射角 2θ，便可以计算出衍射晶面间距 d 。假定被 测材料为晶粒不粗大、无织构的多晶体，在一束 X 射线照射范围内应该有足够多的晶粒， 而且所选定的（h k l）晶面的法线在空间呈均匀连续分布。如图 1（a）所示，我们按倾角大
（a）选定的晶面法线方向与晶面间距
（b）衍射晶面方位角和应力方向平面
图 1. X 射线应力测定原理示意图
1
小依次确定晶面法线 ON0、ON1……ON4，通过衍射可以分别测定对应于这组法线的晶面间 距 d0、d1……d4 。容易看出，如果这些晶面间距在测量误差范围内是相等的，表明材料中 无应力；如果 d0、d1……d4 依次增大，表明存在拉应力；相反，如果依次递减，则表明存在 压应力。令衍射晶面法线与试样表面法线之夹角为 Ψ，并称之为衍射晶面方位角，则图 1 中对应于法线 ON0、ON1……ON4 的衍射晶面方位角 Ψ 分别等于 0、Ψ1……Ψ4 ，如图 1（b）。 这样又可以说，晶面间距 d 随着晶面方位角 Ψ 增大而递增或递减就表明材料表面存在拉应 力或压应力，自然，递增或递减的急缓程度就反映了应力值的大小。
根据布拉格定律和弹性理论可以导出所谓 sinΨ 法的应力测定公式：
σ＝K•M ；
（1） （2）
22
∂2θ
图 2. 2θ-sin Ψ图 Fig.2 Line of 2θ-sin2Ψ 2
M= ∂sin Ψ 。
2式中 σ 为应力值，K 为应力常数，2θ 为对应于 各 Ψ 角的衍射角测量值，M 即 2θ 对 sinΨ 的变化斜 率（如图 2 所示）。由布拉格定律可知它反映的就是 晶面间距 d 随衍射晶面方位角 Ψ 的变化趋势和急缓 程度。这里 2θ 随 sinΨ 增大而增大，说明 d 随之减 小，显然是压应力。
2
这样看来，X 射线应力测定的实质任务就是选 定若干个 Ψ 角，测定它所对应的衍射角 2θ 。完成这
种任务的装置叫做测角仪，是 X 射线应力测定仪的测量执行机构。至此，我们应该明确了 X 射线应力测定的基本思路。
应当指出，图 1（b）中法线 ON0、ON1……ON4 所在的平面习惯上叫做 Ψ 平面，实际 上就是应力方向平面，该平面与试样表面 XOY 的交线 OF 即为所测应力的方向。
2.固定Ψ法和固定Ψ0 法
图 3 是 X 射线应力测定的角度关系示意图。X 射线从 X 射线管产生，经过入射光阑或 准直管截取一束合适的光束照射到试样表面，设置 X 射线探测器，以照射点为中心进行扫 描寻峰，测定衍射角 2θ。这就是最基本的衍射装置。入射线与试样表面法线的夹角叫做入 射角Ψ0 ，而衍射角 2θ指的是入射线的延长线与出 现衍射峰时的反射线之间的夹角（下面的章节还要 介绍确定衍射角的方法）。那么参加衍射的晶面应该 处于什么方位呢？尽管晶面是微观的，根据入射角 等于反射角的光学反射定律，我们却可以判定衍射 晶面法线应当处在入射线与衍射线的角平分线的位 置，它和试样表面法线之夹角Ψ即是衍射晶面方位 角。
按照寻峰扫描方式的不同，应力测定方法可分 为固定Ψ0 法和固定Ψ法。
固定Ψ0 法 上述基本衍射装置实现的就是固 定Ψ0 法，其要点是在寻峰扫描过程中，入射线保持 不动，即Ψ0 角固定，而探测器在一定范围内扫描。
图 3. X 射线衍射主要角度几何关系 测定应力时需要设定若干个入射角Ψ0 （例如 0°，
2
15°，30°，45°），在每个Ψ0 角都分别驱动探测器扫描求得衍射角 2θ，然后计算应力。 我们注意到设定的是Ψ0 角，而计算应力需要的是衍射晶面方位角Ψ ；如图 3 所示，
而
Ψ = Ψ0＋η ， η=
（3） （4）
180 − 2θ 。 2
固定Ψ0 法测角仪的机械结构比较简单，早期的应力仪多采用这种方法。而当前采用先 进的固态线阵探测器或位敏固态闪烁探测器，免去机械式扫描的测角仪，其测量方法也应当 属于固定 Ψ0 法。
接收的反射线与入射线夹角的平分线是在不断改变的，这就意味着参与衍射的晶面不断地有
但是，观察图 3，设想探测器从衍射峰的起始角扫描到终止角，可以发现在这个过程中，
所改换。这样，对于晶粒较粗大或者存在织构的材料，衍射峰会产生畸变，影响应力测量结 果
[1,3,杨]
。这便是固定 Ψ0 法的缺陷所在了。
．．．．
固定 Ψ 法 固定 Ψ 法的特征是在寻峰扫描过程中，衍射晶面法线保持不动，即 Ψ 角固
定；为此，入射线和探测器轴线必须等量相向（或相反）扫描，使得针对指定的衍射晶面法
线而言入射角始终等于反射角。应力测定时直接设定若干个 Ψ 角（例如 0°，25°，35°，45°）， 在每个 Ψ 角都进行这样的扫描求得衍射角 2θ，然后计算应力。
固定 Ψ 法严格遵循布拉格定律，物理和几何图像清晰，在扫描过程中参与衍射的晶面 始终不改换，所以这种方法从原理上讲更为准确
[1,3,杨]
。显然对于织构和粗晶材料，只有采取
这种方法才有可能得到较好的测量结果。
实现固定 Ψ 法的途径又分为 θ-2θ 和 θ-θ 两种扫描方式。
θ-2θ 扫描方式是在同倾测角仪（如图 4 所示）上实施的。这种测角仪本来就是固定Ψ0 法
的结构，X 射线探测器及其驱动扫描的机构装置在固定 X 射线管的基体上。若要改变入射角， 须驱动 X 射线管围绕照射点作圆弧运动；然而这个运动必然带动装在同一基体上的探测器作
图 4. 同倾测角仪结构示意图
图 5. θ-θ扫描Ψ测角仪的 2θ平面
同步运动。为了实现固定Ψ法，在每个Ψ角上，于扫描起始的时候，就必须将 X 射线管和探 测器摆在以指定的衍射晶面法线为轴的对称位置上。在扫描过程中，当驱动 X 射线管并带 动探测器运动一个“θ”角（例如 0.1°）之后，接着再单独驱动探测器向相反方向运动一个“2θ” 角（0.2°），这样就相当于二者各走一个“θ”角（0.1°）仍然保持对称的状态，使衍射晶面法线 方向不变，在此刻接收反射的 X 射线。以后每一步扫描都是这样进行：θ，2θ，接收，θ，2θ， 接收……这就是所谓的 θ-2θ 扫描方式。应当说明，在 X 射线应力测定仪上，这个扫描过程 是依靠程序控制实现的。
θ-θ 扫描方式是在全新构思的 θ-θ 扫描 Ψ 测角仪上实现的。这种测角仪 2θ 平面（如图 5 所示）的特点是 X 射线管和 X 射线探测器分别安装在同一圆弧导轨的两个滑块上，对称分
布，通过一套特别的传动机构实现同步等量相向而行，严格满足固定 Ψ 法的几何关系。
．．．．．．
3
3.同倾法与侧倾法
当一束入射 X 射线照射到多晶体材料上，以满足布拉格定律为条件，衍射线会形成一 个以入射线为轴的衍射圆锥（如图 6 所示），横截圆锥便得到德拜环。圆锥上每一条母线与 入射线之夹角都是衍射角 2θ（此时还应该想象到，在这个圆锥以内还存在一个衍射晶面法 线圆锥，其圆锥角应是前者的 1/2）。这样在进行应力测定时，2θ 扫描平面的安置就有了一 定选择性。首先设置入射线运动平面（Ψ0 平面）垂直于试样平面，且与试样平面相交于 OX 直线，则 2θ 扫描平面既可设为与 Ψ0 平面重合，像图 6（a）那样，也可设为与 Ψ0 平面垂直， 如图 6（b）所示。在 X 射线应力测定方法中，前者叫做同倾法（其含义是 X 射线管和探测 器在同一平面内倾动），而后者称为侧倾法。
（a） 2θ平面与Ψ0 及Ψ平面重合
（b） 2θ平面与Ψ0 平面垂直
图 6. 衍射圆锥与同倾法、侧倾法
在同倾的条件下，可以实施固定Ψ0 法，也可以实施固定Ψ法。在这两种方法中Ψ角都 处于Ψ0 平面之内。
现在让我们留意刚刚提到的侧倾法。观察图 6（b），固然Ψ0 平面垂直于试样表面，然 而处于入射线与衍射线角平分线位置的衍射晶面法线却不在Ψ0 平面内，它与试样表面法线 构成的Ψ角也离开了Ψ0 平面。当入射线在Ψ0 平面 内运动时，衍射晶面法线并不在一个平面内运动， 而且Ψ角的计算已不再简单。实际上，这种侧倾法 应该叫
[2]
做无倾角侧倾法，有专门的数学处理办法。
但是如果我们不把 X 射线管放在垂直平面内
（如图 7 所示），而是让它在 2θ平面内向探测器的 另一侧偏过一个η角（η角见图 3），则衍射晶面法 线就恰好落在垂直平面内了。这样Ψ角就直观地等
于 2θ平面与试样表面法线之夹角。按照这种几何布 置测定应力的方法叫做有倾角侧倾法。当然η角只 图 7. 有倾角侧倾法的几何布置 能近似地用η0 替代，η0 由无应力状态的衍射角 2θ0 按（4）式计算而来。
采用先进的固态线阵探测器或位敏固态闪烁探测器的测角仪，一般都可以选择侧倾法。 但
是，它的 2θ平面通常由位于竖直平面内的入射线和对称分布其两侧的探测器组成。参看 图 6（b），相当于在现有 2θ平面的另一侧增添了一个同样的 2θ平面，二者在一个平面内，
4
且垂直于Ψ0 平面。显然，按照这样的布置，衍射晶面法线并不在竖直平面内，它相当于对 称分布的两个无倾角侧倾机构的组合，只不过可以通过计算和修正求出正确结果。
由图 3 不难看出，在同倾法的情况下，对于实际工件而言，2θ角与Ψ角往往存在测试 空间上的冲突。即使对于平面试样，要使得Ψ0 角大于 45°，或者 2θ角低于 140°，就会
出现难以克服的问题。而侧倾法的 2θ平面为与Ψ平面相互垂直，就不存在这样的问题，因 而可以扩大 2θ扫描范围。从使用的角度来说，其优点
[1,3,10]
是：一、在某些空间受到限制的
情况下，采用侧倾法显得比较有利；二、吸收因子与Ψ角无关，不必进行衍射强度的吸收校 正；三、对于某些材料，如果在较高角度范围（140°～170°）无峰或峰形较差，则可以利 用角度较低衍射峰。事实证明对于奥氏体不锈钢、铝合金、镍基高温合金、硬质合金等等材 料，利用 120°～140°范围内的衍射峰测定应力效果良好，显著提高测量精度。此外，X 射线的穿透深度随Ψ角的变化较小，对表层具有较高应力梯度的试样特别有利；测定圆弧表 面切向应力时，可得到较好的结果年我国研制出侧倾测 角仪（Ψ 测角仪）。
[3]
。在学者的建议
[1]
和推动下，1998
但是，同倾测角仪还会有它一定的应用场合。由于它结构简洁轻巧，在某些情况下更
加方便于携带到现场进行测试。实际经验还表明，在直角焊缝及其热影响区的应力测定场合， 结构非对称的、使用短阳极 X 射线管的同倾测角仪发挥着独到的作用。
4.侧倾固定Ψ法
如上所述，侧倾法与同倾法相比具有诸多优越性，固定 ψ 法实用效果又好于固定 ψ0 法； 那么将侧倾法和固定 Ψ 法结合起来，即侧倾的条件下实施固定 Ψ 法（如图 8 所示），不但具 有两者已有的全部优点，还会产生一个新特点──吸收因子恒等于 1
[3]
。这就是说，不论衍 射
峰是否漫散，它的背底都基本上不会倾斜，峰形对称性好，而且在无织构的情况下峰形及 强度不随 Ψ 角而变化。显然这个特点对提高测量精度是十分有利的。从这个角度讲，侧倾 固定 Ψ 法应该是最理想的测量方法 。采用 θ-θ 扫描 Ψ 测角仪可以直接实现这种方法。
图 8. 侧倾固定ψ法示意图
这里列举几个例子：
（1）、测定奥氏体不锈钢的应力，采用 CrKβ 辐射，（311）晶面衍射，衍射峰在 149.6°。
在使用同倾法的时候，本来峰背比就比较差，加上吸收因子的作用，Ψ0=45°的衍射峰背底严 重倾斜，往往无法确定背底，以致定峰精度很差。如果采用侧倾固定 Ψ 法，其结果是对应
5
于各个角的衍射峰背底均不倾斜；如果材料晶粒不粗大，也无明显织构，则这些衍射峰的线 形也都会比较完好，各峰强度无显著差异。这样，应力测定就会得到令人满意的结果。
（2）、对于铝合金材料，采用 CrKα 辐射，（222）晶面衍射，衍射峰在 156.7°左右，一
2
般的同倾测角仪都可以测试。但是，这种材料往往晶粒较为粗大，并且可能存在一定织构度， 所以测得的 2θ-SinΨ 关系与直线偏离较大。实验证明同样的铝合金材料，（222）晶面织构 度较大，而（311）晶面织构则可能相对较弱。采取侧倾固定 Ψ 法，仍使用 CrKα 辐射，在 139.5°出现（311）晶面的衍射峰。实验表明，这样测试精度较高，即使对于要求应力水平 必须很低的导航用陀螺零件，其测量结果也能满足控制生产工艺的要求。
（3）、近年来材料表面的金刚石镀膜的残余应力备受关注。使用 θ-θ 扫描 Ψ 测角
仪， CrKα 辐射（220）晶面，衍射峰出现在 130°，尽管应力常数高达－3374MPa/度，测量结果 可信度仍然很高。
5.摆动法
对于粗晶材料，在有限的 X 光照射区域以内，参与衍射的晶粒数目较少，衍射晶面法 线在空间不呈均匀连续分布，因而衍射强度较低，峰形较差，难以达到应有的测量精度。另 一方面，因为参加衍射的晶粒数过少，在衍射晶面法线方向上，他们的第Ⅱ类内应力之和可 能不等于零，这也会影响残余应力的测量结果小，也有类 似的效应。研究表明
[3]
[3]
。此外，如果 X 射线照射面积太
，有效衍射晶粒数目（进入计数管窗口有效面积内的衍
射斑点数目） neff 小于 70 时，neff 对应力测量结果影响很大。nef 与照射面积、接收狭缝大小和材料的晶粒 度有关，可以计算出来。判断晶粒是否粗大还有比较简便的办法：在固定Ψ的条件下，改变 X 射线照射位置，如果所得衍射线形差别明显，净峰强度之差超过 20%，就可以判定是粗 晶材料。
为了解决粗晶材料的应力测定问题，除了采用固定Ψ法以外，还可以考虑在允许的情
况下增大照射面积，尽量选用多重性因子较大的晶面等措施。如果仍不奏效，就需要选择摆
动法[1,10,11]。
摆动法的要点是这样的：以步进扫描的 θ-θ 扫描 Ψ 测角仪为例（参看图 8)，在扫描过 程中，每一步都在保持接收角 2θ 不变的条件下，使 2θ 平面（连同 X 射线管）以指定的 Ψ 方向为中心，在 Ψ 平面内左右摆动一定的角度 ΔΨ，在此摆动过程中计数。这里讲的是目前 常用的固定 Ψ 加摆动法。其实在同倾和侧倾的条件下都可以摆动。在不同型号的应力以上， 还会有固定 Ψ0 加摆动法，以及沿德拜环摆动法。
摆动法的实质是把相应于 Ψ±ΔΨ 这样一个角度范围的衍射峰相叠加，近似地当作指 定 Ψ 角的衍射峰，客观上增加了参与衍射的晶粒数，把一些衍射强度较低而且峰形较差的 峰叠加成为较为丰满、较少波动的峰，从而提高了粗晶材料的应力测量精度。
[11]
三、 定峰方法及其它数据处理
如前所述，X 射线应力测定的关键是准确测定衍射角 2θ 。然而仪器直接测得的是衍 射强度 I 沿接受角 2θ的分布曲线，即所谓衍射峰。在计算机控制的步进扫描或使用位敏 探测器的情况下，直接测得的是 I-2θ坐标系中的一系列“点”。衍射强度是随机变量，尽 管这些点按照一定的峰形分布，但是总会伴有一定的随机波动。那么如何由这些点求出满足 布拉格定律的衍射角 2θ呢？这就是所谓定峰问题，是数据处理中头等重要的一环。
6
在 X 射线衍射分析技术发展过程中，先后形成几种得到公认的定峰方法，例如半高
宽 法，抛物线法，重心法等等，还有确定峰位差的交相关法。各种方法都是人为制定的，不能 肯定那一种方法更正确，但是却可以说在各种不同情况下哪一种方法更合适。
定峰之前还要进行背底处理、强度因子校正等，定峰之后则要作应力值计算及误差分析。
1、 背底处理
衍射峰的背底是一些与测量所用的布拉格衍射无关的因素造成的，其中包括康普顿散 射、漫散射、荧光辐射等等，这些因素都受吸收的影响，有的强度还随 sinθ/λ 值的增大而增 大。所以扣除背底是提高定峰和应力测量准确性的必要步骤之一。
研究表明，背底是一条起伏平缓的曲线，可以用一个三元一次方程描述
[3]
。通常都倾向 于
把它当作一条直线对待，实验证明这样的近似处理对于现行的测量准确度要求来说是可行 的。为了扣除背底，首先要合理选取扫描起始角和终止角，使衍射曲线两端都出现一段背底。 一般扣除背底的做法是这样的：在曲线的前后背底上，从两个端点开始，分别连续地取若干 个（不少于 5 个）点，然后将这些点按最小二乘法拟合成一条直线；接着将所测得的衍射峰 各点的计数减去该点对应的背底强度，即得到一条无背底的衍射曲线（如 9 图所示）。
2、强度因子校正
根据 X 射线衍射强度理论，与接受角 2θ 及 Ψ 角有关的强度因子包括洛伦兹-偏振因子 LP（2θ）、吸收因 A（2θ,Ψ）以及原子散射因数 f（sinθ/λ）、温度因子 e
[12]
-2D
等。为了正确求
得仅与晶面间有关的衍射角 2θ，应当进行强度因子校正，这也是提高定峰和应力测定准确 性的必要步骤。计算表明，在应力测量用到的 2θ 范围以内，原子散射因数和温度因子随 2θ 变化很微小，可以忽略不计；而洛伦兹-偏振因子 LP（2θ）尽管影响峰位，却与 Ψ 无关， 所以在应力测定中也可以不加考虑；这样，最主要的就是吸收因 A（2θ,Ψ）。所以在实行同 倾法时计算程序中要加入吸收因子校正。但是如前所述，侧倾固定 Ψ 法吸收因子恒等于 1， 就无需校正了。
3、半高宽法定峰
半高宽法，就是把扣除背底的衍射 峰最大强度 1/2 处峰宽中点所对应的 2θ 作为峰位。一般计算软件所依据的数 学模型如图 9 所示。其要点是把净峰高 的两个“峰腰”部分当作直线，并用最小 二乘法加以拟合；在净峰值强度 1/2 处作平行于横坐标的半高线与这两条 峰腰直线相交；然后在两个交点之间取
中，这个中点的横坐标值即是所求的峰 图 9. 背底处理及半高宽法定峰 位。上述的峰值强度亦非随机的最大值，
而是峰顶拟合抛物线顶点的高度，这样可以减少随机误差。 这种方法利用衍射曲线斜率较
大的“峰腰”段进行计算，在这两段里，衍射强度的随机波
动对峰位的影响较小，所以定峰精度较高。但是它要求设定足够宽的扫描范围，以保证得到 曲线的前后背底。
7
4、抛物线法定峰
抛物线法是把衍射峰顶部（峰值强度 80%以上部分）的点，用最小二乘法拟合成一条 抛物线，以抛物线的顶点的横坐标值作为峰位的定峰方法（如图 10 所示）。
这种方法利用峰顶部分进行计算，所以在对被测材料的衍射曲线
形态比较熟悉的前提下，有可能缩小扫描范围，从而缩短测量时间。 具体做法是这样的：首先选定充分的扫描范围测试一次求出背底， 作为“公用背底”，用于同一试样其它点或同种材质同样状态的 其它试样的背底处理。后来的测试可以大幅度缩小扫描范围，只要 能保证得到各个Ψ角衍射峰的峰值 80%以上部分，就能正确进行定 峰。当然应当注意保持 X 管高压和管流的一致性，选用的准直管也 应当是一样的。
对于同一条衍射曲线，采用抛物线法和半高宽法得到的峰位不 会相同，由于 Kα1 与 Kα2 衍射峰并存，一般半高宽法峰位略高于 抛物线法峰位（对比图 9 与图 10）。在同倾法的情况下，由于衍射
的几何原因，不同Ψ0 角的衍射峰，其 Kα1 峰与 Kα2 峰的叠合程度 会有差异。因此即使对于无应力试样，用抛物线法得出的峰位亦随
图 10. 抛物线法定峰
[3]
Ψ0 角的增大而有所偏高，应力偏于负值。另外在照射点较小（或晶粒稍粗大）且接收狭缝 较小的情况下，Kα1 峰与 Kα2 峰可能发生分裂，不宜采用抛物线法定峰。当然事先做分峰 处理，再用抛物线定峰，那样就无懈可击了。
5、重心法定峰
重心法本来是以背底线以上整个衍射线 所包围的面积的重心所对应的 2θ 作为峰位的 定峰方法，物理概念很清晰，测试数据利用率 也很高。但是实际应用效果并不理想。其原因 在于峰两侧尾部的计数波动，虽然此处净强度 不大，但是由于距重心较远，即杠杆臂较长，
图11.重心法定峰[1] 计算时对重心有一定的影响。根据李家宝建 议，截取净衍射峰的峰值 20%至 80%之间的部 分，将之视为一个封闭的几何图形（如图 11 所
示），求出这个几何图形的重心作为峰位，这
样便显著改善了重心法的实用效果。
6、交相关法确定峰位之差
交相关法（ Cross-correlation method ）提出来的年代比较早
[4]
。
但是由于这种方法涉及大量的、数 量级很大的计算工作，在计算机应 用未能普及的年月是无法推广的。
确切地说，交相关法计算出的 是属于不同 Ψ 角的衍射峰位之差。
8
图 12. 交相关法确定衍射峰位之差
这正是应力测定所需要的。图 12 所示的是一个实际测量结果。
设 Ψ=0°衍射曲线为 f1（2θ），Ψ=45°的衍射曲线为 f2（2θ）。交相关法的思路是这样的： 构造一个交相关函数 F（ 2θ），使每一个 F 值等于 f1（2θ）、f2（2θ）两条曲线对应点的计数 相乘而后全部相加所得之和；只不过在 f1（2θ）与 f2（2θ）相乘时，每一次 f2（2θ）的自变 量 2θ 都要改变一个扫描步距角 δ，即
F( 2θ) = ∑ f1
n
2θ ⋅ f2 2θ
2θ
（5） i 1
式中 n 为步进扫描总步数，这里的 2θ表示依次变化的整数 k 乘以步距角δ，即
2θ= k·δ， k = 0，±1，±2，……。
显然 F（ 2θ）是 2θ 的函数。f2（2θ+ 2θ）的含义是把曲线整体平移 2θ。当 2θ= 0 时， 即 Ψ= 45°的衍射曲线不作偏移（k = 0），按（5）式计算得到的交相关函数 F（ 2θ）未必是 最大的，除非应力为零，两曲线峰位完全重合；当 2θ 恰等于两曲线峰位之差（我们欲求 的峰位移）时，即人为地使两曲线峰位完全重合，则 F（ 2θ）必是最大值。反过来说，按 （5）式计算，从正到负连续改变 2θ（即 k=0，±1，±2，……），可以得到一条交相关函数 F（ 2θ）分布曲线（如图 12 所示）。然后利用最小二乘法将这个分布曲线的顶部作二次三 项式拟合，便可求得该曲线极大值所对应的横坐标值 2θ——我们欲求的峰位移。
交相关法利用全部测量原始数据进行运算，每一个交相关函数值 F（Δ2θ）都是大
量 数据相乘再加和的结果（其峰值比衍射峰高出 4～5 个数量级），无疑每个原始数据的随机误 差相比之下变得极为渺小，因此这种方法定峰精度比较高。实验证明，对于比较漫散的衍 射峰，可以显著提高应力测量重复性。
[5]
但是，这种方法要求作交相关处理的两个衍射峰形态相近似。如果被测材料因为织构、
粗晶等原因致使峰形发生不规则的畸变，或者因为材料由多相组成，所选用的衍射峰近旁还 有其它相的峰与之叠加，采用这种数学处理方法就不合适了。
7、应力值的计算及误差分析
用此前计算出的各组峰位 2θ和 sinψ值，依据（2）式可计算出斜率 M ；再乘以应 力常数 K ，即得应力值σ（MPa）。计算斜率 M 利用最小二乘法，
2
M =
i 1
− n ∑ 2θ ∑ 2θi ⋅ ∑ sinΨi
i 1
n 2
2
n
n
2
n
i 1 i
⋅ sinΨi 4
2
− n ∑ sin ∑ sinΨi
i 1
Ψi i 1
n
（6）
式中 n 为测定应力选用Ψ角的数目。为简化起见，令
xi=Sinψi ；
[6]
2
2yi=2θi ；
X =
n
2θ∑i
n i 1
1
；
Y =
1 n i 1
∑ sin Ψi
n
；
则（6）式变为
n X Y
M =
− ∑ xi yi
n
(7)
i 1
n
2 n X 2 − ∑ xi i 1
于是 2θ-Sinψ的拟合直线可以表达为
2
（8）
yi = A+M xi
9
式中 A 为拟合直线在 2θ-Sinψ图纵坐标上的截距，即 Sinψ=0 时对应的 2θ，
A = Y －M X 。 （9）
理论上 2θ和 Sinψ成直线关系，然而测试所得的点与由它们拟合而成的直线之间，总 会有或大或小的偏差，即存在一个拟合残差问题。应力误差 Δσ即反映了拟合残差的大小，
2
22
Δσ=K· M （10） 式中 K 为应力常数；ΔM 为 2θ- Sinψ直线斜率的误差，按（11）式计算：
∑[ yi − A Mxi ]
i1
n
2
，
M = t(α，n − 2）
（11）
n − 2∑n xi − X 2 i 1
式中 t(α,n-2)为对应自由度（n-2），可信度（1-α）的 t 分布值。 作为实例，图 13 提供三种实际 测量结果，它们的误差大小各不相 同。这里有两种情况：
第一，在材料中无织构的情况 下，Δσ是由各种随机因素造成的， 它是测量精度的表征。图 13（a）的 测量误差很小。图 13（b）的误差则 稍大；通常通过改善测量条件，还
（a）Δσ很小 （b）Δσ稍大 （c）Δσ过大
图 13 应力值误差
可以减小这个误差。因为随机误差的主要应影响因素是衍射强度（或各点总计数）；其次是 衍射峰的半高宽。形象地讲，峰形敏锐，则误差小；反之，峰形漫散，则误差大。经过实验
[7]
与分析，在连续扫描条件下衍射角误差 2θ与有关参数之间存在如下回归关系：
H
W
2θ= 0.04
I P
2
( 1 I P ) ⋅V ⋅ 0.01
（12）
I B
式中
HW——衍射峰半高宽（°）； Ip——净峰强度； IB——背底强度；
V ——计数管扫描速度 （°/min）。
2
第二，如果出现图 13（c）那样的情况，2θ和 Sinψ已不再是直线关系，可以认为 σ除包含测量偶然误差以外，更主要的可能是存在织构或晶粒粗大所致。
四、衍射几何问题
从衍射几何来说，在 X 射线衍射仪上测定应力通常采用
聚焦法的原理十分简明
[8]
聚焦法或准聚焦法。
。如图 14 所示，发射点 S、被 照
射弧面 AB 与接收点 F 同处一个圆上，根据对同一圆弧的圆 周角相等的定理可知，由 S 点发出的 X 射线照射到 A 至 B，
而 A 至 B 所有的衍射线均以相等的衍射角 2θ 聚焦于 F 点。 日本学者在研制应力
测定的专门衍射装置时，采用了平行
图
14.
聚焦法的几何原理
10
光束法（如图 15）。它的 X 射线管的投影焦斑（X 光源）约为 4×4mm 的矩形，入射和接收 光阑里都按等间距装置了隔片，这样可以认为入射线大部分为平行光。
分析和实验结果都表明，采用平行光束法，对测
角仪至被测点距离（Y）的设置误差（ Y）宽容度 比较大，在 Y 不超过±3mm 的情况下，它所造成的 衍射角的测量误差不会超过±0.03°。这一特点客观 上起到提高测量精度的作用。对于表面应力分布梯度 不大的试样，容许一定的设置误差 Y，还能保证测 量精度，这给实际测试工作带来方便。但是如果分布 梯度比较陡峭（例如测定焊接应力在垂直于焊缝方向 上的分布时），设置试样时一旦有了可以察觉的 Y， 则不同 Ψ 角时 X 光照射位置就会有所不同，这样的 测量就无意义了。另外在需要限制照射面积的时候， 假若只有一两个隔片中的狭缝通光，那样就和准聚焦 [3]
图 15. 平行光束法应力仪的衍射几何
法没有明显区别了。还有，平行光束法的衍射强度和分辨率都比较低，这是它显而易见的缺 点。
上世纪八十年代中期，汲取国内专家的研究成果
[9]
，国产 X 射线应力测定仪采用了点焦
斑 X 射线管和准聚焦法的衍射几何，其光路系统示如图 16 所示。当入射角 Ψ0 一定时聚焦 圆就固定了，探测器不沿聚焦圆扫描而是沿着测角仪圆扫描；另一方面，被测试样表面通常 与聚焦圆并不吻合；因而叫做准聚焦法。但是仔细分析起来，如图 17 所示，在试样被测点
图 16. 准聚焦法应力仪的衍射几何
为平面的的情况下，聚焦圆上的衍射强度分 布倒不如测角仪圆上的分布更合理一些
[1,9]
。
图 17. 聚焦法与准聚焦法的比较
实际应用结果表明，准聚焦法在提高衍射强 度、减小测量误差方面收到了良好效果。
如前所述的θ-θ扫描Ψ测角仪的衍射几何属于聚焦法，图 18 是这种测角仪的光路示意 图。这里虽然也有不符合严格聚焦条件之处，例如 X 射线管虽然是点焦斑，但光源不是几 何意义上的点，总有一定的大小（0.5×0. 5mm）， 试样被测点表面与聚焦圆不可能完全吻合；但是
在 X 射线管和探测器沿测角仪圆对称扫描的过程 中始终处于同一个聚焦圆上，实属难得的特点。 容易看出聚焦圆直径是不断变化的，2θ越低则聚 焦圆半径越大。
聚焦法的优点是衍射强度和分辨率比较高， 在一定限度内增加入射光束发散度对衍射峰半高 宽无明显影响。它的缺点是对测角仪到被测点的
θ-θ扫描Ψ测角仪图 18. 的
距离的设置要求比较严格。但是现在已有了精确 设置试样的手段，控制设置误差已经比较容易，
聚焦法衍射几何
11
因而推广使用聚焦法是可行的。
五、 辐射、衍射晶面与应力常数
5.1 辐射和滤波片
X 射线管发射的 X 射线分为连续谱线和标识谱线（如图 19 所示）。X 射线衍射分析使用 标
识 X 射线。当 X 射线管电压达到并超过靶材的激发电压 VK 时，来自阴极的高速电子具 有了充分的动能， 能够撞出靶原子内层（例如 K 层）电子而产生空穴，原子处于激发状态， 外层（例如 L、M 层）电子遂向空穴跃迁，以使原子恢复常态；跃迁电子的能级之差以 X 光量子的形态辐射出来，便是标识 X 谱线。其频率υ与能级之差 E1－E2 成正比，
E1－E2＝hυ， （13） h 为普朗克常数。若用 X 射线波长λ表达，则
λ
式中 c 为光速。同一系（例如 K 系）标识谱线，其波长λ取 决于靶材原子序数 Z，它们之间的关系符合莫塞莱定律：
hc ， E1－E2＝
（14）
（15） 1 = K（Z－σ）， λ
式中 K 和σ均为常数。所谓标识谱线，其含义就在于它的波 长与靶材原子序数的一一对应的关系。因靶原子 K 层出现空
穴而产生的 X 射线叫 K 系谱线，L 层电子跃迁到 K 层空穴
所产生的 X 射线叫 Kα辐射，M 层电子跃迁到 K 层空穴所 产生的 X 射线叫 Kβ辐射（如图 19 所示）。所以，选择不同 波长的辐射就是选用不同靶材的 X 射线管，或同一靶的不 同辐射。
图 19. 钼靶 X 射线的谱线
在选用 Kα辐射的情况下，为了突出其单色化效果，
提 高衍射线的峰背比，应当设法滤除 Kβ辐射，并降低连续谱 线的强度。为此就要在光路中加装滤波片。
滤波是吸收缘效应的巧妙利用。所谓吸收缘效应，即在 材料对 X 光的质量吸收系数μm 随入射 X 光波长λ而变化的
图 20. 滤波片的作用示意图
（A） Cu 靶的辐射在滤波之前； （B）通过 Ni 滤波片之后。
曲线上有一个突变缘（如图 20 虚线所示），波长大于此缘时质量吸收系数μm 已经变得很低， 小于此缘时μm 陡然增高。实际上，这是因为波长等于吸收缘的入射 X 光所具有的能量恰能 撞出被射物质原子内层电子，并引起电子跃迁，产生二次 X 射线，故而被射物质对入射 X 光显现出强烈的吸收，这又被称为真吸收。
面对图 19 我们不妨设想，如果某种材料的 K 吸收缘恰好位于入射的 Kβ辐射与 Kα辐 射之间，不是正好可以利用它滤除 Kβ辐射吗？事实正是如此，只要滤波片材料的原子序数 比 X 光管靶材小 1 或 2，就可以实现这个巧妙的设想，如图 20 所示的那样。
X 射线应力测定常用辐射及滤波片的有关数据见表 1。
表 1. 不同 X 射线管所用的滤波片
阳极靶 标识谱线波长（nm） 滤 波 片 Kα滤波后强 厚度① 元素 Cr 原子序 24 λ-Kα 0.22909 λ-Kβ 0.208487 材料 V 原子序 吸收缘λK（nm） 23 度变化 I/I0 0.5 0.22690 0.016. 0.016 Fe 26 0.19373 0.17566 Mn 25 0.18964 0.17433 0.46 0.44 Co 27 0.17902 0.162079 Fe 26 28 0.018 0.021 Cu 29 0.15418 0.13922 Ni 0.14880 0.40
12
① 是滤波后的 Kα与 Kβ强度比为 600∶1 。
5.2 衍射晶面的选择
选择衍射晶面的根本依据是布拉格定律：
2d sinθ= nλ 。 当然事先要知道现有仪器提供的前提条件：一是仪器配置了哪几种靶材的 X 射线
管， 它决定了有哪几个波长 λ 的辐射可以选用；二是测角仪的 2θ范围。
晶面指数(h k L)表征了晶面相对于晶体点阵坐标的取向。它的数字越小，其上的原子
密度越大。为了得到较大的衍射强度，应当尽量选用指数较小的晶面作为衍射晶面。但同时 要依据布拉格定律，使晶面间距 d 与 X 射线波长 λ 适当配合，以便在仪器允许的范围内得到 完整的有足够强度的衍射峰。
根据弹性力学和布拉格定律进行推导，可得应力常数的如下表达式：
K=－
⋅ cotθ ⋅ π 180 2(1 ν） 0 E
（16） 式中θ0 为无应力状态的布拉格角。（16）式表明θ0 越大则应力常数 K 越小。所以要
尽量选 用衍射角 2θ比较高的衍射晶面。因为应力常数 K 越小，同样的衍射角 2θ测量误差引起的 应力值误差也越小。
5.3 应力常数问题
应力常数表达式（16）中的 E 和ν
分别是杨氏模量和泊松比。应当指出，这里的 E 和
ν应当是材料中指定相、指定晶面（ h k l）应力应变关系的参量。在多数情况下这里的 E 和ν与机械法测得的多晶材料的 E 和ν在数值上有很大差别。而且一般材料的这些参量对 合金元素含量及组织结构不敏感，但是（16）式中的 E 和ν
不仅与晶面指数有关，而且与 材
料的成分、塑性变形历史以及热处理状态等因素有关。所以如果要追求与载荷应力完全一
致的残余应力值，可以采取实验手段测定应力常数。
为此，用与待测应力工件的材质工艺完全相同 的材料制作成等强度梁，如图 21（a）所示。右端
“V” 型槽处于两条斜边延长线的交点上。图 21
（b）是等 强度梁加载装置示意图。如果载荷为
P，则等强度 梁上面的载荷应力σp 按下式计算：
6 L （a） 等强度梁主、俯视图 σp= B H P =GP （17） 0
式中 G 称作等强度梁系数（这里提供一个参考尺寸： L=300mm，B0=50mm，H=6mm，计算得 G=1）。
测定应力常数的办法是这样的：给等强度梁施
加一系列不同的载荷 Pj，在每个载荷下，分别用 X
射线应力测定仪在等强度梁上面测定衍射角 2θ对 2 sin Ψ的斜率 Mj （操作方法与测定应力相同）： n n n 22 ∑ 2θi ⋅ ∑ sinΨ i − n ∑ 2 θi ⋅ sinΨ i
i1 i1 i1
Mj= （18） （b） 等强度梁加载装置 n 2 2 n 4
i1 i1
式中 n 为测定斜率选用Ψ角的数目。测试点应当确 定在梁的中心线上远离边界条件的某
∑ sin Ψ i − n ∑ sin Ψ i
图 21. 等强度梁及加载装置
一点，应力方向与中心线一致。假定测试点的残余应力
13
为σr ，则载荷应力与残余应力的代数和σpj +σr 应与 X 射线应力测定所得的斜率 Mj 成正 比，即 一般地表达，
σpj+σr=KMj ，
（19） （20） σp= K M－σr ，
式中σr 和 K 为未知数。这是个直线方程，K 为直线的斜率。对（20）求导，得
K=
∂σ p
。 ∂M
（21）
由一系列的载荷应力σpj 和实测数据 Mj ，用最小二乘法可以求得应力常数 K ：
K=
m σ p ∑
m ∑
M − m m M ⋅σ j
∑ j pj
，
j 1
j 1 m
M
j 1 2
2m （22）
∑ j − m ∑ M
j 1 j 1
式中 m 为等强度梁载荷系列中的个数。 此外，也可以把材料做成板状试样，利用其它型
式的加载装置，在试样上粘贴电阻应
变片，同时用电阻应变仪和 X 射线应力测定仪（或衍射仪）测定应力常数。 实验测定
应力常数是一项非常细致的工作。所以应当注意：一，等强度梁及其加载装
[2 ]
置的制作与安装都必须保证足够的精度；梁体材料不但要和待测材料的材质状态完全一致 外，还要注意避免晶粒粗大和织构，并且注意去除机械加工带来的附加应力。二，作 X 射 线衍射分析时应当严格把握应力方向、Ψ=0°状态的垂直度和标定距离；还要注意随着载 荷增加等强度梁发生弯曲，每次都要校准距离和垂直度。
关于理论计算 X 射线应力常数问题，前人曾提出不同的假设和计算模型
[1]
。文献[1]
根 据统计波动理论，推导出多晶体的弹性常数应取按 Viogt 和 Reuss 两种假设计算所得结果的 几何平均值，并在附录中列出了常用金属材料、一些陶瓷材料和硬质合金的应力常数，被国 内外同行普遍采用。
六、 测量条件的选择
6.1 衍射强度问题与管电压、管电流的选择 6.1.1 衍射强度问题
衍射强度指的是探测器在某个接收角上单位时间内采集到的 X 光子数，也就是探测
器 单位时间内输出给计算机的脉冲数。衍射强度是随机变量，必然带有随机误差。从仪器制造 的角度，提高 X 射线管电压、电流的稳定度和探测器的稳定性，可以减小衍射强度的随机 波动，但是要想使它完全恒定是不可能的。
多晶材料的衍射强度首先取决于原子散射振幅、晶胞的结构振幅、衍射晶面的多重性
因 子、单位体积内的晶胞数，还有角因子、吸收因子、温度因子等等因素。其次，材料的状态 和组织结构也会影响衍射强度。晶体缺陷增多，原子排列的周期性有某种程度的下降，衍射 强度必然降低。再者就是几何因素—照射面积大小和接收狭缝的影响。如果要求测定微小区 域的应力，允许的照射面积很小，则衍射强度就会很低。
在面临很弱的衍射峰时，为了使得应力测试结果具有足够的可信度，就必须设法提高
从另一个角度来说，衍射强度也给我们带来了被测材料的金属物理信息。对于相同的材
衍 射强度，或增大探测器累计的计数。因为计数越高，则它所包含的相对误差就越小。
料，在相同的衍射晶面和衍射几何条件下，一旦发觉衍射强度的明显变化应当引发我们的思
14
考和分析。必要时再配合使用其它手段，寻求材料内部组织结构的特性，以及它们对材料性 能的影响。
6.1.2 管电压、管电流与 X 射线发射强度
为了提高衍射强度，首先应当关注 X 射线发射强度。标识 X 射线的发射强度 I 标随着管
电压 V、管电流 i 的升高而增大，实验结果表明，
I 标=Ci(V-VK) ，
m
（23） 式中 C 为比例常数，VK 为 X 射线管靶材的激发电压，m 是个实验测定值，对 K 系，取 m=1.5 。 如前所述，标识谱是叠加在连续谱上的。管压提高，标识谱增强的同时连续谱也增强，而后 者对于衍射分析是不利的。理论推导和实验都表明连续谱线的强度 I 连与管电流 i 及管电压 V 的平方成正比，
I 连=KiZV
2
（24） 式中 K 为常数，Z 为靶材的原子序数。为了得到标识谱和连续谱二者最佳强度比，应当寻求 最佳工作电压。由（23）式和（24）式可以导出 I 标 / I 连 以（V/VK）为自变量的函数关系， 并得到相应的曲线（图 22）。该曲线表明，当管电压 V 为激发电压 VK 的 3～5 倍时，可以得 到标识谱对连续谱的最佳强度比；其实达到 2.5 倍时已接近最佳。按此规律，常用 X 射线管
的激发电压和适宜工作电压列于表 2 。
表 2. 常用 X 射线管的激发电压和适宜工作电压
靶材 元素 Cr Co Cu 原子 序数 24 27 29 激发电压 VK （kV） 5.98 7.71 8.86 适宜的工作电压（kV）
18～25 20～35 22～45
某一 Kα线强图 22 度 与连续谱强度之比
6.2 入射光束张角与照射面积·接收光阑
关于入射光束张角大小问题，上世纪八、九十年代多内外学者做了很多研究。在汲取学 者们研究成果的基础上，目前国产 X 射线应力测定仪的θ-θ扫描Ψ测角仪在满足聚焦法的
表 3. 当前国产应力仪准直管直径 与相应的光束发散度和照射面积
衍射几何条件的前提下，配备了直径分
准直管直径（mm） 光束发散度 垂直照射面直径（mm）
Ø0.6 Ø1 Ø2 Ø3 Ø4 0.64° 1.06° 1.89° 2.72° 3.55° 1 1.5 3 4.5 6 别为 Ø0.6mm、Ø1mm、Ø2 mm 的准直 管作为入射光阑，另配 Ø3 mm、Ø4 mm 准直管备选（表 3），Ø4 mm 用于特殊场 合。前三种准直管对应的光束发散度分 别为 0.64°、1.06°、1.89°。大量实验 证明采用这些准直管，应力测量系统误 差均在允许的范围以内。Ø3 mm 准直管 对应的光束发散度时 2.72°，在实际测 量中也被经常使用，亦未见显著系统误
差。进口的 AST 和 TEC 公司的仪器提供的准直管也有 5 种，分别产生直径为 Ø 1、Ø 2、Ø 3、Ø 4 和 Ø 5mm 的光斑。若从测量偶然误差角度考察，随着准直管直径的增大，X 射线照 射强度显著增强，从而使得应力测量精度随之提高。
当然应当同时注意到，准直管直径越大，X 射线照射面积也越大。操作者应当明确了解， 测得的应力是 X 射线照射面之内的平均值。因此必须考虑被测试件的具体情况，合理确定 照射面积的大小。首先应当根据产生残余应力各种可能的原因，分析它的大小在试件表面各
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处是否会有很大的分布梯度。原则上讲，梯度小则照射面积允许大一些（例如测定平面喷丸 试件应力）；如果应力梯度比较大（例如测定焊接应力），则应当选用直径较小的准直管。其 次，应当考虑被测工件的尺寸和形状；显然在小平面上或曲率半径较小的弧面上测试，必须 选用直径较小的准直管。为了合理地增大照射面积，有时操作者还可以考虑使用狭缝式入射 光阑。对于在一定方向上存在明显应力梯度的试样，让狭缝与这个方向垂直；对于小的圆柱 或内圆弧试样，让狭缝平行于试样的母线。
接收光阑装置在计数管（探测器）窗口之前，起到限制光束和屏蔽散射光的作用。当
前 国产应力仪配置的接收光阑狭缝有以下几种：1.8×6mm，0.9×6mm，0.36×6mm 和 0.18× 6mm，在测角仪圆上对应的角度分别为 1°，0.5°，0.2°和 0.1°，通常采用 1.8×6mm 狭 缝。不装狭缝片时接受宽度为 3×6mm。接收狭缝越宽则计数率越高；选择较小狭缝在一定 程度上可以提高衍射线的分辨率。
6.3 Ψ角的选择
GB7704-87 规定按固定Ψ0 法测定应力时，Ψ0 角取 0°、15°、30°和 45°；而采用固 定Ψ法时，Ψ角取 0°、25°、35°和 45°。
在实际测试工作中只取 0°和 45°两个Ψ角或Ψ0 角的情况也比较普遍，因为这样工作 效率比较高。但是这样做应当具备如下先决条件：材料具有良好的各向同性性质，织构不明 显；X 射线有效穿透深度以内应力梯度较小；晶粒不粗大；衍射峰比较敏锐，峰背比高，因 而衍射角 2θ测量精度比较高。在我们面对一个新的试样，不能确定它具备这些先决条件的 情况下，一定要选取四个或四个以上的Ψ角进行测试，否则就无法确认测试的可信度。
在选取的若干Ψ（Ψ0）角当中，最小的一般取 0°，最大的应当尽量大一些，这样从应 力计算的角度考虑可以提高测量精度；但是同时还要考虑其他因素。例如，在同倾法的情况 下，如果Ψ（Ψ0）角太大，试样对反射 X 射线的吸收严重，使得衍射峰背底严重倾斜，势 必影响定峰精度。在采用侧倾固定Ψ法的时候，吸收因子造成的影响不存在了，Ψ角可以适 当加大；但是无论是侧倾法或是同倾法，如果最大的Ψ（Ψ0）角太大，对于各个Ψ（Ψ0） 角来说，X 射线穿透深度和照射面积差别也会变大，从而使应力测量结果的实际意义降低。
[4]
四个或四个以上Ψ角的设置原则，通常是使它们在 sinΨ坐标上具有大致相等的间距， 这样每个衍射角 2θ测量值对测量结果的计算能够起到同等的作用。
在遇到形状比较复杂的工件，测试空间不允许设置足够宽的Ψ角范围时，即使满足上述 先决条件，也应当在允许的范围内至少设置 4 个Ψ角，这样才能保证测量结果的可信度。
2
6.4 半高宽问题与 2θ扫描范围、扫描步距、计数时间
按照布拉格定律，只有在严格的 2 倍布拉格角θ上才会出现衍射强度的极值，然而实际 的衍射峰总会跨越一定的角度范围。为了描述这一现象，就用到了半高宽，即除去背底的衍 射峰在其最大强度 1/2 处所占据的宽度，以度（°）为单位。从 X 射线衍射分析的角度来说， 它是个非常重要的物理参数。它的大小既有几何因素，又有物理因素。几何因素指的是入射 光束发散度越大，接收狭缝越宽，则半高宽越大。当然在聚焦法衍射几何条件下，入射光束 发散度在合理范围以内的增大对半高宽影响较小。就物理因素而言，因塑性变形或相变致使 晶粒碎化（嵌镶块化），第二类内应力（微观应力）增大，位错密度增高，都会导致衍射峰 宽化。而这些因素往往会影响到材料的力学性能。
正确设定 2θ扫描范围的原则是在所设定的扫描范围内使得各个Ψ角都有完整的衍射 峰。所谓完整衍射峰，就是具有前后背底的衍射曲线。更明确地说，按照第五讲的办法给衍
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射曲线确定背底直线之后，衍射曲线的前后尾部应当圆滑过渡直至与背底直线相切。实际上 扫描范围应当根据衍射峰的半高宽来确定。经验表明， 2θ范围应当达到半高宽的 4 倍至 4.5 倍。除了半高宽以外还要考虑应力值的大小；应力较大时，顾及各Ψ角衍射峰的偏移， 2θ范围还得适当加宽。
2θ扫描方式分为连续扫描和步进扫描，后者又叫阶梯扫描。这里介绍的是如何确定
步 进扫描的步距和计数时间。采用固态线阵探测器则是多通道同时接收，由计算机的 CPU 瞬间 依次扫描读取各个通道的计数，它的步距是固定的，也有计数时间问题。
扫描步距就是阶梯扫描过程中探测器每次前进的角度。它的大小决定了衍射曲线上点的 密度，亦即定峰时参与计算的数据点的多少。显然点数越多，测量结果的随机误差就越小。 但是考虑到工作效率，又不能无限制地缩小步距。经验表明，半高宽在 2°以下，步距角可 以选择 0.05°；半高宽在 2°～4°的，一般取 0.1°；半高宽在 5°以上的，可以考虑用 0.2°、
0.25°等等。
计数时间就是探测器扫描过程中每前进一个步距角之后停下来接收反射 X 光子的时
间。 就好像是照相机的快门，曝光时间越长底片感光量越大一样，计数时间越长，则探测器接收 到的 X 光子数越多。为了达到满意的测量重复性，总是希望计数尽可能高一些。在衍射强 度较低、峰形较差的情况下，应该考虑适当延长计数时间。但是峰形的好坏并非只取决于计 数高低这一个因素，在某些情况下仅靠延长计数时间也未必能够达到理想的结果。相反，对 于峰形较好的材料，有时候计数不高（例如峰值在 1000 以下）也能达到满意的测量结果。 在这种情况下，计数时间可以缩短，以利于提高工效。
综上所述，在指定材料和衍射晶面、确定照射面积的前提下，如果出现衍射强度较低， 峰形较差，测量误差较大的情况，首先判定材料的晶粒是否粗大，是否应当采用摆动法。如 果晶粒并不粗大，那么可以采取的措施包括：①提高管流管压；②延长计数时间；③增大接 收狭缝；④缩小扫描步距。在实际操作中这些措施可以相互配合使用。
七、 试样表面处理
在 X 射线应力测定技术中，试样表面处理是关键问题之一。因为所用 X 射线一般不属 硬射线，在金属表面的有效穿透深度通常为几微米至十几微米，测得的应力就是这个深度内 应力的加权平均值。显然，试样表面状态对测量结果有决定性影响。原则上讲，表面光洁度 越高，应力测定就越准确；粗糙的表面应力会有一定程度的释放。GB7704-87 规定被测部 位表面粗糙度 Ra 应当小于 10μm 。
[4]
选择测试点应当尽量避开工件表面缺陷和磕碰划伤痕迹。采用适当的方法清除油污、
氧 化皮和锈斑，使测试部位露出洁净的金属表面，这是表面处理的第一步。这里应当注意尽量 不使用坚硬工具，避免伤及原始表面。例如，去除油污可以使用有机溶剂，去除氧化皮可以 使用稀盐酸等化学试剂。
然后依据测试目的和测试点表面实际情况，正确进行下一步的表面处理。 1、如果目的是为了测定各种机械加工（例如车削、磨削、喷丸强化、滚压强化等等）
所产生的残余应力，就必须小心保护原始表面，不作任何有损原始表面的处理。当然为了探 求应力和半高宽沿层深的分布，接下来还要做剥层。
2、对于铸件，应当注意到表面激冷层和内部组织是有明显区别的，而且表面比较粗糙。 但是，激冷层通常不存在织构，应力测定结果可信度较高。作为不同铸造工艺的对比实验， 这些
结果可能有它的参考价值。如果需要更准确地测定铸造应力，一般要对表面进行修磨； 但是应当注意到应力值的大小沿层深会有一定的梯度，故而修磨深度必须严格控制，测量结
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果才有可比性。 4、对于焊缝，一般要去除附加高，因为这部分表面与母材没有一致性力
学关系，而且
有焊波存在，表面不平整，无法测试。另外还要清除表面的焊疤、敲击痕迹和各种缺陷。一 般总是在选定的部位，从焊缝中心到热影响区以至母材，打磨出连续平整的一片区域，测试 点排列在这个区域之中。
5、在采用锉刀、砂轮、砂布进行修磨，乃至进行机械抛光之后，必须采用电解抛光或 化学抛光的手段去除修磨抛光带来的附加应力层。
至于附加应力层的深度，因机械加工和修磨的方式不同而有区别。作为参考，这里提供 如下数据：手工细砂纸磨光的影响深度一般在 30 微米以上，而机械磨削的影响深度则可能 在 150 微米以上。为了准确可靠地去除附加应力层，可以在电解或化学抛光的过程中逐层测 定应力，观察应力值和衍射峰半高宽的变化；当应力值达到稳定不变时可以认为已经去除了 附加应力层；另外，机械修磨必然在某种程度上引起衍射峰的宽化，如果观测到半高宽逐层 减小直至稳定不变，也可以认定已经去除机械修磨的影响层。
这里还要注意以下事项： （1）砂磨过程应当由粗到细，逐级进行，最好的做法是按照现场金相检验的要求处理
作电解抛光时，到达要求的层深之前，
待测试部位，然后再作电解或化学抛光。 （2）对于石墨和碳化物含量较高的铸铁材料，在用金相砂纸轻磨，或用绒布加研磨膏抛光，除去电解抛光面残留的石墨和碳化物，使之显露 金属光泽，最后用较小电流密度作短时电解抛光。
（3）抛光好的表面须及时清洗擦干，避免氧化和污染；更要小心加以保护，避免摩擦 和碰撞。甚至在测量抛光深度时也要小心，因为量具留下的磨痕也会影响应力测量值。
八、 仪器的校验、调整与和试样设置
当前不论国产还是进口的 X 射线应力测定仪，其最基本的构成（图 23）应当包括：（1） 作为测量执行机构的测角仪；（2）控制测量动作、采集数据的主控箱；（3）提供 X 射线管 高压和计数管电压的电源箱；（4）用于选择条件、运 行程序、下达指令、处理数据和输出结果的微电脑。
测角仪上安装着 X 射线管和探测器，为了测定应力， 它必定包括Ψ（或Ψ0）和 2θ两套运动机构。采用固 态线阵探测器的测角仪的 2θ部分无需扫描动作，但 是一般也会有人工改变探测器位置的圆弧机构。需要 强调指出，这两套运动机构必须以同一点为回转中心， 该点就是被测点的正确位置。这便是校验和调整测角 仪的根本依据。
按照计量管理规程，X 射线应力测定仪应当定期
图 23 X 射线应力测定仪基本方框图
校验。在较大规模的拆卸、搬运、重新安装之后也应当校验。校验测角仪须使用荧光屏和无 应力粉末（例如还原铁粉）试样。荧光屏在 X 光的照射下能够发出可见的绿色光斑。
第一步，在荧光屏上做刻线，放在被测试样位置，按照所用仪器规定的方法校准距离和 方向。然后开启 X 射线，驱动测角仪的动作，分别在Ψ和 2θ两个运动过程中观察光斑中心 是否偏移。只有不存在肉眼可以察觉的偏移，光斑中心才可能是测角仪Ψ和 2θ的回转中心， 应力测量才可能是准确的。如果观察到了微小的偏移量，一般可以通过修正标定距离 Y（测 角仪至被测点的距离）的办法消除它。
第二步，按照第一步校准的标定距离 Y，测定无应力粉末试样的应力。如重复测试的结
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果在允许的误差范围（例如±20MPa）以内，则仪器可以判定为合格。 第三，如果第二步
的测量结果超出允许范围，而且反复测量证实为系统误差，说明上述
第一步看到的光斑中心和测角仪Ψ、2θ真正的回转中心还有微小差距，只是由于几何原因， 转动Ψ和 2θ时用肉眼无法察觉光斑的偏移罢了。在这种情况下，可以微微调整 X 射线管的 安装位置，使光斑向左或向右作微量移动，然后再重复上述第一步、第二步的操作，直至消 除了不容许的系统误差，届时光斑中心和测角仪回转中心便真正地一致了。
在上述第一步当中，观察 X 光斑必须注意 X 射线防护！当前国产仪器在测角仪上装置 了微型激光器，用对人的眼睛无害的红色激光代替 X 光，给仪器的校验和使用带来方便。
试样设置须注意以下几个方面： 1、 应力方向。欲测定的应力方向应当平行于测角仪的Ψ平面。
2、 标定距离。按照所用仪器规定的方法校准标定距离 Y。对于聚焦法测角仪标定距3、 Ψ角的准确性。对于θ-θ扫描Ψ测角仪来说，在其Ψ=0°状态，被测点表面法
离 Y 应当更严格掌握，误差 Y 不要超出±0.2mm。
线 应当与入射线和接收的衍射线夹角的平分线重合。而其他型式的测角仪，在其Ψ0=0°状态， 被测点表面法线应当与入射线重合。为此，国产仪器配备一个“垂直验具”，配合激光使用； 进口仪器也应该有相应的办法。
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